Körper in der Algebra

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Was ist ein Körper in der Algebra?
Verknüpfungen
Rechenregeln
Definition des Körpers
Gruppe
Division natürlicher Zahlen

Reste
Restklassen modulo b
Restklassen modulo 5
Schlussbemerkungen
Körper im Internet
Restklassen im Internet.

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Was ist ein Körper in der Algebra?
In der Algebra ist ein Körper eine Menge von Zahlen, in der zwei Verknüpfungen, nämlich die Addition und die Multiplikation erklärt sind und in der bestimmte Verknüpfungsregeln gelten. - Das ist eine erste Beschreibung.

Verknüpfungen top
Vorgegeben sei eine Grundmenge G mit mindestens zwei Elementen.

...... Bei einer (zweigliedrigen) Verknüpfung ordnet man einem Paar (a,b) der Menge G eindeutig ein Element c der Menge G zu.

...

Man beschreibt eine Verknüpfung durch ein (hier neutrales) Verknüpfungszeichen:
a o b = c (gelesen "a mit b gleich c").

Bekannte Verknüpfungszeichen sind plus (+), minus (-), mal (*) und "dividiert durch" (:), und sie beziehen sich z.B. auf die Grundmenge |N₀.
|N₀ ist die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null, N₀= {0, 1, 2, 3, ...}.

...

Addiert oder multipliziert man zwei natürliche Zahlen a und b, so wird ihnen dabei die Summe s=a+b oder das Produkt p=a*b zugeordnet. Beispiele sind 3+4=7 oder 5*6=30.

Man sagt: Die Menge der natürlichen Zahlen ist bzgl. der Addition und Multiplikation abgeschlossen, weil mit den Zahlen auch die Ergebnisse natürliche Zahlen sind.

Beim Subtrahieren und Dividieren gibt es Probleme.

...

...z.B. 3-5 = -2

Ist a<b, so ist c=a-b negativ und c ist keine natürliche Zahl mehr.

Man sagt: Die natürlichen Zahlen sind bzgl. der Subtraktion nicht abgeschlossen.
Die Menge der ganzen Zahlen |Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ist abgeschlossen bzgl. der Subtraktion.

Dividiert man ganze Zahlen, so gelangt man zu den rationalen Zahlen.

...

...
...z.B. 3:5 = 3/5

Sind a und b teilerfremd, so ergibt sich eine Bruchzahl a/b.
Damit verlässt man auch den Bereich der natürlichen Zahlen.

Man sagt: Die Menge der ganzen Zahlen ist bzgl. der Division nicht abgeschlossen.
Die Menge der rationalen Zahlen |Q ={p/q| p ist ganzzahlig, q ist ganzzahlig außer 0} ist abgeschlossen bzgl. der Division.

Hier ist eine Stelle, an der man auf die Menge der reellen Zahlen hinweisen sollte.

Die rationalen Zahlen kann man auf dem Zahlenstrahl darstellen, und sie liegen auf ihm dicht. Trotzdem gibt es noch weitere Zahlen auf ihm. Zum Beispiel hat die Gleichung x² =2 die Lösung x₁ = sqrt(2). Diese Zahl ist nicht mehr eine Bruchzahl und hat trotzdem, wie die Zeichnung zeigt, einen Platz auf der Zahlengeraden.
Die Körpererweiterung zur Menge der reellen Zahlen soll nicht weiter verfolgt werden, da man sie nicht für diese Webseite braucht.

Rechenregeln top
Vorgegeben sei die Menge der rationalen Zahlen |Q.
Zwei Kommutativgesetze
Es erscheint selbstverständlich, dass es bei der Addition und Multiplikation auf die Reihenfolge der Zahlen nicht ankommt. Es gilt das Kommutativgesetz a+b = b+a bzw. a*b =b*a für alle rationalen Zahlen.
Das gilt nicht mehr für die Differenz a-b und den Quotienten a:b.

Es ist üblich, das Malzeichen * nur zwischen Zahlen zu setzen. (Ich schreibe ab jetzt a*b = ab bzw. b*a = ba.)

Zwei Assoziativgesetze
In der Menge der rationalen Zahlen sind Dreifach-Verknüpfungen wie a+b+c gebräuchlich. Diese Schreibweise scheint nicht eindeutig, denn von der Definition her können nur zwei Zahlen verknüpft werden. Es muss also heißen (a+b)+c oder a+(b+c).
Ein Zahlenbeispiel dazu ist (2+3)+4 oder 2+(3+4). Diese Summen sind gleich, 5+4=2+7.
Dieses Zahlenbeispiel steht für die Aussage: Es gilt für alle rationalen Zahlen das sogenannte Assoziativgesetz der Addition (a+b)+c = a+(b+c). Das rechtfertigt die Schreibweise (a+b)+c = a+b+c, wobei es offen bleiben kann, welche Verknüpfung zuerst gewählt wird.

