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Was ist die Viviani-Kurve?
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Die Viviani-Kurve ist eine Raumkurve mit der Parameterdarstellung
x(t)=R[1+cos(t)],
y(t)=R*sin(t),
z(t)=2R*sin[(1/2)t].
Dabei gilt 0<=t<=4pi.
Der Name geht auf den italienischen
Mathematiker und Physiker Vincenzo Viviani
(1622 bis 1703) zurück. |
Mit dem Stereo-Blick sieht man die Kurve
dreidimensional.
Parallelprojektion
auf die Hauptebenen top
(1) Die Projektion der Kurve in z-Richtung in die x-y-Ebene
ist ein
Kreis mit dem Radius R.
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Die Parameterdarstellung ist x(t)=R[1+cos(t)] und y(t)=R*sin(t).
Dabei gilt 0<=t<=2pi. |
Herleitung der Koordinatengleichung
Es gilt x=R[1+cos(t)] oder x-R=R*cos(t) und y=R*sin(t)
und weiter (x-R)²+y²=[R*cos(t)]²+[R*sin(t)]² oder (x-R)²+y²=R².
(2) Die Projektion der Kurve
in y-Richtung in die x-z-Ebene ist eine
Parabel.
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Die Parameterdarstellung ist x=R[1+cos(t)] und
z=2R*sin[(1/2)t].
Dabei gilt 0<=t<=4pi. |
Herleitung der Koordinatengleichung
Vorweg: Es gilt die trigonometrische Formel sin²[(1/2)t]=1/2-(1/2)cos(t).
Die Kurve hat die Darstellung x=R[1+cos(t)] und
z=2R*sin[(1/2)t].
Dann ist z²=4R²*sin²[(1/2)t]=4R²[1/2-(1/2)cos(t)]
oder z²=2R²-2R²cos(t) oder, nach cos(t) aufgelöst,
2R²cos(t)=2R²-z² oder cos(t)=1-[1/(2R²)]z².
In die Gleichung x=R[1+cos(t)]=R+R*cos(t) wird cos(t)
eingesetzt:
x=R+R{1-[1/(2R²)]z²}=R+R-[1/(2R)]z²
oder x= -[1/(2R)]z²+2R.
Das ist eine Parabelgleichung.
(3) Die Projektion der Kurve
in x-Richtung in die y-z-Ebene ist die Lemniskate von Gerono.
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Die Parameterdarstellung ist y=R*sin(t) und z=2R*sin[(1/2)t].
Dabei gilt 0<=t<=4pi. |
Herleitung der Koordinatengleichung
Vorweg: Es gelten die Formel sin²[(1/2)t]+cos²[(1/2)t]=1
und sin²[(1/2)t]=1/2-(1/2)cos(t).
Die Kurve hat die Darstellung y=R*sin(t) und z=2R*sin[(1/2)t].
Dann ist z²=4R²sin²[(1/2)t]oder z²==4R²[1/2-(1/2)cos(t)]
oder z²=2R²-2R²cos(t) oder
cos(t)=1-[1/(2R²)]z².
Andererseits ist y²=R²sin²(t)=R²-R²cos²(t)=R²-R²{1-[1/(2R²)]z²}²
oder y²=R²-R²{1-2[1/(2R²)]z²+[1/(4R4)]z4}
oder y²=z²-[1/(4R²)]z4. Multipliziert man beide
Seiten mit 4R², ergibt sich 4R2y2-4R2z2+z4=0.
Ist R=1, so gilt 4y²+4z²-z4-1=0.
Das ist die Koordinatengleichung der Lemniskate von
Gerono, die bei Mathworld auch Eightcurve heißt.
Die bisherigen Bilder sind
Bildschirmkopien des Applets von Markus Unterweger (URL unten).
Es folgen zwei Zeichnungen des Freeware-Programms WinPlot
(URL unten).
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Die rote Kurve ist Vivianis Kurve, die schwarzen sind
ihre Projektionen in die Hauptebenen.
