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Was ist ein Gleichdick?
Wie der Name sagt, ist das Gleichdick eine Figur, die für jede
Richtung gleich dick ist.
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Bewegt man zwei Parallelen auf eine Figur zu bis zur Berührung,
so ist der Abstand der Parallelen die Dicke der Figur in der betreffenden
Richtung.
Wenn die Dicke der Figur für alle Richtungen gleich ist, heißt
die Figur ein Gleichdick (rechts angedeutet).
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Man kann das Gleichdick auch so beschreiben:
Hält man das Parallelenpaar, das das Gleichdick berührt,
fest und dreht das Gleichdick, so berührt es die Parallelen in jeder
Lage.
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Greift man zwei zueinander senkrecht verlaufende Parallelenpaare heraus,
so bilden sie ein Quadrat.
Das bedeutet, dass zu einem Gleichdick ein Quadrat gehört, in
dem das Gleichdick in jeder Lage die Seiten berührt. |
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Bogendreieck top
Das Standard-Gleichdick ist das Kreisbogendreieck oder Reuleaux-Dreieck.
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Die Figur besteht aus einem gleichseitigen Dreieck mit drei auf die
Seiten gesetzten Kreisabschnitten.
Man erhält die Kreisbögen, wenn man um jeden Dreieckseckpunkt
einen Kreisbogen mit dem Radius der Dreiecksseite zeichnet. |
Das Bogendreieck ist ein Gleichdick aus folgendem Grund:
Ein Parallelenpaar besteht aus einer Tangente und aus einer Parallelen
durch einen Eckpunkt. Diese beiden Geraden haben immer den gleichen Abstand.
Größen
des Bogendreiecks
...... ......
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Das Bogendreieck wird i.a. durch die Seitenlänge a des erzeugenden
Dreiecks gegeben.
Diese Größe ist gleichzeitig der Radius der Kreisbögen
und die Dicke des Gleichdicks. |
Umfang
Er setzt sich aus drei 60°-Bögen zusammen. U=3*[(1/6)(2*pi*a)]=pi*a.
Flächeninhalt
Die Figur setzt sich aus einem gleichseitigen Dreieck und drei Kreisabschnitten
zusammen.
A=[(1/4)sqrt(3)a²]+3*[(1/6)pi*a²/6-(1/4)sqrt(3)*a²]=[pi-(1/2)sqrt(3)]a².
Das ist gerundet 0,705a².
Winkel an einer Ecke
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Eine Dreieckseite steht senkrecht auf einer Tangente. - Der Innenwinkel
des Dreiecks ist 60°.
Also ist der Winkel zwischen der Seite und der Tangente 90°-60°=30°.
Die Winkel zwischen den Tangenten ist also 30°+60°+30°=120°. |
Bogendreieck im Quadrat
Oben wurde bereits gezeigt, dass sich das Bogendreieck in einem Quadrat
bewegen kann.
Zwei Beobachtungen bei der Bewegung sind bemerkenswert.
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>Der Mittelpunkt des Gleichdicks bewegt sich auf einer geschlossenen
Linie. Diese Schlaufe besteht aus vier Teilabschnitten von Ellipsen, deren
Mittelpunkt in den Eckpunkten des Quadrates liegen.
>Das Bogendreieck berührt die Seiten des Quadrats, spart aber
einen Bereich in den Ecken aus. Die Bögen in den Ecken sind auch Abschnitte
von Ellipsen. |
Auf der Seite von Eric E. Weissteins MathWorld "Reuleaux Triangle", URL
unten, findet man dazu Zeichnungen und Formeln.
Weitere Beispiele
von Gleichdicken top
1
Ein triviales Gleichdick ist der Kreis.
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Die nebenstehende Zeichnung zeigt zweimal eine Tangente mit ihrem Berührradius.
Der Radius steht senkrecht auf der Tangente. |
2
So wie das gleichseitige Dreieck kann man auch das regelmäßige
Fünfeck mit Kreisbögen versehen.
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Man greift ein gleichschenkliges Dreieck heraus, dessen Spitze in einem
Eckpunkt und dessen Grundseite eine Fünfeckseite ist. Dieses Dreieck
erhält einen Kreisbogen.
