Was ist eine Kettenlinie?

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Die Kettenlinie (Katenoide) ist der Graph der Funktion f(x)=cosh(x) oder f(x)=(1/2)(ex+e-x). Man spricht cosh als Cosinus Hyperbolicus. Der Name Kettenlinie rührt daher, dass eine Kette diese Form annimmt, wenn man sie an zwei Punkten aufhängt. Cosh wird weiter unten erklärt.

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Graphische Addition  top

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Zeichnet man die Graphen der Exponentialfunktionen f1(x)=(1/2)ex und f2(x)=(1/2)e-x und addiert die y-Werte punktweise, so erhält man den Graphen der Funktion f(x)=f1(x)+f2(x)=cosh(x).  Das ist ein einfacher Weg, um sich ein Bild von der Funktion zu machen.

Zur Herleitung der Formel    top
Über eine Kräftebetrachtung leitet man die Differentialgleichung ay''=sqrt(1+y'²) her, wie z.B. auf der Webseite von René Grothmann (URL unten) dargestellt. 
Sie ist eine Bestimmungsgleichung für die gesuchte Funktionsgleichung der Kettenlinie.
Sie wird gelöst von y=a cosh(x/a+c₁)+c₂, im wesentlichen von y=a cosh(x/a), wie ein Einsetzen in die Differentialgleichung zeigt.
Für y=a cosh(x/a) oder y=(a/2)(e^x/a+e^-x/a) gilt y'=(1/2)(e^x/a-e^-x/a) und y''=[1/(2a)](e^x/a+e^-x/a).
Dann ist 1+y'²=1+ (1/2)²(e^x/a-e^-x/a)²=1+ (1/4)[(e^x/a))²-2(e^x/a)e^-x/a))+(e^-x/a))²]=1+(1/4)(e^x/a))²-(1/2)+(1/4)(e^-x/a))²
=(1/4)[(e^x/a))²+2(e^x/a)e^-x/a))+(e^-x/a))²]=(1/4)(e^x/a+e^-x/a)² und weiter sqrt(1+y'²)=(1/2)(e^x/a+e^-x/a)=a[1/(2a)](e^x/a+e^-x/a)=ay'', wzbw.
(Buch 2, Seite 538).

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Der Parameter a beschreibt die "Öffnung" der Kettenlinie und gibt die Entfernung des Scheitelpunktes vom Nullpunkt des Koordinatensystems an.

Ähnlichkeit der Kettenlinien top
So wie z.B. die Kreise und die Parabeln sind die Kettenlinien ähnlich. 
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie durch eine einfache Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander übergeführt werden können. Das erreicht man durch eine Maßstabänderung. 
Man wählt x=aX und y=aY. 
Dann wird  y=(1/2)a[e^(1/a)x+e^-(1/a)x] zu aY=(1/2)a[e^(1/a)aX+e^-(1/a)aX] oder Y=(1/2)[e^X+e^-X].

Aus jeder Kettenlinie mit f_a(x)=a*cosh(x/a) wird also eine Normal-Kettenlinie. 

Ableitung      top
Wegen der Grundformel (e^x)'=e^x ist cosh(x) leicht zu differenzieren und zu integrieren. 

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Es ist f(x)=cosh(x)=(1/2)(ex+e-x)=(1/2)ex+(1/2)e-x. Nach Ableitungsregeln ist dann f '(x) = (1/2)ex-(1/2)e-x = (1/2)(ex-e-x) Man fasst den Term (1/2)(ex-e-x) als Funktionsterm einer neuen Funktion auf,  dem Sinus Hyperbolicus: g(x)=sinh(x). Die rote Kurve ist ihr Graph.

Leitet man f ' noch einmal ab [f ''(x) = (1/2)(e^x+e^-x)], so ergibt sich wieder f(x)=cosh(x).
Die Stammfunktion ist F(x)=sinh(x).

