Sehnenviereck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Sehnenviereck?
Satz des Ptolemäus
Vierecke aus vier Teilen
Winkelsatz
Berechnungen
Verschiedenes
Weitere Vielecke mit Umkreis
Sehnenviereck im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Sehnenviereck?
...... Ein Sehnenviereck ist ein Viereck mit einem Umkreis. 
Ein Sehnenviereck entsteht, wenn man vier verschiedene Punkte eines Kreises miteinander verbindet. 
Die Seiten sind Sehnen des Kreises. So erklärt sich der Name. 
...... Nach der Definition ist auch ein überschlagenes Viereck ein Sehnenviereck. 
Auf dieser Seite wird vorausgesetzt, dass das Sehnenviereck konvex ist. 


Satz des Ptolemäus  top
Dieser Satz gibt eine einfache Beziehung zwischen den Seiten und den Diagonalen eines Sehnenvierecks an.
...... Er lautet:
Das Produkt der Längen der Diagonalen ist gleich der Summe der Produkte der Längen gegenüberliegender Seiten.
In der Formelsprache heißt das ef=ac+bd.


Beweis:
...... Dazu trägt man den blauen Winkel BDC, der zwischen einer Seite und einer Diagonalen liegt, an der Seite AD in D nach innen hin ab. Man erhält die Strecke DE.

Die Diagonale BD zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke. Zu diesen Dreiecken gibt es zwei ähnliche:
Das Dreieck AED ist dem Dreieck BDC ähnlich, denn die Dreiecke stimmen in zwei Winkelgrößen überein.
...... Die farblich gekennzeichneten Winkel in D sind laut Konstruktion von E gleich groß.
Die rot gekennzeichneten Winkel sind als Umfangswinkel über demselben Bogen CD gleich. 
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt die Proportion e1:d=b:f oder e1f=bd.

Das Dreieck ABD ist dem Dreieck ECD ähnlich, denn die Dreiecke stimmen in zwei Winkelgrößen überein. 
...... Der blaue und der grüne Winkel in D sind gleich groß, weil beide Winkel von oben um den gleichen Winkel BDE verringert wurden.
Die roten Winkel sind als Umfangswinkel über demselben Bogen AD gleich.
Wegen der Ähnlichkeit der Dreiecke gilt die Proportion e2:c=a:f oder e2f=ac. 
Addiert man beide Seiten der Produktgleichungen, so ergibt sich e1f+e2f=bd+ac oder ef=bd+ac, wzbw.

Der Satz ist umkehrbar:
Gilt in einem Viereck die Beziehung ef=ac+bd, so liegen die Eckpunkte des Vierecks auf einem Kreis und das Viereck ist ein Sehnenviereck. 
Anders ausgedrückt:
Die Ptolemäische Ungleichung lautet: ac+bd>=ef. Nur im Falle des Sehnenvierecks gilt das Gleichheitszeichen.

Vierecke aus vier Teilen top
...... Zeichnet man die Radien des Umkreises durch die vier Eckpunkte des Sehnenvierecks, so ergibt sich eine Aufteilung in vier Kreisausschnitte. 
Diese Kreisausschnitte kann man zu fünf neuen Sehnenvierecken zusammensetzen. 

Erstaunlicherweise ergeben sich nur drei verschiedene Diagonalen. Neben den üblichen Diagonalen e (rot) und f (blau) taucht noch die Diagonale g (grün) auf. 
Unterhalb der Figuren stehen die Formeln nach dem Satz des Ptolemäus. Das sind ef=ac+bd, fg=ab+cd und eg=ad+bc.
Bildet man ef*eg/fg, so erhält man e²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd) oder e=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)]. 
ef*fg/eg ergibt f=sqrt[(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)], fg*eg/ef ergibt g=sqrt[(ab+cd)(ad+bc)/(ac+bd)]

Liegt der Mittelpunkt des Umkreises außerhalb des Vierecks, so ist die folgende Überlegung möglich.
...... Man teilt den Kreisausschnitt zu b auf dreierlei Weise auf.

So gelangt man zu denselben Formeln wie oben.


Winkelsatz top
Es gilt der Satz =>: 

Im Sehnenviereck gilt alpha+gamma=180° und beta+delta=180°. 
In Worte: Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180°.

Die Aussage ist umkehrbar <=:
Ist in einem Viereck die Summe gegenüberliegender Winkel 180°, so ist es ein Sehnenviereck.


Beweis für die Richtung =>:
Es wird der Satz  "Der Umfangswinkel ist halb so groß wie der zugehörige Mittelpunktswinkel" vorausgesetzt.
...... Dann gilt beta=epsilon/2 und delta=epsilon'/2, außerdem ist epsilon+epsilon'=360°.
Daraus folgt beta+delta=epsilon/2+epsilon'/2=(epsilon+epsilon')/2=360°/2=180° wzbw..
Die Winkelsumme im Viereck ist 360°. Deshalb gilt alpha+gamma=180°.
Liegt der Kreismittelpunkt M außerhalb des Vierecks, gilt eine ähnliche Rechnung.

