Was ist ein Symbolrätsel?
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Ein Symbolrätsel ist eine Anordnung von Symbolen und Rechenzeichen.
Für Symbole müssen einstellige Zahlen gesucht werden, so dass
sechs ineinander verschachtelte Gleichungen erfüllt sind. |
Im Unterschied zu den Variablen in der gewöhnlichen Algebra bedeuten
gleiche Symbole auch gleiche Zahlen, verschiedene Symbole verschiedene
Zahlen.
Symbolrätsel sind in Deutschland bekannt und beliebt. Es gibt eine
Reihe von Zeitschriften wie STERN, GONG oder HÖR ZU, die regelmäßig
ein Rätsel dieser Art bringen (2001).
Symbolrätsel sind im englischsprachigen Raum kaum bekannt.
Vier Beispiele top
Man benötigt kein Spezialwissen für das Entschlüsseln
von Symbolrätseln. Wer die Grundrechenarten kennt, kann sie lösen.
Der Reiz der Symbolrätsel liegt darin, dass jedes Rätsel in
eine kleine selbstständige Zahlenwelt führt. Für jedes Rätsel
muss man sich eine neue Strategie zurechtlegen. Es gibt keinen allgemeingültigen
Lösungsweg.
Man kommt mit einer Kombination aus Probieren und logischem Schließen
zum Ziel. Es gibt ein paar Tricks, die in den folgenden vier Beispielen
vorkommen.
Beispiel 1: top
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Das Rätsel enthält 6 Summen. Es werden
7 Symbole verwendet; also werden 7 Zahlen gesucht. |
Der erste Schritt ist die Einführung von Variablen. Das schafft
Übersicht und Vertrautheit.
In den folgenden Darstellungen werden der Einfachheit halber die Rechenzeichen
in der Vertikalrichtung nicht notiert.
abc+dde=.fcf
.cb+bge=..bca
aee+cbg=dgae... |
Wegen e+g=e in der letzten Zeile ist g=0.
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abc+dde=.fcf
.cb+b0e=..bca
aee+cb0=d0ae.... |
Die nächste Ziffer ist d=1. Werden zwei dreiziffrige Zahlen addiert,
so ist die Summe eine vierziffrige Zahl mit 1 an der ersten Stelle. |
abc+11e=fcf
.cb+b0e=bca
aee+cb0=10ae |
Wegen e+e=10 ist e=5. Wegen 1+1=b ist b=2.
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a2c+115=fcf
.c2+205=2ca
a55+c20=10a5 |
Wegen c+2=5 ist c=3.
Wegen 2+5=a ist a=7.
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723+115=.f3f
.32+205=.237
755+320=1075 |
Wegen 3+5=f ist f=8.
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Ergebnis:
723+115=.838
.32+205.=.237
755+320=1075
Dieses Rätsel ist ein Glücksfall, da sich die Ziffern nacheinander
eindeutig ergeben.
Es gibt ein lineares Lösungsdiagramm:
Beispiel 2: top
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Das Rätsel enthält 3 Summen und 3 Differenzen.
9 Ziffern sind zu finden. |
.abc-dbb=efg
.abb-ecc=bbb
dbeb-hbb=ibc |
Wegen c+b=b ist die Ziffer c=0.
Weiter ist in der letzten Zeile d=1 (s.o).
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.ab0-1bb=efg
.abb-e00=bbb
1beb-hbb=ib0... |
Für a kommen wegen a+a=10+b die Ziffern
a=6, a=7, a=8 oder a=9 in Frage.
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a=6 wird weiter verfolgt.
.6b0-1bb=efg
.6bb-e00=bbb
1beb-hbb=ib0... |
Es sei a=6.Wegen 6+6=10+b ist b=2. (b=3 ist wegen
b+b=g nicht möglich.)
Weiter ist wegen g+b=0 (10) die Variable g=8.. |
.620-122=ef8
.622-e00=222
12e2-h22=i20... |
Wegen 620-122=ef8 sind e=4 und f=9.
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.620-122=498
.622-400=222
1242-h22=i20... |
Wegen 122+400=522 ist h=5. - Wegen 498+222=720 ist i=7.
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Ergebnis:
.620-122=498
.622-400=222
1242-522=720.
Die Erfahrung zeigt, dass Symbolrätsel nur eine Lösung haben.
(Ich weiß, es gibt auch mehrdeutige Rätsel. Das sind Exoten.
Dieses ist die Antwort auf eine Email.) Deshalb muss man die Fälle
a=7, a=8 oder a=9 nicht weiter verfolgen. Verfolgt man sie, so gelangt
man schnell zu Widersprüchen.
Lösungsdiagramm:
Beispiel 3: top
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Das Rätsel enthält 1 Quotienten, 4 Summen und 1 Differenz.
Es müssen 9 Ziffern bestimmt werden. |
aba :.cd=.ce
cda+ccf=aga
ehe-cad=hfi... |
Wegen d+f=d ist f=0.
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aba :.cd=.ce
cda+cc0=aga
ehe-cad=h0i... |
Wegen der ersten Zeile ist c=1 oder c=2 oder c=3.
Ein Produkt aus zwei zweistelligen Zahlen ist nur dreistellig, wenn
die erste Ziffer 1,2 oder 3 ist.
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c=1 wird weiter verfolgt.
aba :..1d=..1e
1da+110=aga
ehe-1ad.=h0i... |
Wegen 1+1=a ist a=2.
