Zahlen-Palindrome
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Was ist ein Palindrom?
Anzahl der Palindrome
Verteilung der Palindrome
Vielfache von 9
Merkwürdige Gleichungen
Die Quadratzahlen unter den Palindromen
Kubikzahlen unter den Palindromen
Die Primzahlen unter den Palindromen
Produkte von Nachbarzahlen
Produkte
Paare von Quadratzahlen 
Palindromische Daten 
196-Problem
Referenzen
Palindrome im Internet
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Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien" 

Was ist ein Palindrom? 
Ein Palindrom ist gewöhnlich ein Wort, das gleich bleibt, auch wenn man es von rechts nach links liest. Bekannte Wörter sind Otto, Anna, Reliefpfeiler oder Rentner.
Diese Eigenschaft kann man auch auf Zahlen übertragen. So sind 1001 oder 69896 Palindrome.

Anzahl der Palindrome  top

Alle 9 einstelligen Zahlen 1 bis 9 sind Palindrome.

Es gibt auch 9 zweistellige Palindrome (11,22,...99).

Zu jeder zweistelligen Zahl kann man eineindeutig ein drei- und ein vierstelliges Palindrom bilden.
( Z.B. zu der Zahl 34 gibt es 343 und 3443)
Es gibt somit 90 dreistellige Palindrome und auch 90 vierstellige Palindrome.

Zu jeder dreistelligen Zahl kann man eineindeutig ein fünf- und ein sechsstelliges Palindrom bilden. 
(Z.B. zu der Zahl 562 gibt es 56265 und 562265.)
Es gibt somit 900 fünfstellige Palindrome  und auch 900 sechsstellige Palindrome.

Unter 1 Million gibt es 9+9+90+90+900+900 = 1998 Palindrome. 
Das sind 0,1998 % aller Zahlen. Etwa jede 500. Zahl ist ein Palindrom. 


Verteilung der Palindrome top
Die Palindrome sind nicht gleichmäßig verteilt. Das zeigt das folgende Diagramm, das die ersten 10.000 Zahlen (Darunter sind 198 Palindrome) erfasst. 

Im 100x100-Bild werden die Zahlen von 1 bis 10.000 durch je Quadrat aus 4 Pixeln dargestellt. Man durchläuft die Zahlen von oben links nach unten rechts so wie man schreibt. Nach jeweils 100 Zahlen geht es in der neuen Zeile weiter. 
Die Palindrome werden durch schwarze Punkte angezeigt. 

Und so geht es weiter.
Ausschnitt des 1000x1000-Graphen:


Vielfache von 9    top

09182736455463728190

Merkwürdige Gleichungen top

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1)x12345678987654321 = 999999999²

  2 x (123456789+987654321) +2 = 2222222222

6x7x6 = 252

279972=(2+7+9+9+7+2)x7777


Produkte mit Einsen  top

11x11 = 121
111x111 = 12321
1111x1111 = 1234321 
...
111 111 111 x 111 111 111=12345678987654321


11x111 = 1221
111x1111 = 123321
1 111x11111 = 12344321
...
111 111 111x1 111 111 111=123456789987654321

Ich vermute, dass alle Produkte aus Zahlen mit 1 Palindrome sind, solange ein Faktor 9 oder weniger Stellen hat. Alle Palindrome haben die Darstellung 123..........321. 


Die Quadratzahlen unter den Palindromen    top
121=11²
484=22²
676=26²
10201=101²
12321=111²
14641=121²
 40804=202²
 44944=212²
 69696=264²
 94249=307²
698896=836² 
1002001=1001²
 1234321=1111²
 4008004=2002²
 5221225=2285²
6948496=2636²
 123454321=11111²
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Kubikzahlen unter den Palindromen   top
343=7³                1331=11³       1030301=101³           1367631=111³ 


Die Primzahlen unter den Palindromen   top
Alle palindromische 3stellige Primzahlen:
101
131
151
181
191
313
353
373
383
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727
757
787
797
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919
929
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Es gibt keine 4stellige palindromische Primzahlen. Sie haben den Teiler 11. (Example:4554=4004+550=4x1001+550=4x91x11+11x50=11x(4x91+50)
Es gibt 93 5stellige palindromische Primzahlen.
Es gibt keine 6stellige palindromische Primzahlen. Sie haben den Teiler 11.
Es gibt 668 7stellige palindromische Primzahlen.