Genau so kann man mit dem Produkt abc verfahren.
Es gilt für alle rationalen Zahlen das sogenannte Assoziativgesetz der Multiplikation (ab)c = a(bc).
Wegen des Assoziativgesetzes kommt es nicht auf die Klammern an.
So schreibt man auch (ab)c = a(bc) = abc.

Distributivgesetz
Ein Ausdruck wie ab+c scheint in der Menge der rationalen Zahlen nicht eindeutig zu sein. Soll man zuerst ab bilden oder b+c? Das ist nicht beliebig, wie das Zahlenbeispiel 2*3+4 zeigt. Es ergeben sich (2*3)+4 = 6+4 oder 2*(3+4) = 2*7. Trotzdem ist die Schreibweise eindeutig, weil die Regel "Punktrechnung vor Strichrechnung" aufgestellt wurde: ab+c = (ab)+c.

Nach dieser Vorbemerkung soll das sogenannte Distributivgesetz formuliert werden: a(b+c) = ab+ac.
Ein Zahlenbeispiel ist 2*(3+4) = 2*7 =14 = 6+8 = 2*3+2*4.
Das Distributivgesetz gestattet es, ein Produkt in eine Summe zu verwandeln ("Ausmultiplizieren") oder - rückwärts gelesen - eine Summe in ein Produkt ("Ausklammern").

Erste binomische Formel
Wer in Deutschland die Schulzeit hinter sich gebracht hat und in die Algebra eingeführt wurde, hat vieles wieder vergessen, nicht aber die drei binomischen Formeln.
Die erste heißt (a+b)² = a²+2ab+c². Sie gilt für alle Zahlen, die an Stelle der Variablen a, b und c eingesetzt werden können.
In der Schule wird die Formel nicht einfach mitgeteilt, sondern sie wird "bewiesen". Der Beweis könnte so aussehen.

Man geht aus vom Distributivgesetz in der Form s(c+d) = sc+sd. Für s setzt man s=a+b. Dann erhält man (a+b)(c+d) = (a+b)c+(a+b)d.
Auf die beiden Summanden wendet man das Distributivgesetz an und erhält ac+bc+ad+bd.
So kommt man zu einer Formel über das Ausmultiplizieren zweier Summen: (a+b)(c+d) = ac+bc+ad+bd.
Die erste binomische Formel ist ein Sonderfall dieser Formel mit c=a und d=b.
Dann ist (a+b)(a+b) = aa+ba+ab+bb = a²+ba+ab+b².
Wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation gilt ba=ab und weiter (a+b)(a+b) = a²+ab+ab+b².
Für ab+ab kann man nach der Umkehrung des Distributivgesetzes ab ausklammern: ab+ab = ab(1+1) = ab*2.
Nach dem Kommutativgesetz der Multiplikation ist ab*2 = 2(ab). Dafür kann man auch wegen des Assoziativgesetzes 2ab setzen.
Damit ist die erste binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+c² bewiesen.

Beweisen heißt offenbar, eine neue Formel aus bekannten Formeln logisch herzuleiten. Dabei gibt es Formeln wie die ersten fünf oben, die man einfach hinnehmen muss. Das fällt auch nicht schwer, da sie einleuchtend sind und man gar nicht das Bedürfnis hat, sie herzuleiten.

Definition des Körpers top
Man hat sich überlegt, welche Formeln man in der Algebra vorgeben sollte. Das sind im Wesentlichen die fünf Grundformeln von oben.

Man nennt in der Mathematik Aussagen, die man vorgibt, Axiome und die Gesamtheit der Axiome das Axiomensystem.
Es folgt das Axiomensystem, dass sich für die Menge der rationalen Zahlen ergeben hat.

Ein (abelscher) Körper K ist eine Menge aus mindestens zwei Elementen, in der die Verknüpfungen + und * erklärt sind. Es gelten folgende Aussagen.

