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Was sind Zweikreisfiguren?
Wie der Name sagt, sind es Figuren aus zwei Kreisen.
Man erhält einen Überblick über diese Figuren, wenn man
einen Kreis festhält und den anderen so lange verschiebt, bis die
Kreise konzentrisch liegen.
Es bietet sich eine Unterscheidung zwischen verschiedenen und gleichen
Kreispaaren an.
Die Radien R und r der Kreise und die Entfernung a der Mittelpunkte
der Kreise bestimmen eine Figur.
Die Kreise liegen nebeneinander
top
Tangentenproblem
... ... |
Es ist möglich, an zwei nebeneinander liegende Kreise je zwei
äußere und innere Tangenten zu legen.
Es entsteht eine achsensymmetrische Figur. Von Interesse ist, in welchen
Punkten sich die Tangenten paarweise schneiden und wie lang die Tangentenabschnitte
sind. Tangentenabschnitte sind die Strecken zwischen den Berührpunkten
und den Schnittpunkten. |
Erste Konstruktion
der Tangenten
... ... |
Alle Zweikreisfiguren sind achsensymmetrisch.
Die Gerade durch die Mittelpunkte ist die Symmetrieachse.
Zwei Kreise sind ähnlich und können durch eine zentrische
Streckung auseinander hervorgehen. Das Zentrum liegt auf der Symmetrieachse.
Die Verbindungslinie der "Südpole" ist eine Zurdordnungsgerade und
kann zur Ermittelung des Zentrums herangezogen werden. |
Die Berührpunkte der gemeinsamen Tangente sind einander zugeordnet.
Die Berührradien stehen senkrecht auf der Tangente.
Diese Eigenschaften führen zu den
folgenden Konstruktionen der Tangenten.
Der rote Halbkreis ist der Halbkreis des Thales.
Die beiden folgenden Kontruktionen scheinen
die Standard-Konstruktionen zu sein.
Zweite Konstruktion der Tangenten
... ...
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>Zeichne in den großen Kreis einen Kreis mit einem Radius, der
gleich der Differenz der gegebenen Radien ist.
>Zeichne den Halbkreis des Thales über die Verbindungslinie der
Mittelpunkte.
>Verbinde den Schnittpunkt Thaleskreis/Differenzenkreis und den Mittelpunkt
des kleinen Kreises.
>Zeichne die Senkrechte zu dieser Geraden durch den Mittelpunkt des
kleinen Kreises.
>Zeichne zu dieser Geraden die Parallele durch ihren Schnittpunkt mit
der Kreislinie des kleinen Kreises. Das ist die Tangente. |
... ... |
>Zeichne um den großen Kreis einen Kreis mit einem Radius, der
gleich der Summe der gegebenen Radien ist.
Beschreibung wie oben. |
Quelle: Zum Beispiel (1) Seite 12f.
Rechnung zu den äußeren
Tangenten
... ... |
Gegeben seien die Radien R und r der Kreise und die Entfernung
a ihrer Mittelpunkte.
Dann ist x die Entfernung des Schnittpunktes der Tangenten vom Mittelpunkt
des kleineren Kreises. Die Tangentenabschnitte sind s und s+t.
Es gilt x=(ra)/(R-r), s=r*sqrt[a²-(R-r)²]/(R-r),
t=sqrt[a²-(R-r)²]. |
Zur Herleitung
Die Entfernung x ergibt sich aus dem zweiten Strahlensatz x:(a+x)=r:R.
Für den Tangentenabschnitt s gilt nach dem Satz des Pythagoras
s²=x²-r².
Für die Entfernung t der Berührpunkte gilt wieder der zweite
Strahlensatz s:(s+t)=r:R.
Rechnung zu den inneren
Tangenten
... ... |
Gegeben seien die Radien R und r der Kreise und die Entfernung
a ihrer Mittelpunkte.
In Analogie zum Fall der äußeren Tangenten lassen sich die
Längen der Strecken x=SM2, s=SB2 und t=B1B2
herleiten.
Es gilt x=(ra)/(R+r), s=r*sqrt[a²-(R+r)²]/(R+r),
t=sqrt[a²-(R+r)²]. |
Eyeball theorem
("Augapfel-Satz")
... ... |
Zeichnet man von den Mittelpunkten zweier nebeneinander liegender Kreise
aus die Tangenten, so entstehen zwei Kreisbögen.
