Verhältnisse und Proportionen
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Verhältnis?
Was ist eine Proportion?
Rechnen mit Verhältnissen
Figuren und Körper
Strahlensätze
Teilung einer Strecke
Proportionale Größen
Verschiedenes
Verhältnisse und Proportionen im Internet
Referenzen
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Verhältnis?
Gegeben seien zwei reelle, positive Zahlen a und b.
Man nennt den Quotienten a:b der beiden Zahlen in bestimmten Zusammenhängen auch das Verhältnis der beiden Zahlen a und b. 
Man liest a:b dann als "a zu b". 
Zur Erläuterung zwei Beispiele


Eine Menge von Kugeln
...... Gegeben seien 5*9 = 45 Kugeln, 20 rote und 25 blaue.
Das Verhältnis der roten Kugeln zu den blauen beträgt 20:25 = 4:5, gelesen 4 zu 5.

Die Zeichnung enthält weitere Verhältnisse, in denen das Ganze (45 Kugeln) berücksichtigt wird.
Das Verhältnis der roten Kugeln zu allen Kugeln beträgt 20:45 = 4:9.
Das Verhältnis der blauen Kugeln zu allen Kugeln beträgt 25:45 = 5:9
Teilung einer Strecke
...... Gegeben sei die Strecke AB. Der Punkt T teilt die Strecke im Verhältnis 2:1.
Es gilt nämlich a = 2 Längeneinheiten und b = 1 Längeneinheit. 

Was ist eine Proportion?
Gegeben seien zwei weitere reelle, positive Zahlen c und d. 
Die Gleichung a:b = c:d aus zwei Verhältnissen heißt Proportion oder Verhältnisgleichung.
Man liest das als a verhält sich zu b wie c zu d.
Zur Erläuterung zwei Beispiele


1. Strahlensatz
...... Zeichnet man zur Strecke AB die Senkrechten durch die Punkte B und T und durch Punkt A eine Halbgerade wie links, so entstehen die Strecken c und d.

Es gilt die Verhältnisgleichung a:b =  c:d.


Dreisatz
5 kg Mehl kosten 6,40 €. Was kosten 300g? 
Lösung
Die gesuchten Kosten seien x €.
Es gilt die Proportion 5kg:300g = 6,40€:x€ oder 5000:300 = 640:x. Dann ist 5000x = 300*640 oder x = 38,4.
Antwort
300g Mehl kosten 38,4 ct.

Beim Erstellen meiner Webseiten stieß ich oft auf Verhältnisse und auf Proportionen. 
Auf dieser Seite habe ich das Thema erläutert und zusammengestellt, was ich auf meiner Homepage fand.

Rechnen mit Verhältnissen       top
Umformungen
Oben wurde im ersten Beispiel festgestellt, dass das Verhältnis der roten Kugeln zu den blauen 20:25 beträgt. Es ist üblich zu kürzen und das Verhältnis durch ganze Zahlen anzugeben, 20:25 = 4:5.
Man kann das Verhältnis ausrechnen, 4:5 = 0,8. Dann ist 4:5 = 0,8:1.
Es ist auch 4:5 = 1:(5/4) = 1:1,25. - Ferner ist 4:5 = 80% =80 :100.

Allgemein
Für das Verhältnis a:b mit gekürztem Bruch a/b gelten auch die Identitäten (a/b):1 = 1:(b/a) = (100a/b)%. 


Produktgleichung
Gilt die Verhältnisgleichung a:b = c:d, so auch die Produktgleichung ad = bc.
Herleitung
Fasst man die Quotienten als Brüche auf (a/b = c/d) und multipliziert beide Terme mit den Nennern b und d, so entsteht ad = bc. 

Es gilt die Umkehrung.
Gilt die Produktgleichung ad = bc,  so auch Verhältnisgleichung a:b = c:d.
Herleitung
Dividiert man beide Terme der Produktgleichung ad = bc durch bd, so entsteht die Verhältnisgleichung a:b = c:d.

Man beschreibt die Produktgleichung so:
In einer Proportion ist das Produkt der Außenglieder gleich dem Produkt der Innenglieder.

Alle Verhältnisgleichungen
Gilt a:b = c:d, so gibt es noch sieben Varianten.
 
a:b = c:d b:a = d:c a:c = b:d c:a = d:b c:d = a:b d:c = b:a b:d = a:c d:b = c:a

Alle Proportionen haben die gleiche Produktgleichung ad = bc.


