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Was ist ein Kegel?
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Gegeben seien ein Kreis und eine Senkrechte zum Kreis
durch den Mittelpunkt.
Verbindet man einen Punkt der Senkrechten mit jedem Punkt
der Kreislinie, so entsteht ein gerader Kreiskegel. Der Punkt ("die Spitze")
darf nicht der Mittelpunkt des Kreises sein.
Der Körper heißt meist kurz Kegel, auch auf
dieser Seite. |
Allgemeiner Kegel top
Wie beim geraden Zylinder erfolgt eine Verallgemeinerung
in zweierlei Weise.
1
... ...
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Die Spitze des Kegels liegt nicht senkrecht über
dem Mittelpunkt des Kreises.
Dieser Kegel heißt dann schiefer Kreiskegel
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2
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Der Kreis kann auch durch eine andere ebene, geschlossene
Kurve ersetzt werden. Das kann eine Ellipse oder ein anderes Flächenstück
sein.
Ist das Flächenstück ein Vieleck, so entsteht
eine Pyramide. |
Größen top
Radius, Höhe und Seitenlinie
... ......
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Der Kreis mit dem Radius r heißt Grundfläche.
Der Abstand der Spitze des Kegels von der Grundfläche
ist die Höhe h.
Die Seitenfläche ist gekrümmt und heißt
Mantel(fläche) M.
Die Seitenlinie (auch Falllinie oder Mantellinie genannt)
ist s, s=sqrt(r²+h²).
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Mantel
... ...
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Die Mantelfläche ist einfach gekrümmt und kann
deshalb abgewickelt werden.
Es gilt M:(pi*s²) = (2pi*r):(2pi*s)
oder M=pi*rs.
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Winkel
Winkel des ausgebreiteten Mantels
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Es gilt alpha:(2pi*r) = 360°:2pi*s
oder alpha=(r/s)*360°.
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Böschungswinkel und Öffnungswinkel
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Die Form des Kegels kann durch das Verhältnis h:r
oder durch zwei Winkel beschrieben werden, dem Böschungswinkel am
Grundkreis und dem Öffnungswinkel an der Spitze.
Es gilt tan(beta)=h/r oder cos(beta)=r/s. |
Volumen
und Oberfläche
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......
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Ist der Kegel durch den Grundkreisradius r und die Höhe
h gegeben, so gilt
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Volumen V=(1/3)pi*r²h
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Oberfläche O = pi*r²+pi*rs oder O =
pi*r(r+s).
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.. ....
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Eine Pyramide mit einem regelmäßigen Vieleck
als Grundfläche kommt dem Kegel mit einem Kreis als Grundfläche
beliebig nahe, wenn man die Anzahl der Ecken des Vielecks über alle
Grenzen gehen lässt.
So leitet man die Formel für das Volumen V des Kegels
her. |
Vergleich
mit dem Zylinder
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Ein Kegel hat also den dritten Teil des Volumens eines
Zylinders bei gleicher Höhe und gleichem Grundkreis.
Vielleicht wird deshalb das Bier in Bierkrügen, der
teure Sekt in Kelchen ausgeschenkt.
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Günstigster
Trichter
Dann ist V'(phi)=(1/3)pi*s³[-sin(phi)+3cos²(phi)sin(phi)].
Das führt mit V'(phi)=0 zu cos(phi)=(1/3)sqrt(3) oder phi=54,74°.
Richtig müßte es heißen:
Das führt mit V'(phi)=0 zu cos(phi)=sqrt(1/3). Oder habe ich etwas
übersehen?
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In diesem Zusammenhang interessiert das Problem, wie
groß der Öffnungswinkel 2phi eines Trichters gewählt werden
muss, damit das Volumen möglichst groß wird.
Es gilt V=(1/3)pi*r²h. Setzt man h=s*cos(phi) und
r=s*sin(phi), so heißt die Zielfunktion
V(phi)=(1/3)pi*s³[sin²(phi)cos(phi)]=(1/3)pi*s³[cos(phi)-cos³(phi)].
s ist die konstante Seitenlinie. |
Dann ist V'(phi)=(1/3)pi*s³[-sin(phi)+3cos²(phi)sin(phi)].
Das führt mit V'(phi)=0 zu cos(phi)=(1/3)sqrt(3) oder phi=54,74°.
Ergebnis: Ein kegelförmiges Glas fasst bei konstanter
Seitenlinie dann die größte Menge, wenn der Öffnungswinkel
angenähert 109,5° beträgt.
Fünf
Methoden einen Kegel zu erzeugen top
1
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......
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Die erste Möglichkeit wird oben beschrieben.
Man verbindet einen Punkt mit allen Punkten einer Kreislinie. |
2
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Rotiert eine Gerade g um eine Achse a unter einem spitzen
Winkel, so entsteht ein Doppelkegel. |
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3
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Rotiert ein rechtwinkliges Dreieck um eine Kathete, so
entsteht ein Kegel. |
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4
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Ein Kegel kann in einem kartesischen Koordinatensystem
durch die Gleichung x²+y²=(r²/h²)(h-z)² beschrieben
werden.
