Kegel
Inhalt dieser Webseite
Was ist ein Kegel?
Allgemeiner Kegel
Größen
Fünf Methoden einen Kegel zu erzeugen
Kegelstumpf
Ein berühmter Restkörper
Archimedischer Satz
Größte Kegel
Kegelschnitte
Vorstellung des Spherikons
Kegel um uns
Kegel im Internet
Referenzen
.
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Was ist ein Kegel? 
...... Gegeben seien ein Kreis und eine Senkrechte zum Kreis durch den Mittelpunkt.
Verbindet man einen Punkt der Senkrechten mit jedem Punkt der Kreislinie, so entsteht ein gerader Kreiskegel. Der Punkt ("die Spitze") darf nicht der Mittelpunkt des Kreises sein. 
Der Körper heißt meist kurz Kegel, auch auf dieser Seite.


Allgemeiner Kegel    top
Wie beim geraden Zylinder erfolgt eine Verallgemeinerung in zweierlei Weise.
1
......
Die Spitze des Kegels liegt nicht senkrecht über dem Mittelpunkt des Kreises.

Dieser Kegel heißt dann schiefer Kreiskegel


2
...... Der Kreis kann auch durch eine andere ebene, geschlossene Kurve ersetzt werden. Das kann eine Ellipse oder ein anderes Flächenstück sein. 

Ist das Flächenstück ein Vieleck, so entsteht eine Pyramide. 


Größen    top
Radius, Höhe und Seitenlinie
.........
Der Kreis mit dem Radius r heißt Grundfläche.
Der Abstand der Spitze des Kegels von der Grundfläche ist die Höhe h.
Die Seitenfläche ist gekrümmt und heißt Mantel(fläche) M.
Die Seitenlinie (auch Falllinie oder Mantellinie genannt) ist s, s=sqrt(r²+h²).


Mantel
......
Die Mantelfläche ist einfach gekrümmt und kann deshalb abgewickelt werden. 

Es gilt M:(pi*s²) = (2pi*r):(2pi*s) oder M=pi*rs.


Winkel
Winkel des ausgebreiteten Mantels
Es gilt alpha:(2pi*r) = 360°:2pi*s oder alpha=(r/s)*360°.
Böschungswinkel und Öffnungswinkel
......
Die Form des Kegels kann durch das Verhältnis h:r oder durch zwei Winkel beschrieben werden, dem Böschungswinkel am Grundkreis und dem Öffnungswinkel an der Spitze. 
Es gilt tan(beta)=h/r oder cos(beta)=r/s.

Volumen und Oberfläche
......
Ist der Kegel durch den Grundkreisradius r und die Höhe h gegeben, so gilt
 
Volumen V=(1/3)pi*r²h
Oberfläche O = pi*r²+pi*rs oder O = pi*r(r+s)

......
Eine Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche kommt dem Kegel mit einem Kreis als Grundfläche beliebig nahe, wenn man die Anzahl der Ecken des Vielecks über alle Grenzen gehen lässt. 
So leitet man die Formel für das Volumen V des Kegels her.

Vergleich mit dem Zylinder
...... Ein Kegel hat also den dritten Teil des Volumens eines Zylinders bei gleicher Höhe und gleichem Grundkreis.

Vielleicht wird deshalb das Bier in Bierkrügen, der teure Sekt in Kelchen ausgeschenkt. 


Günstigster Trichter
...... In diesem Zusammenhang interessiert das Problem, wie groß der Öffnungswinkel 2phi eines Trichters gewählt werden muss, damit das Volumen möglichst groß wird.
Es gilt V=(1/3)pi*r²h. Setzt man h=s*cos(phi) und r=s*sin(phi), so heißt die Zielfunktion
V(phi)=(1/3)pi*s³[sin²(phi)cos(phi)]=(1/3)pi*s³[cos(phi)-cos³(phi)]. s ist die konstante Seitenlinie.
Dann ist V'(phi)=(1/3)pi*s³[-sin(phi)+3cos²(phi)sin(phi)]. Das führt mit V'(phi)=0 zu cos(phi)=(1/3)sqrt(3) oder phi=54,74°.
Ergebnis: Ein kegelförmiges Glas fasst bei konstanter Seitenlinie dann die größte Menge, wenn der Öffnungswinkel angenähert 109,5° beträgt.

Fünf Methoden einen Kegel zu erzeugen       top
1
......
Die erste Möglichkeit wird oben beschrieben. 

Man verbindet einen Punkt mit allen Punkten einer Kreislinie.


2
... Rotiert eine Gerade g um eine Achse a unter einem spitzen Winkel, so entsteht ein Doppelkegel. 
3
......
Rotiert ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete, so entsteht ein Kegel.

4
...... Ein Kegel kann in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Gleichung x²+y²=r²/h²(h-z)² beschrieben werden. 