Summen und Differenzen
Gilt a:b = c:d, so gibt es fünf Varianten mit Summen und Differenzen.
 
(a+b):b = (c+d):d
a:(a+b) = c:(c+d)
(a-b):b = (c-d):d
a:(a-b) = c:(c-d)
(a+b):(a-b) = (c+d):(c-d)

Man kann die Gleichungen so vereinfachen, dass man immer zur Produktgleichung ad = bc gelangt.


Bestimmung von Proportionalen
Man nennt die Variablen in einer Proportion a:b = c:d die Proportionalen. Da gibt es zwei Suchgleichungen.
Das sind die Bestimmung der vierten Proportionalen in a:b = c:x und die der mittleren Proportionalen in a:x = x:d.
Geometrisch interpretiert geht es einmal um die Berechnung eines Rechtecks, das den gleichen Flächeninhalt wie ein gegebenes Rechteck hat, und zum anderen um die Berechnung eines zum gegebenen Rechteck flächengleichen Quadrats.

Proportionenkette
Gilt a:b = d:e und b:c = e:f, so gilt auch a:c = d:f.
Beweis
Aus a:b = d:e folgt ae = bd, aus b:c = e:f folgt bf = ce. 
Aus ae = bd und  bf = ce bzw. ce = bf folgt nach Division der rechten und linken Terme a:c = d:f,  wzbw..

Man fasst die Proportionen a:b = d:e, b:c = e:f und a:c = d:f zur Schreibfigur a:b:c = d:e:f zusammen. 
Sie heißt Proportionenkette oder fortlaufende Proportion.

Figuren und Körper top
Es gibt einfache Figuren oder Körper, deren Form man durch ein Zahlenverhältnis festlegt.
Papierformat A4
Bekannt ist das Papierformat der A-Reihe. Man erhält die verschiedenen Blätter, indem man von einem Blatt von 1m² Fläche mit dem Seitenverhältnis  1:sqrt(2) ausgeht und durch fortwährendes Halbieren über A1, A2, ... zum gebräuchlichen Format A4 gelangt.

Mehr auf meiner Seite Papierformat A4

Rechtecke
Es folgt eine Zusammenstellung von Rechtecken mit unterschiedlichen Seitenverhältnissen. 
1) Quadrat, 2) 3-4-5-Dreieck und seine Spiegelung, 3) Papierformat der A-Reihe, 4) Rechteck um zwei verkettete Quadrate, 5) Goldenes Rechteck, 6) 30-60-90-Dreieck und seine Spiegelung oder das gleichseitige Dreieck - neu zusammengesetzt, 7) Doppelquadrat

Entnommen meiner Seite Rechteck

Formen eines Zylinders
......
Von den drei Zylindern sind zwei leicht verfremdet.
Einmal ist die Höhe h wesentlich größer als der Kreisdurchmesser, einmal wesentlich kleiner. 
Die Zylinder heißen dann Stab oder Scheibe.
Das Besondere am dritten Körper ist, dass er genau so hoch wie breit ist. 
Die Form eines Zylinders kann man durch das Verhältnis des Kreisdurchmessers  d=2r zur Höhe h, nämlich durch d/h beschreiben. 
In der Zeichnung sind z.B. für den Stab d/h=0,1, für die Scheibe d/h=26. Auffällig ist ein Zylinder mit d/h=1. Diese Form haben das Urkilogramm in Paris und die Kopien des Urkilogramms in Braunschweig bei der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB). 

Entnommen meiner Seite Zylinder

Strahlensätze top
Die Proportionen haben in der Geometrie als Entsprechung die Strahlensätze.
Gegeben seien zwei sich schneidende Geraden und ein Parallelenpaar. Es entstehen dann Abschnitte auf den Geraden bzw. auf den Parallelen, die auf zweierlei Weise in Beziehung gebracht werden können. 


1. Strahlensatz
......

Für die Abschnitte auf den Geraden gilt: a:b = c:d. Das ist der erste Strahlensatz.

In Worte: 
Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen getroffen, so verhalten sich die Abschnitte auf der einen Geraden wie die Abschnitte auf der anderen.


2. Strahlensatz
......
Bezieht man die Parallelenabschnitte mit ein, gilt a:(a+b) = c':d'. Das ist der zweite Strahlensatz.

