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Was ist ein Zylinder?
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Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei parallel liegenden Kreisflächen
erzeugt wird.
Er entsteht, wenn man einen Kreis senkrecht zur Normalen verschiebt. |
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Dieser Körper ist ein Zylinder im engeren Sinne und heißt genauer
gerader
Kreiszylinder.
Allgemeiner Zylinder top
Die Verallgemeinerung erfolgt in zweierlei Weise.
1
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Die Richtung der Verschiebung des Kreises ist nicht senkrecht zum Kreis.
Dieser Zylinder heißt dann schiefer Kreiszylinder |
2
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Neben einer Verschiebung in beliebige Richtung kann der Kreis durch
eine andere ebene, geschlossene Kurve ersetzt werden. Das kann eine Ellipse
oder ein anderes Flächenstück sein.
Ist das Flächenstück ein Vieleck, so entsteht ein Prisma.
Nach de.wikipedia zählt auch das Prisma zu den Zylindern. |
Im Folgenden wird nur der gerade Kreiszylinder untersucht und einfach mit
Zylinder bezeichnet.
Größen top
Radius und Höhe
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Die Kreise mit dem Radius r, die den Zylinder begrenzen, heißen
Grund- und Deckfläche.
Ihr Abstand heißt Höhe h.
Die Seitenfläche ist gekrümmt und heißt Mantel(fläche)
M. |
Mantel
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Die Mantelfläche ist einfach gekrümmt und kann deshalb abgewickelt
werden.
Es gilt M=2*pi*rh. |
Volumen und Oberfläche
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......
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Ist der Zylinder durch den Grundkreisradius r und die Höhe h gegeben,
so gilt
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Volumen V=pi*r²h
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Oberfläche O = 2*pi*r²+2*pi*rh = 2*pi*r(r+h).
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Es ist bemerkenswert, dass V/O=2rh/(r+h) gilt, d.h., dass der Quotient
aus dem Volumen und der Oberfläche gleich dem harmonischen Mittel
aus dem Radius und der Höhe ist.
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Ein Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche
kommt dem Zylinder mit einem Kreis als Grundfläche beliebig nahe,
wenn man die Anzahl der Ecken des Vielecks über alle Grenzen gehen
lässt.
So leitet man die Formel für das Volumen V des Kreiszylinders
her. |
Form eines Zylinders
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Von den drei Zylindern links sind zwei leicht verfremdet:
Einmal ist die Höhe h wesentlich größer als der Kreisdurchmesser,
einmal wesentlich kleiner.
Die Zylinder sind ein Stab und eine Scheibe.
Das Besondere am dritten Körper ist, dass er genau so hoch wie
breit ist. |
Die Form eines Zylinders kann man durch das Verhältnis des Kreisdurchmessers
d=2r zur Höhe h, nämlich d/h beschreiben.
In der Zeichnung sind z.B. für den Stab d/h=0,1, für die
Scheibe d/h=26. Auffällig ist ein Zylinder mit d/h=1. Diese Form haben
das Urkilogramm in Paris und die Kopien des Urkilogramms in Braunschweig
bei der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB).
Zylinderteile top
Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
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Schneidet man einen Zylinder schräg ab, so entsteht ein Körper
mit einer Ellipse als Deckfläche. Er wird durch die Höhen h1
und h2 und durch den Grundkreisradius r festgelegt.
Die schräg liegende Ellipse hat die Halbachsen 2r und sqrt[4r²+(h2-h1)²]. |
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Zwei gleiche Körper dieser Art bilden einen Zylinder.
So gelangt man zu Formeln für das Volumen, den Mantel und die
Oberfläche des Körpers.
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V=pi*r²(h1+h2)/2
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M=pi*r(h1+h2)
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O=pi*r*{h1+h2+r+sqrt[r²+(h1+h2)²/4]}
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Rollt man den Mantel des schräg
abgeschnittenen Kreiszylinders ab, so entsteht eine Sinuskurve.
Rechnung dazu:
Der Zylinder steht senkrecht auf x-y-Ebene mit dem Radius r.
