Somawürfel
Inhalt dieser Seite

Was ist ein Somawürfel?
Grundproblem
Lage der Somawürfel 2 und 3 
Körper aus Somawürfeln
Das Vergrößerungsproblem
Basteln von Somawürfeln
Drei Varianten:
...Soma schräg
...Schachbrett-Somawürfel
...Farbwürfel.
Geschichte
Ähnliche Würfelprobleme
Somawürfel im Internet
Weitere 3x3x3-Puzzles 
Referenzen
Zur Hauptseite     "Mathematische Basteleien"
Was ist ein Somawürfel?
Die abgebildeten Würfelkörper heißen Somawürfel. Sie enthalten 1x3 + 6x4 = 27 Einzelwürfel. 

Grundproblem  top
...... Das Grundproblem besteht darin, die sieben Somawürfel (auch Steine genannt) zu einem 3x3x3-Würfel zusammenzusetzen. 
Die Chancen dieses 3D-Puzzle zu lösen, sind relativ groß, denn es gibt immerhin 240 Möglichkeiten des Zusammenfügens, von Symmetrien abgesehen.
Beim ersten Probieren braucht man bis zu 15 Minuten dieses Puzzle zu lösen. Man kommt leichter zum Erfolg, wenn man zuerst die drei dreidimensionalen Somakörper 5,6 und 7 verbaut.


Drei Lösungen
1
... Lösung 1 war meine erste Lösung...........................................................


2
...... Lösung 2 ist leichter zu merken: Man beginnt mit einem symmetrischen Körper aus den drei dreidimensionalen Steinen 5, 6 und 7, dann folgt Stein 4.

3
... Lösung 3 zeigt einen der wenigen Fälle, bei dem Stein 7 keine Ecke bildet.

Alle 240 Lösungen

Loesung Nr: 1 
  000  100  000  011  000  000  000 
  000  000  000  001  110  000  000 
  000  000  011  000  100  000  000 

  000  100  000  001  000  010  000 
  000  110  001  000  000  000  000 
  000  000  001  000  000  000  110 

  000  000  000  000  000  111  000 
  111  000  000  000  000  000  000 
   100  000  000  000  000  000  011 

...... Jochen Wermuth stellt mir für diese Homepage alle 240 Lösungen zur Verfügung, ermittelt in einem Programm in C++. 

Die Notation links wird verwendet.

Das Schema hat sieben Spalten. In jeder Spalte wird der ganze  Würfel und die Lage eines Somawürfels dargestellt. 

Den drei Blöcken in den Zeilen sind die drei Ebenen oben, Mitte und unten zugeordnet.


Ich biete mit Einverständnis des Autors alle 240 Lösungen zum Herunterladen an, desgleichen den Quelltext in C++.

Lage der Somawürfel 2 und 3     top
Diese beiden Steine enthalten eine 1x1x3-Stange. Daraus ergeben sich folgende Aussagen.

Stein 3 bildet entweder 0 oder 2 Ecken. 
Stein 2 kann 0, 1 oder 2 Ecken bilden.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
(1) Stein 3 bildet keine Ecke. Die übrigen 6 Steine liefern maximal 2+5 Ecken. Das ist nicht möglich, da dann nicht 8 Ecken zusammenkommen. 
(2) Stein 3 bildet 2 Ecken. Die übrigen 6 Steine liefern die restlichen 6 Ecken. Das ist möglich. Dann muss aber Stein 2 immer mindestens eine Ecke übernehmen.

Ergebnisse:
..........
Stein 3 bildet zwei Ecken. 

Stein 2 muss immer mindestens eine Ecke bilden,
darf also nicht in der Mitte liegen.
Dies können die ersten Schritte sein um nachzuweisen, dass es 240 Lösungen gibt. 


Körper aus Somawürfeln    top
Interessant wird die Beschäftigung mit Somawürfeln, wenn man sich auf die Suche nach neuen 27-Würfel-Körpern begibt, zum Beispiel nach einem "Auto".


