Formeln im Bild
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Was sind Formeln im Bild?
Einfache Formeln
Binomische Formeln		 Satzgruppe des Pythagoras
Dritte Potenzen
Referenzen
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Was sind Formeln im Bild?

Formeln sind Aussageformen der Algebra, die für Zahlen einer Definitionsmenge zu richtigen Aussagen werden. 

Bis auf die Axiome können sie bewiesen werden. Beweisen heißt, aus bekannten Formeln neue Formeln durch logisches Schließen herzuleiten. 

Die Beweisideen und auch die Beweisgänge können anschaulich durch Bilder dargestellt werden. Außerdem werden die Formeln selbst dadurch lebendiger.

Auf dieser Seite findet man bekannte Formeln, die man veranschaulichen kann, und ihre Bilder.

Einfache Formeln   top

Kommutativgesetz der Multiplikation (Axiom)


ab=ba

Distributivgesetz (Axiom)


(a+b)c=ac+bc


Produkt aus einer Differenz und einer Zahl


(a-b)c=ac-bc


Produkt zweier Summen


(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd


Produkt zweier Differenzen


(a-b)(c-d)=  ac+bd   -ad-bc


Produkt aus einer Summe und einer Differenz


(a-b)(c+d)=  ac+ad   -bc-bd


Flächengleiche Ergänzungsparallelogramme


a²=bx

Binomische Formeln   top

Erste binomische Formel


(a+b)²=a² + 2ab + b²

 Zweite binomische Formel


(a-b)²=  b²+a²  -2ab

Dritte binomische Formel


a²-b²=(a+b)(a-b)


Tri-nomische Formel

(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc


Differenz der Quadrate aus Summe und Differenz


(a+b)²-(a-b)²=4ab

Satzgruppe des Pythagoras top

Satz des Pythagoras (Pythagoras oder ein Schüler, Pythagoras von Samos, 580-500 vor Christi)


a²+b²=c²

Satz des Pythagoras (Euklid, ~300 vor Christi) 
Klassischer Beweis mit Dreiecken


a²+b²=c²


Satz des Pythagoras (Euklid, ~300 vor Christi)
Beweis mit Vierecken


a²+b²=c²


Kathetensatz oder Satz des Euklid (Euklid, ~300 vor Christi)


a²=cp (analog kann man zeigen, dass b²=cq)


Höhensatz


a²=p²+h² (Satz des Pythagoras, Mitte), a²=pc=p²+pq (Satz von Euklid, rechts),
daraus folgt h²=pq


Satz des Pythagoras (Liu Hui, ~300, China)


a²+b²=c²


Satz des Pythagoras ("Stuhl der Braut", ~900, Indien)


a²+b²=c²


Satz des Pythagoras (Atscharja Bhaskara, Indien,  ~1150)


c²=(a-b)²+2ab oder c²=a²+b²


Satz des Pythagoras (Leonardo da Vinci, 1452-1519)


a²+b²=c²


Satz des Pythagoras (Fall a=b von Arthur Schopenhauer, 1788-1860)


a²+b²=c²


Satz des Pythagoras (James Garfield 1876, später 20. US-Präsident)


Es wird die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes verwendet [A=mh, hier: h=a+b und m=(a+b)/2]
(a+b)²/2=c²/2+2*(1/2*ab) oder a²+b²=c²


Satz des Pythagoras (Hermann Baravalle 1945)

.........

c²=a²+b²


Satz des Pythagoras

(a+b)²=c²+4*(1/2ab) oder a²+b²=c²

Dritte Potenzen    top

Dritte Potenz einer Summe

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Wer den 3D-Blick beherrscht, sieht die beiden Würfel und die sechs Quader räumlich:

Dritte Potenz einer Differenz

Die Formel heißt (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³. Für eine Veranschaulichung wandelt man sie um in (a-b)³=a³-3ab(a-b)-b³.
...... Man gibt die Zeichnung zur Formel für (a+b)³ von oben vor und setzt an Stelle von a die Differenz a-b. 

Dann ergeben sich im Würfel a³ die Kanten (a-b)+b in verschiedenen Variationen (links). Der Term (a-b)³ wird durch einen blauen Würfel rechts dargestellt. 

 ......
Man erhält den blauen Würfel auch, wenn man vom roten Würfel die drei grünen Quader und den gelben Würfel wegnimmt:


(a-b)³ = a³-3ab(a-b)-b³ = a³-3a²b+3ab²-b³

Referenzen    top
Alexander Bogomolny
Martin Gardner, Mathematisches Labyrinth, Vieweg Braunschweig 1979 (ISBN 3-528-08402-2)
Johannes Lehmann (Hrsg.): Rechnen und Raten, Köln 1987 (ISBN 3-7614-0930-3)
A.Schmid, I. Weidig: Lambacher Schweizer S8, Mathematisches Unterrichtswerk, Stuttgart 1995 (ISBN 3-12-730730-6)
A.Schmid, I. Weidig: Lambacher Schweizer S9, Mathematisches Unterrichtswerk, Stuttgart 1996 (ISBN 3-12-730740-3)
Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig, 1998

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©  2002 Jürgen Köller

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