Archimedische Körper
Inhalt dieser Seite
Was sind archimedische Körper?
Bezeichnungen archimedischer Körper
Erzeugung archimedischer Körper
Catalanische Körper
Größen
Prismen, Antiprismen und Johnson-Körper
Archimedische Körper im Internet
Referenzen.
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Was sind archimedische Körper?
Archimedische Körper sind konvexe Körper gebildet aus verschiedenen regelmäßigen Vielecken, die an den Ecken in gleicher Weise aufeinandertreffen.
>Es gibt fünf Körper, die aus einer Sorte regelmäßiger Vielecke gebildet werden. Das sind die fünf platonischen Körper
>Lässt man mehrere Vielecke zu, gibt es 13 archimedische Körper

Über jeden dieser Körper gibt es auf meiner Homepage eine Seite, die man über die Hauptseite erreicht. 
Hier findet man eine Zusammenfassung.




 
Tetraeder
Würfel
Oktaeder
Pentagondodekaeder
Ikosaeder
01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder 
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder 
10 Abgeschrägtes Hexaeder
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder 
13 Abgeschrägtes Dodekaeder

Bezeichnungen archimedischer Körper    top
Deutsch
01 Abgestumpfter Würfel
02 Abgestumpftes Tetraeder
03 Abgestumpftes Dodekaeder
04 Abgestumpftes Ikosaeder
05 Abgestumpftes Oktaeder 
06 Großes Rhombenkuboktaeder
07 Großes Rhombenikosidodekaeder
08 Kuboktaeder
09 Ikosidodekaeder 
10 Abgeschrägtes Hexaeder 
11 Kleines Rhombenikosidodekaeder
12 Kleines Rhombenkuboktaeder 
13 Abgeschrägtes Dodekaeder
Lateinisch
01 cubus truncus 
02 tetraedron truncum 
03 dodecaedron truncum
04 icosaedron truncum
05 octaedron truncum 
06 cuboctaedron truncum
07 icosidodecaedron truncum
08 cuboctaedron
09 icosidodecaedron
10 cubus simus
11 rhombiicosidodecaedron
12 rhombicuboctaedron obliquum
13 dodecaedron simum
Englisch
01 truncated cube
02 truncated tetrahedron
03 truncated dodecahedron
04 truncated icosahedron
05 truncated octahedron
06 truncated cuboctahedron
07 truncated icosidodecahedron
08 cuboctahedron
09 icosidodecahedron
10 snub cube
11 rhombicosidodecahedron
12 rhombicuboctahedron
13 snub dodecahedron


Erzeugung archimedischer Körper     top
Sieben Körper entstehen aus platonischen Körpern, indem man die Ecken passend abstumpft.
01 Abgestumpfter Würfel
02  Abgestumpftes Tetraeder
03  Abgestumpftes Dodekaeder


04 Abgestumpftes Ikosaeder

05  Abgestumpftes Oktaeder 

08 Kuboktaeder

09 Ikosidodekaeder 

Zwei Körper heißen nicht ganz korrekt auch abgestumpftes Kuboktaeder und abgestumpftes Ikosidodekaeder. Das sind das große Rhombenkuboktaeder und das große Rhombenikosidodekaeder.

Schneidet man von Kuboktaeder und Ikosidodekaeder die Ecken ab, so entstehen aus topologischer Sicht die betreffenden Körper. Aber statt der Quadrate bilden sich Rechtecke.
Man muss die Körper noch so verformen, dass die Rechtecke zu Quadraten werden.

Zwei Körper erhält man, indem man beim Oktaeder bzw. Pentagondodekaeder die Kanten und Ecken passend abflacht.

11 Kleines Rhombenikosidodekaeder



12 Kleines Rhombenkuboktaeder 

Zwei Körper erhält man, indem man eine Seitenfäche dreht und gleichzeitig verkleinert, so dass die Zwischenräume mit gleichseitigen Dreiecken ausgefüllt werden. 
10 Abgeschrägter Würfel

 
13 Abgeschrägtes Dodekaeder

Catalanische Körper top
...... Wenn man die Mittelpunkte der Vielecke eines archimedischen Körpers verbindet, entsteht ein neuer Körper, der catalanische Körper. 
Jeder Fläche wird ein Eckpunkt zugeordnet, deshalb tauschen sich die Anzahl der Ecken und Flächen aus. Die Anzahl der Kanten bleibt. 
So hat der abgestumpfte Würfel 14 Flächen und 24 Ecken, der zugehörige catalanische Körper 24 Flächen und 14 Ecken. Die Anzahl der Kanten ist für beide Körper 36.

Der catalanische Körper wird von kongruenten Drei-, Vier- oder Fünfecken begrenzt.

Es folgen Stereobilder der archimedischen und der zugeordneten catalanischen Körper.
Hinzugefügt sind die Art der Vielecke, ihre Reihenfolge an einer Ecke, die Anzahl f der Flächen, e der Ecken und k der Kanten.