Das wiederholt man für alle Ecken bzw. Seiten des Fünfecks. |
Dieses Verfahren kann man auf regelmäßige Vielecke mit einer
ungeraden Anzahl von Ecken übertragen.
Diese Vielecke heißen Reuleaux-Polygone.
3
Die Vielecke müssen nicht regelmäßig sein. Hier ist
eine Zeichenvorschrift für ein Fünfeck.
1 Zeichne einen passenden Kreisausschnitt ABC.
2 Zeichne einen Kreis um C durch B und lege D beliebig fest.
3 Zeichne einen Kreis D durch C.
4 Zeichne einen Kreis um A durch B und nenne den Schnittpunkt mit dem
Kreis um D Punkt E.
5 Zeichne einen Kreis um E durch A und D.
Die fünf Punkte bilden ein sich selbst überschlagendes, gleichseitiges
Fünfeck (1).
4
Man kann das Bogendreieck zu einem Gleichdick ohne Ecken weiterentwickeln.
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Man geht vom Bogendreieck aus und vergrößert die Kreisabschnitte,
indem man einen größeren Radius wählt. Damit wird der Abstand
des Parallelenpaars größer, die Richtung bleibt aber erhalten.
Füllt man die Lücken mit Kreisausschnitten, so bleibt es
auch hier bei einem konstanten Abstand der Parallelen.
Das "aufgeblähte" Bogendreieck ist also auch ein Gleichdick. |
5
Das Verfahren unter 4 kann man auch auf
das Fünfeck unter 3 anwenden.
Sätze über Gleichdicke
top
In diesem Kapitel werden aus dem Buch von Rademacher/Toeplitz (1) allgemeine
Aussagen zum Gleichdick zusammengestellt. Die Beweise fehlen hier. Sie
sind zum Teil sehr anspruchsvoll und können nicht mit ein paar Zeilen
abgetan werden.
1
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Die Dicke einer Figur ist nicht unbedingt der Abstand zweier Parallelen,
die die Figur berühren. Die linke Figur spricht dagegen. Rademacher-Toeplitz
führen deshalb die Stützgeraden ein, die man als Grenzgeraden
von parallelen Projektionsstrahlen erhält.
Die Dicke ist dann der Abstand der Stützgeraden. |
Die Stützgerade wird bei de.wikipedia erwähnt.
2
Es gibt beliebig viele Gleichdicke. Das zeigen die Beispiele oben.
3
Alle Gleichdicke sind konvex.
4
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Oben wurde gezeigt, dass das Bogendreieck einen Flächeninhalt
von A=0,705a² (gerundet) hat.
Im Vergleich ist der Flächeninhalt des Kreises gleicher Dicke
A'=pi*a²/4.
Das ist gerundet 0,785a².
Der Flächeninhalt des Kreises ist größer. |
Das gilt allgemeiner: Jedes Gleichdick hat einen kleineren Flächeninhalt
als der Kreis gleicher Dicke.
5
Oben wurde gezeigt, dass der Winkel an einer Ecke des Bogendreiecks
120° beträgt. Das ist ein Grenzwert.
Es gilt nämlich der Satz: Jeder Winkel an der Ecke eines Gleichdicks
ist mindestens 120° groß.
6
Der Umfang des Bogendreiecks ist U=pi*a.
Der Umfang des Kreises gleicher Dicke ist U'=2*pi*(a/2)=pi*a.
Die Umfänge sind also gleich.
Das kann zu dem folgenden erstaunlichen Satz verallgemeinert werden.
Jedes Gleichdick hat den gleichen Umfang wie der Kreis gleicher Dicke.
7
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Die auf dieser Seite aufgeführten Gleichdicke werden von Kreisbögen
begrenzt.
In (1) gibt es einen Satz zur Existenz von beliebigen Gleichdicken.
Gegeben ist ein konvexer Kurvenabschnitt mit der Sehnenlänge a
und zwei Stützgeraden in den Eckpunkten. Dann ist es immer möglich,
die Figur zu einem Gleichdick mit der Dicke a zu ergänzen. |
Gleichdick als Rad top
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Wenn man schwere Lasten in der Horizontalen weiterbewegen will, benutzt
man Walzen.
