Was sind MacMahons Farbwürfel?
MacMahons Würfel sind die Würfel, die entstehen, wenn man
sechs verschiedene Farben in allen möglichen Kombinationen auf die
sechs Seitenflächen verteilt.
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Die Farben sind nicht vorgeschrieben. Sie können zum Beispiel
rot (1), hellblau (2) dunkelblau (3), dunkelgrün (4), hellgrün
(5) und pink (6) sein.
Links wird ein möglicher Würfel dargestellt, als Netz und
als Schrägbild mit drei umgeklappten Quadratseiten. |
P.A.MacMahon war ein englischer Mathematiker und Major. Er lebte von
1854 bis 1929.
Es gibt 30 MacMahon-Würfel
top
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Gibt man die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 vor und bildet alle Umstellungen
(Permutationen) der sechs Zahlen, so kommt man auf 1*2*3*4*5*6=6!=720 Würfel.
Jetzt sind aber auch die Würfel aufgeführt, die sich durch Drehungen
um eine der 13 Achsen ineinander überführen lassen. Es gibt 24
Drehungen dieser Art. Also gibt es nur 720:24 =30 verschiedene Würfel. |
Das folgende Bild illustriert diesen Sachverhalt. Die Zahlen unter den
Würfeln geben die Anzahl der Drehungen an.
Bau der Farbwürfel top
Die 30 Würfel kann man auch durch systematisches Färben gewinnen:
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>Alle Würfel erhalten hinten die Farbe pink.
>In jeder Zeile erhält die Vorderfläche eine der sechs Farben.
>In jeder Zeile bekommt die Fläche unten die dritte passende Farbe.
>Die restlichen drei Flächen erhalten in einer Zeile alle Permutationen
der übrigen drei Farben.
Die Bezeichnungen wie Ab stammen von Conway (s.u.) |
Will man sich mit den Farbwürfeln beschäftigen, so muss man sie
unbedingt bauen.
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Man kann z.B. 30 runde Haftetiketten mit jeweils 1 bis 6 (an Stelle
der Farben) beschriften und auf Spielwürfel kleben. Damit man die
Übersicht behält, sollte jeder Würfel einen Namen wie Ab
bekommen.
Es ist natürlich schöner, wenn man größere Würfel
verwendet und sie mit den sechs Farben versieht. |
Würfelkörper top
Bei den Puzzles mit den Farbwürfeln geht
es in erster Linie darum, aus ihnen Quader oder Würfel mit einfarbigen
Seitenflächen zu bauen.
Die folgenden vier Körper sind relativ leicht
zu finden.
Der Würfel links wird zweimal um eine 1x2x2-Scheibe
nach links hin erweitert. Es enstehen 3x2x2 und 4x2x2-Quader.
Für die Ecken des großen Würfels
rechts wird der kleine Würfel links verwendet. Die 19 nicht angegebenen
Würfel findet man leicht.
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Der L-förmige Körper links wird aus symmetrischen Farbwürfeln
aufgebaut.
Das Besondere ist, dass innen als zusätzliche Bedingung gleiche
Farben aufeinanderstoßen. Das ist die sogenannte Domino-Bedingung
(Gardner). |
Das MacMahon Problem top
Das zentrale Puzzle ist das MacMahon-Problem.
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Man wählt aus den 30 Würfeln einen Würfel, z.B. den
Würfel Ab. |
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Es bleiben 29 Würfel übrig. Aus ihnen wählt man acht,
um einen 2x2x2 Würfel zu bauen mit den gleichen Farben auf den entsprechenden
Seitenflächen wie der Würfel Ab. Erschwerend kommt hinzu, dass
innen gleiche Farben aufeinanderliegen müssen. |
Die Lösung findet man nicht durch Probieren. Man muss systematisch
vorgehen.
Es folgt eine Beschreibung des Lösungsweges für den Würfel
Ab.
Zunächst werden die vier Würfel unten gesucht. Lege dazu alle
Würfel so hin, dass dunkelblau unten ist.
Für den Würfel unten, links, vorne kommen Bc, Ca, Df,
Ed und Fe in Frage. Da bei Df, Ed, Fe innen und außen gleiche Farben
lägen, scheiden Sie aus. Es bleiben Bc und Ca übrig. (Bc
wird hier nicht weiter verfolgt. Man käme zu einer zweiten Lösung.)
Für den Würfel unten, rechts, vorne kommen Bd,
Cf, Da, Ec und Fe in Frage. Bd bleibt übrig.
Für den Würfel unten, links, hinten kommen Bf
und Ce in Frage. Bf bleibt übrig.
Für den Würfel unten, rechts, hinten kommt nur Ea
in Frage.
Drehe jetzt für die obere Schicht alle Würfel, so dass dunkelgrün
oben liegt.
Für den Würfel oben, links, vorne kommen Be und Cd
in Frage. Be bleibt übrig.
Für den Würfel oben, rechts, vorne kommt nur Fa
in Frage.
Für den Würfel oben, links, hinten kommt nur Da
in Frage.
Für den Würfel oben, rechts, hinten kommt nur Bc
in Frage.
Die Lösung ist also:
Rechts wird noch die zweite Lösung dargestellt, die bei der Suche
des ersten Würfels schon erwähnt wurde. Es werden die gleichen
Würfel verwendet. Sie liegen zum Würfelmittelpunkt symmetrisch
und sind verdreht.
J.H.Conway kommt das Verdienst einer umfassenden Lösung des Problems
zu.
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Er ordnete die 30 Würfel in einem 6x6-Feld an, wobei er die Hauptdiagonale
frei hielt.
Die Spalten werden a,b,c,d,e,f genannt, die Zeilen A,B,C,D,E,F.