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2b2
:..1d=..1e
1d2+110=2g2
ehe-12d=.h0i... |
Wegen 2+2=e ist e=4.
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2b2 :..1d=..14
1d2+110=2g2
4h4-12d=h0i... |
Die erste Zeile wird nur durch 252=18x14 erfüllt. .........
Damit sind b=5 und d=8.
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252 :..18=..14
182+110=2g2
4h4-128.=h0i... |
Wegen 4+2=i ist i=6.
Wegen 182+110=292 ist g=9. Dann ist h=3.
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Ergebnis:
252 :..18=..14
182+110=292
434-128.=306
Lösungsdiagramm:
Beispiel 4: top
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Das Rätsel enthält 4 Produkte und 2 Quotienten.
Man muss 7 Ziffern ermitteln. |
..ab*.bc=..dad
..ec:....f=......f
bcd*...g=bbea... |
ec ist eine Quadratzahl mit verschiedenen Ziffern.
Für f kommen f=4 oder f=7 oder f=8 oder f=9 in Frage.
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f=4 wird weiter verfolgt. Wegen 4*4=16 sind e=1 und c=6.
..ab*.b6=..dad
..16:....4=.....4
b6d*...g=bb1a |
Wegen 36:4=9 sind b=3 und g=9.
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..a3*.36=..dad
..16:....4=.....4
36d*...9=331a |
Wegen 3*6=18 ist d=8.
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..a3*.36=..8a8
..16:....4=.....4
368*...9=331a |
Wegen 8*9=72 ist a=2.
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Ergebnis:
..23*.36=..828
..16:....4=.....4
368*...9=3312
Lösungsdiagramm:
Mathematischer Hintergrund
top
Beim Symbolrätsel handelt es sich um ein Gleichungssystem aus
6 Gleichungen mit mehr als 6 Variablen. Nur 6 Gleichungen mit 6 Variablen
führen i.a. zu eindeutigen Lösungen. Wenn Symbolrätsel trotzdem
praktisch nur eine Lösung haben, so liegt es daran, dass nur natürliche
Zahlen als Lösung zugelassen sind ("diophantische Gleichungen") und,
das ist eine weitere Einschränkung, für verschiedene Symbole
verschiedene Zahlen, für gleiche Symbole gleiche Zahlen eingesetzt
werden müssen.
Herstellung eigener
Symbolrätsel top
Es ist leicht, Symbolrätsel nur aus Summen herzustellen. Man gibt
4 Zahlen vor, zum Beispiel 723,115, 32 und 205, bildet die Summen und ordnet
sie zu dem Schema an.
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Dann ersetzt man die Zahlen durch Symbole (rechts). |
...... |
Das ist Beispiel 1.
Sollen Differenzen vorkommen, addiert man negative Zahlen (Beispiel
2)
Beweis:
... ... |
Das Schema links liefert den Beweis, dass Symbolrätsel mit Summen
oder Differenzen tatsächlich auf so einfache Weise zu finden sind.
Der Term, der für die drei Punkte unten rechts steht, ist gleich (u+v)+(x+y)
oder (u+x)+(v+y). Diese
beiden Terme sind gleich. |
Sollen auch Produkte oder Quotienten vorkommen, wird es schwieriger,
geeignete Anordnungen zu finden. Man sollte den Computer einsetzen. Damit
habe ich mich nicht beschäftigt.
Kryptogramme top
Die Symbolrätsel gehören zu den Kryptogrammen. Das sind Zahlenrätsel,
die Zeichen enthalten, für die Zahlen gesucht werden müssen,
so dass eine Gleichung erfüllt wird. Man verlangt, dass Kryptogramme
eindeutig
lösbar sind.
Man beachte bei der Suche nach Kryptogrammen im Internet, dass allgemein
jede Geheimschrift Kryptogramm heißt und dass die Informatiker heute
diesen Begriff im Sinne von Verschlüsselung neu besetzt haben.
Als Zeichen werden häufig Buchstaben verwendet, die Worte bilden.
Diese Worte ergeben dann zusammen mehr oder weniger einen Sinn.
Diese Kryptogramme bezeichnet man als Alphametiken.
Das bekannteste Beispiel einer Alphametik ist "SEND + MORE = MONEY"
(1000s+100e+10n+d+1000m+100o+10r+e = 10000m+1000o+100n+10e+y). Diese
Gleichung enthält acht Variable. Trotzdem gibt es nur eine
Lösung, nämlich 9567+108552=10652.
Alphametiken mit einem Sinn und vor allem einer Lösung sind nicht
leicht zu finden.
Ich habe aus Vor-Computer-Zeiten meine Alphametik anzubieten, die "send
more money" nachempfunden ist:
GEHE + NACH = NAUEN. [Na ja ;-)].
Kryptogramme im Internet
top
Deutsch
Diller
Symbolrätsel
mit Lösungen
Erik Krämer
Symbolrätsel
- die Rätsel für Zahlenfetischisten
Julia Singer
Symbolrätsel
online
Klaus Nagel
Zahlenrätsel
- Applet
Wikipedia
Mathematisches
Rätsel, Kryptogramm
Englisch
Alexander Bogomolny
Alphametics
(in der linken Spalte)
Colin Barker
Cryptarithms
(alphametics)
Mike Keith
Alphametics
The Contest Center
Collection
of alphametics
Torsten Sillke
Alphametics
Truman Collins
Alphametic
Puzzles
Wikipedia
Alphametic
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2001 Jürgen Köller
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