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Was ist eine homogene Parkettierung?
Ein Parkett ist ein Fußbodenbelag, bei dem man Muster aus
gleichartigen Holzplatten bildet.
Eine Parkettierung kennzeichnet die mathematische Sichtweise:
Es geht allgemein um das Problem mit geometrischen Figuren die Ebene oder
einen Teilbereich der Ebene lückenlos und ohne Überlappungen
auszufüllen.
Homogene Parkettierungen haben drei Eigenschaften:
(I) Die Figuren sind regelmäßige Vielecke.
(II) Die Vielecke berühren sich an den Seiten und haben gemeinsame
Eckpunkte. Diese heißen Knotenpunkte.
(III) An jedem Knotenpunkt stößt die gleiche Anzahl
von Vielecken zusammen.
Beispiel:
Herleitung von Formeln top
... ... |
In einem weiteren Beispiel treffen zwei gleichseitige Dreiecke und
zwei regelmäßige Sechsecke in einem Knotenpunkt K aufeinander.
Für die Winkel in K gilt: 360°=60°+120°+60°+120°.
Das ist ein Ansatz für das Aufspüren weiterer Vieleck-Parkettierungen. |
Dazu braucht man die Winkel in einem beliebigen
regelmäßigen Vieleck.
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Für das regelmäßige Achteck gilt:
Mittelpunktswinkel: 360°/8=45°
Basiswinkel des Bestimmungsdreiecks des Achtecks: (180°-45°)/2=67,5°
Innenwinkel: 2*67.5°=135° |
Für ein beliebiges regelmäßiges m-Eck gilt:
Mittelpunktswinkel: 360°/m
Basiswinkel des Bestimmungsdreiecks des Vielecks: (180°-360°/m)/2
Innenwinkel: 180°-360°/m
Man unterscheidet vier Fälle der homogenen
Parkettierung, geordnet nach der Anzahl der aneinander stoßenden
Vielecke.
Fall 1: Drei Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p = 1/2
Es gibt zehn Lösungen: 3 7 42, 3 8 24, 3 9 18, 3 10
15, 3 12 12 , 4 5 20, 4 6 12, 4 8 8, 5 5 10, 6 6 6
("Unmathematisch" ermittelt mit Hilfe dreier For/Next-Schleifen mit
Visual Basic)
Fall 2: Vier Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)+(180°-360°/q)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p+1/q = 1
Es gibt vier Lösungen: 3 3 4 12, 3 3 6 6, 3 4 4 6, 4 4 4
4.
Fall 3: Fünf Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt
zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)+(180°-360°/q)+(180°-360°/r)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p+1/q+1/r = 3/2
Es gibt zwei Lösungen: 3 3 3 3 6, 3 3 3 4 4.
Fall 4: Sechs Vielecke stoßen an einem Knotenpunkt zusammen.
Es gilt 360°=(180°-360°/m)+(180°-360°/n)+(180°-360°/p)+(180°-360°/q)+(180°-360°/r)+(180°-360°/s)
vereinfacht: 1/m+1/n+1/p+1/q+1/r+1/s = 2
Es gibt eine Lösung: 3 3 3 3 3 3.
Ergebnis: Es gibt 17 Möglichkeiten, dass regelmäßige
Vielecke an einer Ecke zusammenstoßen und dabei zusammen einen Winkel
von 360° bilden.
Streichung von sieben
Lösungen top
Hier werden alle Lösungen noch einmal aufgeführt.
3 7 42, 3 8 24, 3 9 18,
3
10 15, 3 12 12 , 4 5 20, 4 6 12, 4 8 8, 5
5 10, 6 6 6
3 3 4 12, 3 3 6 6, 3 4 4 6, 4 4 4 4
3 3 3 3 6, 3 3 3 4 4
3 3 3 3 3 3
Sieben Lösungen müssen gestrichen werden, da es zwar gelingt,
mit diesen Vielecken eine oder mehrere Ecken zu bilden, nicht aber die
ganze Ebene auszulegen.
Begründung: Die fünf Lösungen 3 7 42, 3 8 24, 3 9 18,
3 10 15, 4 5 20 und 5 5 10 enthalten immer mindestens ein Vieleck mit einer
ungeraden und mit zwei anderen verschiedenen Seitenzahlen. Gibt man das
Vieleck mit einer ungeraden Zahl vor, so müssen um diese Figur herum
die beiden anderen Vielecke abwechselnd anliegen. Das ist aber nicht möglich
wegen der ungeraden Anzahl von Plätzen.
... ...
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Die Lösung 5 5 10 soll auch anschaulich widerlegt werden.
Ein Parkettierungsversuch führt zunächst zu einer Rosette
mit einem Zehneck (Bild).
Es müsste 5 10 10 folgen. Das ist nicht möglich. |
Die Lösung 3 3 4 12 führt auch
nicht zu einer Parkettierung.
... ... |
Man geht von einem Zwölfeck aus. Es gibt vier Möglichkeiten,
an das Zwölfeck Dreieck oder Quadrat anzulegen (farbig markiert).