Die Menge ist bzgl. der Addition abgeschlossen, d.h., sind a und b Elemente der Menge K, so auch a+b.	Die Menge ist bzgl. der Multiplikation abgeschlossen, d.h., sind a und b Elemente der Menge K, so auch ab.
Es gilt das Kommutativgesetz a+b = b+a.	Es gilt das Kommutativgesetz ab =ba.
Es gilt das Assoziativgesetz (a+b)+c = a+(b+c).	Es gilt das Assoziativgesetz (ab)c = a(bc).
Es gibt ein neutrales Element Null mit a+0=a.	Es gibt ein neutrales Element Eins mit *a1=a**.
Zu jedem Element a aus K gibt es ein inverses Element x mit a+x=0.	Zu jedem Element a aus K/{0} gibt es ein inverses Element x mit ax=1.

Es gilt das Distributivgesetz a(b+c) = ab+ac.

Es folgen einige Erläuterungen.

> Vielleicht fällt auf, dass bei der Definition eines Körpers gar nicht mehr die Rede von den rationalen Zahlen ist. Den Begriff des Körpers muss man allgemein sehen. Immer dann, wenn es in einer Menge zwei Verknüpfungen mit den oben genannten Eigenschaften gibt, liegt ein Körper vor. Man lässt offen, was man unter den Elementen der Menge versteht.
Unten gehe ich z. B. auf (endliche) Körper von Mengen (Restklassen) ein. Für die Menge der Restklassen sind zwei Verknüpfungen erklärt, auch Addition und Multiplikation genannt, die die Körperaxiome erfüllen.

> Ich habe bei der Definition des Körpers "abelsch" hinzugefügt. Damit soll gesagt werden, dass auch die Kommutativgesetze gelten.
Es gibt allgemeinere Definitionen eines Körpers, da fehlen sie.

> Oben steht: "Es gibt ein neutrales Element Null mit a+0=a." Da könnte man denken, dass jedes Element a aus K eine eigene Null hat.

Man kann aber in einem indirekten Beweis zeigen, dass es nur eine Null gibt. Und das geht so.
Angenommen, es gibt zu einem beliebigen Element a zwei verschiedene Nullen, nämlich 0₁ und 0₂.
Da 0₁ ein neutrales Elemente ist, gilt a+0₁ = a , entsprechend gilt a+0₂ = a.
Setzt man in die Gleichung a=0₂ ein, gilt 0₂+0₁ = 0₂, entsprechend gilt 0₁+0₂= 0₁.
Da das Kommutativgesetz 0₂+0₁ = 0₁+0₂ gilt, gilt auch 0₁ = 0₂.
Das ist ein Widerspruch zur Aussage, dass es zwei verschiedene Nullen gibt.
Ergebnis: Es gibt also in einem Körper nur eine Null.

Analog zeigt man, dass es nur eine Eins gibt.

> Oben steht: "Zu jedem Element a aus K gibt es ein inverses Element x mit a+x=0."
Das inverse Element der Addition wird geschrieben als x = -a.
Damit ist die Subtraktion in einem Körper nicht eigenständig, sondern sie wird auf eine Addition zurückgeführt.
Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition.
Man definiert: a-b := a+(-b).

> Oben steht: "Zu jedem Element a aus K/{0} gibt es ein inverses Element x mit ax=1."
Das inverse Element der Multiplikation wird geschrieben als x = 1/a.
Damit ist die Division in einem Körper nicht eigenständig, sondern sie wird auf eine Multiplikation zurückgeführt.
Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.
Man definiert: a:b := a(1/b).

Oben habe ich mich deshalb schwer getan, die vier Verknüpfungen mit den Zeichen + - * : als gleichwertig anzusehen. Hier stellt sich heraus, dass das nicht der Fall ist. Subtraktion und Division werden auf die Addition und Multiplikation zurückgeführt.

Gruppe top
Es fällt auf, dass bei der Definition des Körpers die Axiome für beide Verknüpfungen formal weitgehend übereinstimmen. Da liegt es nahe, dass man nur eine Menge und eine Verknüpfung betrachtet, in der dann die folgenden Axiome gelten. Man nennt diese Menge (abelsche) Gruppe.

Ein (abelsche) Gruppe G ist eine Menge aus mindestens zwei Elementen, in der eine Verknüpfung o erklärt ist. Es gelten folgende Aussagen.

Sind a und b Elemente der Menge G, so auch a o b (Abgeschlossenheit).

Es gilt das Kommutativgesetz a o b = b o a.

Es gilt das Assoziativgesetz (a o b) o c = a o (b o c).

Es gibt ein neutrales Element e mit a o e = a.

Zu jedem Element a aus G gibt es ein inverses Element x mit a o x = 0.

Mit dem neuen Begriff der Gruppe lässt sich ein Körper auch so definieren.

Ein (abelscher) Körper K ist eine Menge aus mindestens zwei Elementen, in der zwei Verknüpfungen, eine Addition und eine Multiplikation, erklärt sind.

