Was ist ein Spirograph?

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Der Spirograph ist ein mathematisches Spielzeug, mit dem man kunstvolle Figuren zeichnen kann.  Im einfachsten Fall besteht er aus einem Festkreis, ausgebildet als Schablone, und einem kleineren Rollkreis mit Löchern. Man zeichnet eine Figur, indem man die Schablone festhält (festklemmt), einen Stift durch eines der Löcher des kleineren Kreises steckt, ihn innen abrollt und dabei auf ein Blatt Papier zeichnet. Zähne an den Kreisrändern garantieren ein sauberes Abrollen und verhindern ein Gleiten.

Der hier vorgestellte einfache Spirograph ist (leider) undurchsichtig. Er war eine Werbegabe der Sparkasse zum Weltspartag, wenn ich mich recht erinnere.

Zeichenübungen   top

Nach fünf  "Umdrehungen" ergeben sich die nebenstehenden fünfstrahligen Rosetten. Von den 12 Löchern werden nur 3 herausgegriffen. Sie stehen für drei mögliche Typen.

Schaut man genauer hin, so sind die Figuren nach 5 Umdrehungen nicht in sich geschlossen. Das ist Absicht.

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Zeichnet man weiter, so ergeben sich nach etlichen Umdrehungen formschöne Rosetten, die den Reiz der Spirograph-Figuren ausmachen.

Herleitung einer Formel top
Für die Figuren lässt sich eine Parameterdarstellung herleiten, die die Rosetten mathematisch beschreibt.
Bezeichnungen:

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Der große Kreis (Radius R) steht fest. Der kleine Kreis (Radius r) rollt innen ab. Auf dem kleinen Kreis ist ein Punkt P festgelegt, der vom Mittelpunkt des kleinen Kreises die Entfernung a hat. Es wird nun verfolgt, welche Bahn der Punkt P während des Abrollens beschreibt.

Rechnung:

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Am Ende wurden die beiden trigonometrische Formeln links benötigt.

Ergebnis:

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Für die Bewegung des Punktes hat sich nebenstehende Parameterdarstellung ergeben.  Die Koordinaten x und y des Punktes P sind abhängig vom Winkel t. Die Variablen R, r und a sind  für die Bewegung konstant.

Es ergeben sich trigonometrische Terme, die periodische Wiederholungen gewährleisten. Die Variablen R-r  und a bestimmen die Größe, das Verhältnis r : R im wesentlichen die Periodizität der Graphiken.

Hypozykloiden    top
Setzt man die Parametergleichungen in Graphen um, so erhält man Hypozykloiden.

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Die Variable a wird verändert. Es können hier auch Fälle untersucht werden, in denen der Punkt P außerhalb des rollenden Kreises liegt.

Im Unterschied zum Zeichengerät entstehen geschlossene Linien, weil R : r ganzzahlig ist. Es genügt, t die Zahlen von 0 bis 5*2Pi durchlaufen zu lassen.

Im folgenden ist das Verhältnis R : r nicht mehr ganzzahlig.

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Eine Rolle für das Aussehen einer Graphik spielt auch die Anzahl der Umläufe.

Epizykloiden   top

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Eine andere Art von Zykloiden erhält man, wenn man einen kleinen Kreis (r=1) auf einen zweiten Kreis(R=5) außen abrollen lässt. Das wird beim Spirograph mit zwei Zahnrädern verwirklicht.  Parameterdarstellung:

Setzt man die Parametergleichungen in Graphen um, so erhält man Epizykloiden.

...	Die Variable a wird verändert. Es können hier auch Fälle untersucht werden, in denen der Punkt P außerhalb des rollenden Kreises liegt.

Zykloiden    top

Rollt man einen Kreis auf einer Geraden ab, so beschreibt ein fester Punkt der Kreislinie eine (gemeine) Zykloide.

Die Parameterdarstellung der Zykloide lautet x = r[t-sin(t)]  und y = r[1-cos(t)], wobei r der Radius des rollenden Kreises ist und t für eine Periode die Zahlen von 0 bis 2Pi durchläuft.
Bemerkenswert ist, dass die Länge einer Zykloide achtmal so groß ist wie der Radius des erzeugenden Kreises. Die Fläche zwischen x-Achse und Zykloide ist dreimal so groß wie die Fläche des erzeugenden Kreises. 

Man erhält weitere Zykloiden, wenn man den Punkt, der die Zykloide schreibt,  innerhalb oder außerhalb des rollenden Kreises legt. Im ersten Fall entsteht eine verkürzte Zykloide, im zweiten Fall eine verlängerte. 
Die allgemeine Parameterdarstellung heißt x = rt-a sin(t) und y =r-acos(t). Dabei sind r der Radius des rollenden Kreises und a die Entfernung des festen Punktes P von dessen Mittelpunkt. 

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Für die nebenstehende Darstellung ist r=3 und für a werden a=1 (blau), a=3 (grün) und a=5 (rot) eingesetzt.  Es wird  0<t<10 gewählt.

Zum Sortiment des Spirographen gehören auch eine Figur aus einem Rechteck und zwei seitlich angebrachten Halbkreisen. Ein um diese Figur herumlaufendes Rad liefert kombinierte Epizykloiden / Zykloiden. 

Ein Programm zeichnete Teile des nebenstehenden Graphen mit Hilfe der Parameterdarstellungen Epizykloiden-Gleichungen links, Zykloiden-Gleichungen rechts

Reihung von Figuren  top
Zum Sortiment des hier vorgestellten Spirographen gehört auch ein Rad, in dessen Innerem einfache Figuren liegen.

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Man zeichnet mit einer Schablone eine Figur,  bewegt das Rad um einen Zahn weiter und zeichnet die gleiche Figur daneben. Man wiederholt diese Prozedur so oft, wie Zähne da sind.  Am Ende entsteht z.B. ein Ring.

Mathematisch gesehen sind diese Zeichnungen nicht so interessant, doch sie sind effektvoll. 

Der Spirograph im Internet   top

Deutsch:

admaDIC 
Spiromat (Applet)

Jutta Sturm
Zykloiden

Peter Müller 
Spirograph

Wikipedia
Spirograph (Spielzeug),  Zykloide, Epizykloiden

Englisch:

Anu Garg
Java Applet 

Eric W.Weisstein (MathWorld)
Hypocycloid, Epicycloid Pedal Curve

Richard Parris (peanut Software) 
Program WINPLOT

Wikipedia
Spirograph

Referenzen    top
W.Leupold...: Analysis für Ingenieur- und Fachschulen, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt/M.