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Was ist eine Geradengleichung?
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Eine Gerade ist eine Linie, die entsteht, wenn man einen Stift entlang
eines Lineals führt. Sie ist ein Element der euklidischen Geometrie.
Will man diese durch Axiome begründen, so ist das sehr aufwändig,
wie Hilberts Axiomensystem (URL unten bei Wikipedia) zeigt. |
Man erfasst die Gerade einfacher in der
analytischen Geometrie.
Man betrachtet die Ebene als Punktmenge und führt ein Koordinatensystem
ein, um die Punkte zu lokalisieren.
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Eine Gerade entsteht im kartesischen Koordinatensystem
als Menge (x|y) der Punkte, die die lineare Gleichung Ax+By+C=0 erfüllen,
wobei die Parameter A, B und C für reelle Zahlen stehen.
Ausgenommen ist A=B=0. In diesem Falle gibt es
entweder keinen Geradenpunkt (C< >0), oder jeder Punkt der Ebene ist
möglich (C=0).
Die lineare Gleichung Ax+By+C=0 beschreibt alle
Geraden in der Ebene und ist deshalb die allgemeine Form.
Zur nebenstehenden Geraden gehört die Gleichung
-x+2y-2=0. |
Auf dieser Seite werden die gängigen
Geradengleichungen besprochen.
Sie unterscheiden sich dadurch, dass unterschiedliche
Eigenschaften berücksichtigt werden.
Normalform
top
Die Normalform ist y=mx+b.
Herleitung
Die Gleichung Ax+By+C=0 lässt sich nach
y auflösen, wenn B ungleich Null ist: y=-(A/B)x-C/B oder y=mx+b.
In dieser Form kann die Gleichung als Funktionsgleichung
aufgefasst werden, denn jedem x-Wert wird eindeutig ein y-Wert zugeordnet.
Beispiel
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Aus der Geradengleichung -x+2y-2=0 wird die Normalform
y=(1/2)x+1.
Die Variablen m und b findet man in der Zeichnung.
b ist der y-Achsenabschnitt, und m findet man
in dem Steigungsdreieck, das entsteht, wenn man vom Schnittpunkt mit der
y-Achse aus 1 in x-Richtung und m in y-Richtung geht. |
Sonderfall
Ist B=0, so wird aus der allgemeinen Gleichung
Ax+By+C=0 die Verkürzung Ax+B=0 oder x=-B/A oder x=a.
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Die Gleichung x=a beschreibt eine Parallele zur y-Achse im Abstand
a..........................................
In diesem Falle ist es die Gerade mit x=3/2. |
Dieser Fall B=0 wird in den folgenden Formen
der Geradengleichung als Sonderfall nicht mehr erwähnt.
Achsenabschnittsform
top
Die Achsenabschnittsform ist y/a'+x/b' = 1.
Herleitung
Sie geht durch folgende Umformung aus der allgemeinen Geradengleichung
Ax+By+C=0
hervor.
Ax+By+C = 0
<=> Ax+By = -C |:(-C),
C<>0
<=> -Ax/C-By/C = 1
<=> x/(-C/A)+y/(-C/B) = 1
<=> y/a'+x/b' = 1
Die Achsenabschnittsform existiert nur, wenn C ungleich
0 ist.
Beispiel
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Aus der allgemeinen Gleichung -x+2y-2=0 wird
die Achsenabschnittsform y/1+x/(-2)=1.
Die Achsenabschnittsform y/a'+x/b'=1 enthält
die Schnittpunkte der Geraden mit den Achsen. |
Hessesche
Normalform (HNF) top
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Die hessesche Normalform ist cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p=0.
Dabei sind p der Abstand der Geraden vom Nullpunkt und alpha der Winkel
zwischen der Normalen OF der Geraden und der x-Achse. |
Herleitung
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Oben wurde gezeigt, dass aus Ax+By+C = 0 die
Achsenabschnittsform x/(-C/A)+y/(-C/B) = 1 entstehen kann.
Dann sind in der Zeichnung OA=(-C/A) und OB=(-C/B).