Beweis für die Richtung <=:
...... ...... Angenommen, C liege außerhalb des Kreises und hieße C'. Dann gilt im gelben Dreieck nach dem Satz von den Außenwinkeln gamma=gamma'+delta1 e. Daraus folgt alpha+gamma'<180°.
Angenommen, C liege innerhalb des Kreises und hieße C''. Dann gilt im grünen Dreieck nach dem Satz von den Außenwinkeln gamma''=gamma+delta2. oder gamma=gamma''-delta2. Daraus folgt alpha+gamma''>180°.
Ergebnis: Nur wenn alpha+gamma=180° ist, liegt der Punkt C auf der Kreislinie. 

Berechnungen    top
Ein beliebiges Viereck ist im Allgemeinen durch fünf Größen festgelegt. Drei Größen legen ein Dreieck fest. Mit dem Dreieck ist auch sein Umkreisradius gegeben. Für einen vierten Punkt genügt eine weitere Größe. Also ist zu vermuten, dass ein Sehnenviereck immer durch vier passende Größen festgelegt wird. 
Der Normalfall ist wohl, dass die vier Seiten  a, b, c und d gegeben sind. 
......
Dann stellt sich das Problem, die übrigen Größen zu berechnen.

Das sind u.a. 
Umfang U, Hauptdiagonale e, Nebendiagonale f, Radius R des Umkreises und Flächeninhalt A

 

Es gilt 

Die Formel für den Flächeninhalt heißt Formel des Brahmagupta.


Zur den Formeln und ihren Herleitungen
Diagonalen
...... Nach dem Kosinussatz e²=a²+b²-2ab*cos(beta) und e²=c²+d²-2cd*cos(delta). 
Es gilt cos(delta)=cos(180°-beta)=-cos(beta) und e²=c²+d²+2cd*cos(beta). 
cos(beta) wird eliminiert: (a²+b²-e²)/(2ab)=(c²+d²-e²)/(2cd).
Daraus folgt e²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd) oder e=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)]. 
Analog erhält man f²=(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad) oder f=sqrt[(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)]. 

Es gilt weiter e²f²=(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)*(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)=(ac+bd)²  und ef=ac+bd.
Damit wird ein weiterer Beweis des Satzes von Ptolemäus erbracht. 

Ferner gilt e² : f² = [(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)] : [(ac+bd)(ab+cd)/(bc+ad)] = (ad+bc)² : (ab+cd)² oder 
e : f= (ad+bc) : (ab+cd).

Umfang
Der Umfang ist U=a+b+c+d.

Interessant ist, dass von allen Vierecken mit den Seiten a,b,c und d das Sehnenviereck den größten Umfang hat. 

Flächeninhalt
...... Die Diagonale e teilt das Viereck in zwei Dreiecke auf. Für die Flächen gilt:
A=A1+A2=ab/2*sin(beta)+cd/2*sin(delta)=ab/2*sin(beta)+cd/2*sin(180°-beta) und schließlich 
(#) A =[(ab+cd)/2]*sin(beta) 
Andererseits gilt nach dem Kosinussatz e²=a²+b²-2abcos(beta) und e²=c²+d²-2cd*cos(delta) oder 
(##) a²+b²-c²-d²=2(ab+cd)cos(beta).
Die Terme beider Gleichungen werden quadriert:
(#) A² =(ab+cd)²/4*sin²(beta) und (a²+b²-c²-d²)²=4(ab+cd)²cos²(beta). Für cos²(beta) kann man noch 1-sin²(beta) setzen:
(##) (a²+b²-c²-d²)²=4(ab+cd)²[1-sin²(beta)] und erhält sin²(beta)=[4(ab+cd)²-(a²+b²-c²-d²)²]/4(ab+cd)². Diesen Ausdruck setzt man in A² =(ab+cd)²/4*sin²(beta) ein und erhält 16A²=[4(ab+cd)²-(a²+b²-c²-d²)². Ausmultipliziert ergibt sich
(###) 16A²=2a²b²+2a²c²+2a²d²+2b²c²+2b²d²+2c²d²-a4-b4-c4-d4+8abcd.
Dieser Ausdruck muss zu A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] mit s=(a+b+c+d)/2 führen. Setzt man s ein und quadriert, erhält man
16A²=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d). Dieses Produkt wird ausmultipliziert und man erhält am Ende den Term (###).
Wenn man noch die letzte Rechnung wegen des logisch richtigen Aufbaus umkehrt, ist die Formel bewiesen.


Diese Herleitung findet man im Prinzip bei Dr.Math, andere Herleitungen bei en.wikipedia, bei Jim Wilson oder bei Hartmut Wellstein (URLs unten).