Drei Berechnungen - ein Ergebnis   top
1 Steigung in Punkt P

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Oben wurde schon gezeigt, dass die Ableitung von f(x)=cosh(x) gleich f '(x)=sinh(x) ist. Die Steigung in Punkt P[x1)|cosh(x1)] ist also sinh(x1).

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Es ist y=(1/2)(ex+e-x). Dann ist y²-1=cosh²(x)-1=(1/4)(ex+e-x)2-1=(1/4)e2x+1/2+(1/4)e-2x)-1=(1/4)(ex-e-x)²=s² Die Gleichung y²-1²=s² wird links durch ein Dreieck dargestellt, indem man die Strecke des y-Wertes in den ersten Quadranten einpasst.

... SP=OA=s

SA steht senkrecht zur Tangente t

Das Rechteck OABS ist flächengleich der Fläche unter der Kurve SP

Beziehung zu den Kreisfunktionen top
Es stellt sich die Frage, warum die Kettenlinie mit cosh und die Ableitung mit sinh bezeichnet werden. 

Da muss man den Bereich der reellen Zahlen verlassen und zu komplexen Zahlen übergehen. 
Die Eulersche Identität e^ix=cos(x)+i*sin(x)  mit i=sqrt(-1) gibt eine Erklärung.
Es gilt e^ix+e^-ix=[cos(ix)+i*sin(ix)]+[cos(-ix)+i*sin(-ix)]=[cos(ix)+i*sin(ix)]-[cos(ix)-i*sin(ix)]=2*cos(ix).
Es gilt weiter e^ix-e^-ix=[cos(ix)+i*sin(ix)]-[cos(ix)-i*sin(-ix)]=2i*sin(ix).

Damit sind cosh(x)=cos(ix) und sinh(x)=-i*sin(ix).

Parabel und Kettenlinie top
Die Kettenlinie ist keine Parabel, hat aber eine Parabelform. 
Es stellt sich die Frage, welche Parabel der Kettenlinie nahe kommt.
Dazu zieht man die Reihenentwicklung von cosh(x) heran.
e^x= 1 + x/(1!) + x²/(2!) + x³/(3!) + x⁴/(4!) + ...
e^-x= 1 - x/(1!) + x²/(2!) - x³/(3!) + x⁴/(4!) - ...
=>  (1/2)(e^x+e^-x) = 1+ x²/(2!) + x⁴/(4!) + x⁶/(6!) + ...
Wenn man die Reihe nach dem zweiten Glied abbricht, erhält man die Parabelgleichung p(x) = (1/2)x²+1.

...	Bestätigung:  p(x) beschreibt die Kettenlinie in der Nähe x=0 recht genau.

Kettenlinie im Internet top

Deutsch

Arndt Brünner
Die Kettenlinie (mit Applet)

René Grothmann (Universität Eichstätt)
Die Kettenlinie

Wikipedia
Katenoide, 
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus, 
Sekans Hyperbolicus und Kosekans Hyperbolicus,  Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus, 
Kreis- und Hyperbelfunktionen, Eulersche Identität, Gateway Arch

Englisch

Mathforum
The Shape of a Catenary

Eric W. Weisstein
Catenary, Catenoid, Roulette

jan wassenaar (2dcurves)
hyperbolic cosine

Jonathan Lansey 
Catenary Demonstration Experiment

Paul Kunkel
Hanging With Galileo

Robert Osserman
Mathematics of the Gateway Arch

Ruud v Gessel
About the curve of a free hanging rope    (.pdf file)

Wikipedia
Catenary, Hyperbolic function, Inverse hyperbolic function,  List of integrals of hyperbolic functions, Euler's identity, Jefferson National Expansion Memorial

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(Eigene Zeichnung)

Mehr unter  Square wheel

Xahlee Catenary, Catenoid

Unter anderem:  "A catenary rotating around a axis forms the catenoid, which is a mimimum surface."

Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
CHAÎNETTE

Referenzen    top
(1) Georg Ulrich, Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld [ISBN 3 8044 0575 4]
(2) Autorengemeinschaft:  Analysis für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966