In Worte: 
Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen getroffen, so verhalten sich die Abschnitte auf den Parallelen wie die Abschnitte auf einer Geraden. Die Abschnitte werden vom Schnittpunkt aus gemessen. (Dieser Zusatz ist wichtig. Die Beziehung a:c' = b:d' ist ein häufiger Fehler.)


...... Das sei angemerkt: 
Die Parallelen können auch auf verschiedenen Seiten zum Schnittpunkt der Geraden liegen.

Auch da können die Strahlensätze abgelesen werden.


Die folgende Figur ist eine Variation des zweiten Strahlensatzes und heißt manchmal auch 3. Strahlensatz.
......
Es gilt die Proportion p:q = r:s.
In Worte:
Werden drei sich in einem Punkt schneidende Geraden von zwei Parallelen getroffen, so verhalten sich die Abschnitte auf der einen Parallelen wie die Abschnitte auf der anderen. 

Die Formel folgt aus a:(a+b) = p:r und a:(a+b) = q:s.


Ähnliche Dreiecke
...... Die Figur zu den Strahlensätzen kann auch anders gesehen werden. 

Sie besteht aus den beiden Dreiecken ADE und ABC mit einem gemeinsamen Winkel und zwei gleichen Winkeln. Die Dreiecke sind deshalb einander ähnlich. 
Für ähnliche Dreiecke gilt: Entsprechende Seiten stehen in gleichem Verhältnis. 
So ist z.B. a:c = (a+b):(c+d). Daraus folgt a:b = c:d. Das ist der erste Strahlensatz.

Feststellung: Die Strahlensätze können auch durch Sätze über ähnliche Dreiecke ersetzt werden. 


Man kann noch weitergehen. Ähnliche Dreiecke liegen i.a. nicht perspektivisch, so dass die Figur zum Strahlensatz nicht mehr da ist. 
Zum Beispiel kann man die Diagonale im regelmäßigen Fünfeck nur über ähnliche Dreiecke bestimmen. 

...... Mit Hilfe der Winkel erkennt man, dass die beiden gelben Dreiecke gleichschenklig und ähnlich sind. Dann gilt (d-a):a=a:d oder d(d-a)=a². Diese quadratische Gleichung in d hat die (positive) Lösung d=[1+sqrt(5)]/2*a.

Entnommen meiner Seite Regelmäßiges Fünfeck

Trotzdem: Der Strahlensatz ist eine große Hilfe beim Lösen geometrischer Probleme. Ich könnte auf viele Seiten meiner Homepage hinweisen. 
Ich will mich auf die Seite Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung beschränken. Von den 39 Aufgaben werden sieben mit Hilfe eines Strahlensatzes gelöst, nämlich die Aufgaben 02, 03, 19, 24, 26, 31 und 32.

Teilung einer Strecke top
Grundaufgabe
Teile die Strecke AB im Verhältnis 2:3.
...... > Gib den Punkt C beliebig vor und verbinde ihn mit Punkt A
> Trage eine Einheitsstrecke von A aus fünfmal ab. Du erhältst die Punkte P und Q.
> Zeichne die Strecke BQ.
> Zeichne die Parallele zu BQ durch den Punkt P.
> Der Schnittpunkt mit der Strecke AB ist der gesuchte Teilpunkt T.
Die Konstruktion erklärt sich aus dem ersten Strahlensatz.


Harmonische Teilung
 
...... Der Punkt T teile die Strecke AB in einem bestimmten Verhältnis, nämlich k=AT:TB. Der Punkt T heißt innerer Teilpunkt. 
...... Es gibt einen zweiten Punkt U, für den auch k= AU:UB gilt. Er heißt äußerer Teilpunkt.

Man findet ihn durch die folgende Zeichnung.
...... > Wähle Punkt C und verbinde ihn mit Punkt A.
> Zeichne die Gerade CT. 
> Zeichne durch B die Parallele zu AC. Nenne den Schnittpunkt mit CT Punkt D. 
> Trage die Strecke BD von B aus ab. Nenne den Schnittpunkt D'.
> Zeichne die Gerade durch C und D'. Nenne den Schnittpunkt mit der Geraden AB Punkt U. 
Das Verhältnis k= AU:UB sieht man so ein.
Es gilt AT:TB =AC:DB (nach dem 2.Strahlensatz)
AU:UB = AC:BD' (nach dem 2. Strahlensatz)
BD = BD' (laut Konstruktion)
Folgerung: AT:TB = AU:UB = k
Man sagt: Die Punkte T und U teilen die Strecke AB harmonisch
oder die Punkte A, T, B und U sind harmonische Punkte.