Man kann sie ohne weiteres durch Gleichdicke ersetzen. Das wird zum
Beispiel in der Phänomenta in Lüdenscheid demonstriert (gesehen
im Juni 2006). |
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Anders ist es bei achsenfesten Rädern.
Ersetzt man die Kreise durch Bogendreiecke als Querschnitt, so bewegt
sich die Last während des Rollens auf und ab.
Man kann die Achse und damit die Last in gleicher Höhe halten,
wenn man für einen passenden Untergrund sorgt. |
Dazu gibt es im Deutschen Museum im Mathematischen
Kabinett ein schönes Experiment (gesehen 2003). Das "Rad" ist
ein Quadrat und der passende Untergrund wird aus Kettenlinien mit f(x)=(ex+e-x)/2
gebildet (2).
Anwendungen top
Das Gleichdick als Rad ist eine Spielerei. Jedoch gibt es eine Reihe
sinnvoller Anwendungen, die man zum Beispiel bei Wundersamessammelsurium
(URL unten) finden kann.
... ...
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Ich greife ein Beispiel heraus.
Auf mich machen das englische 50- und das 20-Pence-Stück Eindruck.
Die Münze hat die Form eines siebeneckigen Reuleaux-Polygons (mit
runden Ecken).
>Die Münze passt genau wie eine runde Münze in jeder Lage
in den Schlitz eines Automaten.
>Der Materialverbrauch ist geringer als bei einer gleich großen,
kreisförmigen Münze.
>Die Münze ist auffällig und Blinde können sie leicht
ertasten.
>Die Münze hat eine schöne und originelle Form. |
Kakeya Problem top
Der Durchmesser des Kreises ganz links kann im Kreis um 360° frei
gedreht werden.
Man kann in jedem Gleichdick eine Strecke in dieser Weise drehen.
S.Kakeya warf 1917 die Frage auf, ob es eine Figur gibt, in der man eine
Strecke auch frei drehen kann (Translation auch erlaubt), die aber einen
möglichst kleinen Flächeninhalt hat.
S.Kakeya glaubte, in einer speziellen Hypozykloide, dem Deltoid mit
x=2sin(t)-sin(2t) /\ y=2cos(t)+cos(2t), die Lösung seines Problems
gefunden zu haben.
Während der nächsten zehn Jahre wurde das Problem von vielen
erstklassigen Mathematikern ohne Erfolg in Angriff genommen. Eine unerwartete
Lösung veröffentlichte A.S.Besicowitsch 1928. Es gibt keine kleinste
Fläche (3, Seite 91 ff.).
Gleichdicke im Internet top
Deutsch
André Mössner
Reuleaux-Dreieck
in Fahrt
Randolf Rehfeld (Wundersamessammelsurium)
Gleichdick
Wikipedia
Franz Reuleaux,
Gleichdick, Reuleaux-Dreieck
Englisch
Alexander Bogomolny
Shapes
of constant width
California State University, Los Angeles - National Curve Bank
Curves of
Constant Width and Reuleaux Polygons
Daina Taimina & David W. Henderson
Reuleaux Triangle
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Curve
of Constant Width, Delta
Curve, Kakeya
Needle Problem, Reuleaux
Polygon, Reuleaux
Tetrahedron
Reuleaux
Triangle
Ivars Peterson (Ivars Peterson's MathLand)
Rolling with
Reuleaux
Paul Kunkel
Reuleaux Triangle
Scott Smith
Drilling Square
Holes (The Mathematics Teacher, October 1993)
Wikipedia
Curve
of constant width, Franz
Reuleaux, Reuleaux
triangle, Kakeya
set
Referenzen top
(1) Rademacher-Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin,
Heidelberg, New York1968 (Nachdruck von 1930)
(2) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München
(ISBN 3-924-18349-X]
(3) C.Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie, Braunschweig, Wiesbaden
1976 [ISBN 3 528 08314 x]
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©
2005 Jürgen Köller
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