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Was ist ein Sehnenviereck?
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Ein Sehnenviereck ist ein Viereck mit einem Umkreis.
Ein Sehnenviereck entsteht, wenn man vier verschiedene Punkte eines
Kreises miteinander verbindet.
Die Seiten sind Sehnen des Kreises. So erklärt sich der Name. |
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Nach der Definition ist auch ein überschlagenes Viereck ein Sehnenviereck.
Auf dieser Seite wird vorausgesetzt, dass das Sehnenviereck konvex
ist. |
Satz des Ptolemäus top
Dieser Satz gibt eine einfache Beziehung zwischen
den Seiten und den Diagonalen eines Sehnenvierecks an.
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Er lautet:
Das Produkt der Längen der Diagonalen ist gleich der Summe der
Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten.
In der Formelsprache heißt das ef=ac+bd. |
Beweis:
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Dazu trägt man den blauen Winkel BDC, der zwischen einer Seite
und einer Diagonalen liegt, an der Seite AD in D nach innen hin ab. Man
erhält die Strecke DE. |
Die Diagonale BD zerlegt das Viereck in
zwei Dreiecke. Zu diesen Dreiecken gibt es zwei ähnliche:
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Das Dreieck AED ist dem Dreieck BDC ähnlich, denn die Dreiecke
stimmen in zwei Winkelgrößen überein.
Die farblich gekennzeichneten Winkel in D sind laut Konstruktion von
E gleich groß.
Die rot gekennzeichneten Winkel sind als Umfangswinkel über demselben
Bogen CD gleich.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt die Proportion e1:d=b:f
oder e1f=bd. |
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Das Dreieck ABD ist dem Dreieck ECD ähnlich, denn die Dreiecke
stimmen in zwei Winkelgrößen überein.
Der blaue und der grüne Winkel in D sind gleich groß, weil
beide Winkel von oben um den gleichen Winkel BDE verringert wurden.
Die roten Winkel sind als Umfangswinkel über demselben Bogen AD
gleich.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt die Proportion e2:c=a:f
oder e2f=ac. |
Addiert man beide Seiten der Produktgleichungen, so ergibt sich e1f+e2f=bd+ac
oder ef=bd+ac, wzbw.
Der Satz ist umkehrbar:
Gilt in einem Viereck die Beziehung ef=ac+bd, so liegen die Eckpunkte
des Vierecks auf einem Kreis und das Viereck ist ein Sehnenviereck.
Anders ausgedrückt:
Die Ptolemäische Ungleichung lautet: ac+bd>=ef.
Nur im Falle des Sehnenvierecks gilt das Gleichheitszeichen.
Vierecke aus vier Teilen top
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Zeichnet man die Radien des Umkreises durch die vier Eckpunkte des
Sehnenvierecks, so ergibt sich eine Aufteilung in vier Kreisausschnitte. |
Diese Kreisausschnitte kann man zu fünf neuen Sehnenvierecken zusammensetzen.
Erstaunlicherweise ergeben sich nur drei verschiedene Diagonalen. Neben
den üblichen Diagonalen e (rot) und f (blau) taucht noch die Diagonale
g (grün) auf.
Unterhalb der Figuren stehen die Formeln nach dem Satz des Ptolemäus.
Das sind ef=ac+bd, fg=ab+cd und eg=ad+bc.
Bildet man ef*eg/fg, so erhält man e²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)
oder e=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)].
ef*fg/eg ergibt f=sqrt[(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)], fg*eg/ef ergibt
g=sqrt[(ab+cd)(ad+bc)/(ac+bd)]
Liegt der Mittelpunkt des Umkreises außerhalb
des Vierecks, so ist die folgende Überlegung möglich.
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Man teilt den Kreisauschnit zu b auf dreierlei Weise auf.
So gelangt man zu denselben Formeln wie oben. |
Winkelsatz top
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Es gilt der Satz =>:
Im Sehnenviereck gilt alpha+gamma=180° und
beta+delta=180°.
In Worte: Gegenüberliegende Winkel ergänzen
sich zu 180°.
Die Aussage ist umkehrbar <=:
Ist in einem Viereck die Summe gegenüberliegender
Winkel 180°, so ist es ein Sehnenviereck. |
Beweis für die
Richtung =>:
Es wird der Satz "Der Umfangswinkel
ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel" vorausgesetzt.
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Dann gilt beta=epsilon/2 und delta=epsilon'/2, außerdem ist epsilon+epsilon'=360°.
Daraus folgt beta+delta=epsilon/2+epsilon'/2=(epsilon+epsilon')/2=360°/2=180°
wzbw..
Die Winkelsumme im Viereck ist 360°. Deshalb gilt alpha+gamma=180°.
