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Was sind archimedische Körper?
Archimedische Körper sind konvexe Körper gebildet aus verschiedenen
regelmäßigen Vielecken, die an den Ecken in gleicher Weise aufeinandertreffen.
>Es gibt fünf Körper, die aus einer Sorte regelmäßiger
Vielecke gebildet werden. Das sind die fünf platonischen Körper.
>Lässt man mehrere Vielecke zu, gibt es 13 archimedische Körper.
Über jeden dieser Körper gibt es auf meiner Homepage eine
Seite, die man über die Hauptseite erreicht.
Hier findet man eine Zusammenfassung.
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder |
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01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
10 Abgeschrägtes Hexaeder
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
13 Abgeschrägtes Dodekaeder |
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Bezeichnungen archimedischer
Körper top
Deutsch
01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
10 Abgeschrägtes Hexaeder
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
13 Abgeschrägtes Dodekaeder |
Lateinisch
01 cubus truncus
02 tetraedron truncum
03 dodecaedron truncum
04 icosaedron truncum
05 octaedron truncum
06 cuboctaedron truncum
07 icosidodecaedron truncum
08 cuboctaedron
09 icosidodecaedron
10 cubus simus
11 rhombiicosidodecaedron
12 rhombicuboctaedron obliquum
13 dodecaedron simum |
Englisch
01 truncated cube
02 truncated tetrahedron
03 truncated dodecahedron
04 truncated icosahedron
05 truncated octahedron
06 truncated cuboctahedron
07 truncated icosidodecahedron
08 cuboctahedron
09 icosidodecahedron
10 snub cube
11 rhombicosidodecahedron
12 rhombicuboctahedron
13 snub dodecahedron |
Erzeugung archimedischer
Körper top
Sieben Körper entstehen aus platonischen
Körpern, indem man die Ecken passend abstumpft.
01 Abgestumpfter Würfel
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02 Abgestumpftes Tetraeder
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03 Abgestumpftes Dodekaeder
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| 04 Abgestumpftes Ikosaeder
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05 Abgestumpftes Oktaeder
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08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
Zwei Körper
heißen nicht ganz korrekt auch abgestumpftes Kuboktaeder und
abgestumpftes
Ikosidodekaeder. Das sind das große Rhombenkuboktaeder und das
große Rhombenikosidodekaeder.
Schneidet man von Kuboktaeder und Ikosidodekaeder die Ecken
ab, so entstehen aus topologischer Sicht die betreffenden Körper.
Aber statt der Quadrate bilden sich Rechtecke.
Man muss die Körper noch so verformen, dass die Rechtecke zu Quadraten
werden.
Zwei Körper
erhält man, indem man beim Oktaeder bzw. Pentagondodekaeder die Kanten
und Ecken passend abflacht.
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
Zwei Körper
erhält man, indem man eine Seitenfäche dreht und gleichzeitig
verkleinert, so dass die Zwischenräume mit gleichseitigen Dreiecken
ausgefüllt werden.
| 10 Abgeschrägter Würfel
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13 Abgeschrägtes Dodekaeder
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Catalanische Körper top
... ... |
Wenn man die Mittelpunkte der Vielecke eines archimedischen Körpers
verbindet, entsteht ein neuer Körper, der catalanische Körper.
Jeder Fläche wird ein Eckpunkt zugeordnet, deshalb tauschen sich
die Anzahl der Ecken und Flächen aus. Die Anzahl der Kanten bleibt.
So hat der abgestumpfte Würfel 14 Flächen und 24 Ecken, der
zugehörige catalanische Körper 24 Flächen und 14 Ecken.
Die Anzahl der Kanten ist für beide Körper 36. |
Der catalanische Körper wird von kongruenten Drei-, Vier- oder
Fünfecken begrenzt.
Es folgen Stereobilder der archimedischen und der zugeordneten catalanischen
Körper.
Hinzugefügt sind die Art der Vielecke, ihre Reihenfolge an einer
Ecke, die Anzahl f der Flächen, e der Ecken und k der Kanten.