Es gilt der Satz: Die Sehnen zu diesen Kreisbögen sind gleich lang. |
Beweis
Man ergänzt die Figur und entdeckt ähnliche Dreiecke, nämlich
die gelbgrünen und die grünen.
Es gelten zwei Proportionen.
r:a=x:R
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R:a=y:r
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Aus den Proportionen folgen die Produktgleichungen Rr=ax und Rr=ay. Daraus
folgt x=y, w.z.b.w..
Zum Namen
... ... |
Die beiden Kreise können als Augäpfel mit gleich großen
Bildern gedeutet werden. |
Quelle: Alexander Bogomolny The
Eyeball Theorem (Mit Applet und Beweis)
Gleiche Tangentenabschnitte
... ... |
Zeichnet man zwei äußere und eine innere Tangente, so entstehen
auf der inneren Tangente zwei gleiche Tangentenabschnitte. |
Beweis
Es gilt für die äußeren Tangenten AB=CD oder AP+PB=CQ+QD.
Die Tangentenabschnitte AP und PB außen sind gleich den Tangentenabschnitten
PE und PF innen.
Die Tangentenabschnitte QD und CQ außen sind gleich den Tangentenabschnitten
QF und QE innen.
Somit kann man die äußeren Tangentenabschnitte durch die
inneren ausdrücken AB=PE+PF und CD=QF+QE.
Mit AB=CD ergibt sich PE+PF=QF+QE.
Da PF=PE+EF und QE=QF+FE gelten, ist PE+EF=QF+FE oder PE=QF, wzbw.
Quelle: Eckard Specht (Math4U) K.27 (URL
unten).
Riemengetriebe
... ... |
Die beiden Zeichnungen können als Darstellungen eines Riemengetriebes
aufgefasst werden.
Ein kleines Rad z.B. ist mit einem Motor verbunden, das doppelt so
große Rad wird angetrieben. Zwei Beobachtungen:
>Die Räder laufen links gleichsinnig, rechts gegensinnig.
>Das große Rad dreht sich halb so schnell wie das kleine. |
Schwerpunkt
... ... |
Man kann die beiden Kreise als Scheiben auffassen, die proportional
zu ihren Flächen eine Masse haben und damit im Schwerefeld der Erde
eine Gewichtskraft.
Es gibt zwischen den Mittelpunkten den sogenannten Schwerpunkt. Verbindet
man die Scheiben durch eine gewichtslose Stange und befestigt im Schwerpunkt
eine Schnur, so liegt die Stange horizontal. |
Berechnung der Lage des Schwerpunktes
... ... |
Die beiden Kreise sollen die Radien R und r haben, und die Entfernung
der Mittelpunkte sei a.
Die Gewichtskräfte der Scheiben seien F1 und F2,
ihre Massen m1 und m2.
Die Lage des Schwerpunktes wird zum Bespiel durch die Strecke s festgelegt.
Man führt die fiktiven Kräfte F3 ein, die sich
aufheben, die aber zu einer (nicht eingezeichneten) resultierenden Kraft
führen, die vertikal liegt und in P angreift. Der Schwerpunkt liegt
unter P (und auf der Verbindungslinie der Mittelpunkte). |
Es gelten auf Grund ähnlicher Dreiecke die Proportionen F1:F3=h:s
und F2:F3=h:(a-s).
Daraus folgt F1*s=F2*(a-s) oder F1:F2=(a-s):s
oder m1:m2=(a-s):s oder s=(am2)/(m1+m2).
Im Falle von Kreisscheiben kann man für die Massen noch setzen:
m1:m2=(pi*R²):(pi*r²)=R²:r².
Es gilt damit (a-s):s=R²:r². Daraus folgt s=(ar²)/(R²+r²).
Sonderfall: Ist r=R, so gilt s=a/2.
Zwillinge des Archimedes
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Mehr findet man auf meiner Seite Arbelos. |
Acht-Kurven
Die Kreise berühren sich
top
Vierteilung des Kreises
... ... |
In der Figur links gilt R=2r.