Liegt der Kreismittelpunkt M außerhalb des Vierecks, gilt eine
ähnliche Rechnung. |
Beweis für die
Richtung <=:
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Angenommen, C liege außerhalb des Kreises und hieße C'.
Dann gilt im gelben Dreieck nach dem Satz von den Außenwinkeln gamma=gamma'+delta1
e.
Daraus folgt alpha+gamma'<180°.
Angenommen, C liege innerhalb des Kreises und hieße C''. Dann
gilt im grünen Dreieck nach dem Satz von den Außenwinkeln gamma''=gamma+delta2.
oder gamma=gamma''-delta2. Daraus folgt alpha+gamma''>180°. |
Ergebnis: Nur wenn alpha+gamma=180° ist, liegt
der Punkt C auf der Kreislinie.
Berechnungen top
Ein beliebiges Viereck ist im allgemeinen durch fünf Größen
festgelegt. Drei Größen legen ein Dreieck fest. Mit dem Dreieck
ist auch sein Umkreisradius gegeben. Für einen vierten Punkt genügt
eine weitere Größe. Also ist zu vermuten, dass ein Sehnenviereck
immer durch
vier passende Größen festgelegt wird.
Der Normalfall ist wohl, dass die vier Seiten a, b, c und d gegeben
sind.
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Dann stellt sich das Problem, die übrigen Größen zu
berechnen.
Das sind u.a.
Umfang
U, Hauptdiagonale e, Nebendiagonale f,
Radius R des Umkreises und Flächeninhalt A
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Es gilt
Die Formel für den Flächeninhalt heißt Formel des Brahmagupta.
Zur den Formeln und ihren Herleitungen
Diagonalen
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Nach dem Kosinussatz e²=a²+b²-2ab*cos(beta) und e²=c²+d²-2cd*cos(delta).
Es gilt cos(delta)=cos(180°-beta)=-cos(beta) und e²=c²+d²+2cd*cos(beta).
cos(beta) wird eliminiert: (a²+b²-e²)/(2ab)=(c²+d²-e²)/(2cd).
Daraus folgt e²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd) oder e=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)].
Analog erhält man f²=(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad) oder f=sqrt[(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)]. |
Es gilt weiter e²f²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)*(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)=(ac+bd)²
und ef=ac+bd.
Damit wird ein weiterer Beweis des Satzes von Ptolemäus erbracht.
Ferner gilt e² : f² = [(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)]
: [(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)] = (ad+bc)² : (ab+cd)² oder
e : f= (ad+bc) : (ab+cd).
Umfang
Der Umfang ist U=a+b+c+d.
Interessant ist,
dass von allen Vierecken mit den Seiten a,b,c und d das Sehnenviereck den
größten Umfang hat.
Flächeninhalt
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Die Diagonale e teilt das Viereck in zwei Dreiecke auf. Für die
Flächen gilt:
A=A1+A2=ab/2*sin(beta)+cd/2*sin(delta)=ab/2*sin(beta)+cd/2*sin(180°-beta)
und schließlich
(#) A =[(ab+cd)/2]*sin(beta)
Andererseits gilt nach dem Kosinussatz e²=a²+b²-2abcos(beta)
und e²=c²+d²-2cd*cos(delta) oder
(##) a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cos(beta). |
Die Terme beider Gleichungen werden quadriert:
(#) A² =(ab+cd)²/4*sin²(beta) und (a²+b²-c²-d²)²=4(ab+cd)²cos²(beta).
Für cos²(beta) kann man noch 1-sin²(beta) setzen:
(##) (a²+b²-c²-d²)²=4(ab+cd)²[1-sin²(beta)]
und erhält sin²(beta)=[4(ab+cd)²-(a²+b²-c²-d²)²]/4(ab+cd)².
Diesen Ausdruck setzt man in A² =(ab+cd)²/4*sin²(beta) ein
und erhält 16A²=[4(ab+cd)²-(a²+b²-c²-d²)².
Ausmultipliziert ergibt sich
(###) 16A²=2a²b²+2a²c²+2a²d²+2b²c²+2b²d²+2c²d²-a4-b4-c4-d4+8abcd.
Dieser Ausdruck muss zu A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] mit s=(a+b+c+d)/2
führen. Setzt man s ein und quadriert, erhält man
16A²=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d). Dieses Produkt wird
ausmultipliziert und man erhält am Ende den Term (###).
Wenn man noch die letzte Rechnung wegen des logisch richtigen Aufbaus
umkehrt, ist die Formel bewiesen.
Diese Herleitung findet man im Prinzip bei Dr.Math,
andere Herleitungen bei en.wikipedia, bei Jim Wilson oder bei Hartmut Wellstein
(URLs unten).
Für beliebige Vierecke gilt die Formel
von Bretschneider A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd*cos²((alpha+gamma)/2]
mit s=(a+b+c+d)/2 .