Die Schnittebene gehe durch die x-Achse mit der Steigung z/y = m.
Dann ist die Schnittlinie
x(t) = r cos(t)
y(t) = r sin(t)
z(t) = my = mr*sin(t).
Abgewickelt haben wir z(t). Das ist eine Sinuskurve mit der Amplitude
m*r.
Zylinderabschnitt
Herleitung:
A' sei der Flächeninhalt des Kreisausschnitts und A'' der Flächeninhalt
des gleichschenkligen Dreiecks.
Dann gilt für den Flächeninhalt A des Kreisabschnitts A=A'-A''.
Für A' gilt: A':(pi*r²)=(2*alpha):2*pi oder
A'=alpha*r². (alpha im Bogenmaß)
Für alpha gilt cos(alpha)=(r-h')/r oder alpha=arc cos[(r-h')/r].
Damit ist A'=r²*arc cos[(r-h')/r]
Für A'' gilt: A''=(r-h')*sqrt[r²-(r-h')²]=(r-h')*sqrt(2rh'-h'²).
Zusammengefasst: A=A'-A''=r²*arc cos(r-h')/r-(r-h')sqrt(2rh'-h'²)
V=Ah=h[r²arc cos(r-h')/r-(r-h')sqrt(2rh'-h'²)]
Zylinderabschnitt
schräg, Zylinderhuf (englisch: Cylindrical
wedge, zylindrischer Keil)
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V=h[a(3r²-a²)+3r²(b-r)alpha]/(3b)
M=2rh[(b-r)alpha+a])/b
alpha in rad
Quelle: (3), Seite 199 |
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Hat der Zylinderabschnitt einen Halbkreis als Grundfläche, so
vereinfachen sich die Formeln.
V=h[r(3r²-r²)+3r²(r-r)alpha]/(3r)=(2/3)hr²
M=2rh[(r-r)alpha+r])/r=2hr
Obwohl ein Flächenstück gekrümmt ist, taucht pi in den
Formeln nicht auf.
Quelle: (4), Seite 125 |
Ein Puzzle
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Der Keil passt durch alle drei Öffnungen.
(6, Seite 200f.) |
Das Problem findet man bei Martin Gardner
(5), Seite 89 und bei MathWorld unter dem Namen Cork Plug (URL unten).
Hohlzylinder
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Der Hohlzylinder besteht aus zwei konzentrisch liegenden Zylindern.
Es gilt V=pi*h(R²-r²) und O=2*pi*(R²-r²)+2*pi*h(r+R). |
Extremwertaufgaben top
Zwei (gleiche?) Aufgaben
In einem Lehrbuch von 1938 (2, Seite 97) fand ich die beiden folgenden
Aufgaben.
Die zweite Aufgabe wird in Lehrbüchern meist auf eine Konservendose
bezogen: Wie sind die Ausmaße einer zylindrischen Dose zu wählen,
damit zu ihrer Herstellung möglichst wenig Material benötigt
wird und damit sie den Inhalt 1 Liter hat?
Lösung:
Kurzbeschreibung
der Rechnung
Zielfunktion f=f(r,h)
Nebenbedingung
Zielfunktion f=f(r)
Ableitung f'(r)
Radius
2.Ableitung f''(r)
Höhe
Durchmesser/Höhe |
Zylinder größten Volumens
bei konstanter Oberfläche
V=pi*r²h
O=2*pi*r(r+h) oder h=(O-2*pi*r²)/(2*pi*r)
V(r)=Or/2-pi*r³
V'(r)=O/2-3pi*r²
V'(r)=0 führt zu r=[O/(6pi)]1/2
V''(r)=-6*pi*r<0, also ist in r ein Maximum
h=[(2O/(3*pi)]1/2
d/h=1 |
Zylinder kleinster Oberfläche
bei konstantem Volumen
O=2pi*r(r+h)
V=pi*r²h oder h=V/(pi*r²)
O(r)=2pi*r²+2V/r
O'(r)=4pi*r-2V/r²
O'(r)=0 führt zu r=[(V/(2pi)]1/3
O''(r)=4*pi+4V/r-3 >0, also ist in r ein Minimum
h=[4V/pi]1/3
d/h=1 |
In beiden Fällen haben die Zylinder
die gleiche Form d/h=1. Vom Gefühl her ist das nicht erstaunlich,
dass mit einem maximalen Volumen eine minimale Oberfläche einhergeht.
