|
Was ist ein Kegel?
... ... |
Gegeben seien ein Kreis und eine Senkrechte zum Kreis durch den Mittelpunkt.
Verbindet man einen Punkt der Senkrechten mit jedem Punkt der Kreislinie,
so entsteht ein gerader Kreiskegel. Der Punkt ("die Spitze") darf nicht
der Mittelpunkt des Kreises sein.
Der Körper heißt meist kurz Kegel, auch auf dieser Seite. |
Allgemeiner Kegel
top
Wie beim geraden Zylinder erfolgt eine Verallgemeinerung in zweierlei
Weise.
1
... ...
|
Die Spitze des Kegels liegt nicht senkrecht über dem Mittelpunkt
des Kreises.
Dieser Kegel heißt dann schiefer Kreiskegel
 |
2
... ... |
Der Kreis kann auch durch eine andere ebene, geschlossene Kurve ersetzt
werden. Das kann eine Ellipse oder ein anderes Flächenstück sein.
Ist das Flächenstück ein Vieleck, so entsteht eine Pyramide. |
Größen top
Radius, Höhe und Seitenlinie
... ......
|
Der Kreis mit dem Radius r heißt Grundfläche.
Der Abstand der Spitze des Kegels von der Grundfläche ist die
Höhe h.
Die Seitenfläche ist gekrümmt und heißt Mantel(fläche)
M.
Die Seitenlinie (auch Falllinie oder Mantellinie genannt) ist s, s=sqrt(r²+h²).
|
Mantel
... ...
|
Die Mantelfläche ist einfach gekrümmt und kann deshalb abgewickelt
werden.
Es gilt M:(pi*s²) = (2pi*r):(2pi*s) oder M=pi*rs.
|
Winkel
Winkel des ausgebreiteten Mantels
|
|
Es gilt alpha:(2pi*r) = 360°:2pi*s oder alpha=(r/s)*360°.
|
Böschungswinkel und Öffnungswinkel
... ...
|
Die Form des Kegels kann durch das Verhältnis h:r oder
durch zwei Winkel beschrieben werden, dem Böschungswinkel am Grundkreis
und dem Öffnungswinkel an der Spitze.
Es gilt tan(beta)=h/r oder cos(beta)=r/s. |
Volumen und Oberfläche
|
......
|
Ist der Kegel durch den Grundkreisradius r und die Höhe h gegeben,
so gilt
|
Volumen V=(1/3)pi*r²h
|
Oberfläche O = pi*r²+pi*rs oder O = pi*r(r+s).
|
|
.. ....
|
Eine Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche
kommt dem Kegel mit einem Kreis als Grundfläche beliebig nahe, wenn
man die Anzahl der Ecken des Vielecks über alle Grenzen gehen lässt.
So leitet man die Formel für das Volumen V des Kegels her. |
Vergleich mit dem
Zylinder
... ... |
Ein Kegel hat also den dritten Teil des Volumens eines Zylinders bei
gleicher Höhe und gleichem Grundkreis.
Vielleicht wird deshalb das Bier in Bierkrügen, der teure Sekt
in Kelchen ausgeschenkt.
|
Günstigster
Trichter
... ... |
In diesem Zusammenhang interessiert das Problem, wie groß der
Öffnungswinkel 2phi eines Trichters gewählt werden muss, damit
das Volumen möglichst groß wird.
Es gilt V=(1/3)pi*r²h. Setzt man h=s*cos(phi) und r=s*sin(phi),
so heißt die Zielfunktion
V(phi)=(1/3)pi*s³[sin²(phi)cos(phi)]=(1/3)pi*s³[cos(phi)-cos³(phi)].
s ist die konstante Seitenlinie. |
Dann ist V'(phi)=(1/3)pi*s³[-sin(phi)+3cos²(phi)sin(phi)]. Das
führt mit V'(phi)=0 zu cos(phi)=(1/3)sqrt(3) oder phi=54,74°.
Ergebnis: Ein kegelförmiges Glas fasst bei konstanter Seitenlinie
dann die größte Menge, wenn der Öffnungswinkel angenähert
109,5° beträgt.
Fünf Methoden
einen Kegel zu erzeugen top
1
|
......
|
Die erste Möglichkeit wird oben beschrieben.
Man verbindet einen Punkt mit allen Punkten einer Kreislinie. |
2
... |
Rotiert eine Gerade g um eine Achse a unter einem spitzen Winkel, so
entsteht ein Doppelkegel. |
|
3
... ...
|
Rotiert ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete, so entsteht ein
Kegel. |
|
4
... ... |
Ein Kegel kann in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Gleichung
x²+y²=r²/h²(h-z)² beschrieben werden.
Die Zeichnung wurde erstellt mit dem Freeware-Programm Winplot (URL
unten).
