Quadratisches Antiprisma
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Was ist das quadratische Antiprisma?
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Dualer Körper
Eulerkreis
Quadratisches Antiprisma im Internet
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Was ist ein quadratisches Antiprisma?
...... Das quadratische Antiprisma ist ein Körper, der von zwei Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.

3D-Ansicht 


Beschreibung   top
...... ... Zwei kongruente Quadrate liegen parallel und sind gegeneinander um 45° um eine Achse durch ihre Mittelpunkte gedreht. 

Die Eckpunkte der Quadrate werden durch eine Zickzacklinie miteinander verbunden, so dass acht kongruente, gleichseitige Dreiecke entstehen. 

Die beiden Quadrate bilden die Grundflächen des Körpers, die Dreiecke den Mantel.


Der Körper hat neben den 10 Flächen 8 Eckpunkte und 16 Kanten.

Liegen die beiden Quadrate parallel zur Zeichenebene, so ergeben sich folgende Ansichten. ......

Jedes Quadrat ist von vier Dreiecken umgeben.

Jedes Dreieck ist von einem Quadrat und zwei Dreiecken umgeben.


In jedem Eckpunkt treffen ein Quadrat und drei Dreiecke aufeinander.

Die Gerade durch die Mittelpunkte der Quadrate ist eine Symmetrieachse mit vierstrahliger Drehsymmetrie.

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Die Quadrate erscheinen als Strecken.

durchsichtig

undurchsichtig
Die Quadrate liegen parallel zur Zeichenebene.


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Größen  top
... Ein quadratisches Antiprisma ist i.a. durch die Kantenlänge a gegeben. 
Der Abstand der Quadrate und gleichzeitig die Höhe ist h.
Es gibt eine Umkugel mit dem Radius R, deren Mittelpunkt M auf halber Höhe liegt. 
Der Abstand des Mittelpunktes eines Dreiecks vom Mittelpunkt des Körpers ist r
Die Oberfläche ist O und das Volumen V.


Formeln

Zu den Herleitungen
Höhe h
...... Man findet im Körper das rechtwinkliges Dreieck BEF.
Es gilt EF=h, EB=(1/2)sqrt(2)a-(1/2)a und FB=(1/2)sqrt(3)a als Höhe im gleichseitigen Dreieck.
Nach dem Satz des Pythagoras ist FB²=EB²+EF² oder h² =(3/4)a²-(1/4)([sqrt(2)-1]²a² =(3/4)a²-(1/4)[2-2sqrt(2)+1]a² =(1/2)sqrt(2)a². 
Dann ist h =sqrt[(1/2)sqrt(2)]a =1/sqrt[sqrt(2)]a=2-1/4a.

Radius der Umkugel R
...... Im rechtwinkligen Dreieck AM'M ist AM der gesuchte Radius R.
Es gilt R² =AM'²+M'M² =[(1/2)sqrt(2)a]²+(h/2)² =a²/2+(1/4)(1/2)sqrt(2)a² =a²/2+(1/8)sqrt(2)a²
=8a²/16+[2sqrt(2)]/16 =(1/16)[8+2sqrt(2)]a².

Dann ist R=(1/4)sqrt[8+2sqrt(2)]a


Abstand r
...... Im rechtwinkligen Dreieck MAM'' ist r=MM''.
Es gilt r² =AM²-AM''² =R²-[(2/3)(1/2)sqrt(3)a]² =a²/2+(1/8)sqrt(2)a²-a²/3 =a²/6+(1/8)sqrt(2) =(24/144)a²+18sqrt(2)a²/144 = (1/144)[24+18sqrt(2)]a²

Dann ist r=(1/12)sqrt[24+18sqrt(2)]a


Oberfläche O
O=2*a²+8*[(1/4)sqrt(3)a²]= [2+2sqrt(3)]a²

Volumen V
Im Mittelpunkt M treffen sich die Spitzen von zwei quadratischen Pyramiden und acht dreiseitigen Pyramiden. 
Das Gesamtvolumen ist 
V=2*(1/3)a²(h/2)+8*(1/3)[(1/4)sqrt(3)a²]r =(1/3)(2-1/4)a³+(2/3)sqrt(3)a²*(1/12)sqrt[24+18sqrt(2)]a ={(1/3)(2-1/4)+(1/6)sqrt[8+6sqrt(2)]}a³.
Die Formel scheint falsch zu sein, denn in der Literatur findet man die einfachere Formel V=(1/3)sqrt[4+3sqrt(2)]a².
Das ist nicht der Fall. Es gilt die Identität {(1/3)(2-1/4)+(1/6)sqrt[8+6sqrt(2)]} = (1/3)sqrt[4+3sqrt(2)]. 
Das kann man durch zweimaliges Quadrieren nachweisen.