Das ist noch einmal die Parameterdarstellung.
x(t)=R[1+cos(t)]
y(t)=R*sin(t)
z(t)=2R*sin[(1/2)t]
Dabei gilt 0<=t<=4pi. |
Eine andere Parameterdarstellung
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In der Literatur findet man für die Kurve von Viviani
auch die folgende Darstellung.
x(t)=sin(t)cos(t) oder x(t)=(1/2)sin(2t)
y(t)=sin²(t)
z(t)=cos(t)
Dabei gilt 0<=t<=2pi.
Die beiden Darstellungen beschreiben die gleiche Kurve.
In dieser Darstellung reicht es aus, dass der Parameter t die Zahlen von
0 bis 2pi durchläuft. Außerdem ist diese Kurve um 90° um
die z-Achse gedreht gegenüber oben. |
Schnittlinie
von Kugel und Zylinder top
Ein Zylinder mit dem Radius R
seines Grundkreises berührt eine
Kugel mit
doppelt so großem Radius 2R innen.
In der Aufsicht ist die Schnittlinie beider Körper
ein Kreis, in der Perspektive vermeintlich die Viviani-Kurve.
Die folgende Rechnung bestätigt das.
Die Kugel hat in einem räumlichen,
kartesischen Koordinatensystem die Darstellung x²+y²+z²=4R²,
der Zylinder die Darstellung (x-R)²+y²=R².
Es ist zu zeigen, dass die Koordinaten eines Punktes
P(x|y|z) der Viviani-Kurve beide Gleichungen erfüllen. Man setzt dazu
x(t)=R[1+cos(t)], y(t)=R*sin(t)
und z(t)=2R*sin[(1/2)t]
in die linken Terme der Koordinatengleichungen ein.
Nach einigen Umformungen ergibt sich 4R² bzw. R².
x²+y²+z² =
R²[1+cos(t)]²+R²sin²(t)+4R²sin²[(1/2)t] =
R²+2R²cos(t)+R²cos²(t)+R²sin²(t)+4R²[1/2-(1/2)cos(t)]
= 2R²+2R²cos(t)+2R²-2R²cos(t) = 4R²
(x-R)²+y² = x²-2Rx+R²-y²
= R²[1+cos(t)]²-2R²[1+cos(t)]+R²-R²sin²(t)
= R²-2R²cos(t)+R²cos²(t)-2R²-2R²cos(t)+R²-R²sin²(t)
= R²
Vivianis
Kurve als Schnittlinie anderer Flächen top
Die Parametergleichungen x=sin(t)cos(t), y=sin²(t)
und z=cos(t) führen zu folgenden Koordinatengleichungen.
Aus x=sin(t)cos(t) und y=sin²(t) folgt x²-y+y²=0.
Aus y=sin²(t) und z=cos(t) folgt z²-y-1=0.
Aus x=sin(t)cos(t) und z=cos(t) folgt x2-z2+z4=0.
Das führt zu den folgenden Bildern von Flächen,
die sich in der (roten) Kurve von Viviani schneiden.
z²-1-y=0 und x²-y+y²=0
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x2-z2+z4=0 und x²-y+y²=0
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Man kann auch alle drei Parametergleichungen
kombinieren.
Aus x²=sin²(t)cos²t folgt x²=yz²
oder x²-yz²=0. Das ergibt eine etwas kompliziertere Fläche
im Raum.
x²-y²z²=0
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x²=y²z² und x²-y+y²=0
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Fügt man noch den Zylinder hinzu, so wird die Viviani-Kurve
als Schnittlinie deutlicher.
Verschiedenes top
Viviani-Körper
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Man kann das Augenmerk nicht auf Vivianis Kurve, sondern
auf den Körper legen, der sowohl zur Kugel als auch zum Zylinder gehört.
Dieser "Kern" heißt dann auch Viviani-Körper. |
Zylindrische
Bohrung
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Man verschiebt den Zylinder innerhalb der Kugel zur Mitte
hin.