Aber gibt es eine rechnerische Begründung?
Es folgt dazu eine Überlegung (nach Torsten Sillke).
Man führt das Verhältnis x=2r/h ein. Dann gilt h=2r/x.
Das bedeutet V=pi*r²h=pi*r²*(2r/x)=2*pi*r³/x und O=2*pi*r(r+h)=2*pi*r(r+2r/x)=2*pi*r²(1+2/x)
Um die Dimensionen auszugleichen, bildet man O³/V²:
O³=[2*pi*r²(1+2/x)]³=8*pi³r6(1+2/x)³=[8*pi³r6(x+2)³]/x³
V²=[2*pi*r³/x]²=4*pi²*r6/x²
O³/V²=2*pi*(x+2)³/x
Die Funktion f(x)=(x+2)³/x hat nach der Quotientenregel die Ableitung
f'(x)=[2(x+2)²(x-1)]/x².
Die einzige positive Nullstelle ist x=1, und sie ist eine Tiefstelle.
Das bedeutet, dass O³ und damit O in x=1 ein Minimum hat. Gleichzeitig
hat an der gleichen Stelle V² und damit V ein Maximum, da das Volumen
im Nenner steht.
Die Dosenhersteller scheinen sich an die
obige Rechnung nicht zu halten. Ich kenne die Form d/h=1 nur von den Kondensmilchdosen.
Es gibt Dosen in allen möglichen Formen. Wahrscheinlich legt man mehr
wert auf Formen, die "schön" sind, typisch für ein Produkt oder
praktisch für den Inhalt sind. Würstchendosen sind hoch, Fischdosen
(Thunfischdosen) flach.
Größter
Zylinder im Kegel
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Zur Lösung:
Ansatz: V=pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz) oder y=h-(h/r)x
Zielfunktion: V(x)=pi*hx²-pi*(h/r)x³ ...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h |
Größter
Zylinder in der Kugel
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Zur Lösung:
Ansatz: V=2pi*x²y
Nebenbedingung: : x²+y²=r² (Satz des Pythagoras) oder
x²=r²-y²
Zielfunktion: V(y)=2pi*r²y-2pi*y³ ...
Ergebnis: y=(1/3)sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r |
Zylinder aus einem Rechteck
top
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Gibt man ein rechteckiges Blatt Papier vor, so kann man daraus leicht
einen Zylinder formen.
Das mag ein Grund dafür sein, dass Zylinder in unserer Umgebung
allgegenwärtig sind. Sie sind leicht anzufertigen. |
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Der Zylinder entsteht auch, wenn ein Rechteck um eine Seite rotiert.
Viele Gefäße haben die Form eines Zylinders.
Zum Beispiel bei einer Töpferscheibe wird das Prinzip der Rotation
genutzt. |
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Wickelt man ein rechtwinkliges Dreieck wie in der Skizze angedeutet
um einen Zylinder, so entsteht eine zylindrische Spirale oder die Helix. |
Zwei Berührungsprobleme
top
Im ersten deutschsprachigen Buch Martin Gardners
(5) findet man im Kapitel "Neun Probleme" zwei Aufgaben, die auf diese
Zylinderseite passen. Das zweite Problem findet man schon bei Lietzmann
(6).
1
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Beim ersten Problem geht es um eine maximale Anzahl von Zigaretten.
Man soll sie so anordnen, dass jede Zigarette jede berührt.
Man schafft es leicht, auf die Anzahl 5 zu kommen. |
Gardner teilt mit, dass in mehreren Rätselbüchern die Zahl Sechs
erreicht wird. Zwei Studenten von Harvard sandten ihm eine Lösung
von Sieben zu.
