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Was ist das Hypertetraeder?
Das Hypertetraeder ist das vierdimensionale Tetraeder.
Schrägbild top
Das vierdimensionale Tetraeder ist ein Gedankengebilde. Man kann sich
ihm durch Analogieüberlegungen nähern, man geht vom Tetraeder
zum Hypertetraeder. Legitimiert wird das Vorgehen durch das Permanenzprinzip,
das in der Mathematik häufig angewandt wird, um "vom Bekannten zum
Unbekannten" zu gelangen.
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Verbindet man die Eckpunkte eines Tetraeders (1) mit einem fünften
Punkt (2), so entsteht das Schrägbild eines Hypertetraeders (3). |
Während ein Viereck mit den beiden Diagonalen das Schrägbild
eines Tetraeders ist, stellt ein Fünfeck mit den Diagonalen das Bild
des Hypertetraeders dar.
Eigenschaften top
Das Hypertetraeder hat 5 Ecken (1 Tetraeder und der fünfte Punkt)
und 10 Kanten (1 Tetrader mit 6 Kanten und 4 Verbindungslinien zum fünften
Punkt).
Das Hypertetraeder hat 10 Dreiecke.
So wie das Tetraeder von vier Dreiecken wird das Hypertetraeder von fünf
Tetraedern gebildet.
Wer den 3-D-Blick beherrscht, sieht die fünf Tetraeder in etwas
anderer Ansicht auch räumlich.
An jeder Ecke des Hypertetraeders stoßen 4 Tetraeder, 6 Dreiecke
und 4 Kanten zusammen.
An jeder Kante des Hypertetraeders stoßen 3 Tetraeder und 3 Dreiecke
zusammen.
An jeder Fläche des Hypertetraeders stoßen 2 Tetraeder zusammen.
Projektionen top
Wenn man die Aufsicht eines Tetraeders (Zentralprojektion) (1) vorgibt
und einen fünften Punkt (rot) innerhalb (2) oder außerhalb (3)
wählt, erhält man zwei Darstellungen des Hypertetraeders.
Das Hyperteraeder 2 ist ein Dreieck mit gewissen Linien im Inneren,
das Hypertetraeder 3 ein Viereck, während oben der Umriss ein Fünfeck
ist.
Man erkennt in den Figuren 2 und 3, dass an jeder Ecke vier Kanten zusammentreffen.
Netze top
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Klappt man das Tetraeder auf, so entsteht sein Netz. Die 4 Dreiecke
haben zusammen 4*3=12 Seiten. 2*3=6 Seiten (rot) sind gebunden. Beim Zusammenbau
des Tetraeders müssen die restlichen 6 Seiten paarweise zusammengeklebt
werden.
Es gibt 2 verschiedene Netze. |
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Klappt man das Hypertetraeder auf, so entsteht als Netz ein Körper
aus 5 Tetraedern. Die fünf Tetraeder haben zusammen 5*4=20 Dreiecke.
2*4=8 Dreiecke sind gebunden. Beim Zusammenbau des Hypertetraeders müssen
die restlichen 12 Dreiecke paarweise zusammengeklebt werden. |
Formeln top
Die obigen Überlegungen erhalten durch Formeln eine sicherere
Grundlage.
"Tetraeder" mit den Dimensionen 1, 2 und 3 haben folgende Eigenschaften.
Man müsste in der nächsten Zeile die Daten des Hypertetraeders
bestimmen. Dimension=4, Ecken=5 ist klar. Wie die Folge der Kanten und
Dreiecke fortgesetzt werden muss, beschreibt das folgende Bildungsgesetz.
Setzt man in die Terme der Tabelle n=4, so erhält man für
das Hypertetraeder folgende Daten.
Für das 5-dimensionale Tetraeder ergibt sich:
Hypertetraeder im Internet
top
German
Marco Möller
Polytope
English
Eric W. Weisstein, (MathWorld)
Pentatope,
Simplex
Paul Bourke
Regular
Polytopes
NN
Pentatope,
Wikipedia
Pentatope,
Referenzen top
(1) Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik I (Seite
172), München 1977
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© 2001
Jürgen Köller
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