Kreise im Kreis

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Was sind Kreise im Kreis?
Ketten aus Kreisen
Formeln für die Ketten
Steiner-Kette
Pappus-Ketten
Weitere Kreise im Kreis

Spielereien mit Münzen
Bündel aus Fäden
twenty five
Kreise im Kreis im Internet
Referenzen
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Was sind Kreise im Kreis?

...... Das sind Kreise, die sich berühren, in einem Umkreis liegen und ihn von innen berühren.
Links ist ein Beispiel. Ist R der Radius des ganzen Kreises, r der Radius der gelben Kreises, x des blauen und y der grünen Kreise, so gilt hier r=R/2, x=R/3 und y=R/4.

Martin Gardner (1) stellt fest, dass es Hunderte von Figuren dieser Art gibt, die den Weg in die Unterhaltungsmathematik gefunden haben. Schon deshalb findet man auf dieser Seite nur eine kleine, persönliche Auswahl.

Ketten aus Kreisen top
Die folgenden fünf Figuren bestehen aus einer Kette von (gelben) Kreisen um einen (grünen) Zentralkreis und an den Rändern aus (blauen) Lückenkreisen.

In den Formeln ist
R der Radius des Umkreises
r der Radius der (gelben) Kreise. Diese Kreise bilden die Kette.
x der Radius der (blauen) Lückenkreise
y der Radius des (grünen) Zentralkreises.

Drei gleiche Kreise im Kreis

r=[2*sqrt(3)-3]*R x=[2*sqrt(3)-1]/11*R y=[7-4*sqrt(3)]*R

Herleitungen

Man verbindet die Mittelpunkte der Kreise und erhält das gleichseitige Dreieck ABC.
Für die Höhe h gilt nach dem Satz des Pythagoras h²=(2r)²-r²=3r² oder h=sqrt(3)r.
Es gilt für den gegebenen Radius DM=R=r+(2/3)h=r+(2/3)sqrt(3)r.
Dann ist r=R/[1+(2/3)sqrt(3)]=3R/[3+2sqrt(3)]=[2*sqrt(3)-3]*R, wzbw..

Im gelben Dreieck gilt nach dem Satz des Pythagoras (r+x)²=r²+[R-(1/3)h-x]².

Daraus ergibt sich nach längerer Rechnung x=[2*sqrt(3)-1]/11*R.

Es gilt R=2r+y. Daraus folgt y=R-2r=R-2[2*sqrt(3)-3]*R=[7-4*sqrt(3)]*R.

Vier gleiche Kreise im Kreis

r=[sqrt(2)-1]*R x=[2*sqrt(2)-1]/7*R y=[3-2*sqrt(2)]*R

Fünf gleiche Kreise im Kreis

Sechs gleiche Kreise im Kreis

r=R/3 x=[2*sqrt(3)-2]/5*R y=R/3

Acht gleiche Kreise im Kreis

Kombination zweier Ketten

Formeln für die Ketten top
Gibt man beliebige gleiche Kreise vor, so werden sie in seltenen Fällen eine geschlossene Kette um einen Zentralkreis bilden.
Unter welchen Bedingungen ist die Kette geschlossen?
Nach der Zeichnung ist die Kreiskette aus n Kreisen geschlossen, wenn n*alpha=360° oder alpha/2=180°/n ist.

...... Nach der nebenstehenden Formel sin(alpha/2)=r/(R-r) ist r:R=sin (180°/n)/[1+sin(180°/n]. Ergebnis: Zu jeder Kreisanzahl n gibt es ein Verhältnis der Radien r:R.

Daraus folgt weiter: Für den Zentralkreis ergibt sich y=R-2r.

In die Lücken zwischen dem Umkreis und den gelben Kreisen kann man (blaue) gleiche Kreise mit dem Radius x legen.

Es gilt R=s+z+x.
Es gilt (r+x)²=r²+z² oder z=sqrt(2rx+r²).
Es gilt cos(alpha/2)=s/(R-r) oder s=(R-r)*cos(alpha/2) oder s=(R-r)cos(180°/n).
Das sind drei Gleichungen für die Variablen s, z und x.

Für x ergibt sich:

Mit diesen Formeln und dem Programm Derive wurden die Radien für n=(2),3,4 und 6 bestimmt.

Steiner-Ketten top
Wenn der Zentralkreis nicht konzentrisch zum Umkreis liegt, gibt es manchmal auch geschlossene Ketten. Diese Ketten hat im 19. Jahrhundert der Schweizer Mathematiker Jakob Steiner untersucht.

...... ......

Steiner fand heraus:
Falls wie links eine geschlossene Kette existiert, so gibt es zu jedem passenden (grauen) Anfangskreis eine neue Kette.

Pappus-Kette top

...... Berührt der grüne Zentralkreis den Umkreis von innen, so gibt es zunächst einmal den Kreis 1 rechts, so dass die Mittelpunkte horizontal liegen.
Zu diesem gelben Kreis 1 gibt es oben und unten immer kleiner werdende Kreise, die zusammen die Pappus-Kette bilden.

...... In der Pappus-Kette steckt die bekannte Figur "Arbelos". Kreise der Pappus-Kette sind dann Inkreise.

Weitere Kreise im Kreis (Entwürfe) top

Wie groß sind die Radien der inneren Kreise, wenn der Radius des Umkreises gegeben ist?

Spielereien mit Münzen top

Eine Sechserkette kann man einfach aus sieben Münzen bauen.

Die Münzen sind Reste des Zwangsumtausches ;-).

...

So ein Zufall:
Die acht verschiedenen Euromünzen bilden eine geschlossene Kette mit Zentralkreis
(fast).

Es wäre zu überlegen, ob man um eine feste Münze herum einen Kette aus gleichen Münzen legen kann.

Zu dieser Knobelei habe ich die Seite von Hans Melissen (URL unten) gefunden.

Bündel aus Fäden top

...... Das Band links besteht aus vielen Fäden, die dadurch zusammengehalten werden, dass sie verdrillt sind.
Betrachtet man den Querschnitt, so ist er als Ganzes angenähert kreisförmig und besteht aus vielen Kreisen.
Solche Bündel findet man vielerorts:
Seile, Leitungsdrähte, Lichtleiter, Pflanzenstängel, ...

twenty five top
Es gibt ein Spiel, bei dem man 25 Kreise in einen großen Kreis einordnen muss.

...... Der große Kreis ist eine kreisförmige Vertiefung in einer Kunststoffplatte mit einem Durchmesser von 13,5cm.
Die kleinen Kreise sind Spielsteine in Form von unten offenen Zylindern, die oben mit einer Halbkugel geschlossen sind.
Es gibt drei Sorten mit den ungefähren Durchmessern 2,4cm, 2,6cm und 3,1cm. Die Anzahl ist der Größe nach geordnet 14, 10 und 1.
Nebenstehend eine von wahrscheinlich vielen Lösungen. Die farbigen Kreise sind hier ungeordnet, es gibt aber auch ein schöne symmetrische Lösung.
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Ob es wohl eine "intelligente" Lösung gibt?

Auf dieses Spiel haben Thomas und Christoph Lohe hingewiesen, danke.