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Das ist die Maximallösung, die mir Dietmar Viertel samt PovRay-Bild
zusandte. |
2
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Das zweite Problem bezieht sich auf gleiche Münzen.
Es wird nach einer Anordnung gefragt, bei der fünf Münzen
so liegen, dass jede die vier übrigen Münzen berührt.
Die Lösung steht links.
Mit Bierdeckeln kann man die Lösung leicht nachlegen.
Nimmt man tatsächlich Münzen, merkt man, dass sie nicht zu
dick sein dürfen. |
Nach einer Mitteilung von Torsten Sillke
muss theoretisch das Verhältnis des Durchmessers zur Dicke (d/h) mindestens
12,47 sein. Nach der Tabelle der Euro-Münzen im nächsten Kapitel
ist der Aufbau nur für die 5-Cent-Münze möglich.
Zylinder um uns top
Euromünzen
1 Cent
d=16,25mm
h=1,67mm
d/h=9,73
m=2,30g |
2 Cent
d=18,75mm
h=1,67mm
d/h=11,23
m=3,06g |
5 Cent
d=21,25mm
h=1,67mm
d/h=12,72
m=3,92g |
10 Cent
d=19,75mm
h=1,93mm
d/h=10,23
m=4,10g |
20 Cent
d=22,25mm
h=2,14mm
d/h=10,40
m=5,74g |
50 Cent
d=24,25mm
h=2,38mm
d/h=10,18
m=7,80g |
1 Euro
d=23,25mm
h=2,33mm
d/h=9,98
m=7,50g |
2 Euro
d=25,75mm
h=2,20mm
d/h=11,70
m=8,50g |
Man bestimmt die Längenmaße entweder direkt an einer Münze
mit einer Schraub- oder Schieblehre.
Man kann aber auch 10 gleiche Münzen nebeneinandergelegt oder
gestapelt ausmessen und dann durch 10 dividieren. Da genügt ein Maßstab
mit Millimetereinteilung.
Die alten DM-Münzen hatten meist glatte Werte.
Türme
Von den unzähligen Bauwerken in Zylinderform
greife ich zwei Türme mit persönlichem Bezug heraus.
Zylindrische Türme gehörten früher
zu den Stadtbefestigungen vieler Städte.
Katzenturm meiner Heimatstadt Bad Salzuflen
Er stammt aus dem Mittelalter und war ein Teil
der Stadtmauer.
An sich steht er vertikal.
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Milchkannentor meiner Geburtsstadt Danzig
Er sicherte an der Neuen Mottlau die Speicherinsel.
Der linke schräge Turm ist das "Sahnetöpfchen".
März 2006
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... ... |
Auf diesem Photo aus der frühen Nachkriegszeit kann man "Milchkanne"
und "Sahnetöpfchen" besser erkennen. |
Zylinder im Internet top
Deutsch
Ingmar Rubin
Zwei
Türme (Quantum Mathematik Magazin, März / April 2000)
Baumann Eduard
Zylinderschnitte
Wikipedia
Zylinder
(Geometrie), Zylinder
(Technik)
Englisch
Ask Dr. Math - The Math Forum
Maximizing
Cylinder Volume
EricW.Weisstein (MathWorld)
Cylinder,
Cylindrical
Segment, Cylindrical
Wedge, Steinmetz
Solid, Vault,
Cylinder-Sphere
Intersection,
Vivianis
Curve, Capsule,
Elliptic
Cylinder, Cork
Plug
G. Korthals Altes
Cylinder
John Page
Volume enclosed
by a cylinder
Wikipedia
Cylinder
(geometry), Tin
can, Steinmetz
solid
Referenzen top
(1) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart 1886
(2) Reinhardt-Zeisberg: Mathematisches Unterrichtswerk Teil IV, Frankfurt
a.M. 1938
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig
1987
(4) Richard Dörfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker,
München 1965
(5) Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Probleme, Vieweg
Braunschweig 1968 (Best.Nr. 8175)
(6) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und
Formen, Göttingen 1969
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©
2006 Jürgen Köller
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