-
Im Dreieck OAF und BOF stehen die Schenkel der markierten Winkel paarweise
aufeinander senkrecht und sind deshalb gleich. Damit sind die rechtwinkligen
Dreiecke OAF und BOF ähnlich. |
Man kann ablesen: cos(alpha)=OF/OA=p/(-C/A)=-Ap/C und sin(alpha)=OF/OB=-Bp/C.
Diese Terme werden eingesetzt.
cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p = 0
<=> -Ap/C*x-Bp/C*y-p = 0
|:p
<=> -A/C*x-B/C*y-1=0
|*(-C)
<=> Ax+By+C=0
Die Schlussrichtung ist von unten nach oben.
Man erhält konkret die hessesche Normalform,
indem man die allgemeine Gradengleichung Ax+By+C=0 mit dem Term 1/sqrt(A²+B²)
multipliziert.
Wegen des Minuszeichens in x*cos(alpha)+y*sin(alpha)-p=0 und p>0 muss
man zwei Fälle unterscheiden.
Ist C>0, ist mit -1/sqrt(A²+B²) zu multiplizieren: -A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²)=0.
Ist C<0, ist mit 1/sqrt(A²+B²) zu multiplizieren: A/sqrt(A²+B²)x+B/sqrt(A²+B²)y+C/sqrt(A²+B²)=0.
Ist C=0, so spielt das Vorzeichen keine Rolle.
Die Unterscheidung nach C>0 und C<0 kann man sich ersparen, wenn
man Ax+By+C=0 mit 1/{[|C|/(-C)]*sqrt(A²+B²)} multipliziert.
Es ist zu klären, welcher Zusammenhang
zwischen cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p=0 und 1/sqrt(A²+B²) besteht.
Dazu wird der Abstand p bestimmt.
| ...... |
Die Dreiecke OAF und BOA sind ähnlich.
Damit gilt die Proportion p:OA=OB:AB oder p:(-C/A)=(-C/B):sqrt[(-C/A)²+(-C/B)²]
oder
p*sqrt[(-C/A)²+(-C/B)²] = (-C/A)*(-C/B)
oder p=[C²/(AB)]/sqrt[(C²/A²+C²/B)²]=C/[sqrt(A²+B²)].
Dann ist sqrt(A²+B²)=C/p
Oben wurde gezeigt, dass cos(alpha)=-Ap/C
und sin(alpha)=-Bp/C gelten. |
Die Terme werden eingesetzt in die Gleichung -A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²)=0,
die für C>0 gilt.
-A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²)
= 0
<=> -A/(C/p)*x-B/(C/p)*y-p
= 0
<=> -Ap/C*x-Bp/C*y-p = 0
<=> cos(alpha)*x+sin(alpha)*y-p = 0
Die Schlussrichtung ist wieder von unten nach oben.
Beispiel
.... .. |
Die Ausgangsgerade mit -x+2y-2=0 hat die HNF
-[(1/5)sqrt(5)]*x+[(2/5)sqrt(5)]*y-[(2/5)sqrt(5)]=0
Für sie gilt p=sqrt(5) und sin(alpha)=-[(1/5)sqrt(5)]
und somit alpha=153,4°. |
Der Sinn der hesseschen Normalform erschließt sich
erst in der Anwendung.
Man kann bequem den Abstand eines Punktes von einer Geraden bestimmen.
Zweipunkteform
top
Wird eine Gerade durch die Punkte A(x1|y1) und
B(x2|y2) festgelegt, so heißt die Geradengleichung
in Zweipunkteform (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1).
Herleitung
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Die Steigung ist im gelben Dreieck abzulesen: m=(y2-y1)/(x2-x1).
Statt des festen Punktes B kann man auch den beliebigen Geradenpunkt
P nehmen.
Da gilt m=(y-y1)/(x-x1).
Damit ist (y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1),
wzbw. |
Ist x=x1, so ist diese Gleichung
auch die Geradengleichung.
Punkt-Richtungs-Form
top
Wird eine Gerade durch die Steigung m und den
Punkt A(x1|y1) festgelegt, so gilt die Punkt-Richtungs-Form
(y-y1)/(x-x1)=m.
