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Was ist eine vierstrahlige Figur?
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Eine vierstrahlige Figur ist eine drehsymmetrische oder kreissymmetrische
Figur von der Ordnung vier.
Das heißt, dass sie ein Drehzentrum hat und dass sie bei jeder
Vierteldrehung um dieses Zentrum in sich selbst übergeht. |
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Auch das Quadrat ist vierstrahlig.
Bei ihm kommen noch vier Achsensymmetrien mit vier Achsen hinzu. |
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Zu jeder vierstrahligen Figur gibt es ein Spiegelbild.
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Diese Seite hat den gleichen Aufbau wie
meine Seite Dreistrahlige Figuren.
Beispiele vierstrahliger
Figuren top
Vier gleichseitige Dreiecke
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Vier 30-60-90-Dreiecke
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Aus einem Quadrat mit 16 Dreiecken
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Vier Kreise
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Von der Ellipse zur 4-Bogen-Linie
gefunden bei Steinhaus (2) auf Seite 84 |
Maßwerk (Vierpass)
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Autobahnkreuz
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Windrose
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Fast wie Feldlinienbilder von Quadrupolen
Eine achtstrahlige Figur ist auch vierstrahlig.
Vierstrahlige
Figuren mit einem Zeichenprogramm top
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Zeichne ein Quadrat und in ihm eine beliebige Figur.
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Drehe die Figur dreimal jeweils um 90°.
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Setze die vier Figuren zu einem 2x2-Quadrat zusammen.
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Verschönere die Gesamtfigur.
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Auf dem gleichen Wege entstanden die drei
Vierfachspiralen.
Erweiterung des Verfahrens auf Relationen
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Durch die Gleichung x²+y²=1 wird bekanntlich ein Kreis beschrieben.
Er ist auch von der Gleichung her gesehen vierstrahlig, denn die Gleichung
ändert sich nicht, wenn man x durch -x, y durch -y ersetzt und x und
y vertauscht.
Will man neue Gleichungen entwickeln, muss man diese Eigenschaften
berücksichtigen.
Mir fallen die Gleichungen zu einem gerundeten Quadrat und zu einem
Schild ein. -
Dieses ist ein weites Feld zum Experimentieren. |
Auf dieser Seite findet man noch die Gleichungen
(x²+y²)³=4x²y², (x²+y²-1)³+27x²y²=0
und (x2-a2)2+(y2-a2)2=b4.
Zykloiden top
Eine Herausforderung liegt darin, vierstrahlige Figuren mit Hilfe von
Formeln zu zeichnen.
Da bieten sich die Zykloiden an.
Epizykloide
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Man stelle sich vor, ein Kreis liege fest und ein zweiter Kreis mit
einem viermal so kleinen Radius rolle um einen großen Kreis (Leitkreis)
herum. Verfolgt man dabei einen Punkt auf der Kreislinie des beweglichen
Kreises, so beschreibt er eine geschlossene Linie mit vier Einkerbungen.
Diese Linie heißt Zykloide, genauer Epizykloide. Die Figur ist vierstrahlig. |
Beschreibt man das Abrollen durch Formeln,
so ergibt sich:
Epizykloide, allgemein
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Epizykloide für R=4r
x(t)=5r*cos(t/4)-a*cos(5t/4)
y(t)=5r*sin(t/4)-a*sin(5t/4)
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Dabei sind R und r die Radien der Kreise. Die Variable a gibt die Entfernung
des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an.
Es folgen Epizykloiden für r=1 und
verschiedene Parameter a.
Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)
Hypozykloide
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Rollt man den kleinen Kreis innen ab, so entsteht eine Figur mit vier
Spitzen, die Hypozykloide. |
Beschreibt man das Abrollen durch Formeln,
so ergibt sich:
Hypozykloide, allgemein
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Hypozykloide für R=4r
x(t)=3r*cos(t/4)+a*cos(3t/4)
y(t)=3r*sin(t/4)-a*sin(3t/4)
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Dabei sind R und r die Radien der Kreise. Die Variable a gibt die Entfernung
des Kurvenpunktes vom Mittelpunkt des beweglichen Kreises an.
Es folgen Hypozykloiden
für r=1 und verschiedene Parameter a.
Gezeichnet mit dem Freeware-Programm Winplot von Richard Parris (URL unten)
Besondere Zykloiden top
Von den oben vorgestellten Zykloiden mit R=4r sind drei hervorzuheben.
Quadrifolium (Hypozykloide
a=3r)
... ..
.Es gilt 0<t<8*pi.
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Im Polar-Koordinatensystem hat das Quadrifolium
eine
besonders einfache Darstellung:
r'(t)=a*sin(2t) [0<t<2*pi]. - Die Darstellung in kartesischen
Kordinaten ist (x²+y²)³=4x²y².
Der Flächeninhalt ist (1/2)*pi*a².
Die Länge kann nur angenähert angegeben werden, da die Rechnung
auf ein elliptisches Integral führt: L=9,69a.
Quelle: MathWorld (URL unten) |
Astroide
(Hypozykloide, a=r)
Es gilt 0<t<8*pi.
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Die Parameterdarstellung lässt sich auch schreiben als x=a*cos³(t)
und y=a*sin³(t).
Die Darstellung in kartesischen Kordinaten ist (x²+y²-1)³+27x²y²=0
Der Umfang ist L=6a und der Flächeninhalt (3/8)*pi*a².
Quelle: MathWorld (URL unten) |
Vierstrahlige Epizykloide
Vierstrahlige Körper top
Zur Definition
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Verschiebt man eine Figur in Normalenrichtung, so entsteht ein Prisma.
Ist die Figur vierstrahlig wie hier das gelbe Quadrat, so ist auch das
Prisma vierstrahlig.
Dabei wird der Drehpunkt durch eine Drehachse ersetzt.
Außerdem hat der Körper an Stelle vierer Symmetrieachsen
vier Symmetrieebenen. |
An diese Stelle passen drei Bilder meiner
Seite Quadratisches Prisma.
... und noch zwei Bilder von der Seite
Himmel
und Hölle
Vermischtes
Vierstrahliges aus der Natur
Schöllkraut
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Raps
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Flieder
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Clematis
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Karen's Quilts
Eine Fensterrosette der neuromanischen
evangelisch-lutherischen Erlöserkirche von 1891–1892 in Bad Salzuflen
Vierstrahlige Figuren
im Internet top
Deutsch
Claas Hickl
Quattrofolium (Entdecke
die Welt der Kleeblätter)
Hans Jörgen Wevers
Variation mit Quadrat
Wikipedia
Zykloide,
Epizykloiden,
Symmetrie
(Geometrie), Vierpass,
Radiärsymmetrie,
Drehgruppe,
Kreuz
(Symbol)
Englisch
MacTutor History of Mathematics Archive
Hypocycloid,
Epicycloid,
Hypotrochoid,
Epitrochoid,
Astroid
EricW.Weisstein (MathWorld)
Epicycloid,
Hypocycloid,
Quadrifolium,
Astroid,
Rose
Richard Parris (peanut Software)
Program WINPLOT
Wikipedia
Rotation,
Rotational
symmetry, Rotation
group, Rotation
(mathematics), Cross,
St.Brigid's
cross, Epicycloid,
Hypocycloid,
Astroid,
Quadrifolium
Xah Lee
Epicycloid
and Hypocycloid, Astroid
Französisch
Robert FERRÉOL
TRÈFLE
À QUATRE FEUILLES, ASTROÏDE,
Referenzen top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
(2) Hugo Steinhaus: 100 Aufgaben, Leipzig-Jena-Berlin, 1968
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©
2008 Jürgen Köller
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