Pentominos
Inhalt dieser Seite
Was sind Pentominos?
Rechtecke bilden
Neue Figuren bilden
Figuren mit Löchern
Vergrößerungsprobleme
Ringe
Noch einmal Rechtecke
Vom Pentomino zum Pentawürfel
Quader aus Pentawürfel
Große Pentawürfel
Weitere Körper aus Pentawürfel
Daten der Pentawürfel
Basteln von Pentominos
Weitere Pentawürfel 
Pentominos im Internet
Referenzen.    new: 3D-Solver
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Was sind Pentominos?
... Pentominos heißen die 12 Figuren, die man aus fünf Quadraten bilden kann. Die Quadrate muss man so zusammenstellen, dass sie mindestens eine Seite gemeinsam haben.
Wegen ihrer mehr oder weniger großen Ähnlichkeit mit großen Buchstaben hat man sie nach ihnen benannt.

Rechtecke bilden top
Das Grundproblem besteht darin, Rechtecke zu legen.
Vier Rechtecke sind möglich:

Es gibt 2339 Lösungen für das Rechteck 6x10, 2 Lösungen für 3x20, 368 Lösungen für 4x15 und 1010 Lösungen für 5x12.

Man kann ein Rechteck 5x13 legen, wenn man ein Pentomino ausspart. (5x13 = 65 = 60 + 5).

Neue Figuren bilden top
Außer Rechtecken kann man auch andere Figuren aus Pentominos bilden. Man legt kein Muster fest und baut einfach drauf los. Dann ist es relativ leicht, neue Figuren zu finden. 

Es sind folgende Figuren entstanden.

Der Fantasie sind keine Grenzen gesetzt.


Figuren mit Löchern top
Ein Quadrat mit den Maßen eines Schachbretts  8x8 lässt sich legen, wenn man 4 Löcher zulässt (8x8-4=60) (Bild 1). 
Daraus leiten sich neue Probleme ab: 
>Rechtecke mit isolierten Löchern (Bild 2). 
>Figuren mit möglichst vielen isolierten Löchern (Bild 3). Es geht bis zu 13 Löchern. Dafür gibt es nur 2 Lösungen (Buch 2).

Lösungen:

Vergrößerungsprobleme top
Dreifache Pentominos:
...... ...... Ein einzelner Pentomino-Stein wird aus neun Steinen in dreifacher Vergrößerung nachgelegt. 
Drei Steine bleiben übrig.


...... Eine Erhöhung des Schwierigkeitsgrades besteht darin, die betreffenden Pentominos nicht zu verwenden. 

 .......
Man kann auch in einem dreifachen Pentomino ein Pentomino aussparen und den Rest mit acht Pentominos ausfüllen. 
Dann bleiben vier Pentominos übrig.

Doppelte Pentominos:
 .......
Einige kompakte Pentominos lassen sich mit vier Steinen in doppelter Größe nachlegen. Dann bleiben acht Steine übrig.

Ringe top
Man kann aus Pentominos Ringe legen, Brücken bauen oder weitere ähnliche Figuren bilden, so dass möglichst viele Quadrate eingeschlossen werden.
Belgische Schüler der Schule "TID" in Ronse mit ihrer Lehrerin Odette de Meulemeester haben sich auf  Probeme dieser Art spezialisiert. (URL unten).


Noch einmal Rechtecketop
...... Man kann Pentominos auch so legen, dass das Innere oder der Rand ein Rechteck bilden. 

Man kann auch beides erreichen.

Links werden 84 Quadrate eingeschlossen, 90 ist maximal (Buch 6, nach Lunnon)


Vom Pentomino zum Pentawürfel top
...... Pentominosteine sind meist nicht zweidimensional, sondern sie werden aus Würfeln hergestellt und bilden dann ebene Pentawürfel. Sie sind dann handlicher und ermöglichen neue Raum-Puzzles.


Quader aus Pentawürfel     top
Das Grundproblem besteht darin, Quader zu legen.
Man kann drei Quader legen:
 
Lösungen:
Es gibt 3940 Lösungen für 3x4x5 , 264 Lösungen für 2x5x6 und 12 Lösungen für 2x3x10.


Große Pentawürfel      top
Man kann Pentominos in doppelter Größe und in dreifacher Höhe bilden. Es folgt eine Lösung für das T-Pentomino.
Anzahl aller Lösungen: W (0), X(0), F(1),  T(3), Y(7), U(10), I(12), V(21), Z(24), N(51), L(99), P(1082). 