Dann ist die große Fläche A1=4*pi*r² und
die kleine A2=pi*r².
Zeichnet man noch daneben einen zweiten Kreis ein, so wird der große
Kreis in vier gleiche Teile aufgeteilt. |
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Verschiebungsproblem
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Zwei Quadrate mit ihren Inkreisen liegen wie links dargestellt nebeneinander.
Man lässt die Quadrate weg und verschiebt den kleinen Kreis horizontal
so weit, dass er den großen Kreis berührt.
Wie groß ist die Verschiebung? |
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Lösung
... ...
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Liegen die Kreise in den Quadraten, haben ihre Berührpunkte unten
die Entfernung R+r.
Nach dem Verschieben gilt für die neue Entfernung der Berührpunkte
x die Gleichung x²=(R+r)²-(R-r)² oder x=2*sqrt(rR).
Damit ist die Verschiebung (R+r)-x=R+r-2sqrt(rR). |
Kreis im Kreisabschnitt
... ... |
Gegeben sei ein großer Kreis und eine Sehne, die einen Kreisabschnitt
erzeugt.
Die Mittelsenkrechte der Sehne schneidet den großen Kreis in
S.
Im Kreisabschnitt liegt ein beliebiger Kreis, der Kreislinie und Sehne
berührt.
Satz: Zeichnet man eine Gerade durch die Berührpunkte, so geht
die Gerade durch Punkt S. |
Zum Beweis
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Das gelbgrüne und das grüne Dreieck sind ähnlich. |
Quelle:Alexander Bogomolny Inversion
(Mit Applet und Beweis)
Zwei Kreise im Rechteck
... ... |
Gegeben sei ein passendes Rechteck. Es sollen zwei gleiche, möglichst
große Kreise in das Rechteck eingepasst werden. |
Lösung
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Gegeben sind die Länge a und die Breite b eines Rechtecks. Gesucht
ist der Radius x der Kreise.
Die Figur ist punktsymmetrisch mit dem Zentrum Z(a/2|b/2). Nach dem
Satz des Pythagoras gilt für das rote Dreieck x²+(b/2-x)²=(a/2-x)²
oder x²-(a+b)x+(b²+a²)/4=0. |
Die quadratische Gleichung hat die Lösung x=(a+b)/2-(1/2)sqrt(2ab).
Die andere Lösung führt zu einem zu großen Radius.
Ist das Rechteck ein Quadrat, so gilt a=b und
x=a-(1/2)[sqrt(2)]a.
Ist das Rechteck (als Grenzfall) ein Doppelquadrat,
so gilt a=2b und x=b/2.
Quelle: schülerzirkel
mathematik Zwei
Kreise in einem Rechteck Problem des Monats
Juni 2004.
Dort wird ein A4-Blatt untersucht.
Eine Kollinearität
... ... |
Gegeben seien zwei verschieden große Kreise, wobei der kleine
Kreis den großen innen berührt. Weiter seien die horizontal
liegende Symmetrieachse und zwei zur Achse Senkrechte durch die Mittelpunkte
gegeben.
Verbindet man den gemeinsamen Berührpunkt mit den Endpunkten des
Durchmessers des großen Kreises, so verlaufen diese Verbindungsgeraden
auch durch die Endpunkte des Durchmessers des kleinen Kreises. |
Zum Beweis
Oben wurde schon angemerkt, dass zwei Kreisen eine zentrische Streckung
zugrunde liegt. Das Zentrum liegt hier im Berührpunkt der Kreise und
die "Nordpole" sind einander zugeordnete Punkte.
Quelle: Science Buddies Tangent
Circles and Triangles
THE CRESCENT PUZZLE
von Dudeney
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Gegeben sind die beiden Strecken zwischen den Kreisen.
Gesucht sind die Radien der Kreise. |
Lösung
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt r²=x²+y².
Man erhält aus 2R=2r+9 die Angabe x=R-r=4,5.
Man erhält aus R=y+5 die Angabe y=R-5. Dann ist y=(r+4,5)-5=r-0,5.
Aus der ersten Gleichung folgt r²=(r-0,5)²+4,5². Das
führt zu r=20,5 und R=25, wzbw.. |
Quelle: Dudeney, Henry Ernest, 1857-1930 Amusements in Mathematics (191.)
