Gleichdick
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Gleichdick?
Bogendreieck
Weitere Beispiele von Gleichdicken
Sätze über Gleichdicke
Gleichdick als Rad
Anwendungen
Kakeya Problem
Gleichdicke im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein Gleichdick?
Wie der Name sagt, ist das Gleichdick eine Figur, die für jede Richtung gleich dick ist.
...... Bewegt man zwei Parallelen auf eine Figur zu bis zur Berührung, so ist der Abstand der Parallelen die Dicke der Figur in der betreffenden Richtung.

Wenn die Dicke der Figur für alle Richtungen gleich ist, heißt die Figur ein Gleichdick (rechts angedeutet).
 

......
Man kann das Gleichdick auch so beschreiben:
Hält man das Parallelenpaar, das das Gleichdick berührt, fest und dreht das Gleichdick, so berührt es die Parallelen in jeder Lage.


...... Greift man zwei zueinander senkrecht verlaufende Parallelenpaare heraus, so bilden sie ein Quadrat.
Das bedeutet, dass zu einem Gleichdick ein Quadrat gehört, in dem das Gleichdick in  jeder Lage die Seiten berührt.
......

Bogendreieck   top
Das Standard-Gleichdick ist das Kreisbogendreieck oder Reuleaux-Dreieck.
...... Die Figur besteht aus einem gleichseitigen Dreieck mit drei auf die Seiten gesetzten Kreisabschnitten.
Man erhält die Kreisbögen, wenn man um jeden Dreieckseckpunkt einen Kreisbogen mit dem Radius der Dreiecksseite zeichnet. 
Das Bogendreieck ist ein Gleichdick aus folgendem Grund:
Ein Parallelenpaar besteht aus einer Tangente und aus einer Parallelen durch einen Eckpunkt. Diese beiden Geraden haben immer den gleichen Abstand.


Größen des Bogendreiecks
............
Das Bogendreieck wird i.a. durch die Seitenlänge a des erzeugenden Dreiecks gegeben. 

Diese Größe ist gleichzeitig der Radius der Kreisbögen und die Dicke des Gleichdicks.


Umfang
Er setzt sich aus drei 60°-Bögen zusammen. U=3*[(1/6)(2*pi*a)]=pi*a. 

Flächeninhalt
Die Figur setzt sich aus einem gleichseitigen Dreieck und drei Kreisabschnitten zusammen. 
A=[(1/4)sqrt(3)a²]+3*[(1/6)pi*a²/6-(1/4)sqrt(3)*a²]=[pi-(1/2)sqrt(3)]a². Das ist gerundet 0,705a².

Winkel an einer Ecke
......
Eine Dreieckseite steht senkrecht auf einer Tangente. - Der Innenwinkel des Dreiecks ist 60°. 
Also ist der Winkel zwischen der Seite und der Tangente 90°-60°=30°.

Die Winkel zwischen den Tangenten ist also 30°+60°+30°=120°. 


Bogendreieck im Quadrat
Oben wurde bereits gezeigt, dass sich das Bogendreieck in einem Quadrat bewegen kann.
Zwei Beobachtungen bei der Bewegung sind bemerkenswert. 
.. ...... >Der Mittelpunkt des Gleichdicks bewegt sich auf einer geschlossenen Linie. Diese Schlaufe besteht aus vier Teilabschnitten von Ellipsen, deren Mittelpunkt in den Eckpunkten des Quadrates liegen.
>Das Bogendreieck berührt die Seiten des Quadrats, spart aber einen Bereich in den Ecken aus. Die Bögen in den Ecken sind auch Abschnitte von Ellipsen. 
Auf der Seite von Eric E. Weissteins MathWorld "Reuleaux Triangle", URL unten, findet man dazu Zeichnungen und Formeln.

Weitere Beispiele von Gleichdicken    top
1
Ein triviales Gleichdick ist der Kreis.
......
Die nebenstehende Zeichnung zeigt zweimal eine Tangente mit ihrem Berührradius. 

Der Radius steht senkrecht auf der Tangente.


