Was heißt "Figuren in einer Figur zählen"?  top
 

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Das erklärt man am besten an einem Beispiel: Gegeben ist eine komplexe Figur, zum Beispiel ein gleichseitiges Dreieck, in das die Mittellinien und zwei Höhen eingezeichnet sind.  Die Aufgabe besteht darin, alle Dreiecke zu zählen, die in der Figur vorkommen.

Dreiecke zählentop

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1) Wie viele Dreiecke enthält die Figur?

Die Figur ist achsensymmetrisch bezüglich der Vertikalen durch die Mitte.

Damit treten die meisten Dreiecke paarweise auf.  Aber fünf Dreiecke sind selbst zu der Achse symmetrisch und haben keinen Partner (links).

Die anderen Dreiecke erscheinen zweimal. Folglich muss die Gesamtzahl der Dreiecke ein ungerade Zahl sein.

Will man jetzt die Dreiecke zählen, kann man sich nach der Anzahl der Dreiecke richten, aus denen ein Dreieck besteht. Man erfasst zuerst alle Einzeldreiecke, dann die Dreiecke, die von zwei Dreiecken gebildet werden. Weiter gibt es noch Dreiecke, die sich aus drei oder vier Dreiecken zusammensetzen. Dann kommt noch das Dreieck selbst.

2)Wie viele Dreiecke?

3)Wie viele Dreiecke?

4)Wie viele Dreiecke?

Vierecke zählen  top

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Zeichnet man in das Dreieck alle Mittellinien und Höhen ein, so entsteht die Figur links.  5) Die Aufgabe besteht darin, alle Vierecke, die in der Figur versteckt sind, zu finden.  Rechts ist ein Viereck als Beispiel angegeben.

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6) Wie viele Vierecke?

7)Wie viele Parallelogramme?

Dreiecke im n-ten Dreieck zählen      top
Dieses ist eine Verallgemeinerung. Es stellt sich die Frage, wie viele Dreiecke in der n-ten Figur gezählt werden können. 

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Diese Aufgabe ist leicht. Mit jeder neuen Figur kommen 4 Dreiecke hinzu.

Problem 9:

Problem 10:

Dreiecke und Vierecke aus Münzen  top
Es gibt eine schöne Variation der bisher besprochenen Aufgaben. Man gibt ein Gitter vor und soll Dreiecke oder Vierecke finden, deren Eckpunkte gleichzeitig Gitterpunkte sind. Diese Aufgaben bekommen eine gefälligere Form, wenn man die Gitter durch Kreise festlegt. Die Kreise können zum Beispiel Münzen oder Spielmarken sein.

Man kann aus zehn Münzen ein Dreieck legen. 

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Innerhalb der Figur bilden drei Münzen kleinere gleichseitige Dreiecke.  11) Wie viele gleichseitige Dreiecke gibt es, wenn man das Ausgangsdreieck mitzählt? Rechts findet man ein Beispiel!

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[Quelle: 2, Seite 142]

12)Wie viele Quadrate enthält die Figur?  Rechts findet man ein Beispiel!

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20 Spielmarken werden zu einem Kreuz gelegt.  Wie viele unterschiedliche Quadrate mit jeweils vier Spielmarken in den Ecken kann man in der Figur entdecken?  Rechts findet man ein Beispiel.

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Figuren in einer Figur zählen im Internet   top

Deutsch
Jonas Sandrock
Dreiecke zählen

A. Bogomolny  (cut-the-knot)
Counting Triangles

Dr.Math
How Many Triangles?   (triangles that point up)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Triangle Tiling

Frank Buß
Triangles Challenge

Illuminations
Counting Embedded Figures

Jim Wilson
Count the Triangles -- I,  Count the Triangles -- II,  Count the Triangles -- III

Ed Pegg Jr  (Math Puzzles) How many triangles are in this figure?

Steven E. Sommars, Tim Sommars
The Number of Triangles Formed by Intersecting Diagonals of a Regular Polygon

Torsten Sillke 
grid-triangles, grid-squares

Referenzen     top
(1) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Ullstein, Frankfurt a.M.1977 (ISBN 3 550 07675 4)
(2) Martin Gardner: Mathematischer Zirkus, Berlin 1988 (ISBN 3550076924) 

Lösungen     top

Die erste Figur dieser Seite ist in 8 Dreiecke (und 1 Viereck) zerlegt. Es gibt 8 Einzeldreiecke, 8 Dreiecke aus 2 Figuren, 5 Dreiecke aus 3 Figuren, 3 Dreiecke aus 4 Figuren, 2 Dreiecke aus 5 Figuren und das große Dreieck selbst aus 9 Figuren.
Das kann man notieren mit: 01) 08+08+05+03+02+00+00+00+01=27 Dreiecke.

11) 15 Dreiecke

12) 20 Quadrate

13) 21 Quadrate