Die Zeichnung wurde erstellt mit dem Freeware-Programm Winplot (URL unten).
Für die Zeichnung gilt x²+y²=(4-z)² und -4<=x, y, z<=4

Herleitung der Formel
...... Legt man in den Kegel ein räumliches Koordinatensystem und kennzeichnet einen beliebigen Punkt P(x|y|z) des Kegels, so kann man eine Figur finden (rot), auf die der zweite Strahlensatz angewendet werden kann:
h:r =(h-z):sqrt(x²+y²) oder h*sqrt(x²+y²) = r(h-z). Quadriert man beide Terme der Gleichung und ordnet diese um, ergibt sich die gesuchte Gleichung x²+y²=r²/h²(h-z)². 

5
...... Man gibt einen Kreisausschnitt vor und formt daraus einen unten offenen Kegel. 
In diesem Falle ist der Kreisausschnitt ein Halbkreis mit alpha=180°. Damit ist s=2r und h=sqrt(3)*r.

Kegelstumpf     top
...... Legt man durch einen Kegel eine Schnittebene parallel zum Grundkreis, so entsteht ein Kegelstumpf.

Er wird im Allgemeinen durch die Höhe h und die Radien r1 und r2 von Grund- und Deckkreis gegeben.

......
Volumen
Das Volumen des Kegelstumpfes ist V=(1/3)pi*h( r1 ²+ r1r2+r2²).
Zur Herleitung berechnet man die Differenz der Volumina des großen Kegels und des Ergänzungskegels oben.
V=(1/3)pi* r1²(h+y)-(1/3)pi*r2²y. 
In dieser Gleichung ersetzt man y durch  y=hr2/(r1-r2). Man erhält den Term mit Hilfe des 2.Stahlensatzes: y:r2=(h+y):r1.
Nach längerer Rechnung erhält man die gesuchte Formel. 
Das ist ein Nebenergebnis: Die Höhe des Ergänzungskegels ist also y=hr2/(r1-r2).


Eine Ersatzformel?
...
.......
Man könnte meinen, dass man das Volumen des Kegelstumpfes einfacher erhält, wenn man einen volumengleichen Zylinder betrachtet, dessen Grundkreis den mittleren Radius r'=( r1+ r2)/2 hat.
Dann ist V'=pi*[( r1+ r2)/2]²h = (1/4)pi*h(r1²+2r1r2+r2²) gegenüber V=(1/3)pi*h( r1 ²+ r1r2+r2²).
Die Terme sind nicht gleich. Es gilt V-V'=(1/12)pi*h(r1-r2)². 
Daraus folgt, dass V>V' ist und dass V=V' nur für r1=r2 gilt. Für zylindernahe Kegelstümpfe ist die einfache Formel brauchbar. 

Mantel
...... Wickelt man den Mantel des Kegelstumpfes ab, so ergibt er sich aus der Differenz der Mäntel der beiden beteiligten Kegeln:  M=pi*s1r1 -pi*s2r2
Andererseits gilt: s1:s2 =  r1:r2  und s=s1-s. Somit ist s1:(s1-s) =  r1:r2 . Daraus folgt s1=s r1/( r1-r2).
Dann ist M=pi*s r1²/( r1-r2)-pi*(s-s r1/( r1-r2)r2 und schließlich M=pi*s( r1+r2).

Ein berühmter Restkörper   top
...... Gegeben sei ein Zylinder. Radius und Höhe sind gleich. Ein Kegel mit gleichen Abmessungen wird kopfüber hineingesteckt.
Es entsteht ein Restkörper mit dem Volumen V=(2/3)pi*r²h. 
Legt man durch den Restkörper in beliebiger Höhe h' (0<h'<h) eine Schnittebene, so ist die Schnittfläche ein Kreisring. 
Der Flächeninhalt ist A1=pi*(r²-y²)=pi*(r²-h'²).


...... Legt man durch eine Halbkugel mit gleichem Grundkreis einen Schnitt in gleicher Höhe wie oben, so entsteht ein Kreis, der den gleichen Flächeninhalt hat wie der Kreisring des Restkörpers, denn es gilt A2=pi*x²=pi*(r²-h'²).
Nach dem Satz des Cavalieri haben damit beide Körper das gleiche Volumen. 
Auf diese Weise gelingt es, das Kugelvolumen zu bestimmen. 

Auch aus einem passenden Kegelstumpf kann man einen Kegel oben herausnehmen. 
......
Der Kegel hat den Radius r2 und die Höhe h.
Das Volumen ist
V=(1/3)pi*h( r1 ²+ r1r2+r2²)-(1/3)pi*hr2² = =(1/3)pi*h r1 ( r1+r2). 
Für  r1= r2=r gilt wie oben V=(2/3)pi*r²h.