Setzt man sie voraus und setzt alpha+gamma=180°, so ergibt sich
auch die obige Formel A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] als Sonderfall.
Radius des Umkreises
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Nach dem Satz "Der Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie
der Umfangswinkel" kann man sin(beta)=(e/2)/R ablesen.
Andererseits gilt die Formel (#) A=[(ab+cd)/2]*sin(beta) von oben.
Man eliminiert sin(beta) und erhält A=(ab+cd)/2*(e/2)/R. Daraus
folgt R=[(ab+cd)/2*(e/2)]/A. |
Setzt man e=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)] und A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]
ein, so erhält man die gesuchte Gleichung R=sqrt{[(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)]/[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]}/4.
Verschiedenes top
Aufteilung in Vierecke
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Die beiden Diagonalen teilen das Sehnenviereck in vier Teildreiecke
auf.
Es gilt: Je zwei gegenüberliegende Dreiecke sind ähnlich.
Daraus lässt sich eine Beziehung zwischen den Diagonalenabschnitten
ablesen.
e1 : f1 = f2 : e2
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Man kann die Gleichung auch als Produktgleichung schreiben: e1e2
=
f1f2 . Das ist der Sehnensatz
Dann kann man zum Beispiel die Aufgabe lösen zu einem Rechteck
ein flächengleiches Rechteck zu konstruieren.
Beweis:
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Die Dreiecke ABS und CDS sind ähnlich.
Sie stimmen in drei Winkeln überein, nämlich in den Scheitelwinkeln
und den Umfangswinkeln über den Sehnen BC und AD.
Wegen der Ähnlichkeit gilt die Proportion e1
: f1 = f2 : e2. |
Sehnenvierecke unter
den Standard-Vierecken
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Die nebenstehenden bekannten Vierecke sind auch Sehnenvierecke.
Es sind das Quadrat, das Rechteck und das gleichschenklige Trapez.
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Eigentlich müsste das Quadrat nicht aufgeführt werden, da jedes
Quadrat auch ein Rechteck ist.
In alten Büchern gab es für Rechtecke, die kein Quadrat sind,
einen Namen. Sie hießen die Oblongen (Einzahl das Oblongum).
Heute steht im neuen Duden nur noch das Wort oblong mit der Beschreibung
"veraltet für länglich, rechteckig".
Drachenviereck
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Das Drachenviereck hat im allgemeinen keinen Umkreis, wenn aber die
gleichen Winkel des Drachens rechte Winkel sind, ist der Drachen auch ein
Sehnenviereck.
Man erkennt den Halbkreis des Thales. |
Sehnentangentenviereck
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Das Quadrat hat als Sehnenviereck eine zusätzliche Eigenschaft:
Es hat auch einen Inkreis.
Die Mittelpunkte von In- und Umkreis fallen zusammen.
Es gibt auch andere Sehnenvierecke, die einen Inkreis haben.
Die Mittelpunkte können wie links verschieden sein.
Die Seiten des Sehnenvierecks werden zu Tangenten und das Viereck ist
dann auch ein Tangentenviereck. |
Ein Viereck mit In- und Umkreis heißt Sehnentangentenviereck.
Ein Rechteck im Sehnenviereck
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Jede Diagonale teilt das Sehnenviereck in zwei Dreiecke auf. Es entstehen
vier Dreiecke.
Verbindet man die Mittelpunkte der vier Inkreise, so ergibt sich ein
- Rechteck. |
Einen Beweis findet man bei Antonio Gutierrez unter dem Stichwort Sangako
Problem (URL unten)
Bitte den Lautsprecher einschalten :-).
Butterfly Theorem
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1 Zeichne einen Kreis und die Sehne PQ mit dem Mittelpunkt M.
2 Zeichne durch M zwei beliebige Sehnen und ergänze die Figur
zu einem überschlagenen Sehnenviereck.
3 Es gilt: Die so entstehende Strecke XY wird durch M halbiert. |
Einen Beweis findet man bei Antonio Gutierrez.
Brahmagupta-Vierecke.
In Analogie zu den Pythagoräischen Dreiecken gibt es Brahmagupta-Vierecke.
Pytagoräische Dreiecke sind rechtwinklig und ihre Seitenlängen
sind natürliche Zahlen.
Das einfachste Dreieck ist das 3-4-5-Dreieck.
Entsprechend hat man nach Sehnenvierecken gesucht, die neben ganzzahligen
Seiten auch ganzzahlige Diagonalen und Flächen haben. Ein Beispiel
ist a=65, b=25, c=33, d=39, e=60, f=52, A=1344.
Zu diesem Problem gibt es im Internet eine Untersuchung von K.R.S.Sastry
(URL unten).