Für die Zeichnung gilt x²+y²=(4-z)² und -4<=x,
y, z<=4 |
Herleitung der Formel
... ... |
Legt man in den Kegel ein räumliches Koordinatensystem und kennzeichnet
einen beliebigen Punkt P(x|y|z) des Kegels, so kann man eine Figur finden
(rot), auf die der zweite Strahlensatz angewendet werden kann:
h:r =(h-z):sqrt(x²+y²) oder h*sqrt(x²+y²)
= r(h-z). Quadriert man beide Terme der Gleichung und ordnet diese um,
ergibt sich die gesuchte Gleichung x²+y²=r²/h²(h-z)². |
5
... ... |
Man gibt einen Kreisausschnitt vor und formt daraus einen unten offenen
Kegel.
In diesem Falle ist der Kreisausschnitt ein Halbkreis mit alpha=180°.
Damit ist s=2r und h=sqrt(3)*r.
|
Kegelstumpf
top
... ... |
Legt man durch einen Kegel eine Schnittebene parallel zum Grundkreis,
so entsteht ein Kegelstumpf.
Er wird im Allgemeinen durch die Höhe h und die Radien r1
und
r2 von Grund- und Deckkreis gegeben. |
... ... |
Volumen
Das Volumen des Kegelstumpfes ist V=(1/3)pi*h(
r1 ²+ r1r2+r2²).
Zur Herleitung berechnet man die Differenz der
Volumina des großen Kegels und des Ergänzungskegels oben.
V=(1/3)pi* r1²(h+y)-(1/3)pi*r2²y.
In dieser Gleichung ersetzt man y durch
y=hr2/(r1-r2).
Man erhält den Term mit Hilfe des 2.Stahlensatzes: y:r2=(h+y):r1.
Nach längerer Rechnung erhält man die
gesuchte Formel.
Das ist ein Nebenergebnis: Die Höhe des
Ergänzungskegels ist also y=hr2/(r1-r2).
Eine Ersatzformel?
...
... ....
|
Man könnte meinen, dass man das Volumen des Kegelstumpfes einfacher
erhält, wenn man einen volumengleichen Zylinder betrachtet, dessen
Grundkreis den mittleren Radius r'=( r1+ r2)/2 hat.
Dann ist V'=pi*[( r1+ r2)/2]²h = (1/4)pi*h(r1²+2r1r2+r2²)
gegenüber
V=(1/3)pi*h( r1 ²+
r1r2+r2²). |
Die Terme sind nicht gleich. Es gilt V-V'=(1/12)pi*h(r1-r2)².
Daraus folgt, dass V>V' ist und dass V=V' nur für r1=r2
gilt. Für zylindernahe Kegelstümpfe ist die einfache Formel brauchbar.
Mantel
... ... |
Wickelt man den Mantel des Kegelstumpfes ab, so ergibt er sich aus
der Differenz der Mäntel der beiden beteiligten Kegeln: M=pi*s1r1
-pi*s2r2
.
Andererseits gilt: s1:s2 = r1:r2
und s=s1-s. Somit ist s1:(s1-s)
= r1:r2 . Daraus folgt s1=s
r1/( r1-r2).
Dann ist M=pi*s r1²/( r1-r2)-pi*(s-s
r1/( r1-r2)r2 und schließlich
M=pi*s(
r1+r2). |
Ein berühmter Restkörper
top
... ... |
Gegeben sei ein Zylinder. Radius und Höhe sind gleich. Ein Kegel
mit gleichen Abmessungen wird kopfüber hineingesteckt.
Es entsteht ein Restkörper mit dem Volumen V=(2/3)pi*r²h. |
Legt man durch den Restkörper in beliebiger Höhe h' (0<h'<h)
eine Schnittebene, so ist die Schnittfläche ein Kreisring.
Der Flächeninhalt ist A1=pi*(r²-y²)=pi*(r²-h'²).
.. .... |
Legt man durch eine Halbkugel mit gleichem Grundkreis einen Schnitt
in gleicher Höhe wie oben, so entsteht ein Kreis, der den gleichen
Flächeninhalt hat wie der Kreisring des Restkörpers, denn es
gilt A2=pi*x²=pi*(r²-h'²). |
Nach dem Satz des Cavalieri haben damit beide Körper das gleiche Volumen.
Auf diese Weise gelingt es, das Kugelvolumen zu bestimmen.
Auch aus einem passenden Kegelstumpf kann
man einen Kegel oben herausnehmen.
... ...
|
Der Kegel hat den Radius r2 und die
Höhe h.
Das Volumen ist
V=(1/3)pi*h( r1 ²+
r1r2+r2²)-(1/3)pi*hr2²
= =(1/3)pi*h r1 ( r1+r2).
Für r1=
r2=r
gilt wie oben V=(2/3)pi*r²h.
|
Archimedischer Satz
top
VZylinder : VKugel
: VKegel
=
3 : 2 : 1
Aus einem Lehrbuch von 1886:
Größte Kegel
top
1 Größter Zylinder im Kegel
|
Zur Lösung:
Ansatz: V=pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz) oder y=h-(h/r)x
Zielfunktion: V(x)=pi*hx²-(pi*h/r)x³ ...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h
|
2 Größter
Kegel im Kegel (Es gilt die gleiche Rechnung wie beim
Zylinder im Kegel.)
|
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz)
Zielfunktion: 3*V(x)=pi*hx²-(pi*h/r)x³
...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h und y:x=h:(2r)
|
3 Größter
Kegel in der Kugel
|
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: x²=r²-(y-r)² (Satz des Pythagoras)
Zielfunktion: V(y)=(pi/3)(2ry²-3y³)
...