Weitere bekannte (lösbare) Körper sind Sofa, Bett, Wanne, Tor, Grab und Turm:

Es gibt unzählige Körper aus Somawürfeln. 
Das zeigen die folgenden Überlegungen zum Entwurf neuer Körper.
...... Alle Somawürfel bestehen aus 27 Einzelwürfeln. Gibt man eine Matte von 5x4=20 Würfeln vor, so gibt es [20 über 7] = 20!/13!/7! = 77520 Plätze für die restlichen 7 Würfel, also 77520 Würfelkörper. Links wird ein Beispiel angegeben.
Übrigens ist "6 aus 49" beim Lotto das gleiche mathematische Problem.
...... Fordert man eine Stange aus fünf Würfeln, so können zwei Würfel frei gewählt werden. Das führt zu [15 über 2] =15!/13!/2! = 105 Würfelkörper. Links ein Beispiel. Verlangt man noch zusätzlich Symmetrie, so bleibt es bei einer überschaubaren Zahl von 18 Würfelkörper. Sie werden rechts in der Aufsicht und  unten im Schrägbild dargestellt.  ......

Zwei Würfelkörper sind unlösbar.

Das Vergrößerungsproblem top
Kann man die Somasteine vergrößert nachlegen? Bei den Pentominos und Tetrawürfeln ist das Vergrößerungsproblem ergiebig, bei den Somawürfeln nicht.
Nur der Dreierwürfel kommt in Frage. 
Dann braucht man alle übrigen sechs Somawürfel, um ihn in doppelter Größe nachzubauen.


Basteln von Somawürfeln     top

Will man sich mit Somawürfeln beschäftigen, muß man die sieben Somawürfel unbedingt bauen.

Am einfachsten zersägt man eine quadratische Holzstange, die man in jedem Baumarkt erhält, zu Würfeln und leimt die Würfel entsprechend zusammen.

Eine weitere Methode ist das Zusammenkleben von Spielwürfeln. Man verwendet am besten Zweikomponentenkleber, da dieser nicht sofort erhärtet. So kann man im frischen Zustand den 3x3x3-Würfel  zusammensetzen und die Einzelwürfel entsprechend ausrichten.

Ein billige, mühselige, aber auch reizvolle Methode ist die Herstellung aus Papier. Man muß dazu zu jedem Somawürfel ein Netz entwerfen, dann die Körper falten und zusammenkleben.

Ein Tipp für Lehrer: 
Wenn in Klasse 6 im Mathematikunterricht die Raummaße anstehen, baut jeder Schüler zu Hause einen 1dm³-Würfel aus Pappe, um eine Vorstellung von 1 dm³ zu bekommen. Bei den großen Klassenstärken heute :-(   kommen so 27 brauchbare Würfel zusammen. Die Würfel leimt man zu Somawürfel zusammen und hat ein schönes Pausenspiel. 


Die Somawürfel kann man kaufen.

1969 vertrieb Parker Brothers die Somawürfel in den USA. Es ist zu vermuten, dass sie den Namen "Soma cube" schützen ließen.. 

Heute werden in Deutschland Somawürfel häufig auf Weihnachtsmärkten angeboten, meist ohne Namen oder unter einem Namen wie Ostfriesenwürfel  ;-). Eine Version heißt Babylon. Das ist der Rehmsche Spielsatz.

Die Somawürfel werden mit einem Kartenspiel versehen in den USA mit dem Namen Block by Block vertrieben. Ich kaufte es in Las Vegas 1996.


Drei Varianten   top

1.Variante: Soma schräg top
Es gibt eine Kuriosität: Statt eines Würfels als Grundbaustein verwendet man ein Parallelepiped oder Spat. Das ist ein Körper, der nur von Parallelogrammen begrenzt wird. In diesem Falle ist das Parallelogramm eine Raute mit einem Innenwinkels von 50°. 
Man sollte meinen, dass man eine Lösung des 3x3x3-Würfel-Problems auf diese Körper einfach übertragen kann. Das gelingt selten. 
...... Fügt man 3 oder 4 Spate zusammen, so gibt es zu jeder der sieben Formen zwei Möglichkeiten. Dadurch ist die Anzahl 240 Lösungen drastisch herabgesetzt. 
Ich habe nur eine Lösung gefunden.