Die Herleitung erfolgt wie bei der Zweipunkteform.
Polarform
top
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Für die Polarform verwendet man zur Angabe der Lage eines Punktes
P Polarkoordinaten r und t.
Das sind die Entfernung r=OP des Punktes vom Nullpunkt O und der Winkel
t zwischen einer Horizontalen und der Entfernung OP. |
Hat die Gerade die Normalform
y=mx+b, so ist die Polarform r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)].
Geraden parallel zur y-Achse haben die Darstellung x=a. Das führt
zu r(t)=a/cos(t).
Herleitungen
Setzt man x=r*cos(t) und y=r*sin(t) in y=mx+b ein, so ergibt
sich r*sin(t)=mr*cos(t)+b oder r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)].
Die Gleichung x=a führt mit x=r*cos(t) zu r=a/cos(t).
Beispiel
| ...... |
Die Gerade hat die Darstellung y=(1/2)x+1. Es
sind b=1 und m=1/2.
Dann ist r(t)=1/[sin(t)-(1/2)cos(t)]. |
Mehr findet man auf meiner Seite Kurven
im Polarkoordinatensystem.
Im nächsten Kapitel werden Geraden
im Raum mit Vektoren erfasst. Die beiden dort hergeleiteten Parametergleichungen
gelten in gleicher Form auch in der Ebene.
Geraden im Raum
top
Man könnte meinen, dass die Gleichung Ax+By+C=0
zu Ax+By+Cz+D=0 verallgemeinert werden kann, um eine Gerade im Raum zu
beschreiben. Das ist falsch, denn die Gleichung beschreibt eine Ebene im
Raum.
Für eine Gerade muss man zwei Ebenengleichungen
angeben. Die Gerade ist dann die Schnittgerade beider Ebenen.
Ax+By+Cz+D=0 /\ A'x+B'y+C'z+D'=0
Dieser Sachverhalt (zwei Kordinatengleichungen) ergibt
sich auch weiter unten aus andersartigen Überlegungen.
Beispiel
Ebene 1: x/5+y/3+z/4=1 oder 12x+20y+15z-1=0
Ebene 2: x/2,5+y/1,5=1 oder 6x+10y-15=0
Schnittgerade: 12x+20y+15z-1=0 /\ 6x+10y-15=0
Zwei Ebenen durchdringen sich.
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Es gibt eine Schnittgerade.
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Die Bildpaare ermöglichen eine 3D-Sicht.
Parameterdarstellungen
der Geraden im Raum
Es ist günstig, für Probleme der Raumgeometrie Vektoren einzusetzen.
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Es wird ein fester Punkt O im Raum festgelegt. Der Ort aller Punkte
wird durch gerichtete Strecken, also Pfeile, angegeben, die vom Nullpunkt
O ausgehen und in den Punkten enden. Sie heißen treffend Ortsvektoren.
Man bezeichnet Vektoren mit kleinen Buchstaben, die einen kleinen Pfeil
tragen. Da ich auf meinen Seiten im wesentlichen nur den ASCII-Code verwende,
schreibe ich Vektoren als Notlösung hier
mit kleinen, fetten Buchstaben. Sie sind im englischen Sprachbereich manchmal
zu finden wie z.B. bei MathWorld.
Ich mache keinen Unterschied zwischen Pfeil und Vektor, was streng
genommen nicht korrekt ist. |
Parametergleichung
in der Zweipunkteform
... ... |
Eine Gerade wird durch zwei Punkte bestimmt, zum Beispiel durch die
Punkte A und B.
Folglich legen ihre Ortsvektoren a und b die Gerade AB
fest.
Den Ortsvektor p eines Geradenpunktes kann man aus beiden Vektoren
wie folgt bestimmen. |
... ... |
Den Ortsvektor p eines Punktes erhält man, indem man hinter
dem Vektor
a das k-fache des Differenzenvektors
b-a
hängt.
p=a+k(b-a)
So erhält man in der Zeichnung den Punkt P über
den Ortsvektor p=a+(1/2)(b-a),
da der Punkt die Strecke AB halbiert.