Es gilt ferner der Satz:
Die Strecke UT ist das harmonische Mittel der Strecken AU und BU. In der Formelsprache heißt das UT=(2AU*BU)/(AU+BU).
Eine Rechnung dazu findet man auf meiner Seite Klassische Mittelwerte.

Stetige Teilung
Die stetige Teilung ist eine besondere Teilung einer Strecke. 
 
...... Eine Strecke s=AB wird durch den Punkt T stetig geteilt, wenn die gesamte Strecke sich zum größeren Abschnitt so verhält wie diese zum kleineren.

In Formelsprache heißt das AB:AT=AT:TB oder s:x = x:(s-x). Das ist gleichwertig mit x²+sx-s²=0.


Der Name stetige Teilung ergibt sich aus der folgenden Eigenschaft.
Trägt man den kleineren Abschnitt s-x  auf der größeren Teilstrecke x ab, so wird diese Strecke x durch den neuen Teilpunkt ebenfalls stetig geteilt. 
Nachweis:
Es gilt x:(s-x)=(s-x):[x-(s-x)] oder x:(s-x)=(s-x):[2x-s]. 
Daraus folgt die Produktgleichung x(2x-s)=(s-x)² oder 2x²-sx=s²-2sx+x² oder x²+sx-s²=0. Das ist die quadratische Gleichung von oben. Somit ist es die gleiche Teilung.
Die Teilung kann beliebig oft wiederholt werden, daher der Name. 

Die stetige Teilung heißt auch die Teilung nach dem goldenen Schnitt. 
Mehr auf meiner Seite Goldener Schnitt.

Proportionale Größen top
Dieses Thema wird anhand der Aufgabe oben abgehandelt.
5 kg Mehl kosten 6,40 €. Was kosten 300g? 
1
Die Aufgabe wurde über eine Proportion gelöst. 
Die gesuchten Kosten seien x €.
Es gilt die Proportion 5kg:300g = 6,40€:x€ oder 5000:300 = 640:x. Dann ist 5000x = 300*640 oder x = 38,4.
Antwort
300g Mehl kosten 38,4 ct.


2
Klassisch löst man die Aufgabe nach dem Dreisatz.
5 kg kosten 6,40 €
0,3 kg kosten x €
------------------------
5 kg kosten 6,40 €
1 kg kostet 6,40/5 €
0,3 kg kosten (6,40/5)*0,3 €
-----------------------------------
x = (6,40/5)*0,3 = 0,384

Antwort: 300g Mehl kosten 38,4 ct.

In den ersten beiden Zeilen steht die Aufgabe. In der ersten Zeile steht das, was man weiß, in der nächsten das, was man wissen will. Dabei muss darauf geachtet werden, dass die Suchvariable x rechts steht.
Dann kommen die drei Zeilen, die den Namen Dreisatz erklären. Die erste Zeile wird von oben übernommen. In der zweiten Zeile geht man von der Mehrheit auf die Einheit, in der dritten von der Einheit auf die Mehrheit. 
Abschließend erfolgt die Rechnung.


In der Aufgabe kommen zwei Größen vor, nämlich die Menge M und die Kosten K, die der Menge zugeordnet sind.
Die Zuordnung ist speziell: Menge M und Kosten K sind zueinander proportional  (abgekürzt M ~ K), d.h., dass mit der Menge die Kosten in gleichem Maße steigen. Genauer ausgedrückt: Der Quotient P aus den Kosten K und der Menge M ist konstant
Es gilt die Gleichung K= P*M, wobei P der Proportionalitätsfaktor ist.
Aus 1 kg Mehl kostet 1,28 € folgt K/M = 1,28€/1kg = 1,28€/kg. Also kann P als Preis gedeutet werden.

3
Heute wird in den Schulen die Aufgabe meist mit einer Tabelle gelöst. Ist das Verfahren eingeübt, genügt eine Kurztabelle.

Mit Hilfe einer Wertetabelle erstellt man den Graphen der Zuordnung Kosten K zu Menge M.
Das ist eine Funktion mit  K=P*M.

