Sternpyramide

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Was ist eine Sternpyramide?
Berechnungen
Ein Einheitskörper
Drei Erhebungswinkel

Ein Vergleich
Sternpyramide falten
Verwandte Körper
Sternpyramiden im Internet .

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Was ist eine Sternpyramide?

... Ersetzt man in einer fünfseitigen geraden Pyramide das regelmäßige Vieleck durch ein Polygramm, so entsteht eine Sternpyramide.
In diesem Falle ist die Ausgangspyramide fünfseitig und das Polygramm ein Pentagramm.

Wer den 3d-Blick beherrscht, sieht die Entstehung dreidimensional.

...

...

Zeichnet man in ein Pentagramm die Diagonalen und färbt jedes zweites Dreieck grau, so hat man den Eindruck, die Sternpyramide von oben zu sehen.

Diese Sternpyramide hat 5+1 Eckpunkte.
Sie hat 20 Kanten, nämlich zehn Grundkanten, fünf lange und fünf kurze Seitenkanten.
Zehn kongruente Seitenflächen werden aus den drei verschiedenen Seitenkanten gebildet.
Sie hat ein Pentagramm als Grundfläche.

Berechnungen top
Gegeben

... Die Sternpyramide wird durch zwei Größen festgelegt,
z.B. durch die Höhe h und durch die Seitenlänge a des umfassenden Fünfecks.

Formeln
Für die folgenden Berechnungen braucht man Formeln des Pentagramms.
- Schenkel des Zackendreiecks b = (1/2)[-1+sqrt(5)]a
- Radius des Umkreises R = (1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]a
- Radius des Umkreises des inneren Fünfecks R' = (1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]*c = ... = (1/5)sqrt[25-10sqrt(5)]a
- Basis des Zackendreiecks oder Seitenlänge de inneren Fünfecks c = (1/2)[3-sqrt(5)]a
- Flächeninhalt A = (1/2)sqrt[25-10sqrt(5)]a²
- Radius des Inkreises r = (1/10)sqrt[25+10sqrt(5)]a

Lange Seitemkante u

Die Seitenkante u ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Katheten sind die Höhe h und der Radius R des Umkreises des Pentagramms.
Es gilt u = sqrt(R²+h²) = (1/10)sqrt[(50a²+10sqrt(5)a²+100h²].

Kurze Seitenkante v

Auch die Seitekante v ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks.
Die Katheten sind die Höhe h und der Radius R' des Umkreises des inneren Fünfecks der Pentagramms.
R' = (1/10)sqrt[50+10sqrt(5)]*c = ... = (1/5)sqrt[25-10sqrt(5)]a
Es gilt v = sqrt(R'²+h²) = (1/5)sqrt[25a²-10sqrt(5)a²+25h²].

Seitenfläche A'

Die Seitenfläche A' ist der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten b, u und v.
Die Seite b ist der Schenkel des Zackendreiecks.
Die Seitenkanten u und v wurden oben berechnet.

Sind drei Seiten eines Dreiecks gegeben,
so berechnet sich sein Flächeninhalt A' nach der heronschen Formel A' = sqrt(s(s-b)(s-u)(s-v).
Die Variable s steht für die halbe Summe der drei Seitenlängen, s=(1/2)(b+u+v).

Oberfläche O

...	Die Oberfläche setzt sich aus der Flächeninhalt A des Pentagramms als Grundfläche und den zehn Seitenflächen 10A' zusammen, O = A+10A'.

Es ist wegen der unhandlichen heronschen Formel nicht sinnvoll, eine Formel A=A(a,h) anzugeben.
Man muss bei einer Berechnung Schritt für Schritt vorgehen.

Volumen
V = (1/3)Ah = (1/6)sqrt[25-10sqrt(5)]a²h

Ein Einheitskörper top
Das soll die Sternpyramide mit a = h = 1 sein. - Die Maßzahlen sind auf zwei Stellen gerundet.

... Erzeugende Pyramide Oberfläche
Man berechnet der Reihe nach
A = 0,81, R = 0,85, u = 1,31, c = 0,38, R' = 0,32, v = 1,05, s = 1,49, A' = 0,32, O = 4,01
Volumen
V = 0,27

Drei Erhebungswinkel top

...
Es gilt
sin(alpha) = h/u = h/sqrt[(1/10)(5a²+sqrt(5)a²+h²]
cos(beta) = R'/h = h/{1/5)sqrt[25-10sqrt(5)]a}
tan(gamma) = h/r = h/{(1/10)sqrt[25+10sqrt(5)]}a

Maßzahlen für h=a=1

sin(alpha) = 1/1.31
cos(beta) = 1/0,18
tan(gamma) = 4.79

alpha = 49,8°
beta = 71,3°
gamma = 55,5°

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Ein Vergleich top
Volumina
Wie groß ist das Verhältnis des Volumens der erzeugenden Pyramide zum Volumen der Sternpyramide?
Man benötigt für die Rechnung die Formel für den Flächeninhalt des Fünfecks A(Fünfeck) = (1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²....

V(Pyramide):V(Sternpyramide)
= {(1/3)(1/4)sqrt[25+10sqrt(5)]a²h} :{(1/6)sqrt[25-10sqrt(5)]a²h}
=(1/2){sqrt[25+10sqrt(5)]} :{sqrt[25-10sqrt(5)]}
= ... = (1/2)sqrt[(5+4sqrt(5) oder gerundet 6,975
Ergebnisse:
- Die Pyramide hat etwa ein sieben mal so großes Volumen wie die Sternpyramide.
- Da das Verhältnis die Seiten a und h nicht mehr enthält, gilt die Aussage für alle Sternpyramiden dieser Art.

Sternpyramide falten top

...... Faltet man aus einem Fünfeck ein Sternpyramide, so ergibt sich keine ebene Grundfläche (linkes Bild).
Erst wenn man die Faltfigur zu einem Dreieck zusammenlegt und eine Ecke abschneidet, ergibt sich eine Sternpyramide (rechtes Bild).

Die einzelnen Schritte zeigt die Bilderreihe.
...

1 Falte ein Fünfeck so an der roten Linien, dass die Faltfigur im Foto oben links entsteht.
2 Lege die Zacken aufeinander.
3 Es entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.
4 Schneide das weiße Dreieck ab.
5 Entfalte das Dreieck.
6 Forme die Sternpyramide wie im Foto oben rechts.

Verwandte Körper top
Doppelpyramide

...... Es ergeben sich Doppelpyramiden, wenn man zwei gleiche Sternpyramiden Grundfläche an Grundfläche aufeinamderlegt.
Unten wird in einem Video unter "Crafty Channel" das Falten aus fünf Modulen beschrieben, leider muss geklebt werden.