Der Ortsvektor von A ergibt sich über
k=0 und B über k=1. Zum neuen Punkt C
gehört der Parameter k= -1/2. |
Zu jedem Punkt der Geraden gibt es genau einen Wert für k und umgekehrt
legt jeder Wert von k genau einen Punkt fest.
Parametergleichung
in der Punkt-Richtungsform
.... .. |
Es ist üblich, für
den Differenzenvektor
b-a den Richtungsvektor u einzuführen.
Dann heißt die Geradengleichung einfacher
p=a+ku.
Es gibt beliebig viele Ortsvektoren und beliebig viele Richtungsvektoren,
die eine Gerade festlegen können und
damit beliebig viele Parameterdarstellungen ein und derselben Geraden. |
Verbindung zum kartesischen
Koordinatensystem
... ... |
Ein kartesisches Koordinatensystem kennzeichnet man durch einen Nullpunkt
O und drei Grundvektoren i, j und k.
Die Grundvektoren legen die Richtung der Achsen fest. Zu i gehört
die x-Achse, zu j die y-Achse und zu k die z-Achse.
Einen Ortsvektor p erzeugt man dadurch, dass man passende Vielfache
der Vektoren i, j und k hintereinander hängt:
p=xi+yj+zk.
In der Zeichnung ist p=0,5i+1,5j+1,9k. |
Der Punkt P hat dann die bekannte Darstellung P(x|y|z). In der Zeichnung
ist P(0,5|1,5|1,9).
Damit ist ein Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Vektoren
hergestellt.
Koordinatengleichungen
der Gerade im Raum
Die Darstellung von p=xi+yj+zk wendet man
auf die Vektoren der Parametergleichung p=a+k(b-a)
an.
Es sei a=x1i+y1j+z1k,
und es sei b=x2i+y2j+z2k.
Dann ist p=a+k(b-a)
= x1i+y1j+z1k + k(x2i+y2j+z2k
- x1i-y1j-z1k)
= (x1+kx2-kx1)i + (y1+ky2-ky1)j
+
(z1+kz2-kz1)k.
Andererseits ist p=xi+yj+zk. Damit gilt
(x1+kx2-kx1-x)i+(y1+ky2-ky1-y)j+(z1+kz2-kz1-z)k
=O.
Da die Vektoren i, j und k linear unabhängig
sind, müssen die Vorzahlen in einer Linearkombination
von i, j und k Null sein. Das führt
zu den drei Gleichungen
x1+kx2-kx1-x = 0
y1+ky2-ky1-y = 0
z1+kz2-kz1-z = 0
Umgeformt
(I) x = x1+k(x2-x1)
(II) y = y1+k(y2-y1)
(III) z = z1+k(z2-z1)
Das sind drei Gleichungen mit den vier Variablen x, y, z und k.
Der Parameter k wird eliminiert.
Aus (I) und (II) folgt
k=(x-x1)/(x2-x1) und k=(y-y1)/(y2-y1)
Daraus folgt
(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1)
oder (x-x1)(y2-y1) = (x2-x1)(y-y1)
oder (y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1
=
0 |
Aus (I) und (III) folgt
k=(x-x1)/(x2-x1) und k=(z-z1)/(z2-z1)
Daraus folgt
(x-x1)/(x2-x1) = (z-z1)/(z2-z1)
oder (x-x1)(z2-z1) = (x2-x1)(z-z1)
oder (z2-z1)x-(x2-x1)z-x1z2+x2z1
= 0 |
Ergebnis:
Die beiden Koordinatengleichungen (y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1
=
0 /\ (z2-z1)x-(x2-x1)z-x1z2+x2z1
= 0 beschreiben eine Gerade im Raum.
Man könnte auch die Gleichung (z2-z1)y-(y2-y1)z-y1z2+y2z1
= 0 an Stelle einer Gleichung nehmen. Sie ergibt sich aus (II) und (III).
Geometrische Deutung
Die Gleichung (y2-y1)x-(x2-x1)y-x1y2+x2y1
=
0 stellt eine Ebene im Raum dar. Da die Variable z fehlt, ist die z-Achse
parallel zur Ebene.