Es gelten folgende Aussagen.
Sind a und b Elemente der Menge K, so auch a+b bzw. ab.
Die Menge K ist eine abelsche Gruppe bzgl. der Addition.
Die Menge K/{0} ist eine abelsche Gruppe bzgl. der Multiplikation.
Es gilt das Distributivgesetz a(b+c) = ab+ac.

Es soll - wie oben angekündigt - im Folgenden dargestellt werden, dass nicht nur die Menge der rationalen Zahlen einen Körper bildet.
Dazu soll zuerst auf die Division mit Rest und auf Restklassen eingegangen werden.

Division natürlicher Zahlen top
Gegeben sei die Menge der natürlichen Zahlen |N₀ = {0, 1, 2, 3, ... }.
Gibt man zwei beliebige natürliche Zahlen a und b vor und dividiert sie durcheinander, so können drei Fälle eintreten.

1 Der Quotient a:b ist nicht erklärt.
Das tritt ein, wenn der Divisor b Null ist.

2 Der Quotient a:b ist wieder eine natürliche Zahl n.
Dann gilt also a:b = n oder a = b*n. Die Zahl b heißt Teiler von a.

3 Der Quotient a:b ist ein Bruch.
Dann kann man den Quotienten in eine natürliche Zahl n und einen echten Bruch r/b zerlegen. Es gilt a:b = n+r/b mit 0<r/b<1.
In der Gleichung kann n auch Null sein. Auf dieser Webseite geht es vornehmlich um diesen dritten Fall.

Reste top
Definition des Rests
Aus der Gleichung a:b = n+r/b mit 0<r/b<1 folgt die Gleichung a = n*b+r, wobei r mit 0<r<b Rest der Division heißt. Es können die Reste 1, 2, 3, ..., , b-1 auftreten. Es ist sinnvoll, auch die Zahl 0 in die Folge der Reste aufzunehmen, wenn die Division aufgeht, wenn also a:b=n+0/b gilt.

Eindeutigkeit
Die Darstellung a = n*b+r mit r<b ist eindeutig, wie die folgenden Überlegungen zeigen.
Angenommen, die Darstellung ist nicht eindeutig. Dann existiert neben der Gleichung a = n*b+r noch a = n'*b+r' mit r'<b.
Subtrahiert man beide Seiten der Gleichungen, so ergibt sich 0 = (n-n')b-(r'-r) oder (n-n')b = (r'-r).
Daraus folgt, dass b ein Teiler von |r-r'| ist. Das kann nicht sein, da r und r' für sich genommen schon kleiner als b und größer gleich 0 sind.
Das ist ein Widerspruch. Also ist die Darstellung a = n*b+r mit r<b eindeutig.

Dezimalzahlen
Der Quotient a/b kann als Dezimalzahl angegeben werden. Man erhält sie z.B. mit dem Taschenrechner oder durch eine schriftliche Division. Dann kann man die Variablen n und r einfach ablesen. Vor dem Komma steht n und hinter dem Komma der Rest r als r/b.
So hat der Quotient 17/8 die Darstellung 17/8 = 2,125 und es gilt n=2 und r=1.

Int(x) und Mod(a,b)
In Computersprachen gibt es Funktionen, mit deren Hilfe man den ganzzahligen Anteil n und den Bruchteil r aus a und b bestimmen kann.
> Int(x) bestimmt die größte ganze Zahl, die gerade noch kleiner oder gleich einer reellen Zahl x ist. Dann ist n = Int(a/b).
Man schreibt an Stelle von Int(x) auch das Gauss-Symbol [x].
> Es gibt Modulo-Rechner, die nach Eingabe von Divisor und Dividend den Rest r von a:b direkt angeben (App von mathe24.net unten).

Restklassen mod b top
Bei der Division a:b gibt es die Reste 0, 1, 2, 3, ..., b-1.
Es ist möglich, die natürlichen Zahlen einschließlich der Null in b Teilmengen zu zerlegen. In jede Teilmenge kommen die Zahlen, die bei Division durch b den gleichen Rest haben. Man nennt sie Restklassen modulo b, kürzer Restklassen mod b.
Man bezeichnet sie mit R₀, R₁, R₂ , ... , R_b-2, R_b-1.

Restklassen modulo 5 top
Dividiert man eine natürliche Zahl durch 5, so gibt es die Reste 0, 1, 2, 3 und 4.
Das führt zu fünf Restklassen.