Ergebnis: y=(4/3)r und x=(2/3)sqrt(2)r und y:x=2:sqrt(2)
|
4 Größter
Kegel in der Halbkugel
|
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: r²=x²+y² (Satz des Pythagoras)
Zielfunktion: V(y)=(1/3)pi*(r²-y²)y
...
Ergebnis:y=(1/3)(sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r und y:x=1:sqrt(2)
|
5 Größter
Kegel im Paraboloid
|
Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: y=4-x² (Funktionsgleichung)
Zielfunktion: V(x)=(pi/3)x²(4-x²)
...
Ergebnis: x=sqrt(2) und y=2 und y:x=2:sqrt(2)=sqrt(2):1
|
Die rechten Figuren könnten auch auf
die Ebene bezogen werden. Dann stellt sich die Frage nach dem größten
Flächeninhalt eines Rechtecks bzw. gleichschenkliger Dreiecke.
Diese einfachen Extremwertaufgaben führen zu den neuen Lösungen
in der Tabelle.
...
3D
2D |
1
x=2r/3, y=h/3
x=r, y=h/2 |
2
x=2r/3, y=h/3
x=r, y=h/2 |
3
y=(4/3)r, x=(2/3)sqrt(2)r
x=(3/2)r, y=(1/2)sqrt(3)h |
4
y=(1/3)(sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r
x=y=(1/2)sqrt(2)r |
5
x=sqrt(2), y=2
x=(2/3)sqrt(3), y=8/3 |
Kegelschnitte top
... ... |
Legt man durch einen Doppelkegel Schnittflächen, so entstehen
vier Arten von Linien.
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht trifft, erzeugt
eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel erreicht, erzeugt
eine Hyperbel.
4 Ein Schnitt parallel zu einer Seitenlinie ergibt eine Parabel.
Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in einem Koordinatensystem. |
 |
Vorstellung des Spherikons
top
1 Lass ein Quadrat um eine Diagonale rotieren und erzeuge so einen Doppelkegel.
Halbiere diesen durch eine Vertikalebene.
2 Gib die eine Hälfte vor.
3 Drehe die andere Hälfte um 90° um die rot gekennzeichnete
Achse.
4 Setze die beiden Hälften zu einem neuen Körper zusammen,
dem merkwürdigen Sphericon.
5 So sieht das Spherikon aus, wenn es undurchsichtig ist.
Informationen zu diesem "Torkler" findet
man z.B. bei en.wikipedia (URL unten).
Kegel um uns
top
Meine Auswahl:
Kuhle des Ameisenbärs
Amphore
Angespitzter Pfahl
Bleistiftspitze
Boje
Dach auf zylindrischem Turm
Dach der Kunst- und Ausstellungshalle Bonn
Eishörnchen
Fang' das Hütchen |
Glaskegel unter der Reichstagskuppel in Berlin
Holzkreisel
Hut eines Zauberers
Kegel beim Straßenbau
Kegelberg
Kegelpendel
Lichtkegel
Lotkörper
Machscher Kegel |
Pinndöppen*)
Chinesisches Hütchen
Sandhaufen
Schultüte
Sektkelch
Sprachrohr
Tippi
Trichter
. |
*) Pinndöppen
... ... |
Das ist eine Art Schlagballspiel aus vergangenen Tagen.
Hier in Lippe wurde es Pinndöppen genannt, im Ruhrgebiet "Pinnchen
kloppen" und in anderen Gegenden (z.B. in Hamburg) Kibbel-Kabbel
oder Kippel-Kappel.
Spielgeräte sind ein an beiden Enden angespitzes Hölzchen
und ein unten leicht abgeflachter Stock.
Mehr findet man auf der Wikipedia-Seite Kibbel-Kabbel.
|
Links zum Pindöppen
Kibbel-Kabbel,
La
Lippa, Lo S-cianco
(Lippa)
Chinni Dandu or
Gilli Danda (Video)
Kegel im Internet top
Deutsch
Christoph Pöppe und Ian Stewart (wissenschaft-online)
Der
Kegel mit dem Dreh, Bastelbogen
mathematik-online.de
Kegel und Sektglas
Wikipedia
Kegel
(Geometrie),
Kegelstumpf,
Kegelschnitt
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Cone, Double
Cone, Generalized
Cone
Richard Parris
peanut Software (Programm
WINPLOT)
Wikipedia
Cone (geometry),
Cone,
Conical
surface,
Conic
section,
Sphericon
Referenzen top
(1) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart 1886,
Seite 124
(2) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
Jürgen Köller 2006
top |
