Kettenlinie
Inhalt dieser Webseite
Was ist eine Kettenlinie?
Graphische Addition
Zur Herleitung der Formel
Ähnlichkeit der Kettenlinien
Ableitung
Drei Berechnungen - ein Ergebnis
Beziehung zu den Kreisfunktionen
Parabel und Kettenlinie
Kettenlinie im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist eine Kettenlinie?
...... Die Kettenlinie (Katenoide) ist der Graph der Funktion f(x)=cosh(x) oder f(x)=(1/2)(ex+e-x).
Man spricht cosh als Cosinus Hyperbolicus.

Der Name Kettenlinie rührt daher, dass eine Kette diese Form annimmt, wenn man sie an zwei Punkten aufhängt. Cosh wird weiter unten erklärt.

...


Graphische Addition  top
...... Zeichnet man die Graphen der Exponentialfunktionen f1(x)=(1/2)ex und f2(x)=(1/2)e-x und addiert die y-Werte punktweise, so erhält man den Graphen der Funktion f(x)=f1(x)+f2(x)=cosh(x). 

Das ist ein einfacher Weg, um sich ein Bild von der Funktion zu machen.


Zur Herleitung der Formel   top
Über eine Kräftebetrachtung leitet man die Differentialgleichung ay''=sqrt(1+y'²) her, wie z.B. auf der Webseite von René Grothmann (URL unten) dargestellt. 
Sie ist eine Bestimmungsgleichung für die gesuchte Funktionsgleichung der Kettenlinie.
Sie wird gelöst von y=a cosh(x/a+c1)+c2, im wesentlichen von y=a cosh(x/a), wie ein Einsetzen in die Differentialgleichung zeigt.
Für y=a cosh(x/a) oder y=(a/2)(ex/a+e-x/a) gilt y'=(1/2)(ex/a-e-x/a) und y''=[1/(2a)](ex/a+e-x/a).
Dann ist 1+y'²=1+ (1/2)2(ex/a-e-x/a)2=1+ (1/4)[(ex/a))²-2(ex/a)e-x/a))+(e-x/a))²]=1+(1/4)(ex/a))²-(1/2)+(1/4)(e-x/a)
=(1/4)[(ex/a))²+2(ex/a)e-x/a))+(e-x/a))²]=(1/4)(ex/a+e-x/a)² und weiter sqrt(1+y'²)=(1/2)(ex/a+e-x/a)=a[1/(2a)](ex/a+e-x/a)=ay'', wzbw.
(Buch 2, Seite 538).


Ergebnis:
Die Funktionenschar fa(x)=a*cosh(x/a) oder fa(x)=(1/2)a(ex/a+e-x/a) beschreibt die Kettenlinie. 
Dabei ist a ein Parameter ungleich Null. 
Die Ausgangsfunktion f(x)=(1/2)(ex+e-x) ist unter den Lösungen. Man setze a=1.
Diese Herleitung hält sich an Buch (1), Seite 520ff.

Graph von fa(x)=a*cosh(x/a)
...... Der Parameter a beschreibt die "Öffnung" der Kettenlinie und gibt die Entfernung des Scheitelpunktes vom Nullpunkt des Koordinatensystems an. 

Ähnlichkeit der Kettenlinien top
So wie z.B. die Kreise und die Parabeln sind die Kettenlinien ähnlich
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie durch eine einfache Verkleinerung oder Vergrößerung ineinander übergeführt werden können. Das erreicht man durch eine Maßstabänderung. 
Man wählt x=aX und y=aY. 
Dann wird  y=(1/2)a[e(1/a)x+e-(1/a)x] zu aY=(1/2)a[e(1/a)aX+e-(1/a)aX] oder Y=(1/2)[eX+e-X].

Aus jeder Kettenlinie mit fa(x)=a*cosh(x/a) wird also eine Normal-Kettenlinie. 


Ableitung      top
Wegen der Grundformel (ex)'=ex ist cosh(x) leicht zu differenzieren und zu integrieren. 
...... Es ist f(x)=cosh(x)=(1/2)(ex+e-x)=(1/2)ex+(1/2)e-x.

Nach Ableitungsregeln ist dann f '(x) = (1/2)ex-(1/2)e-x = (1/2)(ex-e-x)

Man fasst den Term (1/2)(ex-e-x) als Funktionsterm einer neuen Funktion auf, 
dem Sinus Hyperbolicus: g(x)=sinh(x). Die rote Kurve ist ihr Graph.

Leitet man f ' noch einmal ab [f ''(x) = (1/2)(ex+e-x)], so ergibt sich wieder f(x)=cosh(x).
Die Stammfunktion ist F(x)=sinh(x).


Drei Berechnungen - ein Ergebnis   top
1 Steigung in Punkt P
...... Oben wurde schon gezeigt, dass die Ableitung von f(x)=cosh(x) gleich f '(x)=sinh(x) ist.