Für beliebige Vierecke gilt die Formel von Bretschneider A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd*cos²((alpha+gamma)/2] mit s=(a+b+c+d)/2 . 
Setzt man sie voraus und setzt alpha+gamma=180°, so ergibt sich auch die obige Formel A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] als Sonderfall. 

Radius des Umkreises
...... Nach dem Satz "Der Mittelpunktwinkel ist doppelt so groß wie der Umfangswinkel" kann man sin(beta)=(e/2)/R ablesen. 
Andererseits gilt die Formel (#) A=[(ab+cd)/2]*sin(beta) von oben.
Man eliminiert sin(beta) und erhält A=(ab+cd)/2*(e/2)/R. Daraus folgt R=[(ab+cd)/2*(e/2)]/A.
Setzt man  e=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)] und A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] ein, so erhält man die gesuchte Gleichung R=sqrt{[(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)]/[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]}/4.

Verschiedenes top
Aufteilung in Vierecke
......
Die beiden Diagonalen teilen das Sehnenviereck in vier Teildreiecke auf.
Es gilt: Je zwei gegenüberliegende Dreiecke sind ähnlich. 
Daraus lässt sich eine Beziehung zwischen den Diagonalenabschnitten ablesen. 
e1 : f1 = f2 : e2
Man kann die Gleichung auch als Produktgleichung schreiben: e1e2 = f1f2 . Das ist der Sehnensatz
Dann kann man zum Beispiel die Aufgabe lösen zu einem Rechteck ein flächengleiches Rechteck zu konstruieren.


Beweis:
...... Die Dreiecke ABS und CDS sind ähnlich. 
Sie stimmen in drei Winkeln überein, nämlich in den Scheitelwinkeln und den Umfangswinkeln über den Sehnen BC und AD. 
Wegen der Ähnlichkeit gilt die Proportion  e1 : f1 =  f2 : e2.

Sehnenvierecke unter den Standard-Vierecken
...... Die nebenstehenden bekannten Vierecke sind auch Sehnenvierecke.

Es sind das Quadrat, das Rechteck und das gleichschenklige Trapez.
 

Eigentlich müsste das Quadrat nicht aufgeführt werden, da jedes Quadrat auch ein Rechteck ist.
In alten Büchern gab es für Rechtecke, die kein Quadrat sind, einen Namen. Sie hießen die Oblongen (Einzahl das Oblongum). 
Heute steht im neuen Duden nur noch das Wort oblong mit der Beschreibung "veraltet für länglich, rechteckig". 

Drachenviereck
......
Das Drachenviereck hat im Allgemeinen keinen Umkreis, wenn aber die gleichen Winkel des Drachens rechte Winkel sind, ist der Drachen auch ein Sehnenviereck.
Man erkennt den Halbkreis des Thales. 

Sehnentangentenviereck
Das Quadrat hat als Sehnenviereck eine zusätzliche Eigenschaft: Es hat auch einen Inkreis. 
Die Mittelpunkte von In- und Umkreis fallen zusammen. 
...... Es gibt auch andere Sehnenvierecke, die einen Inkreis haben. 
Die Mittelpunkte können wie links verschieden sein. 
Die Seiten des Sehnenvierecks werden zu Tangenten und das Viereck ist dann auch ein Tangentenviereck. 
Ein Viereck mit In- und Umkreis heißt Sehnentangentenviereck.

Ein Rechteck im Sehnenviereck
......
Jede Diagonale teilt das Sehnenviereck in zwei Dreiecke auf. Es entstehen vier Dreiecke.

Verbindet man die Mittelpunkte der vier Inkreise, so ergibt sich ein - Rechteck. 

Einen Beweis findet man bei Antonio Gutierrez unter dem Stichwort Sangako Problem (URL unten)
Bitte den Lautsprecher einschalten :-).

Butterfly Theorem
...... 1 Zeichne einen Kreis und die Sehne PQ mit dem Mittelpunkt M.
2 Zeichne durch M zwei beliebige Sehnen und ergänze die Figur zu einem überschlagenen Sehnenviereck.
3 Es gilt: Die so entstehende Strecke XY wird durch M halbiert. 
Einen Beweis findet man bei Antonio Gutierrez. 

Brahmagupta-Vierecke.
In Analogie zu den Pythagoräischen Dreiecken gibt es Brahmagupta-Vierecke.
Pythagoräische Dreiecke sind rechtwinklig und ihre Seitenlängen sind natürliche Zahlen. 
Das einfachste Dreieck ist das 3-4-5-Dreieck. 
Entsprechend hat man nach Sehnenvierecken gesucht, die neben ganzzahligen Seiten auch ganzzahlige Diagonalen und Flächen haben. Ein Beispiel ist a=65, b=25, c=33, d=39, e=60, f=52, A=1344.
Zu diesem Problem gibt es im Internet eine Untersuchung  von K.R.S.Sastry (URL unten).