Produkte von Nachbarzahlen, die zu Palindromen führen    top
16x17 =  272
77x78 = 6006
538x539 = 289982
1621x1622 = 2629262
2457x2458 = 6039306
77x78x79 = 474474
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Produkte    top
2x819 = 9x182
3x728 = 8x273
4x217 = 7x124
4x427 = 7x244
4x637 = 7x364
4x847 = 7x484
5x546 = 6x455
6x455 = 5x546
7x124 = 4x217
7x244 = 4x427
7x364 = 4x637
8x273 = 3x728
9x182 = 2x819
59x25 = 5x295 
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2x7138 = 83x172
4x3149 = 94x134

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2198x9 = 9891x2
3297x8 = 8792x3
4132x7 = 7231x4
4264x7 =  7462x4
4396x7 = 7693x4
5495x6 = 6594x5
6594x5 = 5495x6
7231x4 = 4132x7
7462x4 = 4264x7
7693x4 = 4396x7
8792x3 = 3297x8
9891x2 = 2198x9
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1x6264 = 4x6x261
1x9168 = 8x6x191
2x3168 = 8x6x132
3x3464 = 4x6x433
4x7866 = 6x6x874
..
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3x21525 = 525x123
3x42525 = 525x243
3x63525 = 525x363
3x84525 = 525x483
8x22287 = 782x228
 8x23575 = 575x328
 8x46575 = 575x648
8x69575 = 575x968
49x2994 = 499x294
59x2995 = 599x295
97x6769 = 967x679
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144x441 = 252x252
156x651 = 273x372
168x862 = 294x492
276x672 = 384x483
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1224x4221 = 2142x2412
1236x6321 = 2163x3612
1248x8421 = 2184x4812
1584x4851 = 2772x2772
1596x6951 = 2793x3972
13344x44331 = 23352x25332
13356x65331 = 23373x37332
13368x86331 = 23394x49332
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Paare von Quadratzahlen top
12² = 144 und 21² = 441 
13² = 169 und 31² = 961
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102²=10404 und 201²=40401
103²=10609 und 301²=90601
112²=12544 und 211²=44521
113²=12769 und 311²=96721
1012²=1024144 und 2101²=4414201
1112²=1236544 und 2111²=4456321
1212²=1468944 und 2121²=4498641
2012²=4048144 und 2102²=4418404
Benedikt Plasa, danke für den Hinweis.


Palindromische Daten   top
Im letzten Jahrhundert war das Jahr 1991, in diesem Jahrhundert ist das Jahr 2002 jeweils das einzige palindromische Jahr. Gibt man die Zahl 2002 in den Taschenrechner, so bleibt sie, auch wenn man den Rechner auf den Kopf stellt. 
Das nächste palindromische Jahr wird 2112 sein.


John Will's date of birth: 10 02 2001 (Oct 2, 2001).

In der Firma "Valenzia - Karl-H.Vogt in D29556 Suderburg" herrscht palindromischer Humor: Ihre Wild-Preiselbeeren Auslese war bis zum 11.11.2002/11:11 haltbar. 

Am "11.11.2002/11:11" beginnt die Karnevalssaison 2002/2003. 

Zähler auf meiner Hauptseite am 2.9.2009, zugesandt von Bernhard Fucyman:

196-Problem     top
Wähle eine beliebige Zahl. Addiere die von rechts nach links gelesene Zahl (Spiegelzahl) zu der ursprünglichen Zahl. Vielleicht ist die Summe ein Palindrom. Wenn nicht, addiere zur Summe die Spiegelzahl der Summe. Vielleicht hat sich jetzt ein Palindrom ergeben. Wenn nicht, wiederhole den Prozess. 
Fast alle Zahlen haben am Ende ein Palindrom. 
Beispiel: 49       49+94=143       143+341=484 !
Es gibt etliche Zahlen, die offenbar kein Palindrom haben. Die kleinste Zahl ist 196. Es fehlt noch ein mathematischer Beweis.


Referenzen  top
(1) Walter Lietzmann, Sonderlinge im Reich der Zahlen, Bonn, 1947
(2) Walter Sperling, Auf du und du mit Zahlen, Rüschlikon-Zürich, 1955
(3) Erwein Flachsel, Hundertfünfzig Mathe-Rätsel, Stuttgart 1982, Seite 138 f.
(4) Martin Gardner, Mathematischer Zirkus, Berlin 1988, Seite 259 ff.


Palindrome im Internet    top

Englisch

Chip Burkitt
Reversible Factors and Multiples

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Palindromic Number

Jason Allen Doucette
196 Palindrome Quest

John Walker
Three Years Of Computing (Final Report On The Palindrome Quest, May 25th, 1990) 

MathPages
On General Palindromic Numbers

Patrick De Geest
Palindromes

Peter Collins
Fascinating Palindromes

Wikipedia
Palindromic numberPalindromic primeEmirp, Lychrel number, Palindrome



Deutsch

Jürgen Dankert 
Zahlen-Palindrome

Karl Hovekamp
Palindromzahlen in adischen Zahlensystemen

Ulf Hinze
Sammlung von Wort - Palindromen

Wikipedia
Zahlenpalindrom, Primzahlpalindrom, Mirpzahl, Lychrel-Zahl, Palindrom

Willi Jeschke
Eine Sammlung origineller und geistreicher Spielereien mit Primzahlen Darunter sind auch Palindrome.

Winfrid Krone 
Strukturen in einigen künstlichen Zahlenfolgen


Ich bedanke mich bei Benjamin Böck für die Beiträge: Diagramme, Anzahl 7stelliger palindromischer Primzahlen

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Diese Seite ist auch in Englisch vorhanden.

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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  1999 Jürgen Köller

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