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Was ist die Viviani-Kurve?
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Die Viviani-Kurve ist eine Raumkurve mit der Parameterdarstellung
x(t)=R[1+cos(t)],
y(t)=R*sin(t),
z(t)=2R*sin[(1/2)t].
Dabei gilt 0<=t<=4pi.
Der Name geht auf den italienischen Mathematiker
und Physiker Vincenzo Viviani
(1622 bis 1703) zurück. |
Mit dem Stereo-Blick sieht man die Kurve dreidimensional.
Das ist eine andere Sicht, die deutlicher macht, dass sie aus zwei Schleifen
besteht.
Parallelprojektion
auf die Hauptebenen top
(1) Die Projektion der Kurve in z-Richtung in die x-y-Ebene ist ein
Kreis
mit dem Radius R.
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Die Parameterdarstellung ist x(t)=R[1+cos(t)] und y(t)=R*sin(t).
Dabei gilt 0<=t<=2pi. |
Herleitung der Koordinatengleichung
Es gilt x=R[1+cos(t)] oder x-R=R*cos(t) und y=R*sin(t) und weiter (x-R)²+y²=[R*cos(t)]²+[R*sin(t)]²
oder (x-R)²+y²=R².
(2) Die Projektion der Kurve in y-Richtung
in die x-z-Ebene ist eine
Parabel.
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Die Parameterdarstellung ist x=R[1+cos(t)] und z=2R*sin[(1/2)t].
Dabei gilt 0<=t<=4pi. |
Herleitung der Koordinatengleichung
Vorweg: Es gilt die trigonometrische Formel sin²[(1/2)t]=1/2-(1/2)cos(t).
Die Kurve hat die Darstellung x=R[1+cos(t)] und z=2R*sin[(1/2)t].
Dann ist z²=4R²*sin²[(1/2)t]=4R²[1/2-(1/2)cos(t)]
oder z²=2R²-2R²cos(t) oder, nach cos(t) aufgelöst,
2R²cos(t)=2R²-z² oder cos(t)=1-[1/(2R²)]z².
In die Gleichung x=R[1+cos(t)]=R+R*cos(t) wird cos(t) eingesetzt:
x=R+R{1-[1/(2R²)]z²}=R+R-[1/(2R)]z² oder x=
-[1/(2R)]z²+2R.
Das ist eine Parabelgleichung.
(3) Die Projektion der Kurve in x-Richtung
in die y-z-Ebene ist die Lemniskate von Gerono.
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Die Parameterdarstellung ist y=R*sin(t) und z=2R*sin[(1/2)t].
Dabei gilt 0<=t<=4pi. |
Herleitung der Koordinatengleichung
Vorweg: Es gelten die Formel sin²[(1/2)t]+cos²[(1/2)t]=1
und sin²[(1/2)t]=1/2-(1/2)cos(t).
Die Kurve hat die Darstellung y=R*sin(t) und z=2R*sin[(1/2)t].
Dann ist z²=4R²sin²[(1/2)t]oder z²==4R²[1/2-(1/2)cos(t)]
oder z²=2R²-2R²cos(t) oder
cos(t)=1-[1/(2R²)]z².
Andererseits ist y²=R²sin²(t)=R²-R²cos²(t)=R²-R²{1-[1/(2R²)]z²}²
oder y²=R²-R²{1-2[1/(2R²)]z²+[1/(4R4)]z4}
oder y²=z²-[1/(4R²)]z4. Multipliziert man beide
Seiten mit 4R², ergibt sich 4R2y2-4R2z2+z4=0.
Ist R=1, so gilt 4y²+4z²-z4-1=0.
Das ist die Koordinatengleichung der Lemniskate von Gerono,
die bei Mathworld auch Eightcurve heißt.
Die bisherigen Bilder sind Bildschirmkopien
des Applets von Markus Unterweger (URL unten).
Es folgen zwei Zeichnungen des Freeware-Programms WinPlot (URL unten).
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Die rote Kurve ist Vivianis Kurve, die schwarzen sind ihre Projektionen
in die Hauptebenen.