Zykloiden
... ... |
Gegeben ist ein großer Kreis und ein kleiner, der auf dem großen
abrollt. Verfolgt man dabei zum Beispiel einen Punkt auf der Kreislinie
des kleinen Kreises, so entsteht eine Zykloide.
Mehr über Zykloiden findet man auf meiner Seite Spirograph. |
Die Kreise schneiden sich
top
Kreis als Ortslinie
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Wo liegen die Punkte, die vom Punkt A die Entfernung s1
und von B die Entfernung s2 haben? |
Tangentenproblem
... ...
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Von Interesse sind der Schnittpunkt der Tangenten und die Lage der
Berührpunkte.
Es gilt x=(ra)/(R-r), s=r*sqrt[a²-(R-r)²]/(R-r),
t=sqrt[a²-(R-r)²].
Die Herleitung erfolgt wie bei den äußeren Tangenten nebeneinander
liegender Kreise oben. |
Schnittpunkte der
Kreise
... ... |
Zur Bestimmung der Schnittpunkte der Kreise legt man sie am besten
passend in ein kartesisches Koordinatensystem.
Die Gleichungen x²+y²=R² und (x-a)²+y²=r²
beschreiben die beiden Kreise. |
Man eliminiert aus beiden Gleichungen y².
Aus R²-x²=r²-(x-a)² ergibt sich die Abszisse der
Schnittpunkte xs=(R²-r²+a²)/(2a).
Aus y²=R²-x² ergeben sich die Ordinaten ys=[1/(2a)]sqrt[4a²R²-(R²-r²+a²)²]
und ys=-[1/(2a)]sqrt[4a²R²-(R²-r²+a²)²].
Zweikreisfigur (im
engeren Sinne) als Sonderfall
... ... |
Bei der Zweikreisfigur sind die Radien der beiden Kreise gleich. Die
Mittelpunkte liegen auf der Kreislinie des jeweils anderen Kreises.
Es ist a=r=R.
Dann liefert die Formel oben die Koordinaten der Schnittpunkte
xs= R/2 und ys=(1/2)sqrt(6)R bzw. ys=-(1/2)sqrt(6)R. |
Die Zweikreisfigur ermöglicht eine
Reihe von Grundkonstruktionen.
... ... |
Beispiele sind Halbieren einer Strecke, Zeichnen eines Winkels
von 60° oder Zeichnen einer Senkrechten. |
Quadrat zwischen
den Kreisen
... ... |
Rücken die Kreise im Vergleich zur Zweikreisfigur auseinander,
so kann es passieren, dass die Mittelpunkte und Schnittpunkte der Kreise
die Ecken eines Quadrates werden.
Es gilt dann a=sqrt(2)*R. |
Längste Strecke
... ... |
Zeichne durch den Schnittpunkt zweier Kreise eine Gerade. Es entsteht
innerhalb der Kreise eine Strecke, zusammengesetzt aus zwei Sehnen.
Wie muss die Gerade gelegt werden, damit die Strecke möglichst
lang wird? |
Lösung
... ... |
Verbindet man die Endpunkte der Strecke mit dem anderen Schnittpunkt,
so entsteht ein Dreieck. Ganz gleich wie man die Strecke legt, das Dreieck
hat immer die gleichen Winkel. Winkel über demselben Bogen sind gleich.
Unter den ähnlichen Dreiecken ist das Dreieck mit dem Durchmesser
als Sehne am größten.
So muss die Strecke gelegt werden. |
Quelle: Alexander Bogomolny The
Longest Segment in Intersecting Circles (Mit Applet und Beweis)
Eine Halbierung
... ... |
Gegeben seien zwei sich schneidende Kreise und eine gemeinsame Tangente.
Dann gilt: Die Gerade durch die Schnittpunkte der Kreise halbiert die
Verbindungslinie der Berührpunkte.
Beweis: Es gilt SR²=SF*SE und SP²=SF*SE nach dem Sekanten-Tangenten-Satz.
Daraus folgt SR=SP. |
Quelle: Mathforum Intersecting
Circles
Orthogonale Kreise
... ... |
Wie die Zweikreisfigur sind hier auch die beiden verschieden großen
Kreise orthogonal.