Ein Vergleich
Betrachtet man das Antiprisma oberflächlich, so hat es etwa die Form eines quadratischen Prismas mit der Höhe h und der Grundseite a. 
......
...
Es gilt für beide Körper h=0,84a
Prisma
R=0,82a
r=0,5a
V=0,84a³
O=5,36a²
Antiprisma
R=0,84a
r=0,59a
V=0,96a³
O=5,46a²
Die Zahlen sind auf zwei Dezimalen gerundet.

Weitere Antiprismen    top
Allgemeines quadratisches Prisma
Verändert man den Abstand der Quadrate des oben vorgestellten Antiprismas, so werden die gleichseitigen Dreiecke zu gleichschenkligen. 
Der Name quadratisches Antiprisma trifft weiter zu. 
Man nennt das linke Prisma mit den gleichseitigen Dreiecken genauer regelmäßiges quadratisches Antiprisma.


Antiprismen aus Vielecken
Ersetzt man die Quadrate durch regelmäßige n-Ecke, so erhält man weitere Antiprismen. Die beiden parallel liegenden regelmäßigen Vielecke sind um 180°/n gegeneinander verdreht. Der Mantel wird aus 2n gleichseitigen Dreiecken gebildet. 
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Pentagonales Antiprisma


 

Dekagonales Antiprisma


Auch das Oktaeder ist ein Antiprisma mit gleichseitigen Dreiecken als Grundseiten.


Noch einmal V
Man kann Formeln für das quadratische Antiprisma auch so herleiten, dass man Formeln für ein Antiprisma mit einem regelmäßigen n-Eck als Grundseiten herleitet und dann auf n=4 spezialisiert. 
Es gilt z.B. 
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Man findet eine Herleitung bei Literka (URL unten). Der Weg entspricht dem der Herleitung oben.

Die Formel wird einfacher, wenn man das Volumen durch die Höhe h ausdrückt.
Man findet die Formel auf der französischen Wikipedia-Seite und eine Herleitung bei numericana (URL unten).

Abgeschrägtes quadratisches Antiprisma
Bei diesem Körper liegt zwischen zwei quadratischen Grundflächen ein Geflecht aus 24 gleichseitigen Dreiecken. 

3D-Ansicht


Netz
Der Körper hat neben den 26 Flächen 16 Eckpunkte und 40 Kanten.

Besondere Ansichten

Die Quadrate erscheinen als Strecken.

durchsichtig

undurchsichtig
Die Quadrate liegen parallel zur Zeichenebene.
Dieser Körper wird nur von regelmäßigen Vielecken begrenzt und ist ein Johnson-Körper, und zwar Johnson-Körper J85.

Dualer Körper  top
Verbindet man die Flächenmitten der Seitenflächen des quadratischen Prismas miteinander, so entsteht der duale Körper.
Er heißt quadratisches Deltohedron oder quadratisches Trapezoeder.


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Mehr auf der Seite Haus des Nikolaus


Quadratisches Antiprisma im Internet      top

Deutsch

Hans-Bernhard Meyer
Quadratisches Antiprisma (Polyeder aus Flechtstreifen)

Wikipedia
Prisma (Geometrie)



Englisch

Hans-Bernhard Meyer
Square Antiprism (Polyhedra plaited with paper strips)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Square AntiprismAntiprism, Trapezohedron, Tetragonal Trapezohedron

George W. Hart
Prisms and Antiprisms
G. Korthals Altes
Paper Model Square Antiprism
Honeylocust Media Systems
Square Antiprism

Literka
Antiprisms. Volume Formula

numericana
What is the volume of a regular antiprism?

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia 
Square antiprism, Antiprism, Trapezohedron, Compound of three square antiprismsApeirogonal antiprism



Französisch

Robert FERRÉOL (mathcurve)
ANTIPRISME

Wikipedia
Antiprisme


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©  2009 Jürgen Köller

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