R₀ = {0, 5, 10, 15, ...},
R₁ = {1, 6, 11, 16, ...},
R₂ = {2, 7, 12, 17, ...},
R₃ = {3, 8, 13, 18, ...},
R₄ = {4, 9, 14, 19, ...}. Die Restklassen bilden zusammen die Menge der natürlichen Zahlen. Sie haben keine Zahl gemeinsam.

Ausgedrückt in der Formelsprache:

Verknüpfungen
Man definiert in der Menge der Restklassen Verknüpfungen, die man auch "Addition" und "Multiplikation" nennt, obwohl es keine Zahlen sind, sondern Mengen. Aber die Namen sind wegen der folgenden Regeln berechtigt.

Man addiert bzw. multipliziert Restklassen, indem man die Indizes i von R_iaddiert bzw. multipliziert.
Das führt bei kleinen Indizes wieder zu 0, 1, 3 und 4, dann aber ist 1+4=5, 2+3=5, 2+4=6, 3+3=6, 3+4=7, und 2*3=6, 2*4=8, 3*4=12. In diesen Fällen nimmt man die kleinsten Zahlen in ihren Restklassen, die sogenannten Repräsentanten. Man sagt auch: Die natürlichen Zahlen größer als 4 gibt man modulo 5 an.

Beispiele von Verknüpfungen:
R₂+R₃= R₀ und R₂+R₂= R₄und R₁+R₄ = R₀R₂*R₃= R₁ und R₂*R₂= R₄ und R₁*R₄ = R₄.

Alle möglichen Verknüpfungen der Restklassen sind in den folgenden Tabellen festgehalten.

Körperaxiome
Es kann gezeigt werden, dass die Restklassen mod 5 einen Körper bilden. Dazu geht man die Körperaxiome durch.

> Abgeschlossenheit
Die Tabellen zeigen, dass mit zwei Restklassen auch ihre Summe bzw. Produkt wieder eine Restklasse mod 5 ist.

> Kommutativgesetz
Aus der Tabelle geht hervor, dass es nicht auf die Reihenfolge der Summanden bzw. der Faktoren ankommt.

> Assoziativgesetz
Sind fünf Restklassen vorgegeben, so kommt es bei der Verknüpfung der Reste nicht darauf an, in welcher Reihenfolge die Indizes verknüpft werden.

> Neutrales Element
Die neutralen Elemente sind R₀ bzw. R₁, wie die Tabelle zeigt.

> Inverses Element
Jede Restklasse hat eine inverse Restklasse, wie die Tabelle zeigt.

>Distributivgesetz
Man könnte wieder auf die Reste verweisen.
Es ist aber auch möglich, wegen der geringen Anzahl von fünf Restklassen alle Möglichkeiten durchzuspielen.
Eine Möglichkeit ist (R₁+R₂)* R₄= R₁*R₄+R₂*R₄.
Überprüfung: (R₁+R₂)* R₄= R₃* R₄= R₂ und R₁*R₄+R₂*R₄= R₄+R₃= R₂.
Auf diese Weise kann man alle Terme untersuchen. Das Ergebnis ist: Das Distributivgesetz gilt.

Ergebnis: Die Restklassen mod 5 bilden einen endlichen Körper oder Galoiskörper.

Schlussbemerkungen top
Man könnte meinen, dass die Verallgemeinerung gilt: Die Menge der Restklassen mod b bilden einen endlichen Körper für beliebige natürliche Zahlen b. Das ist aber nicht der Fall. So hat die Menge der Restklassen mod 4 "Nullteiler". Es gilt R₂*R₂=R₀. In einem Körper darf sich aber nur Null ergeben, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Offenbar ist eine Restklassenmenge mod b nur ein Körper, wenn b eine Primzahl ist.

Boolesche Algebra
Interessant ist der Fall b=2. In diesem Falle gibt es nur zwei Restklassen, nämlich R₀ und R₁. Sie bilden einen Körper mit nur zwei Elementen.
Man betrachtet statt der Restklassen einfacher die Reste 0 und 1 und rechnet mit ihnen wie mit Zahlen, nur dass 1+1=0 gilt. Das führt zur Booleschen Algebra, die im Zeitalter der Informationstechnik eine große Bedeutung erlangte.

Ergänzung
Oben werden die Elemente der Restklassenmenge mit R_ibezeichnet. Es ist üblich, der Einfachheit halber nur Reste i anzugeben. Das ist möglich, da die Zuordnung von Rest und Restklasse eineindeutig ist. Ich wollte in meiner Darstellung auch formal deutlich machen, dass Mengen verknüpft werden.

Die Verknüpfungstabellen, die ich zuerst angelegt hatte, sind einfacher.