Zeichnet man nämlich in den Schnittpunkten Tangenten an die Kreise,
so stehen sie aufeinander senkrecht. |
... ... |
Man findet die beiden Kreise, indem man einen Kreis mit dem Mittelpunkt
M1 vorgibt und einen zweiten (roten) durch den Mittelpunkt M1
zeichnet. Er schneidet die Achse in M2. Der orthogonale Kreis
ist der Kreis mit dem Mittelpunkt M2, der durch den Schnittpunkt
S der Kreise verläuft. (Der rote Kreis ist der Halbkreis des Thales.) |
Es gilt der Satz: Sind zwei Kreise orthogonal,
so wird der Durchmesser des einen Kreises durch den anderen harmonisch
geteilt. - In Formeln ausgedrückt heißt das AC:CB=AD:BD
oder AC*BD=CB*AD.
Quelle: (2), Seite 12ff.
Beweis:
Es seien M1M2=a, AM1=R, M2D=r.
Dann gilt AC=R+(a-r), AD=R+a+r, BD=(a+r)-R, CB=2r-BD=2r-(a+r-R)=r-a+R.
So sind AC*BD=(R+a-r)*(a+r-R)=2rR-R²-r²+a² und CB*AD=(r+a-R)(R+a+r)=2rR+R²+r²-a².
Da die Kreise orthogonal sind, gilt R²+r²=a².
Das führt zu AC*BD=2rR und CB*AD=2rR.
Daraus folgt AC*BD=CB*AD oder AC:CB=AD:BD, wzbw.
Da die Rechenschritte umkehrbar sind, gilt
die Umkehrung des Satzes:
Wird der Durchmesser eines Kreises harmonisch durch einen anderen Kreis
geteilt, so sind die beiden Kreise orthogonal.
Parallelenpaar
... ... |
Gegeben seien zwei sich schneidende Kreise und eine Sehne s. Zeichnet
man durch die Endpunkte der Sehne und die Schnittpunkte der Kreise Geraden,
so erzeugen sie im anderen Kreis eine zweite Sehne.
Es gilt der Satz: Die Sehnen sind parallel. |
Zum Beweis
... ... |
Verbindet man noch die Schnittpunkte der Kreise, so entstehen zwei
nebeneinander liegende Sehnenvierecke. Da gilt der Satz, dass gegenüberliegende
Innenwinkel sich zu 180° ergänzen. Danach tritt der Winkel bei
B auch bei D auf. Nach der Umkehrung des Satzes von den Stufenwinkeln sind
die Sehnen parallel. |
Anmerkung
Es sieht so aus, als seien die beiden Sehnenvierecke ähnlich,
haben sie doch paarweise gleiche Winkel. Aber das ist keine ausreichende
Bedingung. Man denke nur an die Rechtecke.
Trotzdem bleibt das Verhältnis AB/CD konstant, solange man nur
die Lage, aber nicht die Länge der Sehne ändert.
Ergänzung
... ... |
Die Parallelität überträgt sich auch auf die Figur,
bei der sich die beiden Berührpunkte zu einem Punkt zusammenziehen.
Dann entstehen zwei ähnliche Dreiecke in perspektivischer Lage. |
Quelle: IES (Japan) Circles
"Problem of Two Circles (2)", "Problem of Two Circles(3)"
Die grasende Ziege
(The
grazing goat)
Es handelt sich hier um eine dieser Aufgaben, deren Aufgabenstellung
einfach ist, deren Lösung es aber in sich hat.
... ... |
Gegeben sei eine kreisförmige Grasfläche.
Im Randpunkt M' ist ein Pflock eingeschlagen, an dem ein Seil befestigt
ist. An dessen Ende steht die Ziege Z. Wie groß muss die Länge
s des Seils sein, damit die Ziege die Hälfte der Kreisfläche
mit dem Radius r erreichen kann? |
... ... |
Es ist ungeschickt, die Seillänge s direkt
als Suchvariable einzuführen.
Günstiger ist der eingezeichnete Winkel
x, gemessen im Bogenmaß.
Dann erhält man nach längerer Rechnung
die transzendente Gleichung pi/2 + 2 x * cos(2x) - sin(2x)
= 0 mit der Näherungslösung x = 0,95 rad (=55°).
