Was ist ein Somawürfel?
Die abgebildeten Würfelkörper heißen
Somawürfel. Sie enthalten 1x3 + 6x4 = 27 Einzelwürfel.
Grundproblem top
... ... |
Das Grundproblem besteht darin, die sieben Somawürfel
(auch Steine genannt) zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzusetzen.
Die Chancen dieses 3D-Puzzle zu lösen, sind
relativ groß, denn es gibt immerhin 240 Möglichkeiten des Zusammenfügens,
von Symmetrien abgesehen.
Beim ersten Probieren braucht man bis zu 15 Minuten
dieses Puzzle zu lösen. Man kommt leichter zum Erfolg, wenn
man zuerst die drei dreidimensionalen Somakörper 5,6 und 7 verbaut. |
Drei Lösungen
1
.. .. |
2
. .. |
3
 ... |
Lösung 1 war meine erste Lösung.
Lösung 2 ist leichter zu merken: Man beginnt
mit einem symmetrischen Körper aus den drei 3D-Steinen 5,6 und 7,
dann folgt Stein 4.
Lösung 3 zeigt einen der wenigen Fälle,
bei dem Stein 7 keine Ecke bildet. |
Alle 240 Lösungen
Loesung Nr: 1
000 100 000 011 000 000
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111 000 000 000 000 000
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100 000 000 000 000 000
011
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Jochen Wermuth stellt mir für diese Homepage alle 240 Lösungen
zur Verfügung, ermittelt in einem Programm in C++.
Die Notation links wird verwendet.
Das Schema hat sieben Spalten. In jeder Spalte wird der ganze
Würfel und die Lage eines Somawürfels dargestellt.
Den drei Blöcken in den Zeilen sind die drei Ebenen oben, Mitte
und unten zugeordnet. |
Ich biete mit Einverständnis des Autors alle
240
Lösungen zum Herunterladen an, desgleichen den Quelltext
in C++.
Lage der Somawürfel
2 und 3 top
Diese beiden Steine enthalten eine 1x1x3-Stange. Daraus ergeben sich
folgende Aussagen.
Stein 3 bildet entweder 0 oder 2 Ecken.
Stein 2 kann 0, 1 oder 2 Ecken bilden.
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
(1) Stein 3 bildet keine Ecke. Die übrigen 6 Steine liefern maximal
2+5 Ecken. Das ist nicht möglich, da dann nicht 8 Ecken zusammenkommen.
(2) Stein 3 bildet 2 Ecken. Die übrigen 6 Steine liefern die restlichen
6 Ecken. Das ist möglich. Dann muss aber Stein 2 immer mindestens
eine Ecke übernehmen.
Ergebnisse:
........ ..
Stein 3 bildet zwei Ecken. |
Stein 2 muss immer mindestens eine Ecke bilden, darf also nicht in
der Mitte liegen. |
Dies können die ersten Schritte sein um nachzuweisen, dass es 240
Lösungen gibt.
Körper
aus Somawürfeln top
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Interessant wird die Beschäftigung mit Somawürfeln,
wenn man sich auf die Suche nach neuen 27-Würfel-Körpern begibt,
links ein "Auto". |
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Weitere bekannte (lösbare) Körper sind
Sofa, Bett, Wanne, Tor, Grab und Turm:
Es gibt unzählige Körper aus Somawürfeln.
Das zeigen die folgenden Überlegungen zum Entwurf neuer Körper.
... ... |
Alle Somawürfel bestehen aus 27 Einzelwürfeln. Gibt man eine
Matte von 5x4=20 Würfeln vor, so gibt es [20 über 7] = 20!/13!/7!
= 77520 Plätze für die restlichen 7 Würfel, also 77520 Würfelkörper.
Links wird ein Beispiel angegeben. |
Übrigens ist "6 aus 49" beim Lotto das gleiche mathematische Problem.
... ... |
Fordert man eine Stange aus fünf Würfeln, so können
zwei Würfel frei gewählt werden. Das führt zu [15 über
2] =15!/13!/2! = 105 Würfelkörper. Links ein Beispiel. Verlangt
man noch zusätzlich Symmetrie, so bleibt es bei einer überschaubaren
Zahl von 18 Würfelkörper. Sie werden rechts in der Aufsicht und
unten im Schrägbild dargestellt. |
... ... |
Zwei Würfelkörper sind unlösbar.
Das Vergrößerungsproblem
top
Kann man die Somasteine vergrößert nachlegen? Bei den Pentominos
und Tetrawürfeln ist das Vergrößerungsproblem ergiebig,
bei den Somawürfeln nicht.
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Nur der Dreierwürfel kommt in Frage.
Dann braucht man alle übrigen sechs Somawürfel, um ihn in
doppelter Größe nachzubauen. |
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Basteln
von Somawürfeln top
Will man sich mit Somawürfeln beschäftigen,
muß man die sieben Somawürfel unbedingt bauen.
Am einfachsten zersägt man eine quadratische
Holzstange, die man in jedem Baumarkt erhält, zu Würfeln und
leimt die Würfel entsprechend zusammen.
