Regelmäßiges Vieleck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein regelmäßiges Vieleck?
Größen des Vielecks
Anzahl der Diagonalen
Symmetrie
Aufteilung in Vielecke
Kreis und Vieleck
Konstruierbarkeit der Vielecke
Eine Maximaleigenschaft
Vielecke im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein regelmäßiges Vieleck?
Das regelmäßige Vieleck hat
    n gleich lange Seiten und 
    n gleich große Innenwinkel. (Die Variable n steht für eine natürliche Zahl größer als 2.)
Stellvertretend für n-Ecke wird für die Zeichnungen meist das Siebeneck gewählt.

Das regelmäßige Vieleck heißt auch regelmäßiges n-Eck oder in Anlehnung an die englische Bezeichnung reguläres Polygon. Auf dieser Seite heißt es einfach Vieleck.


Die regelmäßigen Vielecke Dreieck bis Zwölfeck werden an anderer Stelle meiner Seite einzeln besprochen. 
Zugang erhält man über die Hauptseite. 

Größen des Vielecks top
Winkel
......
Ein regelmäßiges n-Eck wird durch das gelbe Bestimmungsdreieck festgelegt.
Der Mittelpunktswinkel ist 360°/n. 
Der Innenwinkel ist (n-2)/n*180°. 
Die Summe aller Innenwinkel ist (n-2)*180°.


Benennung der Diagonalen 
...... Es ist praktisch, die Diagonalen des Vielecks (wie links beim Siebeneck) mit di zu bezeichnen. Man nimmt dann in Kauf, dass di auch eine Seite sein kann und Diagonalen doppelt genannt werden. 
Aber auf diese Weise werden die Formeln unten für die Diagonalen einfach. 

Größen
...... Es gibt die Größen 
Seite a, Radius r des Inkreises, Radius R des Umkreises, Diagonalen di, Flächeninhalt A und Umfang U.

Formeln
Ist die Seite a gegeben, so gilt

i=1,2,...n-1

Herleitung der Formeln
Radius r des Inkreises und Radius R des Umkreises
Es gilt sin(180/n)=(a/2)/R. Daraus folgt R=a/[2*sin(180/n)] 

Es gilt tan(180/n)=(a/2)/r. Daraus folgt  r=a/[2*tan(180/n)].


Diagonalen
Es gilt sin(180i/n)=(di/2)/R oder di=2R*sin(180°i/n).
Mit R=a/[2*sin(180/n)] ist di=[a*sin(180i/n)]/sin(180/n)
In der Zeichnung sind n=7 und i=3.

Flächeninhalt und Umfang
Der Flächeninhalt ist die n-fache Fläche des Bestimmungsdreiecks: A=n*(a*r/2)=na²/[4*tan(180/n)].
Der Umfang ist U=na. 

Ergänzung: Höhe h
Hat das Vieleck eine ungerade Anzahl von Eckpunkten, so liegt die "Höhe" h auf der Symmetrieachse des Vielecks.
Es gilt tan(90°/n)=(a/2)/h oder h=a/[2tan(90°/n)].
Ist die Eckenzahl gerade, so ist die "Höhe"  h=2r.

Anzahl der Diagonalen top
Lage der Diagonalen
......
Zehneck 
......
Neuneck
Es ergeben sich z.B. für das Zehn- und Neuneck unterschiedliche Bilder.

Ist die Eckenzahl gerade, so verlaufen die Diagonalen durch den Mittelpunkt. 

Bei ungerader Eckenzahl ist die Mitte leer und die Diagonalen bilden innen ein verkleinertes n-Eck.


Anzahl aller Diagonalen
Gibt man die n Punkte des Vielecks vor, so kann man den ersten Punkt mit n-1 Punkten verbinden.
Dann kann man den nächsten Punkt mit n-2 Punkten verbinden.
Den übernächsten Punkt verbindet man mit n-3 Punkten. 
Diesen Prozess setzt man so lange fort, bis kein Punkt zum Verbinden übrig bleibt. 

Es gibt insgesamt (n-1)+(n-2)+(n-3)+...+3+2+1 Verbindungslinien. Das kann man mit n(n-1)/2 zusammenfassen. 
Man muss schließlich noch die n Strecken zwischen den Eckpunkten abziehen. 
Das führt zu  n(n-1)/2-n=n(n-3)/2 Diagonalen. 
Ergebnis: Das Vieleck hat n(n-3)/2 Diagonalen. 


Anzahl der Diagonalen unterschiedlicher Länge
.....
n=7.
Man erhält die Anzahl der verschieden langen Diagonalen, wenn man nur einen Punkt mit allen Eckpunkten verbindet. 
Das ergibt n-1 Strecken. 
Dann zieht man die beiden Seiten ab. Das ergibt n-3. 
Schließlich halbiert man die Anzahl und erhält (n-3)/2.
Diese Überlegung gilt aber nur für Vielecke mit ungerader Eckenzahl.

......
n=8
Ist die Anzahl der Ecken des Vielecks gerade, so ist eine Diagonale Symmetrieachse und tritt nur einmal auf. 