Das ist noch einmal die Parameterdarstellung.
x(t)=R[1+cos(t)]
y(t)=R*sin(t)
z(t)=2R*sin[(1/2)t]
Dabei gilt 0<=t<=4pi. |
Eine andere Parameterdarstellung
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In der Literatur findet man für die Kurve von Viviani auch die
folgende Darstellung.
x(t)=sin(t)cos(t) oder x(t)=(1/2)sin(2t)
y(t)=sin²(t)
z(t)=cos(t)
Dabei gilt 0<=t<=2pi.
Die beiden Darstellungen beschreiben die gleiche Kurve. In dieser Darstellung
reicht es aus, dass der Parameter t die Zahlen von 0 bis 2pi durchläuft.
Außerdem ist diese Kurve um 90° um die z-Achse gedreht gegenüber
oben. |
Schnittlinie von
Kugel und Zylinder top
Ein Zylinder mit dem Radius R seines Grundkreises
berührt eine
Kugel mit doppelt so großem
Radius 2R innen.
In der Aufsicht ist die Schnittlinie beider Körper ein Kreis,
in der Perspektive vermeintlich die Viviani-Kurve.
Die folgende Rechnung bestätigt das.
Die Kugel hat in einem räumlichen,
kartesischen Koordinatensystem die Darstellung x²+y²+z²=4R²,
der Zylinder die Darstellung (x-R)²+y²=R².
Es ist zu zeigen, dass die Koordinaten eines Punktes P(x|y|z) der Viviani-Kurve
beide Gleichungen erfüllen. Man setzt dazu x(t)=R[1+cos(t)], y(t)=R*sin(t)
und
z(t)=2R*sin[(1/2)t] in die linken Terme der Koordinatengleichungen
ein.
Nach einigen Umformungen ergibt sich 4R² bzw. R².
x²+y²+z² = R²[1+cos(t)]²+R²sin²(t)+4R²sin²[(1/2)t]
= R²+2R²cos(t)+R²cos²(t)+R²sin²(t)+4R²[1/2-(1/2)cos(t)]
= 2R²+2R²cos(t)+2R²-2R²cos(t) = 4R²
(x-R)²+y² = x²-2Rx+R²-y²
= R²[1+cos(t)]²-2R²[1+cos(t)]+R²-R²sin²(t)
= R²-2R²cos(t)+R²cos²(t)-2R²-2R²cos(t)+R²-R²sin²(t)
= R²
Vivianis
Kurve als Schnittlinie anderer Flächen top
Die Parametergleichungen x=sin(t)cos(t), y=sin²(t) und z=cos(t)
führen zu folgenden Koordinatengleichungen.
Aus x=sin(t)cos(t) und y=sin²(t) folgt x²-y+y²=0.
Aus y=sin²(t) und z=cos(t) folgt z²-y-1=0.
Aus x=sin(t)cos(t) und z=cos(t) folgt x2-z2+z4=0.
Das führt zu den folgenden Bildern von Flächen, die sich
in der (roten) Kurve von Viviani schneiden.
z²-1-y=0 und x²-y+y²=0
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x2-z2+z4=0 und x²-y+y²=0
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Man kann auch alle drei Parametergleichungen
kombinieren.
Aus x²=sin²(t)cos²t folgt x²=yz² oder x²-yz²=0.
Das ergibt eine etwas kompliziertere Fläche im Raum.
x²-y²z²=0
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x²=y²z² und x²-y+y²=0
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Fügt man noch den Zylinder hinzu, so wird die Viviani-Kurve als Schnittlinie
deutlicher.
Verschiedenes top
Viviani-Körper
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Man kann das Augenmerk nicht auf Vivianis Kurve, sondern auf den Körper
legen, der sowohl zur Kugel als auch zum Zylinder gehört. Dieser "Kern"
heißt dann auch Viviani-Körper. |
Zylindrische Bohrung
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Man verschiebt den Zylinder innerhalb der Kugel zur Mitte hin.
Dann entstehen aus Vivianis Kurve zwei parallel liegende Kreise.
Diese Anordnung kennt man von einer Perle. |
Durchdringung zweier
Zylinder
Die Zylinderachsen schneiden sich und stehen
aufeinander senkrecht.