Verschiedenes  top
Seitenhalbierende im Dreieck
...... Die Seitenhalbierenden in einem beliebigen Dreick teilen sich im Verhältnis 2:1.

AS:AMa = BS:SMb = CS:SMc = 2:1
 


Mehr auf meiner Seite Allgemeines Dreieck

Sinussatz
......
In einem beliebigen Dreieck stehen die Seiten zu den Sinuswerten der gegenüberliegenden Winkel im gleichen Verhältnis.
Das fasst man in einer Proportionenkette zu a:b:c=sin(alpha):sin(beta):sin(gamma) zusammen. 

Eine Definition der Ellipse
...... Ist P ein beliebiger Ellipsenpunkt, und verbindet man ihn mit einem Brennpunkt und zeichnet zu ihm die Senkrechte zur "Leitlinie" l, so gilt PP1:PF2=a:e.
Das führt zu der Definition: Die Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte, für die das Verhältnis ihres Abstands d von einer Leitlinie zu ihrer Entfernung s vom Brennpunkt einen konstanten Wert annimmt.

Mehr auf meiner Seite Ellipse

Potenzierung in der Homöopathie 
Es gibt in der Homöopathie Arzneien mit einer "Verstärkung" wie D8. 
D8 entspricht einer Verdünnung von 1:100.000.000.
D.h., 1cm³ Wirkstoff kommt auf 100.000.000 cm³=100.000 Liter=1.000hl=100m³= 4m*5m*5m.
Das letzte Produkt kann man als Volumen eines Quaders mit der Länge 5m, der Breite 5m und der Höhe 4m auffassen.
Ein Würfel von 1cm³ ist winzig in diesem riesigen Raum. - Kein Kommentar.

Mehr auf meiner Seite Geometrische Folgen und Reihen

Epizykloide
Ein Kreis mit dem Radius r rollt auf einem festen Kreis mit denm Radius R ab. Ein Punkt auf dem Rollkreis beschreibt dabei eine Kurve, die Epizykloide. Nur wenn das Verhältnis R:r rational ist, ist die Kurve in sich geschlossen.

R:r = 7:2

R:r = 7:sqrt(2)

Mehr auf meiner Seite Epizykloide

Trigonometrische Funktionen
...... Am rechtwinkligen Dreieck kann man sechs Verhältnisse ablesen. 
Sie führen zu den trigonometrischen Funktionen. Für spitze Winkel gilt 
sin(alpha)=a/c, cos(alpha)=b/c, sec(alpha)=c/b, csc(alpha)=c/a, tan(alpha)=a/b und cot(alpha)=b/a.

3-4-5-Dreieck
...... Das Seitenverhältnis beträgt a:b:c = 4:3:5.
Das 3-4-5-Dreieck ist rechtwinklig, da der Satz des Pythagoras gilt: 3²+4²=5².

Mehr auf meiner Seite 3-4-5-Dreieck

Gleichschenkliges Trapez
... Eine Diagonale teilt das Trapez in zwei Dreiecke.

Für die Flächeninhalte gilt die Proportion Aa: Ac=a:c.


... Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Dreiecke.

Für die Flächeninhalte gilt die Proportionenkette  A1:A2:A3:A4=::ac:ac.


Mehr auf meiner Seite Trapez

Drei ähnliche Dreiecke
...... Die Höhe teilt das rechtwinklige Dreieck in zwei zum Ausgangsdreieck ähnliche Dreiecke auf, da entsprechende Winkel übereinstimmen. 
Für die Flächeninhalte gilt die Proportionenkette A1:A2:A3 = c²:a²:b²
Mehr auf meiner Seite Rechtwinkliges Dreieck

Verhältnisse und Proportionen im Internet     top

Deutsch

Wikipedia
Quotient, Strahlensatz, Ähnlichkeit (Geometrie),   Dreisatz, Harmonische Teilung, Doppelverhältnis, Proportionalität
ferner Kartoffelparadoxon

Englisch

Wikipedia
Quotient, Ratio, Intercept theorem, Similarity (geometry)Cross-multiplication, Projective harmonic conjugate, Proportionality (mathematics)
ferner:  Potato paradox


Referenzen   top
 W.Gellert (Herausgeber u.a.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig 1986 


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©  2015 Jürgen Köller

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