Kleines Rhombenikosidodekaeder
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Was ist das Rhombenikosidodekaeder?
Beschreibung
Entstehung
Besondere Ansichten		 Netz
Größen
Rhombenikosidodekaeder im Internet
Referenzen
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Was ist das kleine Rhombenikosidodekaeder?
......
 Das kleine Rhombenikosidodekaeder ist ein Körper, der von 20 gleichseitigen Dreiecken, 30 Quadraten und 12 regelmäßigen Fünfecken gebildet wird. 

Der Körper heißt auch nach den möglichen Entstehungen "abgeschrägtes Dodekaeder" oder "abgeschrägtes Ikosaeder". 
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den archimedischen Körpern. 

Neben den 20+30+12=62 Seitenflächen hat das Rhombenikosidodekaeder 120 Kanten und 60 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.

undurchsichtig:

durchsichtig:

Beschreibung   top

Jedes Dreieck ist von drei Quadraten umgeben.

Jedes Fünfeck ist von fünf Quadraten  umgeben.

Jedes Quadrat ist von zwei Dreiecken und zwei Fünfecken umgeben.

Umläuft man längs einer Halbierungslinie den Körper, so folgen Fünfeck/Quadrat/Fünfeck und Dreieck/Quadrat/Dreieck 2x aufeinander. 

Entstehung   top

Man kann das Rhombenikosidodekaeder aus einem Pentagondodekaeder gewinnen. 
1 Man gibt ein Dodekaeder vor.
2 Alle Kanten werden passend abgeflacht, hier angedeutet an einer Kante. 
3 Aus den blauen, abgeschrägten Kanten werden in der Mitte die Quadrate. Die Ecken werden abgeflacht.
4 Es entsteht das Rhombenikosidodekaeder.
Die 12 fünfeckigen Seitenflächen des Dodekaeders werden reduziert zu kleineren Fünfecken.
Die 20 Ecken des Dodekaeders werden dreieckig abgeschnitten. 
Die 30 Mittelstücke der Kanten des Dodekaeders werden zu Quadraten.
Man erhält das Rhombenikosidodekaeder auch, wenn man beim Ikosaeder die Kanten in gleicher Weise abschrägt.
Dann werden die 20 dreieckigen Seitenflächen des Ikosaeders zu 20 Dreiecken.
Die 12 Ecken des Ikosaeders werden fünfeckig abgeschnitten. 
Die 30 Mittelstücke der Kanten des Ikosaeders werden zu Quadraten.

Besondere Ansichten  top

Ein regelmäßiges Fünfeck liegt vorne.

Ein Quadrat liegt vorne.

Ein gleichseitiges Dreieck liegt vorne.


Die gemeinsame Seite Quadrat/Dreieck liegt vorne.

Die gemeinsame Seite Fünfeck/Quadrat liegt vorne.

Eine Ecke liegt vorne.

Netz   top
Ein Netz des Rhombenikosidodekaeders

Größen  top
Der abgestumpfte Würfel sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O , Abstand der Dreiecke d3, Abstand der Quadrate d4 und Abstand der Fünfecke d5 berechnen.

Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Gleichseitiges Dreieck
Flächeninhalt A3=(1/4)sqrt(3)a²
h3=(1/2)sqrt(3)a
R3=(1/3)sqrt(3)a		 Quadrat
Flächeninhalt A4=a² 
Diagonale d=sqrt(2)a
R4=(1/2)sqrt(2)a.		 Regelmäßiges Fünfeck
A5=(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a² 
R5=(1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a
r5=(1/10)[sqrt(25+10sqrt(5))]a 

Ich setze voraus, dass der Radius der Umkugel R mit R=(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a gegeben ist. (einfache Herleitung?)
Oberfläche O
O=20*A3+30*A4+12*A5=20*(1/4)sqrt(3)a² + 30*a²+12*(1/4)[sqrt(25+10sqrt(5)]a² 
...=[30+5sqrt(3)+3{sqrt[25+10sqrt(5)]}a², wzbw.
Abstand der Dreiecke d3
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d3/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d3/2)²=R²-R3² und weiter 
(d3/2)²={(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[ ]²=...=(1/144)[348+144sqrt(5)]a².
Dann ist d3/2=(1/12)sqrt[348+144sqrt(5)]a oder dank Derive d3/2=(1/12)[6sqrt(3)+4sqrt(15)]a.
Abstand der Quadrate d4
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d4/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d4/2)²=R²-R4² und weiter 
(d4/2)²={(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[(1/2)sqrt(2)a]²=...=(1/4)[9+4sqrt(5)]a².
Dann ist d4/2=(1/2)sqrt[9+4sqrt(5)]a oder dank Derive d4/2=(1/2)[2+sqrt(5)]a.
Abstand der Fünfecke d5
...... M sei der Mittelpunkt des Körpers. 
Man kann im Körper ein rechtwinkliges Dreieck ausmachen, in dem d5/2 als Kathete erscheint.
Es gilt (d5/2)²=R²-R5² und weiter 
(d5/2)²={(1/2)sqrt[11+4sqrt(5)]a}²-[(1/10){sqrt[50+10sqrt(5)]}a]²
... = (1/100)[225+90sqrt(5)]a²
Dann ist d5/2=(1/10)sqrt[225+90sqrt(5)]a.
Volumen V
Verbindet man den Mittelpunkt des kleinen Rhombenikosidodekaeders mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich aus der Summe der Einzelpyramiden.
V=20*(1/3)A3(d3/2) + 30*(1/3)A4(d4/2) + 12*(1/3)A5(d5/2)
=20*(1/3)[(1/4)sqrt(3)a²](1/12)[6sqrt(3)+4sqrt(15)]a
...+30*(1/3)a²(1/2)[2+sqrt(5)]a
...+12*(1/3){(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²}(1/10)sqrt[225+90sqrt(5)]a
=...
=(5/18)[3sqrt(15)+10sqrt(10)]a³+5[2+sqrt(5)]a³+(3/2)[5+2sqrt(5)]a³
=...
=[20+(29/3)sqrt(5)]a³ = (1/3)[60+29sqrt(5)]a³, wzbw.

Eine Übersicht über alle 13 archimedischen Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage. 

Rhombenikosidodekaeder im Internet    top

Deutsch

Wikipedia
Archimedischer Körper,  Catalanischer Körper


Englisch

Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Small Rhombicosidodecahedron  Dual: Deltoidal Hexecontahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Rhombicosidodecahedron (Applet)

G. Korthals Altes
Paper Model Rhombicosidodecahedron

Wikipedia
Rhombicosidodecahedron, Archimedean solid, Catalan solid
Dualer Körper: Deltoidal hexecontahedron

Referenzen    top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 111)

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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2008 Jürgen Köller

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