Deshalb ist die Anzahl gleich (n-3+1)/2=(n-2)/2 bei geradem n.

Ergebnis: Die Anzahl ist (n-3)/2, falls n ungerade ist, und (n-2)/2, falls n gerade ist. 

Symmetrie   top
Jedes regelmäßige Vieleck ist
>punktsymmetrisch (Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt.) 
>n-fach drehsymmetrisch. (Bei einer Drehung um 360°/n kommt das Vieleck wieder zur Deckung.) 
>spiegelsymmetrisch (Es gibt n Symmetrieachsen.) 
......
Sechseck
Ist die Eckenzahl gerade, so verläuft eine Symmetrieachse immer durch zwei  Eckpunkte oder durch zwei  Seitenmitten. 
......
Siebeneck
Ist die Eckenzahl ungerade, so verläuft eine Symmetrieachse immer durch einen Eckpunkt und eine Seitenmitte. 


Aufteilung der Vielecke top
Aufteilung in Dreiecke
Es geht um das Problem, in wie viele Dreiecke die Diagonalen das Vieleck zerlegen. 
......
Für das Fünfeck zum Beispiel gibt es fünf Zerlegungen.
Dabei werden spiegelbildliche Zerlegungen als verschieden angesehen. 


Die Anzahl wird allgemein durch die Catalan-Zahlen angegeben: 
1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, ... (Sloane's A000108). 
Es gilt:

Aufteilung in Vielecke 
Zeichnet man alle Diagonalen ein und beachtet auch ihre Schnittpunkte, so ergibt sich das Problem der Aufteilung des regelmäßigen Vielecks in verschiedene Vielecke.
...... Das sind beim Viereck 4, beim Fünfeck 11 und beim Sechseck 24 Vielecke, wie man durch Nachzählen bestätigen kann. 

Die ersten Glieder der Folge sind 1,4,11,24,50,80,154,220,375,444... 
 
Für ungerade n lautet die Formel allgemein: A(n)=(24 - 42n + 23n^2 - 6n^3 + n^4)/24
Für gerade n ist sie komplizierter. (siehe Sloane's A007678).

Alle Dreiecke im Vieleck
Das Viereck hat 4+2+2=8 Dreiecke. 
Eine Formel für die Anzahl aufzustellen ist schwierig, da man auch gerade und ungerade Vielecke unterscheiden muss. Es gibt manchmal Mehrfachschnittpunkte.
Die ersten Glieder der Folge sind 1, 8, 35, 110, 287, 632,...  (Sloane's A006600).

Kreis und Vieleck top
...... Ist der Kreis ein Vieleck?
Die Antwort ist nein. Das Vieleck müsste unendlich viele Ecken haben, um zum Kreis zu werden. Aber Unendlich ist keine Anzahl. - Eine Seite müsste die Länge 0 haben. Dann ist sie keine Seite mehr.
Man kann aber dem Kreis mit Vielecken beliebig nahe kommen und ihn als Grenzfigur des Vielecks bezeichnen. Dabei lässt man die Zahl der Eckpunkte über alle Grenzen gehen.
Diese Betrachtung ist für die Kreisberechnung fruchtbar, denn die Formeln des n-Ecks kann man für "n gegen Unendlich" für den Kreis übernehmen. 
Es gibt zwei Größen, die für den Kreis mit einem gegebenen Radius r von Interesse sind, nämlich der Flächeninhalt A' und der Umfang U'. Da beim Kreis A' und r² bzw. U' und 2r proportional sind und der Proportionalitätsfaktor gleich Pi ist, läuft die Kreisberechnung auf die Bestimmung von Pi hinaus.


Kreis zwischen zwei Vielecken
...... In einer bekannten Methode wählt man zu einem Kreis mit dem Radius r ein Sehnenvieleck und ein Tangentenvieleck und zwängt so den Kreis ein. Man bestimmt für beliebiges n die Umfänge un und Un der Vielecke und lässt n über alle Grenzen gehen.
In der Zeichnung ist n=6.

Intervallschachtelung
Für die Rechnung genügen Bestimmungsdreiecke. 
Sehnenvieleck: 
Es gilt sin(180°/n)=sn/(2r) oder sn=2r*sin(180°/n)


Tangentenvieleck: 
Es gilt tan(180°/n)=Sn/(2r) oder Sn=2r*tan(180°/n)

Die Umfänge gilt un=n*sn=2rn*sin(180°/n) und Un=n*Sn=2rn*tan(180°/n). 
Dann gilt die Intervallschachtelung 
un<U'<Un
2rn*sin(180°/n) < U'< 2rn*tan(180°/n)
n*sin(180°/n) < U'/2r < n*tan(180°/n)
Mit Hilfe dieser Ungleichungskette kann man Pi beliebig genau bestimmen. 

Zahlenbeispiel n=100:       100sin1,8° <Pi <100tan1,8°  oder 3,1410 < 3,1416< 3,1426.


Für die Flächeninhalte erhält man die Intervallschachtelung

(1/2)n*sin(360°/n) < A'/r² < n*tan(180°/n).