Die Zeichnung wurde erstellt mit dem Freeware-Programm
Winplot (URL unten).
Für die Zeichnung gilt x²+y²=(4-z)²
und -4<=x, y, z<=4 |
Herleitung der Formel
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Legt man in den Kegel ein räumliches Koordinatensystem
und kennzeichnet einen beliebigen Punkt P(x|y|z) des Kegels, so kann man
eine Figur finden (rot), auf die der zweite Strahlensatz angewendet werden
kann:
h:r =(h-z):sqrt(x²+y²) oder h*sqrt(x²+y²)
= r(h-z). Quadriert man beide Terme der Gleichung und ordnet diese um,
ergibt sich die gesuchte Gleichung x²+y²=(r²/h²)(h-z)². |
5
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Man gibt einen Kreisausschnitt vor und formt daraus einen
unten offenen Kegel.
In diesem Falle ist der Kreisausschnitt ein Halbkreis
mit alpha=180°. Damit ist s=2r und h=sqrt(3)*r.
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Kegelstumpf top
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Legt man durch einen Kegel eine Schnittebene parallel
zum Grundkreis, so entsteht ein Kegelstumpf.
Er wird im Allgemeinen durch die Höhe h und die Radien
r1
und r2 von Grund- und Deckkreis gegeben. |
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Volumen
Das Volumen des Kegelstumpfes ist
V=(1/3)pi*h(
r1 ²+ r1r2+r2²).
Zur Herleitung berechnet man die
Differenz der Volumina des großen Kegels und des Ergänzungskegels
oben.
V=(1/3)pi* r1²(h+y)-(1/3)pi*r2²y.
In dieser Gleichung ersetzt man
y durch y=hr2/(r1-r2).
Man erhält den Term mit Hilfe des 2.Stahlensatzes: y:r2=(h+y):r1.
Nach längerer Rechnung erhält
man die gesuchte Formel.
Das ist ein Nebenergebnis: Die
Höhe des Ergänzungskegels ist also y=hr2/(r1-r2).
Eine Ersatzformel?
...
... ....
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Man könnte meinen, dass man das Volumen des Kegelstumpfes
einfacher erhält, wenn man einen volumengleichen Zylinder betrachtet,
dessen Grundkreis den mittleren Radius r'=( r1+ r2)/2
hat.
Dann ist V'=pi*[( r1+ r2)/2]²h
= (1/4)pi*h(r1²+2r1r2+r2²)
gegenüber
V=(1/3)pi*h( r1 ²+
r1r2+r2²). |
Die Terme sind nicht gleich. Es gilt V-V'=(1/12)pi*h(r1-r2)².
Daraus folgt, dass V>V' ist und dass V=V' nur für
r1=r2 gilt. Für zylindernahe Kegelstümpfe
ist die einfache Formel brauchbar.
Mantel
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Wickelt man den Mantel des Kegelstumpfes ab, so ergibt
er sich aus der Differenz der Mäntel der beiden beteiligten Kegeln:
M=pi*s1r1
-pi*s2r2
.
Andererseits gilt: s1:s2
= r1:r2 und s=s1-s.
Somit ist s1:(s1-s) = r1:r2
. Daraus folgt s1=s r1/( r1-r2).
Dann ist M=pi*s r1²/( r1-r2)-pi*(s-s
r1/( r1-r2)r2 und schließlich
M=pi*s(
r1+r2). |
Ein berühmter
Restkörper top
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Gegeben sei ein Zylinder. Radius und Höhe sind gleich.
Ein Kegel mit gleichen Abmessungen wird kopfüber hineingesteckt.
Es entsteht ein Restkörper mit dem Volumen V=(2/3)pi*r²h. |
Legt man durch den Restkörper in beliebiger Höhe
h' (0<h'<h) eine Schnittebene, so ist die Schnittfläche ein
Kreisring.
Der Flächeninhalt ist A1=pi*(r²-y²)=pi*(r²-h'²).
.. .... |
Legt man durch eine Halbkugel mit gleichem Grundkreis
einen Schnitt in gleicher Höhe wie oben, so entsteht ein Kreis, der
den gleichen Flächeninhalt hat wie der Kreisring des Restkörpers,
denn es gilt A2=pi*x²=pi*(r²-h'²). |
Nach dem Satz des Cavalieri haben damit beide Körper
das gleiche Volumen.
Auf diese Weise gelingt es, das Kugelvolumen zu bestimmen.
Auch aus einem passenden
Kegelstumpf kann man einen Kegel oben herausnehmen.
... ...
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Der Kegel hat den Radius r2
und die Höhe h.
Das Volumen ist
V=(1/3)pi*h( r1 ²+
r1r2+r2²)-(1/3)pi*hr2²
= =(1/3)pi*h r1 ( r1+r2).
Für r1=
r2=r
gilt wie oben V=(2/3)pi*r²h.