2
So wie das gleichseitige Dreieck kann man auch das regelmäßige Fünfeck mit Kreisbögen versehen. 
...... Man greift ein gleichschenkliges Dreieck heraus, dessen Spitze in einem Eckpunkt und dessen Grundseite eine Fünfeckseite ist. Dieses Dreieck erhält einen Kreisbogen.
Das wiederholt man für alle Ecken bzw. Seiten des Fünfecks. 
Dieses Verfahren kann man auf regelmäßige Vielecke mit einer ungeraden Anzahl von Ecken übertragen. 
Diese Vielecke heißen Reuleaux-Polygone.

3
Die Vielecke müssen nicht regelmäßig sein. Hier ist eine Zeichenvorschrift für ein Fünfeck.
1 Zeichne einen passenden Kreisausschnitt ABC.
2 Zeichne einen Kreis um C durch B und lege D beliebig fest. 
3 Zeichne einen Kreis D durch C.
4 Zeichne einen Kreis um A durch B und nenne den Schnittpunkt mit dem Kreis um D Punkt E. 
5 Zeichne einen Kreis um E durch A und D.

Die fünf Punkte bilden ein sich selbst überschlagendes, gleichseitiges Fünfeck (1).


4
Man kann das Bogendreieck zu einem Gleichdick ohne Ecken weiterentwickeln.
...... Man geht vom Bogendreieck aus und vergrößert die Kreisabschnitte, indem man einen größeren Radius wählt. Damit wird der Abstand des Parallelenpaars größer, die Richtung bleibt aber erhalten. 
Füllt man die Lücken mit Kreisausschnitten, so bleibt es auch hier bei einem konstanten Abstand der Parallelen. 
Das "aufgeblähte" Bogendreieck ist also auch ein Gleichdick.

5
Das Verfahren unter 4 kann man auch auf das Fünfeck unter 3 anwenden.
...

Sätze über Gleichdicke top
In diesem Kapitel werden aus dem Buch von Rademacher/Toeplitz (1) allgemeine Aussagen zum Gleichdick zusammengestellt. Die Beweise fehlen hier. Sie sind zum Teil sehr anspruchsvoll und können nicht mit ein paar Zeilen abgetan werden. 
1
...... Die Dicke einer Figur ist nicht unbedingt der Abstand zweier Parallelen, die die Figur berühren. Die linke Figur spricht dagegen. Rademacher-Toeplitz führen deshalb die Stützgeraden ein, die man als Grenzgeraden von parallelen Projektionsstrahlen erhält.
Die Dicke ist dann der Abstand der Stützgeraden. 
Die Stützgerade wird bei de.wikipedia erwähnt.


2
Es gibt beliebig viele Gleichdicke. Das zeigen die Beispiele oben.


3
Alle Gleichdicke sind konvex.

4
...... Oben wurde gezeigt, dass das Bogendreieck einen Flächeninhalt von A=0,705a² (gerundet) hat.
Im Vergleich ist der Flächeninhalt des Kreises gleicher Dicke A'=pi*a²/4. 
Das ist gerundet 0,785a².
Der Flächeninhalt des Kreises ist größer.
Das gilt allgemeiner: Jedes Gleichdick hat einen kleineren Flächeninhalt als der Kreis gleicher Dicke. 
5

Oben wurde gezeigt, dass der Winkel an einer Ecke des Bogendreiecks 120° beträgt. Das ist ein Grenzwert.
Es gilt nämlich der Satz: Jeder Winkel an der Ecke eines Gleichdicks ist mindestens 120° groß.

6
Der Umfang des Bogendreiecks ist U=pi*a.
Der Umfang des Kreises gleicher Dicke ist U'=2*pi*(a/2)=pi*a. 
Die Umfänge sind also gleich. 
Das kann zu dem folgenden erstaunlichen Satz verallgemeinert werden.
Jedes Gleichdick hat den gleichen Umfang wie der Kreis gleicher Dicke. 

7
...... Die auf dieser Seite aufgeführten Gleichdicke werden von Kreisbögen begrenzt. 