Zahlenbeispiel n=100:         50*sin3,6° < Pi < 100*tan1,8° oder 3,1395 < Pi < 3,1426


Anmerkung: 
In der Schule wird dieser Weg zur Bestimmung von Pi auch aus einem praktischen Grund nicht beschritten. Trigonometrische Funktionen werden erst nach der Kreisberechnung behandelt. Pi wird stattdessen durch Wurzelterme erfasst.
Zu ihnen kann man auch über die Vielecke gelangen. Man untersucht z.B. nacheinander das 4-Eck, 8-Eck, 16-Eck usw.. 
Die Wurzelterme berechnet man dann mit dem Taschenrechner. 

In einem Bändchen von 1913 (1) fand ich aus Vor-Rechner-Zeiten die unausgerechneten Terme für r=1

...

Konstruierbarkeit der Vielecke   top
......
......
Das gleichseitige Dreieck kann man mit Zirkel und Lineal zeichnen. Das nennt man konstruieren. 
Mit dem Dreieck sind auch das Sechseck, Zwölfeck, 24-Eck usw. konstruierbar, denn man erhält sie nacheinander durch Winkelhalbieren. 


Es stellt sich die Frage, ob man alle regelmäßige Vielecke konstruieren kann.
Das Problem ist gelöst, auch wenn man konkret nicht alle konstruierbaren Vielecke kennt (*).

Nach Gauss weiß man, dass nur die p-Ecke (p ist eine Primzahl) konstruierbar sind, bei denen es natürliche Zahlen k gibt, so dass p=2^(2^k) +1 Primzahlen sind. 
Das sind die n-Ecke mit der Eckenzahl 3, 5, 17, 257 und 65537. Weitere Zahlen sind nicht bekannt (*). 

Aus diesen " fermatschen  Primzahlen" pi kann man durch Produktbildung neue Zahlen bilden: p1p2p3...ps

Beachtet man noch, dass jede dieser Zahlen wegen der Halbierungen oben Ausgangszahl einer Folge von neuen Zahlen sein kann, erhält man mit 2m p1p2p3...ps eine allgemeine Darstellung. Vielecke mit dieser Eckenzahl sind also konstruierbar.

Konkret sind das die Zahlen 
3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, ... (Sloane's A003401). 

Die n-Ecke mit der Eckenzahl 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25,...sind nicht konstruierbar. 
Es gibt für sie Näherungskonstruktionen.


Eine Maximaleigenschaft top
...... Für regelmäßige Vielecke gilt der Satz:
Unter allen n-Ecken, die einem Kreis einbeschrieben sind, hat das regelmäßige den größten Flächeninhalt.
Der Satz ist einleuchtend, der Beweis ist aber nicht ganz einfach. 
Einen gedanklich und textlich sorgfältig dargestellten Beweis findet man bei Rademacher/Toeplitz (4) auf den Seiten 9 bis 14.


Vielecke im Internet  top

Deutsch

Holger Ullmann
ORNAMENTIK IM VIER-VIERTEL-TAKT

Michael Holzapfel
Regelmäßige Vielecke

Ursula Damm
Meine geometrischen Muster aus regulären Polygonen

Werner Brefeld
Regelmäßiges Vieleck und Zerschneiden

Wikipedia  
Regelmäßiges PolygonPolygonKonstruierbares Polygon


Englisch

1728 Software Systems
Regular Polygon Calculator
Bill Kendrick's
WEB TURTLE (fun drawing program)
Eric S Rowland
Regular Polygons

Dr.Math (The Math Forum)
Regular Polygon
Inconstructible Regular Polygon
Constructing Polygons,
The Figure of Maximum Area and Given Perimeter
Diagonals of Polygons
Number of Lines of Symmetry in a Regular Polygon
Counting Diagonals
Constructible Angles and Regular Polygons
Is a Circle a Polygon?
How Many Edges in a Circle?
Area and Perimeter in Polygons
Construct Polygon Given One Side
Naming Polygons
Areas of N-Sided Regular Polygon and Circle

Eric W. Weisstein (MathWorld)
CatalanNumber
ConstructiblePolygon
PolygonDiagonal
Polygons
RegularPolygon

N. J. A. Sloane  (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences) 
A000108   (Catalan Numbers)

Paul A. Gusmorino
Paul's Page of Pi

Peter Steinbach
Golden Fields: A Case for the Heptagon

Steven E. Sommars - Tim Sommars
The Number of Triangles Formed by Intersecting Diagonals of a Regular Polygon

Silvio Levy 
Regular Polygons

Wikipedia  
Regular polygonPolygonConstructible polygon


Japanisch
Kenji Okamoto  Polycircle  ("We love LOGO")
 


Referenzen   top
(1) Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises, Leipzig Berlin 1913 / 1942
(2) W.Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig Berlin 1935
(3) Jean-Paul Delahaye: Pi die Story, Birkhäuser Verlag, Basel Boston Berlin 1999
(4) Rademacher-Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin, Heidelberg, New York1968 (Nachdruck von 1930)


 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2005 Jürgen Köller

top