Archimedischer Satz    top

VZylinder : VKugel : VKegel = 3 : 2 : 1
Aus einem Lehrbuch von 1886:

Größte Kegel    top
1 Größter Zylinder im Kegel
Zur Lösung:
Ansatz: V=pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz) oder y=h-(h/r)x
Zielfunktion: V(x)=pi*hx²-(pi*h/r)x³   ...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h


2 Größter Kegel im Kegel (Es gilt die gleiche Rechnung wie beim Zylinder im Kegel.)
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz)
Zielfunktion: 3*V(x)=pi*hx²-(pi*h/r)x³ ...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h und y:x=h:(2r)

3 Größter Kegel in der Kugel
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: x²=r²-(y-r)² (Satz des Pythagoras)
Zielfunktion: V(y)=(pi/3)(2ry²-3y³) ...
Ergebnis: y=(4/3)r und x=(2/3)sqrt(2)r und y:x=2:sqrt(2)

4 Größter Kegel in der Halbkugel
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: r²=x²+y² (Satz des Pythagoras)
Zielfunktion: V(y)=(1/3)pi*(r²-y²)y ...
Ergebnis:y=(1/3)(sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r  und y:x=1:sqrt(2)

5 Größter Kegel im Paraboloid
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: y=4-x² (Funktionsgleichung)
Zielfunktion: V(x)=(pi/3)x²(4-x²) ...
Ergebnis: x=sqrt(2) und y=2 und  y:x=2:sqrt(2)=sqrt(2):1

Die rechten Figuren könnten auch auf die Ebene bezogen werden. Dann stellt sich die Frage nach dem größten Flächeninhalt eines Rechtecks bzw. gleichschenkliger Dreiecke. 
Diese einfachen Extremwertaufgaben führen zu den neuen Lösungen in der Tabelle. 
...
3D 
2D 
1
x=2r/3, y=h/3 
x=r, y=h/2
2
x=2r/3, y=h/3 
x=r, y=h/2
3
y=(4/3)r, x=(2/3)sqrt(2)r
x=(3/2)r, y=(1/2)sqrt(3)h
4
y=(1/3)(sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r
x=y=(1/2)sqrt(2)r
5
x=sqrt(2), y=2
x=(2/3)sqrt(3), y=8/3

Kegelschnitte    top
...... Legt man durch einen Doppelkegel Schnittflächen, so entstehen vier Arten von Linien. 
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel  erreicht, erzeugt eine Hyperbel
4 Ein Schnitt parallel zu einer Seitenlinie ergibt eine Parabel

Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem.


Vorstellung des Spherikons      top

1 Lass ein Quadrat um eine Diagonale rotieren und erzeuge so einen Doppelkegel. Halbiere diesen durch eine Vertikalebene.
2 Gib die eine Hälfte vor.
3 Drehe die andere Hälfte um 90° um die rot gekennzeichnete Achse. 
4 Setze die beiden Hälften zu einem neuen Körper zusammen, dem merkwürdigen Sphericon.
5 So sieht das Spherikon aus, wenn es undurchsichtig ist. 

Informationen zu diesem "Torkler" findet man z.B. bei en.wikipedia (URL unten). 

Kegel um uns    top
Meine Auswahl:
Kuhle des Ameisenbärs
Amphore
Angespitzter Pfahl
Bleistiftspitze
Boje
Dach auf zylindrischem Turm
Dach der Kunst- und Ausstellungshalle Bonn
Eishörnchen
Fang' das Hütchen
Glaskegel unter der Reichstagskuppel in Berlin
Holzkreisel
Hut eines Zauberers
Kegel beim Straßenbau
Kegelberg
Kegelpendel
Lichtkegel
Lotkörper
Machscher Kegel
Pinndöppen*) 
Chinesisches Hütchen
Sandhaufen
Schultüte
Sektkelch
Sprachrohr
Tippi
Trichter
.


*) Pinndöppen
...... Das ist eine Art Schlagballspiel aus vergangenen Tagen.

Hier in Lippe wurde es Pinndöppen genannt, im Ruhrgebiet "Pinnchen kloppen" und in anderen Gegenden  (z.B. in Hamburg) Kibbel-Kabbel oder Kippel-Kappel.
Spielgeräte sind ein an beiden Enden angespitzes Hölzchen und ein unten leicht abgeflachter Stock. 

Mehr findet man auf der Wikipedia-Seite Kibbel-Kabbel.
 

Links zum Pindöppen
Kibbel-Kabbel, La Lippa, Lo S-cianco (Lippa)
Chinni Dandu or Gilli Danda (Video)

Kegel im Internet   top

Deutsch

Christoph Pöppe und Ian Stewart (wissenschaft-online)
Der Kegel mit dem DrehBastelbogen

mathematik-online.de
Kegel und Sektglas

Wikipedia
Kegel (Geometrie), Kegelstumpf, Kegelschnitt



Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
ConeDouble Cone, Generalized Cone

Richard Parris 
peanut Software (Programm WINPLOT) 

Wikipedia
Cone (geometry), Cone, Conical surface, Conic section, Sphericon


Referenzen    top
(1) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart 1886, Seite 124
(2) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987 


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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  Jürgen Köller 2006

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