01 Abgestumpfter Würfel [8 Dreiecke, 6 Achtecke, (3,8,8), f=14, e=24, k=36]

02 Abgestumpftes Tetraeder [4 Dreiecke, 4 Sechsecke, (3,6,6), f=8, e=12, k=18]

03 Abgestumpftes Dodekaeder [20 Dreiecke, 12 Zehnecke, (3,10,10), f=32, e=60, k=90]

04 Abgestumpftes Ikosaeder [12 Fünfecke, 20 Sechsecke, (5,6,6), f=32, e=60, k=90]

05 Abgestumpftes Oktaeder [6 Quadrate, 8 Sechsecke, (4,6,6), f=14, e=24, k=36]

06 Großes Rhombenkuboktaeder [12 Quadrate, 8 Sechsecke, 6 Achtecke, (4,6,8), f=26, e=48, k=72]

07 Großes Rhombenikosidodekaeder [30 Quadrate, 20 Sechsecke, 12 Zehnecke, (4,6,10), f=62, e=120, k=180]

08 Kuboktaeder [8 Dreiecke, 6 Quadrate, (3,4,3,4), f=14, e=12, k=24]


09 Ikosidodekaeder [20 Dreiecke, 12 Fünfecke, (3,5,3,5), f=32, e=30, k=60]

10 Abgeschrägter Würfel [32 Dreiecke, 6 Quadrate, (3,3,3,3,4), f=38, e=24, k=60] 

11 Kleines Rhombenikosidodekaeder [20 Dreiecke, 30 Quadrate, 12 Fünfecke, (3,4,5,4), f=62, e=60, k=120]

12 Kleines Rhombenkuboktaeder [8 Dreiecke, 18 Quadrate, (3,4,4,4), f=26, e=24, k=48]

13 Abgeschrägtes Dodekaeder [80 Dreiecke, 12 Fünfecke, (3,3,3,3,5), f=92, e=60, k=150]

Größen    top
Alle archimedischen Körper haben ein Volumen V, eine Oberfläche O und eine Umkugel R. 
Außerdem gibt es noch Abstände gegenüberliegender Flächen.
Es gelten die folgenden Formeln. Die Kantenlänge a ist gegeben.


01 Abgestumpfter Würfel

02 Abgestumpftes Tetraeder

03 Abgestumpftes Dodekaeder

04 Abgestumpftes Ikosaeder


05 Abgestumpftes Oktaeder 

06 Großes Rhombenkuboktaeder

07 Großes Rhombenikosidodekaeder

08 Kuboktaeder

09 Ikosidodekaeder 

10 Abgeschrägtes Hexaeder 


11 Kleines Rhombenikosidodekaeder

12 Kleines Rhombenkuboktaeder 

13 Abgeschrägtes Dodekaeder
O={20sqrt(3)+3sqrt[25+10sqrt(5)]}a²

Prismen, Antiprismen und Johnson-Körper     top
Neben den platonischen und archimedischen Körpern gibt es weitere konvexe Körper, die von regelmäßigen Vielecken begrenzt werden.


Da sind die Prismen  und die Antiprismen. Bei ihnen werden parallel liegende, regelmäßige Vielecke durch kongruente regelmäßige verbunden. Da es beliebig viele n-Ecke gibt, gibt es auch beliebig viele Prismen und Antiprismen.
Es folgen zwei Beispiele.
Dreiecksprisma

Antiprisma mit quadratischen Grundseiten

Die restlichen, konvexen Körper aus regelmäßigen Vielecken heißen Johnson-Körper. Es gibt 92. 

Es folgen einige Beispiele als Stereobilder. Rechts sind die Netze abgebildet.
Quadratische Pyramide J 1

Dreieckshebosphenorotunde J 21

Doppelt erweitertes Dreiecksprisma J 50

Verlängerte Fünfecksrotunde J 92

Verlängertes verdrehtes Quadratsdoppelkuppel J 37 (oder verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)
...... Man könnte meinen, dieser Körper sei eine Variation des kleinen Rhombenkuboktaeders, denn er hat die gleichen Daten:
8 Dreiecke, 18 Quadrate, (3,4,4,4), f=26, e=24, k=48
An jeder Ecke treffen ein Dreieck und drei Quadrate aufeinander. 

Man erhält diesen Körper, indem man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe entfernt, um 45° dreht und wieder aufsetzt.
 


Betrachtet man das Netz der "verlängerten verdrehten Quadratsdoppelkuppel", so ist zwar die Umgebung zweier Punkte A und B gleich (ein Dreieck, drei Quadrate), aber die weitere Umgebung zeigt Unterschiede: Um A liegen vier aufeinander folgende Quadrate zwischen zwei Dreiecken, um B höchstens drei.

Diesen Körper J 37 bezeichnet man nicht als archimedischen Körper, obwohl an den Ecken ein Dreieck und drei Quadrate aufeinander treffen. Man verlangt auch eine gleiche "Fernordnung". Das ist zu Beginn dieser Seite in der Einführung mit "Vielecke treffen in gleicher Weise aufeinander" gemeint.

Archimedische Körper im Internet        top

Deutsch

H.B.Meyer
Polyeder aus Flechtstreifen

Rudolf H. Baierl
Konvexe Polyeder. Klassische und hybride numerische Generierungsmethoden  (.pdf-Datei)

U. Mikloweit 
Polyedergarten

Werner Brefeld
Platonische Körper und Archimedische Körper

Wikipedia
Archimedischer KörperCatalanischer Körper, Prisma (Geometrie)Johnson-Körper



Englisch

Associação Atractor
Polyhedra (animations)

Bob's Pages
Stellations a polyhedron generator  (Applett)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Archimedean Solid, Catalan Solid

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
Polyhedra (Applets)

G. Korthals Altes
Paper Models of Polyhedra

Poly (Pedagoguery Software Inc.)
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Bilder dieser Seite wurden mit diesem Programm erzeugt.

Wikipedia
Archimedean solid, Catalan solidPrism (geometry)Johnson solid

WolframResearch
Polyhedron Explorer  (Applet)


Referenzen    top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961


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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2008 Jürgen Köller

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