Eine weitere Methode ist das Zusammenkleben von
Spielwürfeln. Man verwendet am besten Zweikomponentenkleber, da dieser
nicht sofort erhärtet. So kann man im frischen Zustand den 3x3x3-Würfel
zusammensetzen und die Einzelwürfel entsprechend ausrichten.
Ein billige, mühselige, aber auch reizvolle
Methode ist die Herstellung aus Papier. Man muß dazu zu jedem Somawürfel
ein Netz entwerfen, dann die Körper falten und zusammenkleben.
Ein Tipp für Lehrer:
Wenn in Klasse 6 im Mathematikunterricht die
Raummaße anstehen, baut jeder Schüler zu Hause einen 1dm³-Würfel
aus Pappe, um eine Vorstellung von 1 dm³ zu bekommen. Bei den großen
Klassenstärken heute :-( kommen so 27 brauchbare Würfel
zusammen. Die Würfel leimt man zu Somawürfel zusammen und hat
ein schönes Pausenspiel.
Die Somawürfel kann man kaufen.
1969 vertrieb Parker Brothers die Somawürfel in den USA. Es ist
zu vermuten, dass sie den Namen "Soma cube" schützen ließen..
Heute werden in Deutschland Somawürfel häufig auf Weihnachtsmärkten
angeboten, meist ohne Namen oder unter einem Namen wie Ostfriesenwürfel
;-). Eine Version heißt Babylon. Das ist der Rehmsche Spielsatz.
Die Somawürfel werden mit einem Kartenspiel versehen in den USA
mit dem Namen Block by Block vertrieben.
Drei Varianten top
1.Variante: Soma schräg top
Es gibt eine Kuriosität: Statt eines Würfels als Grundbaustein
verwendet man ein Parallelepiped oder Spat. Das ist ein Körper, der
nur von Parallelogrammen begrenzt wird. In diesem Falle ist das Parallelogramm
eine Raute mit einem Innenwinkels von 50°.
Man sollte meinen, dass man eine Lösung des 3x3x3-Würfel-Problems
auf diese Körper einfach übertragen kann. Das gelingt selten.
... ... |
Fügt man 3 oder 4 Spate zusammen, so gibt es zu jeder der sieben
Formen zwei Möglichkeiten. Dadurch ist die Anzahl 240 Lösungen
drastisch herabgesetzt.
Ich habe nur eine Lösung gefunden. |
(Soma schräg, HOLZINSEL 56290 Beltheim, Art.-Nr. 019/1)
2.Variante: Schachbrett-Somawürfel
top
Man erzeugt dieses Soma-Puzzle, indem man einen Würfel (z.B. mit Methode
2, oben) baut und die Einzelwürfel abwechselnd schwarz und weiß
färbt. Diese Färbung nehmen dann die sieben Somawürfel an.
Aufgabe ist es, aus den Somawürfeln wieder den 3x3x3-Würfel
zusammenzusetzen.
3.Variante: Farbwürfel
top
... ...
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Man erzeugt neue Soma-Puzzle, indem man den 3x3x3- Würfel baut
und die Oberfläche mit einer Farbe färbt oder mit einem Muster
(Beispiel: Spielwürfel) versieht. Diese Veränderungen nehmen
dann die sieben Somawürfel an.
Zur Verwirrung kann man die Veränderungen auch auf innen liegende
Quadrate entsprechend übertragen. |
Aufgabe ist es dann, aus den Somawürfeln wieder den 3x3x3-Würfel
zusammenzusetzen.
Geschichte top
Der Däne Piet Hein wählte 1936 sieben Würfelkörper
so aus, dass er einen 3x3x3-Würfel zusammensetzen konnte. Von allen
Würfelkörpern, die man aus 3 oder 4 Würfeln bilden kann,
wählte er die aus, die keinen Quader bilden:
Er entnahm vielleicht dem Buch "Schöne neue Welt" von Aldous Huxley
den Namen Soma. Soma war eine Droge in einem fiktiven Staat des Jahres
2600 (3).
Piet Hein (1905-1996) war ein Dichter und Wissenschaftler mit weit gefächerten
Interessen.
J. H. Conway und M.J.T. Guy fanden 1961
heraus, dass es 240 verschiedene Möglichkeiten gibt einen 3x3x3-Würfel
zusammenzusetzen. Computer bestätigten später dieses Ergebnis.
Berühmt wurde der Somawürfel aber erst durch Veröffentlichungen
des Magazins Scientific American (1958).
In Deutschland verbreitete
Bild der Wissenschaften das Puzzle
(1967).
Ähnliche Würfelprobleme
top
Tetrawürfel
Theodore Katsani schlug in den 1950ern Jahren ein Spiel vor, das alle
Polykuben aus vier Würfeln umfasst.
Es ist kein Würfel möglich, aber 8*4=32 ermöglicht die Quader
2x4x4 oder 2x2x8 (4).
Mehr findet man auf meiner Seite Tetrawürfel.
