Zylinder
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Was ist ein Zylinder?
Allgemeiner Zylinder
Größen
Zylinderteile
Extremwertaufgaben
Zylinder aus einem Rechteck
Zwei Berührungsprobleme
Zylinder um uns
Zylinder im Internet
Referenzen.
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Was ist ein Zylinder?
......
Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei parallel liegenden Kreisflächen erzeugt wird. 

Er entsteht, wenn man einen Kreis senkrecht zur Normalen verschiebt. 

......
Dieser Körper ist ein Zylinder im engeren Sinne und heißt genauer gerader Kreiszylinder


Allgemeiner Zylinder     top
Die Verallgemeinerung erfolgt in zweierlei Weise.
1
......
Die Richtung der Verschiebung des Kreises ist nicht senkrecht zum Kreis.

Dieser Zylinder heißt dann schiefer Kreiszylinder


2
...... Der Kreis kann durch eine andere ebene, geschlossene Kurve ersetzt werden. Das kann eine Ellipse oder ein anderes Flächenstück sein.

Ist das Flächenstück ein Vieleck, so entsteht ein Prisma. 

Im Folgenden wird nur der gerade Kreiszylinder untersucht und einfach mit Zylinder bezeichnet. 

Größen      top
Radius und Höhe
.........
Die Kreise mit dem Radius r, die den Zylinder begrenzen, heißen Grund- und Deckfläche. Ihr Abstand heißt Höhe h. 
Die Seitenfläche ist gekrümmt und heißt Mantel(fläche) M.


Mantel
......
Die Mantelfläche ist einfach gekrümmt und kann abgewickelt werden. 
Es gilt M=2*pi*rh. 

Volumen und Oberfläche
......
Ist der Zylinder durch den Grundkreisradius r und die Höhe h gegeben, so gilt
Volumen V=pi*r²h,
Oberfläche O = 2*pi*r²+2*pi*rh = 2*pi*r(r+h). 
Es ist bemerkenswert, dass V/O=2rh/(r+h) gilt, d.h., dass der Quotient aus dem Volumen und der Oberfläche gleich dem harmonischen Mittel aus dem Radius und der Höhe ist. 

......
Ein Prisma mit einem regelmäßigen Vieleck als Grundfläche kommt dem Zylinder mit einem Kreis als Grundfläche beliebig nahe, wenn man die Anzahl der Ecken des Vielecks über alle Grenzen gehen lässt. 
So leitet man die Formel für das Volumen V des Kreiszylinders her.

Form eines Zylinders
......
Von den drei Zylindern links sind zwei leicht verfremdet:
Einmal ist die Höhe h wesentlich größer als der Kreisdurchmesser, einmal wesentlich kleiner. Die Zylinder sind ein Stab und eine Scheibe.
Das Besondere am dritten Körper ist, dass er genau so hoch wie breit ist. 
Die Form eines Zylinders kann man durch das Verhältnis des Kreisdurchmessers  d=2r zur Höhe h, nämlich durch d/h beschreiben. 
In der Zeichnung sind z.B. für den Stab d/h=0,1, für die Scheibe d/h=26. Auffällig ist ein Zylinder mit d/h=1. Diese Form haben das Urkilogramm in Paris und die Kopien des Urkilogramms in Braunschweig bei der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB). 

Zylinderteile       top
Schräg abgeschnittener Kreiszylinder
 ...... Schneidet man einen Zylinder schräg ab, so entsteht ein Körper mit einer Ellipse als Deckfläche. Er wird durch die Höhen h1 und h2 und durch den Grundkreisradius r festgelegt.
Die schräg liegende Ellipse hat die Halbachsen 2r und sqrt[4r²+(h2-h1)²].