(Soma schräg, HOLZINSEL 56290 Beltheim, Art.-Nr. 019/1)


2.Variante: Schachbrett-Somawürfel top
Man erzeugt dieses Soma-Puzzle, indem man einen Würfel (z.B. mit Methode 2, oben) baut und die Einzelwürfel abwechselnd schwarz und weiß färbt. Diese Färbung nehmen dann die sieben Somawürfel an.

Aufgabe ist es, aus den Somawürfeln wieder den 3x3x3-Würfel zusammenzusetzen.


3.Variante: Farbwürfel top
......
Man erzeugt neue Soma-Puzzle, indem man den 3x3x3- Würfel baut und die Oberfläche mit einer Farbe färbt oder mit einem Muster (Beispiel: Spielwürfel) versieht. Diese Veränderungen nehmen dann die sieben Somawürfel an. Zur Verwirrung kann man die Veränderungen auch auf innen liegende Quadrate entsprechend übertragen.
Aufgabe ist es dann, aus den Somawürfeln wieder den 3x3x3-Würfel zusammenzusetzen.


Geschichte  top
Der Däne Piet Hein wählte 1936 sieben Würfelkörper so aus, dass er einen 3x3x3-Würfel zusammensetzen konnte. Von allen Würfelkörpern, die man aus 3 oder 4 Würfeln bilden kann, wählte er die aus, die keinen Quader bilden:

Er entnahm vielleicht dem Buch "Schöne neue Welt" von Aldous Huxley den Namen Soma. Soma war eine Droge in einem fiktiven Staat des Jahres 2600 (3).

Piet Hein (1905-1996) war ein Dichter und Wissenschaftler mit weit gefächerten Interessen. 


J. H. Conway und M.J.T. Guy fanden 1961 heraus, dass es 240 verschiedene Möglichkeiten gibt einen 3x3x3-Würfel zusammenzusetzen. Computer bestätigten später dieses Ergebnis.

Berühmt wurde der Somawürfel aber erst durch Veröffentlichungen des Magazins Scientific American (1958). 
In Deutschland verbreitete Bild der Wissenschaften das Puzzle (1967).


Ähnliche Würfelprobleme top
Tetrawürfel
Theodore Katsani schlug in den 1950ern Jahren ein Spiel vor, das alle Polykuben aus vier Würfeln umfasst. 

Es ist kein Würfel möglich, aber 8*4=32 ermöglicht die Quader 2x4x4 oder 2x2x8 (4). 
Mehr findet man auf meiner Seite Tetrawürfel.

Rehmscher Spielsatz
Es geht um das Problem: Aus welchen Würfelkörpern mit 3 oder 4 Würfeln kann man einen 3x3x3-Würfel bauen?
Es gibt 2 Dreierwürfel und 8 Tetrawürfel. 
...
Die Bezeichnungen stammen aus Buch 5.
Dann gibt es theoretisch 14 Möglichkeiten für einen 3x3x3-Würfel, da  nur 27=6*4+3 gilt.

I345678 (138)
I245678 (000)
I235678 (031)
I234678 (099)
I234578 (245)
I234568 (245)
I234567 (027)

II345678 (240)
Somawürfel
II245678 (047)
II235678 (261)
II234678 (221)
II234578 (337)
II234568 (337)
II234567 (039)

Mit Ausnahme der Kombination II245678 (3 fehlt) bilden alle anderen einen Würfel (5). 
Die Zahl in Klammern gibt die Anzahl der Lösungen an (Torsten Sillke, Rehm's 3-Cubes, URL unten).