Die Gleichung (z2-z1)x-(x2-x1)z-x1z2+x2z1
= 0 stellt eine Ebene im Raum dar. Da die Variable y fehlt, ist die y-Achse
parallel zur Ebene.
Die Gleichung (z2-z1)y-(y2-y1)z-y1z2+y2z1
= 0 stellt eine Ebene im Raum dar. Da die Variable x fehlt, ist die
x-Achse parallel zur Ebene.
Die Gerade ist die Schnittgerade zweier dieser Ebenen.
Die Gerade kann die Schnittgerade vieler
Ebenen sein.
Jedoch sind zwei dieser hier angegebenen Gleichungen der besonderen
Ebenen eine Standarddarstellung einer Geraden im Raum.
In einer anderen Deutung sieht man die
drei Geraden auch als senkrechte Parallelprojektion der gegebenen Geraden
in die drei Hauptebenen.
Beispiel
... ... |
Gegeben sind ein Würfel der Kantenlänge
4 und auf ihm zwei Punkte. Das sind der Mittelpunkt A der Deckfläche
mit der Darstellung A(2|2|4) und ein gegenüberliegender
Eckpunkt B mit B(4|4|0).
Gesucht sind die Projektionen der Gerade AB auf die Hauptebenen.
Für einen beliebigen Geradenpunkt
gilt p=a+k(b-a)=(2i+2j+4k)+k(2i+2j-4k).
Das führt zu den Koordinatengleichungen
(I) x=2+2k
(II) y=2+2k
(III) z=4-4k
(I)-(II) ergibt x-y=0 oder y=x.
2(II)+(III) ergibt 2y+z=8 oder z= -2y+8.
2(I)+(III) ergibt 2x+z=8 oder z= -2x+8. |
... ...
Darstellung mit Winplot
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Ergebnis: Die Projektionsgeraden haben die Gleichungen y=x,
z= -2x+8 und z= -2x+8.
Die Zeichnung bestätigt die Rechnung.
Übersicht top
Geraden in der Ebene
Allgemeine Form
General form
Ax+By+C=0 |
Normalform
Slope–intercept form
y=mx+b |
Achsenabschnittsform
Intercept form
y/a'+x/b' = 1 |
Hessesche Normalform (HNF)
Hesse standard form
-A/sqrt(A²+B²)x-B/sqrt(A²+B²)y-C/sqrt(A²+B²)=0
u.a. |
Zweipunkteform
Two-point form
(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1) |
Punkt-Richtungs-Form
Point–slope form
(y-y1)/(x-x1)=m |
Polarform
Polar Form
r(t)=b/[sin(t)-m*cos(t)] |
Vektorgleichung
vector equation of a line
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Geraden im Raum
| Parameterdarstellung in Zweipunkteform und Parameterdarstellung in
Punktrichtungsform
|
Zwei Koordinatengleichungen
Ax+By+Cz+D=0 /\ A'x+B'y+C'z+D'=0 |
Geradengleichung im Internet
top
Deutsch
André Mössner
Geradengleichungen
Anna Heynkes
Geradengleichungen
(.pdf Datei)
Arndt Brünner
Gerade
durch zwei Punkte finden
Sarah Zigman, Jens Hillringhaus [Mathe(Pisma)]
Geradengleichungen
Walter Fendt
Vektorgleichung
einer Geraden im dreidimensionalen Raum
Wikipedia
Gerade, Geradengleichung,
Strecke
(Geometrie),
Parameterdarstellung,
Hessesche
Normalform, Vektor,
Hilberts
Axiomensystem der euklidischen Geometrie
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Line, Line
Segment, Point-Line
Distance 3-Dimensional
Jenny Olive
Finding the
vector equation of a line
Richard Parris
peanut Software (Programm
WINPLOT, Freeware)
Wikipedia
Line (geometry),
Linear
equation,
Line
segment,
Hesse
normal form, Euclidean
vector
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URL meiner
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©
2009 Jürgen Köller
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