In (1) gibt es einen Satz zur Existenz von beliebigen Gleichdicken. 
Gegeben ist ein konvexer Kurvenabschnitt mit der Sehnenlänge a und zwei Stützgeraden in den Eckpunkten. Dann ist es immer möglich, die Figur zu einem Gleichdick mit der Dicke a zu ergänzen. 


Gleichdick als Rad  top
......
Wenn man schwere Lasten in der Horizontalen weiterbewegen will, benutzt man Walzen. 
Man kann sie ohne weiteres durch Gleichdicke ersetzen. Das wird zum Beispiel in der Phänomenta in Lüdenscheid demonstriert (gesehen im Juni 2006).


...... Anders ist es bei achsenfesten Rädern.
Ersetzt man die Kreise durch Bogendreiecke als Querschnitt, so bewegt sich die Last während des Rollens auf und ab.
Man kann die Achse und damit die Last in gleicher Höhe halten, wenn man für einen passenden Untergrund sorgt. 

Dazu gibt es im Deutschen Museum im Mathematischen Kabinett ein schönes Experiment (gesehen 2003). Das "Rad" ist ein Quadrat und der passende Untergrund wird aus Kettenlinien mit f(x)=(ex+e-x)/2 gebildet (2).

Anwendungen   top
Das Gleichdick als Rad ist eine Spielerei. Jedoch gibt es eine Reihe sinnvoller Anwendungen, die man zum Beispiel bei Wundersamessammelsurium (URL unten) finden kann. 
......
Ich greife ein Beispiel heraus.

Auf mich machen das englische 50- und das 20-Pence-Stück Eindruck. 
Die Münze hat die Form eines siebeneckigen Reuleaux-Polygons (mit runden Ecken).

>Die Münze passt genau wie eine runde Münze in jeder Lage in den Schlitz eines Automaten.
>Der Materialverbrauch ist geringer als bei einer gleich großen, kreisförmigen Münze. 
>Die Münze ist auffällig und Blinde können sie leicht ertasten.
>Die Münze hat eine schöne und originelle Form. 


Kakeya Problem   top
Der Durchmesser des Kreises ganz links kann im Kreis um 360° frei gedreht werden. 
Man kann in jedem Gleichdick eine Strecke in dieser Weise drehen. 

S.Kakeya warf 1917 die Frage auf, ob es eine Figur gibt, in der man eine Strecke auch frei drehen kann (Translation auch erlaubt), die aber einen möglichst kleinen Flächeninhalt hat.
S.Kakeya glaubte, in einer speziellen Hypozykloide, dem Deltoid mit x=2sin(t)-sin(2t) /\ y=2cos(t)+cos(2t), die Lösung seines Problems gefunden zu haben. 
Während der nächsten zehn Jahre wurde das Problem von vielen erstklassigen Mathematikern ohne Erfolg in Angriff genommen. Eine unerwartete Lösung veröffentlichte A.S.Besicowitsch 1928. Es gibt keine kleinste Fläche (3, Seite 91 ff.). 

Gleichdicke im Internet top

Deutsch

André Mössner
Reuleaux-Dreieck in Fahrt

Christof Weber
Gleichdick – Körper konstanter Breite

Randolf Rehfeld (Wundersamessammelsurium)
Gleichdick

Wikipedia
Franz Reuleaux, Gleichdick, Reuleaux-Dreieck


Englisch

Alexander Bogomolny
Shapes of constant width

California State University, Los Angeles - National Curve Bank 
Curves of Constant Width and Reuleaux Polygons

Daina Taimina & David W. Henderson
Reuleaux Triangle

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Curve of Constant WidthDelta CurveKakeya Needle ProblemReuleaux PolygonReuleaux Tetrahedron
Reuleaux Triangle

Paul Kunkel 
Reuleaux Triangle

Wikipedia
Curve of constant widthFranz ReuleauxReuleaux triangleKakeya set



Referenzen   top
(1) Rademacher-Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin, Heidelberg, New York1968 (Nachdruck von 1930) 
(2) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München (ISBN 3-924-18349-X] 
(3) C.Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie, Braunschweig, Wiesbaden 1976 [ISBN 3 528 08314 x]


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2005 Jürgen Köller

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