01 Abgestumpfter Würfel (8 Dreiecke,
6 Achtecke, (3,8,8), f=14, e=24, k=36)
02 Abgestumpftes Tetraeder (4 Dreiecke,
4 Sechsecke, (3,6,6), f=8, e=12, k=18, )
03 Abgestumpftes Dodekaeder (20 Dreiecke,
12 Zehnecke, (3,10,10), f=32, e=60, k=90)
04 Abgestumpftes Ikosaeder (12 Fünfecke,
20 Sechsecke, (5,6,6), f=32, e=60, k=90)
05 Abgestumpftes Oktaeder ( 6 Quadrate,
8 Sechsecke, (4,6,6), f=14, e=24, k=36)
06 Großes Rhombenkuboktaeder (12
Quadrate, 8 Sechsecke, 6 Achtecke, (4,6,8), f=26, e=48, k=72)
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
(30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke, (4,6,10), f=62, e=120, k=180
08 Kuboktaeder (8 Dreiecke, 6 Quadrate,
(3,4,3,4), f=14, e=12, k=24)
09 Ikosidodekaeder (20 Dreiecke, 12 Fünfecke,
(3,5,3,5), f=32, e=30, k=60)
10 Abgeschrägter Würfel (32 Dreiecke,
6 Quadrate, (3,3,3,3,4), f=38, e=24, k=60)
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder (20 Dreiecke,
30 Quadrate, 12 Fünfecke, (3,4,5,4), f=62, e=60, k=120)
12 Kleines Rhombenkuboktaeder (8 Dreiecke,
18 Quadrate, (3,4,4,4), f=26, e=24, k=48)
13 Abgeschrägtes Dodekaeder (80 Dreiecke,
12 Fünfecke, (3,3,3,3,5), f=92, e=60, k=150)
Größen top
Alle archimedischen Körper haben ein Volumen V, eine Oberfläche
O und eine Umkugel R.
Außerdem gibt es noch Abstände gegenüberliegender Flächen.
Es gelten die folgenden Formeln. Die Kantenlänge a ist gegeben.
01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder
10 Abgeschrägtes Hexaeder
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder
13 Abgeschrägtes Dodekaeder
O={20sqrt(3)+3sqrt[25+10sqrt(5)]}a²
Prismen, Antiprismen
und Johnson-Körper top
Neben den platonischen und archimedischen Körpern gibt es weitere
konvexe
Körper, die von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden.
Da sind die Prismen und die Antiprismen.
Bei ihnen werden parallel liegende, regelmäßige Vielecke durch
kongruente regelmäßige verbunden. Da es beliebig viele n-Ecke
gibt, gibt es auch beliebig viele Prismen und Antiprismen.
Es folgen zwei Beispiele.
Dreiecksprisma
Antiprisma mit quadratischen
Grundseiten
Die restlichen, konvexen Körper aus
regelmäßigen Vielecken heißen Johnson-Körper. Es
gibt 92.
Es folgen einige Beispiele als Stereobilder.
Rechts sind die Netze abgebildet.
Quadratische Pyramide J 1
Dreieckshebosphenorotunde
J 21
Doppelt erweitertes
Dreiecksprisma J 50
Verlängerte
Fünfecksrotunde J 92
Verlängertes
verdrehtes Quadratsdoppelkuppel J 37 (oder verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)
... ... |
Man könnte meinen, dieser Körper sei eine Variation des kleinen
Rhombenkuboktaeders, denn er hat die gleichen Daten:
8 Dreiecke, 18 Quadrate, (3,4,4,4), f=26, e=24, k=48.
An jeder Ecke treffen ein Dreieck und drei Quadrate aufeinander.
Man erhält diesen Körper, indem man beim Rhombenkuboktaeder
eine Kappe entfernt, um 45° dreht und wieder aufsetzt.
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Betrachtet man das Netz der "verlängerten
verdrehten Quadratsdoppelkuppel", so ist zwar die Umgebung zweier Punkte
A und B gleich (ein Dreieck, drei Quadrate), aber die weitere Umgebung
zeigt Unterschiede: Um A liegen vier aufeinander folgende Quadrate zwischen
zwei Dreiecken, um B höchstens drei. |
Diesen Körper J 37 bezeichnet man nicht als archimedischen
Körper, obwohl an den Ecken immer ein Dreieck und drei Quadrate aufeinander
treffen. Man verlangt auch eine gleiche "Fernordnung". Das ist zu Beginn
dieser Seite in der Einführung mit "Vielecke treffen in gleicher Weise
aufeinander" gemeint.
Archimedische Körper
im Internet top
Deutsch
H.B.Meyer
Polyeder aus Flechtstreifen
Horst Steibl
Erzeugung
von archimedischen Körpern aus Tetraeder, Würfel, Oktaeder durch
Kappen der Ecken und Kanten
Rudolf H. Baierl
Konvexe
Polyeder. Klassische und hybride numerische Generierungsmethoden
(.pdf-Datei)
U. Mikloweit
Polyedergarten
Werner Brefeld
Platonische
Körper und Archimedische Körper
Wikipedia
Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper, Prisma
(Geometrie), Johnson-Körper
Englisch
Associação Atractor
Polyhedra
(animations)
Bob's Pages
Stellations
a polyhedron generator (Applett)
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Archimedean
Solid, Catalan
Solid
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Polyhedra
(Applets)
G. Korthals Altes
Paper Models of Polyhedra
Poly (Pedagoguery Software Inc.)
A program for downloading
(Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Die meisten Bilder dieser Seite wurden mit diesem Programm erzeugt.
Wikipedia
Archimedean
solid, Catalan
solid, Prism
(geometry), Johnson
solid
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
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http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2008 Jürgen Köller
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