 ...... Zwei gleiche Körper dieser Art bilden einen Zylinder. So gelangt man zu Formeln für das Volumen, den Mantel und die Oberfläche des Körpers.
V=pi*r²(h1+h2)/2
M=pi*r(h1+h2)
O=pi*r*{h1+h2+r+sqrt[r²+(h1+h2)²/4]}

Rollt man den Mantel des schräg abgeschnittenen Kreiszylinders ab, so entsteht eine Sinuskurve.
......
Foto
...
Scan
Rechnung dazu:

Der Zylinder steht senkrecht auf x-y-Ebene mit dem Radius r. 
Die Schnittebene gehe durch die x-Achse mit der Steigung z/y = m.
Dann ist die Schnittlinie
x(t) = r cos(t)
y(t) = r sin(t)
z(t) = my = mr*sin(t).
Abgewickelt haben wir z(t). Das ist eine Sinuskurve mit der Amplitude m*r.


Zylinderabschnitt 
Herleitung:
A' sei der Flächeninhalt des Kreisausschnitts und A'' der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.
Dann gilt für den Flächeninhalt A des Kreisabschnitts A=A'-A''.
Für A' gilt: A':(pi*r²)=(2*alpha):2*pi oder A'=alpha*r². (alpha im Bogenmaß)
Für alpha gilt cos(alpha)=(r-h')/r oder alpha=arc cos[(r-h')/r]. Damit ist A'=r²*arc cos[(r-h')/r]
Für A'' gilt: A''=(r-h')*sqrt[r²-(r-h')²]=(r-h')*sqrt(2rh'-h'²).
Zusammengefasst: A=A'-A''=r²*arc cos(r-h')/r-(r-h')sqrt(2rh'-h'²)
V=Ah=h[r²arc cos(r-h')/r-(r-h')sqrt(2rh'-h'²)]

Zylinderabschnitt schräg, Zylinderhuf (englisch: Cylindrical wedge, zylindrischer Keil)
V=h[a(3r²-a²)+3r²(b-r)alpha]/(3b)
M=2rh[(b-r)alpha+a])/b
alpha in rad
Quelle: (3), Seite 199

Hat der Zylinderabschnitt einen Halbkreis als Grundfläche, so vereinfachen sich die Formeln.
V=h[r(3r²-r²)+3r²(r-r)alpha]/(3r)=(2/3)hr²
M=2rh[(r-r)alpha+r])/r=2hr
Obwohl ein Flächenstück gekrümmt ist, taucht pi in den Formeln nicht auf.
Quelle: (4), Seite 125

Ein Puzzle 
Der Keil passt durch alle drei Öffnungen.
(6, Seite 200f.)

Das Problem findet man bei Martin Gardner (5), Seite 89 und bei MathWorld unter dem Namen Cork Plug (URL unten).

Hohlzylinder
Der Hohlzylinder besteht aus zwei konzentrisch liegenden Zylindern. 

Es gilt V=pi*h(R²-r²) und O=2*pi*(R²-r²)+2*pi*h(r+R). 


Extremwertaufgaben     top
Zwei (gleiche?) Aufgaben 
In einem Lehrbuch von 1938 (2, Seite 97) fand ich die beiden folgenden Aufgaben. 

Die zweite Aufgabe wird in Lehrbüchern meist auf eine Konservendose bezogen:  Wie sind die Ausmaße einer zylindrischen Dose zu wählen, damit zu ihrer Herstellung möglichst wenig Material benötigt wird und damit sie den Inhalt 1 Liter hat?

Lösung:
Kurzbeschreibung
der Rechnung

Zielfunktion f=f(r,h)
Nebenbedingung
Zielfunktion f=f(r)
Ableitung f'(r)
Radius
2.Ableitung f''(r)

Höhe
Durchmesser/Höhe

Zylinder größten Volumens 
bei konstanter Oberfläche

V=pi*r²h
O=2*pi*r(r+h) oder h=(O-2*pi*r²)/(2*pi*r)
V(r)=Or/2-pi*r³
V'(r)=O/2-3pi*r²
V'(r)=0 führt zu r=[O/(6pi)]1/2
V''(r)=-6*pi*r<0, 
also ist in r ein Maximum
h=[(2O/(3*pi)]1/2
d/h=1
Zylinder kleinster Oberfläche 
bei konstantem Volumen

O=2pi*r(r+h)
V=pi*r²h oder h=V/(pi*r²)
O(r)=2pi*r²+2V/r
O'(r)=4pi*r-2V/r²
O'(r)=0 führt zu r=[(V/(2pi)]1/3
O''(r)=4*pi+4V/r-3 >0, 
also ist in r ein Minimum
h=[4V/pi]1/3
d/h=1

In beiden Fällen haben die Zylinder die gleiche Form d/h=1. Vom Gefühl her ist das nicht erstaunlich, dass mit einem maximalen Volumen eine minimale Oberfläche einhergeht. 
Aber gibt es eine rechnerische Begründung? 