Das führt näherungsweise zur Länge
des Seils s=1,159r. |
Näheres bei Hans Henschel Puzzles
/ The grazing goat, Solution
Mengendiagramm
1974: Die armen Kleinen.
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Ein Hinweis auf das Mengendiagramm soll auf dieser Seite nicht fehlen.
Und was für eine Aufregung gab es um die Mengenlehre in den 1970er
Jahren.
Macht Mengenlehre krank? fragte DER SPIEGEL 1974 in einer Titelgeschichte.
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Die Kreise liegen konzentrisch
top
Flächengleicher Kreis
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Umkreis/Inkreis
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Aus zwei konzentrischen Kreisen entsteht ein Kreisring.
Mehr darüber findet man auf meiner Seite Ringe. |
Optische Täuschungen top
Kongruent?
Die beiden Kreise sind kongruent, obwohl es gar nicht
so aussieht.
Gleich oder verschieden?
Zwei Kreise in zwei Grautönen?
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Nein, die Kreise sind identisch. Die Umgebung macht's.
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Hintereinander
Mit dem Stereoblick sieht man den roten Kreis vor dem blauen.
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und hier?
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Zwei Stereogramme
Zwei Kreise liegen vor oder hinter einer Ebene.
Zweikreisfiguren im Internet
top
Deutsch
Eckard Specht (Math4U)
index/ K.1 bis K.76
Florian Modler (matheplanet)
Exkurs:
Potenz eines Kreises
Hans Henschel
Rätsel
/Die grasende Ziege, Lösung
Peter G. Nischke
Zwei
Kreise im Quadrat
Roland Mildner
Zwei Kreise
schülerzirkel mathematik
Zwei
Kreise in einem Rechteck
Wikipedia
Tangentenviereck,
Kreistangente,
Sekanten-Tangenten-Satz,
Potenz
(Geometrie)
Englisch
Alexander Bogomolny (Cut the Knot)
Inversion,
The
Longest Segment in Intersecting Circles, The
Eyeball Theorem, The
Squinting Eyes Theorem, Tangent
Circles and an Isosceles Triangle, A
Sangaku: Two Unrelated Circles, A
Sangaku Follow-Up on an Archimedes' Lemma, Equilateral
Triangles and Incircles in a Square, In
the Wasan Spirit, Two
Circles in an Angle: What is this about?, Sangaku
Antonio Gutierrez (Geometry Step-by-Step - From the Land of the Inkas)
Eyeball
Theorem / animated, Monge
& d'Alembert Three Circles Theorem I / animated
Eric W.Weisstein (MathWorld)
Circle-CircleTangents,
Circle-Circle
Intersection, Eyeball
Theorem, Goat
Problem, Venn
Diagram, Monges
CircleTheorem
Sphere-Sphere
Intersection, Double
Bubble
Hany Farid
Circle
Illusion
IES (Japan)
Common Tangents, Circles
Jeff Kertscher
Tangent
lines to Two Circles
Jim Wilson (Jim Wilson's Home Page)
Comparing
Segments in two circles
Kenneth James Michael MacLean
The Binary
Circle/Sphere Pattern
Mathforum
Intersecting
Circles
Nick Hobson (Nick's Mathematical Puzzles)
108. Eyeball to
eyeball
Paul Bourke
Intersection
of two circles
Projekt Gutenberg
Dudeney, Henry Ernest,
1857-1930 Amusements in Mathematics
Raymond and Patsy Nasher Collection, Dallas, Texas
Squares with Two Circles (Monolith) "This is the original":
here
or here
Science Buddies
Tangent
Circles and Triangles
Wikipedia
Tangent
lines to circles, Power
of a point, Tangential
quadrilateral
Diese Seite enthält Tipps von Torsten
Sillke.
Referenzen top
(1) W.Lietzmann: Altes und neues vom Kreis, Leipzig/Berlin 1935
(2) C.Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie, Braunschweig, Wiesbaden
1976 [ISBN 3 528 08314 x]
(3) Henry Ernest Dudeney: Amusements in Mathematics (1917) (Im Internet
verfügbar)
Feedback: Emailadresse auf
meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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