Weitere Körper aus Pentawürfel   top
Man kann aus den Pentominos neue Körper bauen. Es folgt ein Beispiel, ein Turm mit einem Lichtschacht in der Mitte.
Der Fantasie sind keine Grenzen gesetzt.


Daten der Pentawürfel top
Bedeutung der Zahlen:
V Volumen, O Oberfläche, K Kantensumme
k Anzahl der Kanten, e Anzahl der Ecken, a Anzahl der Seitenflächen
Es gilt der Satz e + a - k = 2.       (Dank an 6c, 7a, 7c, 7d von 99/00)



 

Weitere Pentawürfel stop
... Neben den ebenen Pentawürfeln gibt es 17 räumliche. Fünf sind symmetrisch bzgl. einer Ebene(pink). Die übrigen treten als Paare spiegelbildlicher Würfelkörper auf. Drei Paare enthalten drei aufeinanderfolgende Würfel (hellblau), drei nicht (grün).


Basteln von Pentominos    top
Will man sich mit Pentominos beschäftigen, muß man sie unbedingt bauen.

Im einfachsten Fall genügen Figuren aus Pappquadraten, denn viele Probleme bleiben in einer Ebene.

Zur Herstellung dreidimensionaler Pentominos zersägt man eine quadratische Holzstange, die man in jedem Baumarkt erhält, zu Würfeln und leimt die Würfel entsprechend zusammen.

Eine weitere Methode ist das Zusammenkleben von Spielwürfeln. Man verwendet am besten Zweikomponentenkleber, da dieser nicht sofort erhärtet und man dann in Ruhe die Würfel zu Pentominos zusammensetzen kann. 

Ein billige Methode ist die Herstellung aus Papier. Man muß dazu zu jedem Pentomino ein Netz entwerfen, dann die Körper falten und zusammenkleben.

Pentominos aus Kunststoff  werden in Deutschland unter dem Namen "Zwölfer-Puzzle" verkauft. Sie kosten zwischen 8,50 € - 9,90  € (November 2014) und werden in den diversen Internetshops und im Einzelhandel verkauft. Hersteller ist Elke Rittel, Am Blindgraben 12A, 64331 Weiterstadt, mail@zwoelfer-puzzle.de. Dem Zwölfer-Puzzle ist ein Heftchen beigelegt, in dem viele Lösungsvorschläge enthalten sind.


Pentominos im Internet top

Deutsch

Andrew Clarke
Polyominoes

B.Berchtold
Pentominos - Lösung 6x10 - Applet Online

Dr. Nagy László
Pentomino HungarIQa
Das Element der Pentominos ist kein Quadrat mehr, sondern ein Rhombus. Puzzle-Aufgaben mit jetzt 20 Pentominos

Edith Stein Schule
Pentominos

Gerd Müller
Pentomins interaktiv

Thimo Rosenkranz
Pentomino-Figuren

Wikipedia
Pentomino, Polyomino



Englisch

Andrew Clarke
Polyominoes (Tetrominoes, Pentominoes, Hexominoes, Heptominoes, Octominoes, Fixed (translation only) Polyominoes, Links)

BIGLOBE HOME PAGE (Japanese)
Three Cube Puzzle

c.w.ricken
play pentacubes online

David J. Eck
Pentomino Solver(8x8 with 4 holes), Applet

Eithan Samara
Pentominoes-3D Solver

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Pentomino, Polyomino

François Labelle
Unfolding All 22 Pentominoes

Gerard's Home Page
Gerard's Universal Polyomino Solver

Ken Zeltner
Pentomino Fuzion Puzzles

Kevin Gong
The Mathematics of Polyominoes

Michael Reid
Michael Reid's polyomino page

Miroslav Vicher (Miroslav Vicher's Puzzles Pages)
Polyominoes

Snaffles home page
Pentomino Relationships

Torsten Sillke
Tiling and Packing results

Wikipedia
Pentomino, Polyomino



Russisch

Leonid Mochalov [PUZZLES of LEONID MOCHALOV] 
Puzzles with Polyominoes


Referenzen   top
(1) Martin Gardner: Mathematical Puzzles & Diversions, New York 1959
(2) bild der wissenschaft 7/1976
(3) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1980
(4) Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt a.M. 1986 (Polywürfel)
(5) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991 
(6) Jens Carstensen: Legespiele, MU26:2 1980 (Seite 5 bis 36)
(7) Solomon W.Golomb: Polyominoes, Princeton, New Jersey 1994 (ISBN0-691-08573-0)



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©  1999 Jürgen Köller

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