Es folgt dazu eine Überlegung (nach Torsten Sillke).
Man führt das Verhältnis x=2r/h ein. Dann gilt h=2r/x.
Das bedeutet V=pi*r²h=pi*r²*(2r/x)=2*pi*r³/x und O=2*pi*r(r+h)=2*pi*r(r+2r/x)=2*pi*r²(1+2/x)
Um die Dimensionen auszugleichen, bildet man O³/V²:
O³=[2*pi*r²(1+2/x)]³=8*pi³r6(1+2/x)³=[8*pi³r6(x+2)³]/x³
V²=[2*pi*r³/x]²=4*pi²*r6/x² 
O³/V²=2*pi*(x+2)³/x
Die Funktion f(x)=(x+2)³/x hat nach der Quotientenregel die Ableitung f'(x)=[2(x+2)²(x-1)]/x². 
Die einzige positive Nullstelle ist x=1, und sie ist eine Tiefstelle. 
Das bedeutet, dass O³ und damit O in x=1 ein Minimum hat. Gleichzeitig hat an der gleichen Stelle V² und damit V ein Maximum, da das Volumen im Nenner steht. 


Die Dosenhersteller scheinen sich an die obige Rechnung nicht zu halten. Ich kenne die Form d/h=1 nur von den Kondensmilchdosen. Es gibt Dosen in allen möglichen Formen. Wahrscheinlich legt man mehr wert auf Formen, die "schön" sind, typisch für ein Produkt oder praktisch für den Inhalt sind. Würstchendosen sind hoch, Fischdosen (Thunfischdosen) flach.

Größter Zylinder im Kegel
Zur Lösung:
Ansatz: V=pi*x²y
Nebenbedingung: (h-y):h=x:r (2.Strahlensatz) oder y=h-(h/r)x
Zielfunktion: V(x)=pi*hx²-pi*(h/r)x³  ...
Ergebnis: x=(2/3)r und y=(1/3)h 

Größter Zylinder in der Kugel
Zur Lösung:
Ansatz: V=2pi*x²y
Nebenbedingung: : x²+y²=r² (Satz des Pythagoras) oder x²=r²-y²
Zielfunktion: V(y)=2pi*r²y-2pi*y³   ...
Ergebnis: y=(1/3)sqrt(3)r und x=(1/3)sqrt(6)r

Zylinder aus einem Rechteck top
...... Gibt man ein rechteckiges Blatt Papier vor, so kann man daraus leicht einen Zylinder formen.
Das mag ein Grund dafür sein, dass Zylinder in unserer Umgebung allgegenwärtig sind. Sie sind leicht anzufertigen. 


......
Der Zylinder entsteht auch, wenn ein Rechteck um eine Seite rotiert. 
Viele Gefäße haben die Form eines Zylinders.
Zum Beispiel bei einer Töpferscheibe wird das Prinzip der Rotation genutzt. 

...... Wickelt man ein rechtwinkliges Dreieck wie in der Skizze angedeutet um einen Zylinder, so entsteht eine zylindrische Spirale oder die Helix.

Zwei Berührungsprobleme top
Im ersten deutschsprachigen Buch Martin Gardners  (5) findet man im Kapitel "Neun Probleme" zwei Aufgaben, die auf diese Zylinderseite passen. Das zweite Problem findet man schon bei Lietzmann (6).
1
......
Beim ersten Problem geht es um eine maximale Anzahl von Zigaretten. 

Man soll sie so anordnen, dass jede Zigarette jede berührt. 

Man schafft es leicht, auf die Anzahl 5 zu kommen. 

Gardner teilt mit, dass in mehreren Rätselbüchern die Zahl Sechs erreicht wird. Zwei Studenten von Harvard sandten ihm eine Lösung von Sieben zu. 


