Figuren in einer Figur zählen
Inhalt dieser Seite
Was heißt Figuren in einer Figur zählen?
Dreiecke zählen
Vierecke zählen 
Dreiecke im n-ten Dreieck zählen 
Dreiecke und Vierecke aus Münzen
Figuren in einer Figur zählen im Internet 
Referenzen 
Lösungen.
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Was heißt "Figuren in einer Figur zählen"?  top
 
...... Das erklärt man am besten an einem Beispiel:
Gegeben ist eine komplexe Figur, zum Beispiel ein gleichseitiges Dreieck, in das die Mittellinien und zwei Höhen eingezeichnet sind. 
Die Aufgabe besteht darin, alle Dreiecke zu zählen, die in der Figur vorkommen. 

Von Problemen dieser Art soll diese Seite handeln.
Die Aufgaben sind in rot durchnummeriert. Die Lösungen stehen erst am Ende dieser Seite.


Dreiecke zählentop
...... 1) Wie viele Dreiecke enthält die Figur?

Die Figur ist achsensymmetrisch bezüglich der Vertikalen durch die Mitte.
Damit treten die meisten Dreiecke paarweise auf. 

Aber fünf Dreiecke sind selbst zu der Achse symmetrisch und haben keinen Partner (links). 

Die anderen Dreiecke erscheinen zweimal. Folglich muss die Gesamtzahl der Dreiecke ein ungerade Zahl sein.

Will man jetzt die Dreiecke zählen, kann man sich nach der Anzahl der Dreiecke richten, aus denen ein Dreieck besteht. Man erfasst zuerst alle Einzeldreiecke, dann die Dreiecke, die von zwei Dreiecken gebildet werden. Weiter gibt es noch Dreiecke, die sich aus drei oder vier Dreiecken zusammensetzen. Dann kommt noch das Dreieck selbst.



Weitere Aufgaben:

2)Wie viele Dreiecke?

3)Wie viele Dreiecke?

4)Wie viele Dreiecke?

Vierecke zählen  top
...... Zeichnet man in das Dreieck alle Mittellinien und Höhen ein, so entsteht die Figur links. 
5) Die Aufgabe besteht darin, alle Vierecke, die in der Figur versteckt sind, zu finden. 
Rechts ist ein Viereck als Beispiel angegeben.
.......



Weitere Aufgaben:

6) Wie viele Vierecke?

7)Wie viele Parallelogramme?

Dreiecke im n-ten Dreieck zählen      top
Dieses ist eine Verallgemeinerung. Es stellt sich die Frage, wie viele Dreiecke in der n-ten Figur gezählt werden können. 



8)
...... Diese Aufgabe ist leicht. Mit jeder neuen Figur kommen 4 Dreiecke hinzu.


Weitere Aufgaben, die es in sich haben.
Problem 9:
Problem 10:


Dreiecke und Vierecke aus Münzen  top
Es gibt eine schöne Variation der bisher besprochenen Aufgaben. Man gibt ein Gitter vor und soll Dreiecke oder Vierecke finden, deren Eckpunkte gleichzeitig Gitterpunkte sind. Diese Aufgaben bekommen eine gefälligere Form, wenn man die Gitter durch Kreise festlegt. Die Kreise können zum Beispiel Münzen oder Spielmarken sein.

Man kann aus zehn Münzen ein Dreieck legen. 
...... Innerhalb der Figur bilden drei Münzen kleinere gleichseitige Dreiecke. 
11) Wie viele gleichseitige Dreiecke gibt es, wenn man das Ausgangsdreieck mitzählt?
Rechts findet man ein Beispiel!
......
[Quelle: 2, Seite 142]


... 12)Wie viele Quadrate enthält die Figur?  Rechts findet man ein Beispiel!


13) 20-Spielmarken-Problem:
......
20 Spielmarken werden zu einem Kreuz gelegt. 

Wie viele unterschiedliche Quadrate mit jeweils vier Spielmarken in den Ecken kann man in der Figur entdecken? 

Rechts findet man ein Beispiel.

......
Diese Aufgabe erschien zum ersten Mal im Buch "Angelo Lewis: Puzzles Old and New (1893)" und wurde von Gardner aufgegriffen  [Quelle: 1, Seite 234f. und 241f.].

Figuren in einer Figur zählen im Internet   top

Deutsch
Jonas Sandrock
Dreiecke zählen



Englisch

A. Bogomolny  (cut-the-knot)
Counting Triangles

Dr.Math
How Many Triangles?   (triangles that point up)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Triangle Tiling

Frank Buß
Triangles Challenge

Illuminations
Counting Embedded Figures

Jim Wilson
Count the Triangles -- ICount the Triangles -- IICount the Triangles -- III
Ed Pegg Jr  (Math Puzzles)
How many triangles are in this figure?

Steven E. Sommars, Tim Sommars
The Number of Triangles Formed by Intersecting Diagonals of a Regular Polygon

Torsten Sillke 
grid-triangles, grid-squares


Referenzen     top
(1) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Ullstein, Frankfurt a.M.1977 (ISBN 3 550 07675 4)
(2) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Berlin 1988 (ISBN 3550076924) 


Lösungen     top

...
Die erste Figur dieser Seite ist in 8 Dreiecke (und 1 Viereck) zerlegt. Es gibt 8 Einzeldreiecke, 8 Dreiecke aus 2 Figuren, 5 Dreiecke aus 3 Figuren, 3 Dreiecke aus 4 Figuren, 2 Dreiecke aus 5 Figuren und das große Dreieck selbst aus 9 Figuren.
Das kann man notieren mit: 01) 08+08+05+03+02+00+00+00+01=27 Dreiecke.



In dieser Form werden die übrigen Lösungen notiert, bei denen es um Dreiecke oder Vierecke geht.
02) 12+12+06+09+00+07+00+00+00+00+00+00+01=47 Dreiecke
03) 10+05+06+04+02+00+00+01=28 Dreiecke
04) 16+00+00+07+00+00+00+00+03+00+00+00+00+00+00+01=27 Dreiecke
05) 00+03+06+06+12+00+00+06+00+03=36 Vierecke
06) 00+06+04+07+02+02+02+01=24 Vierecke
07) 00+18+00+18+00+06+00+03=45 Parallelogramme
08) 4n+1
09) 31n+16 (Quelle: Torsten Sillke)
10) n(n+2)(2n+1)/8 für n gerade, [n(n+2)(2n+1)-1]/8 für n ungerade  (Quelle: Torsten Sillke)


Die Lösungen der Figuren aus Kreisen werden als "animated Gifs" oder auf deutsch "Zappelbilder" wiedergegeben.

11) 15 Dreiecke

12) 20 Quadrate


13) 21 Quadrate

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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2003 Jürgen Köller

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