Die Steigung in Punkt P[x1)|cosh(x1)] ist also sinh(x1).


2 Länge s des Kurvenstücks SP
...

3 Flächeninhalt unter der Kurve
...

Veranschaulichungen
...... Es ist y=(1/2)(ex+e-x).
Dann ist y²-1=cosh²(x)-1=(1/4)(ex+e-x)2-1=(1/4)e2x+1/2+(1/4)e-2x)-1=(1/4)(ex-e-x)²=s²
Die Gleichung y²-1²=s² wird links durch ein Dreieck dargestellt, indem man die Strecke des y-Wertes in den ersten Quadranten einpasst.

Ausgehend vom Dreieck kann man sich Folgendes überlegen.
...
SP=OA=s

SA steht senkrecht zur Tangente t

Das Rechteck OABS ist flächengleich der Fläche unter der Kurve SP
Quelle: Buch (1), Seite 526.
Da wird auch gezeigt, dass die Veranschaulichungen für alle Funktionen der Schar fa(x)=a*cosh(x/a) gelten.

Beziehung zu den Kreisfunktionen top
Es stellt sich die Frage, warum die Kettenlinie mit cosh und die Ableitung mit sinh bezeichnet werden. 

Da muss man den Bereich der reellen Zahlen verlassen und zu komplexen Zahlen übergehen. 
Die Eulersche Identität eix=cos(x)+i*sin(x)  mit i=sqrt(-1) gibt eine Erklärung.
Es gilt eix+e-ix=[cos(ix)+i*sin(ix)]+[cos(-ix)+i*sin(-ix)]=[cos(ix)+i*sin(ix)]-[cos(ix)-i*sin(ix)]=2*cos(ix).
Es gilt weiter eix-e-ix=[cos(ix)+i*sin(ix)]-[cos(ix)-i*sin(-ix)]=2i*sin(ix).

Damit sind cosh(x)=cos(ix) und sinh(x)=-i*sin(ix).


Mehr findet man zum Beispiel auf der Wikipedia-Seite Kreis- und Hyperbelfunktionen (URL unten).

Parabel und Kettenlinie top
Die Kettenlinie ist keine Parabel, hat aber eine Parabelform. 
Es stellt sich die Frage, welche Parabel der Kettenlinie nahe kommt.
Dazu zieht man die Reihenentwicklung von cosh(x) heran.
ex= 1 + x/(1!) + x2/(2!) + x3/(3!) + x4/(4!) + ...
e-x= 1 - x/(1!) + x2/(2!) - x3/(3!) + x4/(4!) - ...
=>  (1/2)(ex+e-x) = 1+ x2/(2!) + x4/(4!) + x6/(6!) + ...
Wenn man die Reihe nach dem zweiten Glied abbricht, erhält man die Parabelgleichung p(x) = (1/2)x²+1.
... Bestätigung: 

p(x) beschreibt die Kettenlinie in der Nähe x=0 recht genau.


Eine bessere Annäherung erreicht man mit der biquadratischen Funktion mit b(x)=(1/24)x4+(1/2)x²+1.

Kettenlinie im Internet top

Deutsch

Arndt Brünner
Die Kettenlinie (mit Applet)

René Grothmann (Universität Eichstätt)
Die Kettenlinie

Wikipedia
Katenoide
Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus, Tangens Hyperbolicus und Kotangens Hyperbolicus
Sekans Hyperbolicus und Kosekans HyperbolicusAreasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus
Kreis- und Hyperbelfunktionen, Eulersche Identität, Gateway Arch


Englisch

Mathforum
The Shape of a Catenary

Eric W. Weisstein
Catenary, Catenoid, Roulette

jan wassenaar (2dcurves)
hyperbolic cosine

Jonathan Lansey 
Catenary Demonstration Experiment

Paul Kunkel
Hanging With Galileo

Robert Osserman
Mathematics of the Gateway Arch

Ruud v Gessel
About the curve of a free hanging rope    (.pdf file)

Wikipedia
Catenary, Hyperbolic function, Inverse hyperbolic functionList of integrals of hyperbolic functions, Euler's identity, Jefferson National Expansion Memorial
... (Eigene Zeichnung) Mehr unter  Square wheel
Xahlee
Catenary, Catenoid
Unter anderem: 
"A catenary rotating around a axis forms the catenoid, which is a mimimum surface."


Französisch
Robert FERRÉOL (mathcurve)
CHAÎNETTE


Referenzen    top
(1) Georg Ulrich, Paul Hoffmann: Differential- und Integralrechnung zum Selbstunterricht, Hollfeld [ISBN 3 8044 0575 4]
(2) Autorengemeinschaft:  Analysis für Ingenieure, Frankfurt/M Zürich 1966 


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©  2009 Jürgen Köller

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