Das ist die Maximallösung, die mir Dietmar Viertel samt PovRay-Bild zusandte. 


...... Das zweite Problem bezieht sich auf gleiche Münzen. 
Es wird nach einer Anordnung gefragt, bei der fünf Münzen so liegen, dass jede die vier übrigen Münzen berührt. 
Die Lösung steht links. 
Mit Bierdeckeln kann man die Lösung leicht nachlegen. 


Nimmt man tatsächlich Münzen, merkt man, dass sie nicht zu dick sein dürfen. Nach einer Mitteilung von Torsten Sillke muss theoretisch das Verhältnis des Durchmessers zur Dicke (d/h) mindestens 12,47 sein. Nach der Tabelle der Euro-Münzen im nächsten Kapitel ist der Aufbau nur für die 5-Cent-Münze möglich. 

Zylinder um uns   top
Euromünzen
1 Cent
d=16,25mm
h=1,67mm
d/h=9,73
m=2,30g
2 Cent
d=18,75mm
h=1,67mm
d/h=11,23
m=3,06g
5 Cent
d=21,25mm
h=1,67mm
d/h=12,72
m=3,92g
10 Cent
d=19,75mm
h=1,93mm
d/h=10,23
m=4,10g
20 Cent
d=22,25mm
h=2,14mm
d/h=10,40
m=5,74g
50 Cent
d=24,25mm
h=2,38mm
d/h=10,18
m=7,80g
1 Euro
d=23,25mm
h=2,33mm
d/h=9,98
m=7,50g
2 Euro
d=25,75mm
h=2,20mm
d/h=11,70
m=8,50g
Man bestimmt die Längenmaße entweder direkt an einer Münze mit einer Schraub- oder Schieblehre. 
Man kann aber auch 10 gleiche Münzen nebeneinandergelegt oder gestapelt ausmessen und dann durch 10 dividieren. Da genügt ein Maßstab mit Millimetereinteilung. 

Die alten DM-Münzen hatten meist glatte Werte. 

Türme
Von den unzähligen Bauwerken in Zylinderform greife ich zwei Türme mit persönlichem Bezug heraus.
Zylindrische Türme gehörten früher zu den Stadtbefestigungen vieler Städte. 
Katzenturm meiner Heimatstadt Bad Salzuflen

Er stammt aus dem Mittelalter und war ein Teil der Stadtmauer. 
An sich steht er vertikal.
Milchkannentor meiner Geburtsstadt Danzig

Er sicherte an der Neuen Mottlau die Speicherinsel.
Der linke schräge Turm ist das "Sahnetöpfchen".
März 2006

...... Auf diesem Photo aus der frühen Nachkriegszeit kann man "Milchkanne" und "Sahnetöpfchen" besser erkennen. 

Zylinder im Internet top

Deutsch

Ingmar Rubin
Zwei Türme (Quantum Mathematik Magazin, März / April 2000)

Baumann Eduard
Zylinderschnitte

Wikipedia
Zylinder (Geometrie)Zylinder (Technik)


Englisch

Ask Dr. Math - The Math Forum
Maximizing Cylinder Volume

EricW.Weisstein (MathWorld)
Cylinder, Cylindrical SegmentCylindrical WedgeSteinmetz SolidVault, Cylinder-Sphere Intersection
Vivianis CurveCapsule, Elliptic Cylinder, Cork Plug

G. Korthals Altes 
Cylinder

John Page
Volume enclosed by a cylinder

Wikipedia
Cylinder (geometry)Tin canSteinmetz solid


Referenzen   top
(1) A.Kleyer: Lehrbuch der Körperberechnungen, Stuttgart 1886
(2) Reinhardt-Zeisberg: Mathematisches Unterrichtswerk Teil IV, Frankfurt a.M. 1938
(3) I.N.Bronstein, K.A.Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Leipzig 1987
(4) Richard Dörfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker, München 1965
(5) Martin Gardner: Mathematische Rätsel und Probleme, Vieweg Braunschweig 1968 (Best.Nr. 8175) 
(6) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1969


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2006 Jürgen Köller

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