Weitere Vielecke mit Umkreis
top
Dreiecke
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Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Deshalb ist jedes Dreieck ein Sehnendreieck. |
Bestimmte Dreieckssätze haben bei den Sehnenvierecken Entsprechungen:
Dreieck: Heron-Formel A=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)] mit s=(a+b+c)/2
Viereck: Brahmagupta-Formel A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]
mit s=(a+b+c+d)/2 |
Dreieck: A= abc/(4R)
Viereck: A=efg/(4R) |
Vielecke mit Umkreis
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Alle regelmäßigen Vielecke haben einen Umkreis und man könnte
sie als "Sehnenvielecke". bezeichnen.
Sie haben auch einen Inkreis und zählen auch zu den "Tangentenvielecken". |
Sehnenfünfeck
Bei Mathworld (Cyclic Pentagon) kann man erfahren, dass das Fünfeck
sich nur schwer erschließt.
So ist zum Beispiel der Flächeninhalt die Lösung einer komplizierten
Gleichung 7. Grades.
Sehnensechseck
Zum Sehnensechseck folgen noch zwei Aussagen.
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Gegeben sind ein konvexes Sehnensechseck und die drei Diagonalen, die
jeden dritten Eckpunkt miteinander verbinden.
Dann gilt d1d2d3=ebd1+cfd2+add3+ace+bdf.
Das ist eine Übertragung des Satzes von Ptolemäus auf ein
Sechseck. |
Man findet den Satz im Internet in Suchmaschinen mit den Suchwort "Fuhrmann's
theorem".
Ein Winkelsatz
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Satz: Im Sehnensechseck ist die Summe nichtbenachbarter Winkel 360°.
Beweis: Das Viereck ABDF ist ein Sehnenviereck, so dass der Winkel
bei D im roten Dreieck gleich 180°-alpha ist. Entsprechend gilt für
die übrigen Winkel
180°-gamma und 180°-epsilon. Die Winkelsumme ist 180°:
(180°-alpha)+(180°-gamma)+(180°-epsilon)=180°.
Daraus folgt die Behauptung alpha+gamma+epsilon=360°. |
Sehnenviereck im Internet
top
Deutsch
Arne Madincea - Homepage
Der
Flächeninhalt eines Sehnenvierecks (.pdf-Datei)
Eckard Specht (math4U)
Tangentenviereck
(7 Aufgaben mit Lösungen), Sehnenviereck
(8 Aufgaben mit Lösungen)
Sehnentangentenviereck
(1 Aufgabe mit Lösung)
Hartmut Wellstein
4:
Sehnenviereck und Tangentenviereck (.pdf-Datei)
10:
Der Satz des Ptolemaios und die Formel von Brahmagupta (.pdf-Datei)
Universität Bayreuth Lehrstuhl für Mathematik
und ihre Didaktik
Unterrichtssequenz
'Sehnenviereck' (Geonet)
Walter Fendt
Sehnenviereck
(Applet)
Wikipedia
Sehnenviereck,
Tangentenviereck,
Japanischer
Satz für Sehnenvierecke
Englisch
Antonio Gutierrez
Butterfly
theorem, Sangako
Problem
Ask Dr. Math
Bretschneider's
Theorem and Cyclic Quadrilaterals
Eric.W.Weisstein
Cyclic
Quadrilateral, Ptolemy's
Theorem, Ptolemy
Inequality, Bretschneider's
Formula, Fuhrmanns
Theorem,
Cyclic Pentagon,
Cyclic
Hexagon,
Cyclic
Polygon, Lemoine
Hexagon, Butterfly
Theorem
Jim Wilson
Brahmagupta's
formula
K.R.S.Sastry (Forum Geometricorum)
Brahmagupta
Quadrilaterals (.pdf-Datei)
NN (mathpages)
On Ptolmey's Theorem
Pat Ballew
Cyclic Quadrangles
Wikipedia
Cyclic
quadrilateral, Ptolemy's
theorem, Circumcircle,
Brahmagupta's
theorem,
Japanese
theorem for cyclic quadrilaterals
Wilson Stothers' Home Page
Fuhrmann's
theorem
Referenzen top
(1) Hahn/Dzewas: Mathematik 8.Schuljahr, Braunschweig 1990 [ISBN 3-14-112958-4]
(2) Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig 1998 [ISBN 3-12-720040-4]
(3) Theo Kühlein: Ebene Trigonometrie II, Mentor-Repetitionen,
Berlin 1962 (7th ed.1974) [ISBN 3-580-63140-3]
(4) Martin Mettler: Vom Charme der 'verblassten' Geometrie, Timisoara,
(2000) Rumänien [ISBN 973-9441-97-1]
(5) Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind: Challenging Problems
in Geometry, Dover Publications, 1996
Viele Tipps und die drei letzten Literaturangaben stammen von Torsten
Sillke.
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2006 Jürgen Köller
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