Rehmscher Spielsatz
Es geht um das Problem: Aus welchen Würfelkörpern mit 3 oder
4 Würfeln kann man einen 3x3x3-Würfel bauen?
|
Es gibt 2 Dreierwürfel und 8 Tetrawürfel.
...
Die Bezeichnungen stammen aus Buch 5. |
Dann gibt es theoretisch 14 Möglichkeiten für einen 3x3x3-Würfel,
da nur 27=6*4+3 gilt.
I345678 (138)
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I245678 (000)
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I235678 (031)
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I234678 (099)
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I234578 (245)
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I234568 (245)
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I234567 (027)
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II345678 (240)
Somawürfel
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II245678 (047)
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II235678 (261)
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II234678 (221)
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II234578 (337)
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II234568 (337)
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II234567 (039)
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Mit Ausnahme der Kombination II245678
(3 fehlt) bilden alle anderen einen Würfel (5).
Die Zahl in Klammern gibt die Anzahl der Lösungen
an (Torsten Sillke, Rehm's 3-Cubes, URL unten).
Hohlwürfel
... ...
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Aus den Dreierwürfeln I und II und den Tetrawürfeln 3,4,6,7
und 8 kann man einen Hohlwürfel bauen.
Es gilt 2*3+5*4=26 |
Man kann nach Lösungen mit anderen Tetrawürfel fragen und dann
nach der Anzahl der Lösungen. (Die Anregung stammt von Volker Latussek
aus Würzburg.)
Weitere 3x3x3-Puzzles top
Die Somawürfel bilden zusammen die Würfelsumme 27.
Es gilt 27=3+4+4+4+4+4+4.
Man kann sich gut vorstellen, dass es zwischen den trivialen Zerlegungen
27=1+1+...+1 und 27=9+9+9 weitere Zerlegungen gibt, die auch zu brauchbaren
Puzzles führen.
In diesem Kapitel stelle ich einige Puzzles vor, denen ich eher zufällig
begegnete.
Sytematisches über 3x3x3-Puzzles findet auf den Webseiten von David
Singmaster, Stewart T. Coffin und Erich Friedman (URL unten).
Diabolical Cube
- Dean Hoffmann (27=2+3+4+5+6+7)
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Einige (lösbare) symmetrische Körper |
Mikusinski's Cube
(27=4+4+4+5+5+5)
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Es gibt nur zwei Lösungen. |
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Nach längerem Herumspielen fand ich eine 5x4 Matte mit 7 aufgesetzten
Würfeln. |
Der vertrackte Würfel-
The tricky cube (27=4+4+4+5+5+5), "Toys pure", Art.-Nr.:HS
630
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Man kann mit allen sechs Steinen einen geschlossenen Ring bilden. |
Loops cube
(27=4+4+4+5+5+5), designed and made by René Dawir
... |
Reihenfolge beim Lösen: 564321 |
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Somawürfel im Internet
top
Deutsch
C. Meier - Warenhandel
Holzwürfel - Somawürfel
- Dezimalrechenwürfel
http://www.zahlenjagd.at/
Würfelpuzzles
Matroid Matheplanet
Der
Soma Würfel
Peter Kenter (Mathematik
und Kunst)
Die
41 Polykuben der Ordnung 1 bis 5 (pdf.-Datei)
Sascha Preisegger
Der
Soma-Würfel
Stromberg-Gymnasium, Vaihingen an der Enz
Der
Somawürfel
Wikipedia
Somawürfel
Englisch
asahi-net.or.jp/~rh5k-isn
3x3x3
Cube Puzzles
Balmoral Software
Soma Site
Bill McKeeman
Soma
Cube Solutions
Binary Arts Corporation (Binary Arts' Block by Block® puzzle)
Millennium
Puzzles: Soma cube
Christian Eggermont
The
Soma Cube ("Go to the puzzles!")
David Singmaster
CLASSIFICATION
OF DISSECTED CUBES (.doc file)
Erich Friedman
Erich's
3-D Jigsaw Puzzles
Lee Stemkoski (Mathematrix)
The
Soma Cube
Stewart T. Coffin
The Puzzling
World of Polyhedral Dissections
Thorleif Bungård
Thorleif's SOMA
page
Torsten Sillke
cube-secrets
(figures, references)
Rehm's
3-Cubes (1980)
Wikipedia
Soma cube, Bedlam
cube, Conway puzzle
Youtube
SOMA CUBE puzzle
solution, Puzzle
Cube Solution, How
to solve the Bedlam Cube Retro
Referenzen top
(1) "Bild der Wissenschaft" November 1967
(2) Pieter van Delft /Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München
1980 (1998 neu aufgelegt) [ISBN 3-685-1998)
(3) Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt am Main, 1986
[ISBN 3-8105-0800-4]
Fast 30 Jahre nach Erscheinen einer Kolumne in der Septemberausgabe
1958 von <Scientific American> zieht der Autor eine Bilanz der "Somaforschung".
(4) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991 [ISBN3-332-00480-8]
(5) R.Thiele, K.Haase: Teufelsspiele, Leipzig, 1991 [ISBN 3-332-00116-7]
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©
1999 Jürgen Köller
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