Hohlwürfel
......
Aus den Dreierwürfeln I und II und den Tetrawürfeln 3,4,6,7 und 8 kann man einen Hohlwürfel bauen. 
Es gilt 2*3+5*4=26
Man kann nach Lösungen mit anderen Tetrawürfel fragen und dann nach der Anzahl der Lösungen. (Die Anregung stammt von Volker Latussek aus Würzburg.)

Weitere 3x3x3-Puzzles top
Die Somawürfel bilden zusammen die Würfelsumme 27.  Es gilt 27=3+4+4+4+4+4+4. 
Man kann sich gut vorstellen, dass es zwischen den trivialen Zerlegungen 27=1+1+...+1 und 27=9+9+9 weitere Zerlegungen gibt, die auch zu brauchbaren Puzzles führen. 
In diesem Kapitel stelle ich einige Puzzles vor, denen ich eher zufällig begegnete.


Diabolical Cube - Dean Hoffmann (27=2+3+4+5+6+7)
...

... Einige (lösbare) symmetrische Körper

Mikusinski's Cube (27=4+4+4+5+5+5)
... Es gibt nur zwei Lösungen.

... Nach längerem Herumspielen fand ich eine 5x4 Matte mit 7 aufgesetzten Würfeln. 

Der vertrackte Würfel- The tricky cube  (27=4+4+4+5+5+5), "Toys pure", Art.-Nr.:HS 630
...

... Man kann mit allen sechs Steinen einen geschlossenen Ring bilden. 

Loops cube (27=4+4+4+5+5+5), designed and made by René Dawir


... Reihenfolge beim Lösen: 564321

Somawürfel im Internet     top

Deutsch

C. Meier - Warenhandel
Holzwürfel - Somawürfel - Dezimalrechenwürfel

http://www.zahlenjagd.at/
Würfelpuzzles

Matroid Matheplanet
Der Soma Würfel

Peter Kenter   (Mathematik und Kunst)
Die 41 Polykuben der Ordnung 1 bis 5  (pdf.-Datei)

Sascha Preisegger
Der Soma-Würfel

Stromberg-Gymnasium, Vaihingen an der Enz
Der Somawürfel

Thimo Rosenkranz
Soma-Figuren

Wikipedia
Somawürfel


Englisch

Balmoral Software
Soma Site

Bill McKeeman
Soma Cube Solutions

Binary Arts Corporation (Binary Arts' Block by Block® puzzle) 
Millennium Puzzles: Soma cube

Christian Eggermont
The Soma Cube ("Go to the puzzles!")


Ed Vogel
A very large Soma puzzle
at the Minnesota State Fair 2006

Erich Friedman
Erich's 3-D Jigsaw Puzzles

Eric W. Weisstein, (MathWorld)
Soma Cube

Lee Stemkoski (Mathematrix)
The Soma Cube

Stewart T. Coffin
The Puzzling World of Polyhedral Dissections

Thorleif  Bungård 
Thorleif's SOMA page

Torsten Sillke
cube-secrets, Rehm's 3-Cubes (1980)

Wikipedia
Soma cube, Bedlam cube, Conway puzzle

Youtube
SOMA CUBE puzzle solutionPuzzle Cube SolutionHow to solve the Bedlam Cube Retro,
SOMA CUBE ANIMATION (12 figures, 3D puzzle solution)


Referenzen  top
(1) "Bild der Wissenschaft" November 1967
(2) Pieter van Delft /Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1980 (1998 neu aufgelegt) [ISBN 3-685-1998)
(3) Martin Gardner: Bacons Geheimnis, Frankfurt am Main, 1986   [ISBN 3-8105-0800-4]
Fast 30 Jahre nach Erscheinen einer Kolumne in der Septemberausgabe 1958 von <Scientific American> zieht der Autor eine Bilanz der "Somaforschung".
(4) R.Thiele, K.Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig, 1991  [ISBN3-332-00480-8]
(5) R.Thiele, K.Haase: Teufelsspiele, Leipzig, 1991 [ISBN 3-332-00116-7]


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©  1999 Jürgen Köller

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