Baut man die Figuren weiter aus, so kommt man notwendigerweise in den Punkten
A, B, C und D zu Widersprüchen. |
Der Widerspruch besteht darin, dass sich in einem Knotenpunkt entweder
zwei Quadrate oder drei Dreiecke treffen.
Reguläre
Parkettierungen top
Sieben Lösungen sind also gestrichen. Es
bleiben zehn übrig.
3 7 42, 3 8 24, 3 9 18,
3
10 15, 3 12 12 , 4 5 20, 4 6 12, 4 8 8, 5
5 10, 6 6 6
3 3 4 12, 3 3 6 6, 3 4 4 6, 4
4 4 4
3 3 3 3 6, 3 3 3 4 4
3 3 3 3 3 3
Drei Lösungen (rot) sind auffällig. Man kommt mit einer Sorte
regelmäßiger Vielecke aus.
... ... |
Das gleichseitige Dreieck, das Quadrat und das regelmäßige
Sechseck füllen die Ebene. |
Diese Parkettierungen heißen regulär.
Das ist bemerkenswert:
... ... |
Verbindet man die Mittelpunkte der Sechsecke, so ergibt sich ein Dreiecksmuster.
Umgekehrt bilden die Verbindungslinien der Mittelpunkte der Dreiecke ein
Sechseckmuster. Dreieck und Sechseck sind duale Figuren.
Das Quadrat ist zu sich selbst dual. |
Halbreguläre Parkettierungen
top
Es bleiben noch sieben Lösungen (rot) übrig.
3 7 42, 3 8 24, 3 9 18,
3
10 15, 3 12 12 , 4 5 20,
4
6 12, 4 8 8,
5 5 10,
6
6 6
3 3 4 12, 3 3 6 6, 3
4 4 6, 4 4 4 4
3 3 3 3 6, 3 3 3
4 4
3 3 3 3 3 3
Dazu gibt es die folgenden acht Parkettierungen.
Es fällt auf, dass das Parkett 3366 hier mit 3636 gekennzeichnet wird.
Damit wird ausgedrückt, dass sich an einem Knotenpunkt die Figuren
"Dreieck, Sechseck, Dreieck, Sechseck" in dieser Reihenfolge treffen.
In diesem Sinne gibt es für drei Dreiecke und zwei Vierecke die
Parkettierungen 3 3 3 4 4 und 3 3 4 3 4.
Diese acht Parkettierungen heißen auch halbreguläre Parkettierungen
(Semiregular Tesselation).
Verbindet man die Mittelpunkte der Vielecke, so ergeben sich interessante,
neue, duale Parkettierungen.
Weitere Parkettierungen top
Auch die folgenden Muster gehören noch zu den homogenen Parkettierungen.
Zwar treffen die benannten Vielecke an allen Knotenpunkten in der gleichen
Anzahl aufeinander, aber nicht in gleicher Reihenfolge. Für 3
3 6 6 z.B. hat man die Reihenfolgen 3 6 3 6 und 3 3 6 6.
Inhomogene Parkettierungen
top
Inhomogene Parkettierungen haben zwei Eigenschaften:
((I) Die Figuren sind regelmäßigen Vielecke.
(II) Die Vielecke berühren sich an den Seiten und haben gemeinsame
Eckpunkte.
Man verzichtet auf die Eigenschaft (III) von
oben.
Es folgen fünf Beispiele:
Es gibt beliebig viele inhomogene Parkettierungen. Z.B. können
die drei Beispiele rechts ausgebaut werden.
Es gibt zwei weitere Webseiten zu den Parkettierungen.
Homogene
Parkettierungen im Internet top
Deutsch
B. Willimann
Parkettierungen
- Einfache Parkettierungen (.pdf-Datei)
Michael Holzapfel
Parkettierung
mit regelmäßigen Vielecken
Tadeusz E. Dorozinski
Reguläre und halbreguläre
2D-Netze und Kreislagerungen
ursula damm
Geometrischen
Muster bestehen aus regulären Polygonen
Wikipedia
Parkettierung
Englisch
Eric W. Weisstein (Mathworld)
Tiling, Tessellation,
Semiregular
Tesselation, Demiregular
Tessellation, Dual
Tesselation
John J. G. Savard
The 2-Regular Tilings
Kevin Mitchell
Constructing
Semi-Regular Tilings
National Library of Virtual Mathematics for Interactive Mathematics
Pattern
Blocks (Java Applet)
Steven Dutch
Uniform Tilings
Wikipedia
Tilings
of regular polygons,
Referenzen top
(1) István Reimann: Parkette, geometrisch betrachtet, in "Mathematisches
Mosaik", Köln 1977 [ISBN 3-7614-0371-2]
(2) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York
/ London (1997) [ISBN 0-393-04002-X]
(3) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und
Formen, Göttingen 1961
(4) W.Ahrens: Mathematische Unterhaltungen und Spiele, 2.Auflage, Leipzig
und Berlin 1910
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2004 Jürgen Köller
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