So erhält jeder Würfel je nach seiner Lage ein Paar aus einem
großen und einem kleinen Buchstaben als Name. |
Das Besondere an der Tabelle ist, dass sie für alle Würfel alle
Lösungen des MacMahon-Problems enthält.
Will man z.B.den Farbwürfel Ab vergrößert als 2x2x2-Würfel
bauen, kann man die acht Würfel leicht auswählen:
Man geht in der Tabelle von Würfel Ab aus zum Spiegelwürfel
Ba und wählt die übrigen acht Würfel in der Zeile und der
Spalte, in der der Würfel Ba liegt.
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In dieser Anordnung liegen zueinander spiegelbildliche Farbwürfel
spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen. So sind z.B. die Würfel Ab und
Ba Spiegelbilder. |
Noch eine Besonderheit:
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Legt man die fünf Würfeln einer Zeile oder Spalte zu einer
1x1x5-Stange und achtet darauf, dass irgendeine Farbe unten liegt,
so liegen die restlichen fünf Farben oben. |
Das Mayblox-Problem top
Beim Mayblox-Problem werden wieder acht Würfel vorgegeben, aus
denen ein 2x2x2-Würfel zu bauen ist. Jetzt steht aber ein kleiner
Würfel als Vorlage nicht zur Verfügung. Darin liegt eine zusätzliche
Schwierigkeit.
Das Kowalewski - Problem top
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Der deutsche Mathematiker G. Kowalewski änderte das 8-Würfel-Problem
ab:
Er verlangte rechts und links bzw. vorne und hinten gleiche Farben,
oben eine dritte und unten eine vierte Farbe. Innen sollten gleiche Farben
zusammentreffen.
Dieses Problem hat zwei Lösungen. Eine Lösung wird rechts
dargestellt. Für die zweite Lösung benötigt man 8 weitere
Würfel. |
Instant Insanity top
Im Jahre 1967 brachte die Firma Parker Brothers die "color matching
box" unter dem Namen "Instant Insanity" auf den Markt. Es hieß in
Deutschland "Vier verrückt" oder "Katzenjammer-Puzzle". Es wurde 12
Millionen mal verkauft (!?).
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Dieses Puzzle besteht aus vier farbigen Würfeln. Im Unterschied
zu den MacMahon-Würfeln werden aber nur vier verschiedene Farben verwendet.
Aufgabe des Puzzles ist es, die Würfel so zu einer 1x1x4-Stange
zusammenzustellen, dass auf allen vier Seitenflächen die vier Farben
erscheinen.
Es gibt im Wesentlichen nur eine Lösung. |
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Es ist auch möglich, eine Stange aus MacMahon-Würfeln zu
bauen, so dass auf allen vier Seitenflächen sechs verschiedene Farben
erscheinen und darüberhinaus innen Farbanschlüsse gewährleistet
sind. Bei dieser auch optisch schönen Lösung sind sogar die Enden
der Stange gleichfarbig. |
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Man kann die 30 Würfel in 5 Gruppen zu je 6 Würfeln aufteilen,
so dass jedesmal eine Stange gebaut werden kann wie eben beschrieben. [Lösung
von Zoltan Perjés, Buch 6].
Sie werden links im Conway-Schema mit den römischen Ziffern I
bis VI gekennzeichnet. Die gezeichnete Stange trägt die Ziffer I.
Das Besondere ist, dass die Würfel einer Stange zusammenliegen
und dass man die Würfel einer Stange zum Teil nicht nur nebeneinander,
sondern auch voreinander oder untereinander anordnen kann, ohne dass sich
die Eigenschaften der sechs unterschiedlichen Farben und des Farbanschlusses
ändern (Beobachtung von Torsten Sillke). |
Farbwürfel im Internet
top
Deutsch
VIA-Spiele Verlag Elfriede Pauli
Kubus Fugus
English
David Darling
MacMahon
squares
Jaap Scherpius (Jaap's Puzzle Page)
Octacube,
Instant
Insanity
Ivars Peterson's MathTrek
Averting
Instant Insanity
Kadon Enterprises Inc.
Frank
Armbruster invented Instant Insanity
Paul Garcia
Major Percy Alexander
MacMahon
Torsten Sillke
MacMahon's
cubes (Multiple Cubes, Probabilities,
References)
John J. O'Connor & Edmund F. Robertson, University
of St Andrews
Percy
Alexander MacMahon
Wikipedia
Percy MacMahon,
Instant Insanity
Französisch
Charles-É. Jean (Dictionnaire
de mathématiques récréatives)
Cube
coloré
Referenzen top
(1) Gerhard Kowalewski: Alte und neue mathematische Spiele, Leipzig
1930 (Reprint bei Teubner, Stuttgart 1978)
(2) Bruno Kerst: Mathematische Spiele, Berlin 1933 (Nachdruck: Martin
Sändig, Wiesbaden 1968)
(3) Gardner, Martin: Mathematische Knobeleien, Braunschweig 1980 (Vieweg)
(4) Rüdiger Thiele: Das große Spielvergnügen, Leipzig
1984 (Urania-Verlag)
(5) Gardner, Martin: Mathematische Hexereien, Berlin 1988 (Ullstein)
(6) Gardner, Martin: Fractal Music, Hypercards and More Math.
Recreations from SA Magazin, New York 1991 (Freeman)
(7) Rüdiger Thiele, Konrad Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig/Jena/Berlin
1991 (Urania-Verlag)
(8) Rüdiger Thiele, Konrad Haase: Teufelsspiele, Leipzig/Jena/Berlin
1991 (Urania-Verlag)
Ich bedanke mich bei Sabine Sprankel für die Anregung zu dieser
Seite und bei Torsten Sillke für Unterstützung.
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Seite ist auch in Englisch vorhanden.
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http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2002 Jürgen Köller
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