Dann entstehen aus Vivianis Kurve zwei parallel liegende
Kreise.
Diese Anordnung kennt man von einer Perle. |
Durchdringung
zweier Zylinder
Die Zylinderachsen schneiden sich
und stehen aufeinander senkrecht.
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Die Zylinder werden beschrieben mit
x²+y²=R²
x²+z²=R².
Die Schnittlinien haben die Darstellung
x=R*sin(t)
y=+R*sqrt[1-sin²(t)]
z=R*cos(t) |
x=R*sin(t)
y=-R*sqrt[1-sin²(t)]
z=R*cos(t) |
0<=t<=2pi |
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In der Aufsicht erscheinen die Zylinder als Rechtecke
und die Schnittlinien als Strecken.
Aus x²+y²=R² und x²+z²=R²
folgt nämlich y²=z² oder y=z /\ y=-z.
Die Schnittlinien entstehen auch, wenn man die Zylinder
und die Halbierungsebenen der Hauptebenen z=y und z=-y zum Schnitt bringt.
Dann entstehen Ellipsen.
Die Schnittlinien sind also Ellipsen mit den Halbachsen
R und sqrt(2)R. |
Sattelkurve
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Beim Variieren der Parametergleichungen geriet ich an
folgende einfache Gleichungen.
x(t)=cos(t)
y(t)=sin(t)
z(t)=sin(2t) oder z(t)=2sin(t)cos(t)
Sie führen zur einer einfach geschlossenen Raumkurve,
der Sattelkurve. |
... .
Hyperboloid..
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 ... |
Aus x(t)=cos(t) und y(t)=sin(t) folgt die Koordinatengleichung
x²+y²=R². Das führt zum Mantel eines Zylinders.
Aus allen Gleichungen folgt die Koordinatengleichung z=2xy.
Das führt zu einer Sattelfläche, dem Hyperboloid.
Die Sattelkurve ist die Schnittlinie beider Flächen.
Oben lag die Schnittlinie mit einem Zylinder auf einer
Kugeloberfläche, hier auf einem Hyperboloid. |
Bekannte
Raumkurven top
Schraubenlinie
... |
Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=cos(6t)
y=sin(6t)
z=t
0<=t<=2pi |
Konische
Spirale
... .... |
Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=t*cos(6t)
y=t*sin(6t)
z=t
0<=t<=2pi |
Eine
Lissajous-Figur
... |
Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=cos(3t)
y=sin(3t)
z=sin(2t)
0<=t<=2pi |
Ein
Knoten
... ............... |
Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=cos(t)+2cos(2t)
y=sin(t)+2sin(2t)
z=2cos(3t)
0<=t<=2pi |
Sinuskrone
... |
Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=3cos(t)
y=3sin(t)
z=sin(6t)
0<=t<=2pi |
Viviani-Kurve
im Internet
top
Deutsch
Anne Bläsius
Die
Viviani-Kurve
Annäherungen
an Kurven und Flächen im Raum mit Nutzung moderner Medien
(Ich empfehle das Kapitel 4 für weitere Studien
der Viviani-Kurve)
Jürgen Meier
Viviani
Kurve
Jutta Gut
Schleifenkurven
im Raum
Wikipedia
Raumkurve,
3D-Grafik-Software,
Schraube
(Mathematik), Spirale,
Kurve
(Mathematik)
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Viviani's
Curve, Cylinder-Sphere
Intersection, Eight
Curve
History of Mathematics Archive [University of St Andrews,
Scotland]
Vincenzo
Viviani
Richard Parris (Freeware-Programme)
winplot
Wikipedia
Viviani's
curve, Sphere-cylinder
intersection, Vincenzo
Viviani, Lemniscate
of Gerono,
Curved
space,
Helix,
Spiral,
Hilbert
curve
Französisch
Robert FERRÉOL
COURBE
DE VIVIANI, LEMNISCATE
DE GERONO
Referenzen top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik,
Leipzig 1987
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https://www.mathematische-basteleien.de/
©
2012 Jürgen Köller
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