Weitere Vielecke mit Umkreis top
Dreiecke
Jedes Dreieck hat einen Umkreis. Deshalb ist jedes Dreieck ein Sehnendreieck. 
Bestimmte Dreieckssätze haben bei den Sehnenvierecken Entsprechungen:
Dreieck: Heron-Formel A=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)] mit s=(a+b+c)/2
Viereck: Brahmagupta-Formel A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] mit s=(a+b+c+d)/2 
Dreieck: A= abc/(4R) 
Viereck: A=efg/(4R) 


Vielecke mit Umkreis
......
Alle regelmäßigen Vielecke haben einen Umkreis und man könnte sie als "Sehnenvielecke". bezeichnen. 
Sie haben auch einen Inkreis und zählen auch zu den "Tangentenvielecken".

Sehnenfünfeck
Bei Mathworld (Cyclic Pentagon) - nicht mehr online -konnte man nachlesen, dass das Fünfeck sich nur schwer erschließt. 
So ist zum Beispiel der Flächeninhalt die Lösung einer komplizierten Gleichung 7. Grades. 

Sehnensechseck
Zum Sehnensechseck folgen noch zwei Aussagen.
...... Gegeben sind ein konvexes Sehnensechseck und die drei Diagonalen, die jeden dritten Eckpunkt miteinander verbinden.
Dann gilt d1d2d3=ebd1+cfd2+add3+ace+bdf.
Das ist eine Übertragung des Satzes von Ptolemäus auf ein Sechseck.
Man findet den Satz im Internet in Suchmaschinen mit den Suchwort "Fuhrmann's theorem".

Ein Winkelsatz
...... Satz: Im Sehnensechseck ist die Summe nichtbenachbarter Winkel 360°.
Beweis: Das Viereck ABDF ist ein Sehnenviereck, so dass der Winkel bei D im roten Dreieck gleich 180°-alpha ist. Entsprechend gilt für die übrigen Winkel 180°-gamma und 180°-epsilon. 
Die Winkelsumme ist 180°:
(180°-alpha)+(180°-gamma)+(180°-epsilon)=180°. 
Daraus folgt die Behauptung  alpha+gamma+epsilon=360°.

Sehnenviereck im Internet top

Deutsch
Arne Madincea
Der Flächeninhalt eines Sehnenvierecks  (.pdf-Datei)

Eckard Specht (math4U) 
Tangentenviereck   (7 Aufgaben mit Lösungen), Sehnenviereck   (8 Aufgaben mit Lösungen)
Sehnentangentenviereck   (1 Aufgabe mit Lösung)

Universität Bayreuth Lehrstuhl für Mathematik und ihre Didaktik
Unterrichtssequenz 'Sehnenviereck'  (Geonet)

Walter Fendt
Sehnenviereck (Applet)

Wikipedia
Sehnenviereck, Tangentenviereck, Japanischer Satz für Sehnenvierecke



Englisch

Antonio Gutierrez
Butterfly theoremSangako Problem

Ask Dr. Math 
Bretschneider's Theorem and Cyclic Quadrilaterals

Eric.W.Weisstein
Cyclic QuadrilateralPtolemy's TheoremPtolemy Inequality,   Bretschneider's Formula, Fuhrmanns Theorem
Cyclic Pentagon, Cyclic Hexagon, Cyclic PolygonLemoine HexagonButterfly Theorem

Jim Wilson
Brahmagupta's formula

K.R.S.Sastry (Forum Geometricorum)
Brahmagupta Quadrilaterals (.pdf-Datei)

Pat Ballew
Cyclic Quadrangles

Wikipedia
Cyclic quadrilateralPtolemy's theoremCircumcircle, Brahmagupta's theorem
Japanese theorem for cyclic quadrilaterals

Wilson Stothers' Home Page
Fuhrmann's theorem


Referenzen    top
(1) Hahn/Dzewas: Mathematik 8.Schuljahr, Braunschweig 1990 [ISBN 3-14-112958-4]
(2) Peter Baptist: Pythagoras und kein Ende? Leipzig 1998 [ISBN 3-12-720040-4]
(3) Theo Kühlein: Ebene Trigonometrie II, Mentor-Repetitionen, Berlin 1962 (7th ed.1974)  [ISBN 3-580-63140-3]
(4) Martin Mettler: Vom Charme der 'verblassten' Geometrie, Timisoara, (2000) Rumänien [ISBN 973-9441-97-1]
(5) Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind: Challenging Problems in Geometry, Dover Publications, 1996


Viele Tipps und die drei letzten Literaturangaben stammen von Torsten Sillke. 

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URL meiner Homepage:
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©  2006 Jürgen Köller

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