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Die Zylinder werden beschrieben mit
x²+y²=R²
x²+z²=R².
Die Schnittlinien haben die Darstellung
x=R*sin(t)
y=+R*sqrt[1-sin²(t)]
z=R*cos(t) |
x=R*sin(t)
y=-R*sqrt[1-sin²(t)]
z=R*cos(t) |
0<=t<=2pi |
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In der Aufsicht erscheinen die Zylinder als Rechtecke und die Schnittlinien
als Strecken.
Aus x²+y²=R² und x²+z²=R² folgt nämlich
y²=z² oder y=z /\ y=-z.
Die Schnittlinien entstehen auch, wenn man die Zylinder und die Halbierungsebenen
der Hauptebenen z=y und z=-y zum Schnitt bringt. Dann entstehen Ellipsen.
Die Schnittlinien sind also Ellipsen mit den Halbachsen R und sqrt(2)R. |
Sattelkurve
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Beim Variieren der Parametergleichungen geriet ich an folgende einfache
Gleichungen.
x(t)=cos(t)
y(t)=sin(t)
z(t)=sin(2t) oder z(t)=2sin(t)cos(t)
Sie führen zur einer einfach geschlossenen Raumkurve, der Sattelkurve. |
... .
Hyperboloid..
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Aus x(t)=cos(t) und y(t)=sin(t) folgt die Koordinatengleichung x²+y²=R².
Das führt zum Mantel eines Zylinders.
Aus allen Gleichungen folgt die Koordinatengleichung z=2xy.
Das führt zu einer Sattelfläche, dem Hyperboloid.
Die Sattelkurve ist die Schnittlinie beider Flächen.
Oben lag die Schnittlinie mit einem Zylinder auf einer Kugeloberfläche,
hier auf einem Hyperboloid. |
Bekannte
Raumkurven top
Schraubenlinie
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Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=cos(6t)
y=sin(6t)
z=t
0<=t<=2pi |
Konische Spirale
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Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=t*cos(6t)
y=t*sin(6t)
z=t
0<=t<=2pi |
Eine Lissajous-Figur
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Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=cos(3t)
y=sin(3t)
z=sin(2t)
0<=t<=2pi |
Trefoil-Knoten
... ............... |
Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=cos(t)+2cos(2t)
y=sin(t)+2sin(2t)
z=2cos(3t)
0<=t<=2pi |
Sinuskrone
... |
Projektion in die xy- und yz-Ebene |
x=3cos(t)
y=3sin(t)
z=sin(6t)
0<=t<=2pi |
Viviani-Kurve im Internet
top
Deutsch
Anne Bläsius
Die
Viviani-Kurve
Annäherungen
an Kurven und Flächen im Raum mit Nutzung moderner Medien
(Ich empfehle das Kapitel 4 für weitere Studien der Viviani-Kurve)
Adrian Pigors (Universität Hannover)
Viviani-Fenster
(.pdf-Datei)
"In eine Kugel werden zwei maximale gleichgroße zylindrische
Löcher gebohrt, die sich gegenseitig berühren."
Jürgen Meier
Viviani Kurve
Jutta Gut
Schleifenkurven
im Raum
Markus Unterweger
Parametrische
Kurven im Raum (mit Applet)
Richard S. Palais (3D-XplorMath)
Viviani
Kurve (parametrisch) (Applet)
Wikipedia
Raumkurve, 3D-Grafik-Software,
Schraube
(Mathematik), Spirale,
Kurve
(Mathematik)
Englisch
Barbara Kaskosz
Parametric
curves (Applet)
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Viviani's
Curve, Cylinder-Sphere
Intersection, Eight
Curve
History of Mathematics Archive [University of St Andrews, Scotland]
Vincenzo
Viviani
Richard Parris
peanut Software (Programm
WINPLOT)
Wikipedia
Viviani's
curve, Sphere-cylinder
intersection, Vincenzo
Viviani, Lemniscate
of Gerono,
Curved space,
Helix,
Spiral,
Hilbert
curve
Französisch
Robert FERRÉOL
COURBE
DE VIVIANI, LEMNISCATE
DE GERONO
Referenzen top
(1) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2012 Jürgen Köller
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