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Archimedischer Satz
top
VZylinder : VKugel
:
VKegel
= 3 : 2 : 1
Aus einem Lehrbuch von 1886:
Größte Kegel
top
1 Größter Zylinder im
Kegel
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Zur Lösung:
Ansatz: V=pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz) oder
y=h-(h/r)x
Zielfunktion: V(x)=pi*hx²-(pi*h/r)x³ ...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h
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2 Größter
Kegel im Kegel (Es gilt die gleiche Rechnung wie beim
Zylinder im Kegel.)
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Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz)
Zielfunktion: 3*V(x)=pi*hx²-(pi*h/r)x³
...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h und y:x=h:(2r)
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3 Größter
Kegel in der Kugel
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Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: x²=r²-(y-r)² (Satz des
Pythagoras)
Zielfunktion: V(y)=(pi/3)(2ry²-3y³)
...
Ergebnis: y=(4/3)r und x=(2/3)sqrt(2)r und y:x=2:sqrt(2)
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4 Größter
Kegel in der Halbkugel
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Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: r²=x²+y² (Satz des Pythagoras)
Zielfunktion: V(y)=(1/3)pi*(r²-y²)y
...
Ergebnis:y=(1/3)(sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r und
y:x=1:sqrt(2)
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5 Größter
Kegel im Paraboloid
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Zur Lösung:
Ansatz: V=(1/3)pi*x²y
Nebenbedingung: y=4-x² (Funktionsgleichung)
Zielfunktion: V(x)=(pi/3)x²(4-x²)
...
Ergebnis: x=sqrt(2) und y=2 und y:x=2:sqrt(2)=sqrt(2):1
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Die rechten Figuren könnten
auch auf die Ebene bezogen werden. Dann stellt sich die Frage nach dem
größten Flächeninhalt eines Rechtecks bzw. gleichschenkliger
Dreiecke.
Diese einfachen Extremwertaufgaben führen zu den
neuen Lösungen in der Tabelle.
...
3D
2D |
1
x=2r/3, y=h/3
x=r, y=h/2 |
2
x=2r/3, y=h/3
x=r, y=h/2 |
3
y=(4/3)r, x=(2/3)sqrt(2)r
x=(3/2)r, y=(1/2)sqrt(3)h |
4
y=(1/3)(sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r
x=y=(1/2)sqrt(2)r |
5
x=sqrt(2), y=2
x=(2/3)sqrt(3), y=8/3 |
Kegelschnitte top
... ... |
Legt man durch einen Doppelkegel Schnittflächen,
so entstehen vier Arten von Linien.
1 Ein Schnitt parallel zum Grundkreis führt zum
Kreis.
2 Eine Schnittebene, die den zweiten Einzelkegel nicht
trifft, erzeugt eine Ellipse.
3 Eine Schnittebene, die beide Einzelkegel erreicht,
erzeugt eine Hyperbel.
4 Ein Schnitt parallel zu einer Seitenlinie ergibt eine
Parabel.
Rechts die vier Linien in der bekannten Darstellung in
einem Koordinatensystem. |
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Vorstellung
des Spherikons top
1 Lass ein Quadrat um eine Diagonale rotieren und erzeuge
so einen Doppelkegel. Halbiere diesen durch eine Vertikalebene.
2 Gib die eine Hälfte vor.
3 Drehe die andere Hälfte um 90° um die rot
gekennzeichnete Achse.
4 Setze die beiden Hälften zu einem neuen Körper
zusammen, dem merkwürdigen Sphericon.
5 So sieht das Spherikon aus, wenn es undurchsichtig
ist.
Informationen zu diesem "Torkler"
findet man z.B. bei en.wikipedia (URL unten).
Kegel um uns top
Meine Auswahl:
Kuhle des Ameisenbärs
Amphore
Angespitzter Pfahl
Bleistiftspitze
Boje
Dach auf zylindrischem Turm
Dach der Kunst- und Ausstellungshalle Bonn
Eishörnchen
Fang' das Hütchen |
Glaskegel unter der Reichstagskuppel in Berlin
Holzkreisel
Hut eines Zauberers
Kegel beim Straßenbau
Kegelberg
Kegelpendel
Lichtkegel
Lotkörper
Machscher Kegel |
Pinndöppen*)
Chinesisches Hütchen
Sandhaufen
Schultüte
Sektkelch
Sprachrohr
Tippi
Trichter
. |
*) Pinndöppen
Kegel im Internet top
Deutsch
mathematik-online.de
Kegel
und Sektglas
Wikipedia
Kegel
(Geometrie),
Kegelstumpf,
Kegelschnitt,
Konoid
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Cone,
Double
Cone,
Generalized
Cone
Richard Parris (Freeware-Programm WINPLOT)
Die offizielle Webseite ist geschlossen. Download des
deutschen Programms z.B. bei heise
Wikipedia
Cone
(geometry),
Cone,
Conical
surface,
Conic
section,
Sphericon
Referenzen top
(1) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart
1886, Seite 124
(2) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik,
Leipzig 1987
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
https://www.mathematische-basteleien.de/
©
Jürgen Köller 2006
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