|
Was ist eine Epizykloide?
... ... |
Gegeben sei ein (erzeugender) Kreis mit dem Radius R. Rollt man einen
zweiten Kreis mit dem Radius r auf ihm ab und verfolgt man dabei die Bahn
eines Punktes P auf der Kreislinie, so entsteht die Epizykloide.
In diesem Falle gilt R=2r oder 2pi*R=2*(2pi*r).
Dann ergibt sich eine einfach geschlossene Kurve, die Nephroide. |
Die Kurve ist verwickelter, wenn das Verhältnis
R:r nicht mehr ganzzahlig ist.
... |
Ist das Verhältnis rational, schließt sich die Kurve nach
etlichen Umläufen.
Hier ist R:r=7:2. Die Kurve schließt sich nach zwei Umläufen. |
... |
Ist das Verhältnis irrational wie z.B. bei R:r=7:sqrt(2), schließt
sich die Kurve nicht. |
Eine Eigenschaft ist diesen Epizykloiden
gemeinsam: Sie liegen in einem Kreisring, der von dem erzeugenden Kreis
mit dem Radius R und einem Hüllkreis mit dem Radius R+2r gebildet
wird.
Parameterdarstellung
der Epizykloide top
Die Epizykloiden auf dieser Seite werden mit Hilfe einer Parameterdarstellung
mit dem Programm Winplot gezeichnet. Die Formeln lauten
x=(R+r) cos(t)-r cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-r sin[(1+R/r)t]
Es gilt D=|R.
Herleitung der Formeln
... |
Wegen der Rollbedingung sind die Kreisbögen über AB und AP
gleich.
Es gilt b(AB)=(pi*alpha*R)/180° und b(AP)=[pi*(90°-alpha+beta)*r]/180°.
Daraus folgt alpha*R=(90°-alpha+beta)*r oder beta=(1+R/r)alpha-90°.
Im gelben Dreieck ODM gilt
sin(alpha)=MD/OM oder MD=(R+r)*sin(alpha) und
cos(alpha)=OD/OM oder OD=(R+r)*cos(alpha).
Im grünen Dreieck EPM gilt
sin(beta)=EP/MP oder EP=r*sin(beta)
cos(beta)=ME/MP oder ME=r*cos(beta) |
Weiter ist
x=OD+EP=(R+r)*cos(alpha)+r*sin(beta)=(R+r)*cos(alpha)+r*sin[(1+R/r)alpha-90°]
=(R+r)*cos(alpha)-r*cos[(1+R/r)alpha]
y=MD-ME=(R+r)*sin(alpha)-r*cos(beta)=(R+r)*sin(alpha)-r*cos[(1+R/r)alpha-90°]
=(R+r)*sin(alpha)-r*sin[(1+R/r)alpha].
Es ist üblich, die Winkel im Bogenmaß
anzugeben. Man setzt also alpha=t und erhält
x=(R+r) cos(t)-r cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-r sin[(1+R/r)t].
Einfach
geschlossene Kurven top
Von Interesse ist die einfach geschlossene Kurve, die sich ergibt,
wenn das Verhältnis der Radien der beiden beteiligten Kreise ganzzahlig
ist. In diesem Falle setzt man gerne in die Parametergleichungen R/r=m
ein.
x=(R+r) cos(t)-r cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-r sin[(1+R/r)t].
|
x=(m+1)r cos(t)-r cos[(m+1)t]
y=(m+1)r sin(t)-r sin[(m+1)t]
|
Beipiele
Kardioide
m=1
|
Nephroide
m=2
|
Dreistrahlige Epizykloide
m=3
|
Vierstrahlige Epizykloide
m=4
|
Fünfstrahlige Epizykloide
m=5
|
D={t | 0<=t<=2pi}
Beschreibung der
Kurven
.. .... |
>Sie bestehen aus m kongruenten Bögen, die sich über dem
erzeugenden Kreis wölben.
>Für die Winkel 2(k-1)pi/m (1<=k>=m) ergeben sich Spitzen,
die auf dem Kreis mit dem Radius R liegen.
>Für die Winkel 2[(k-1)/2]pi/m (1<=k>=m) ergeben sich Scheitel,
die auf einem Kreis mit den Radius R+2r liegen.
>Die nebenstehende Epizykloide wird dargestellt durch
x=6cos(t)-cos(6t)
y=6sin(t)-sin(6t)
|
Volumen und
Umfang top
Es stellt sich für die einfach geschlossene Epizykloide die Frage
nach dem Volumen und dem Umfang.
Kardioide
Auf meiner Seite Herzkurve stelle ich dar, wie
man sie für die Kardioide (m=1) bestimmt.
Dieses Verfahren lässt sich nicht verallgemeinern, da es offenbar
eine entsprechende Polargleichung der Epizykloide für den allgemeinen
Fall nicht gibt. (Bei Mathworld/Epicycloid findet man eine Ersatzgleichung.)
Allgemeine Formeln
In der Literatur findet man die Formeln A=(m+1)(m+2)pi*r² und
U=8(m+1)r.
Anwendung auf einfache Epizykloiden
Kardioide
m=1
A=6pi*r²
U=16r
|
Nephroide
m=2
A=12pi*r²
U=24r
|
Dreistrahlige Epizykloide
m=3
A=20pi*r²
U=32r
|
Vierstrahlige Epizykloide
m=4
A=30pi*r²
U=40r
|
Fünfstrahlige Epizykloide
m=5
A=42pi*r²
U=48r
|
Andere Lesart der Formel für den Flächeninhalt
... ... |
In Buch (3) findet man die Formel für die Fläche zwischen
dem erzeugenden Kreis und einem Bogen.
A'=pi*r²(3R+2r)/R.
Die Gesamtfläche ist dann
A=mA'+pi*R²=m[pi*r²(3R+2r)/R]=...=pi*r²(m²+3m+2)=(m+1)(m+2)pi*r²,
wie oben angegeben. |
Zur Herleitung der
Formel A=(m+1)(m+2)pi*r².
Für die Berechnung des Flächeninhalts steht die Sektorformel
von Leibniz bereit.
|
x(t)=(m+1)r cos(t)-r cos[(m+1)t]
y(t)=(m+1)r sin(t)-r sin[(m+1)t]
|
x'(t)=-(m+1)r sin(t)+r (m+1)sin[(m+1)t]
y'(t)=(m+1)r cos(t)-r (m+1)cos[(m+1)t]
|
Es gilt x(t)y'(t)-y(t)x'(t)
= (m+1)²r²[sin²(t)+cos²(t)]+(m+1)r²{sin²[(m+1)t]+cos²[(m+1)t]}
-[(m+1)²r²+(m+1)r²]{sin(t)sin[(m+1)t]+cos(t)cos[(m+1)t]}
=(m+1)²r²+(m+1)r²-[(m+1)²r²+(m+1)r²]cos(mt)
=[(m+1)²r²+(m+1)r²][1-cos(mt)]
=(m+1)(m+2)r²[1-cos(mt)]
Dann ist
 ,wzbw.
Zur Herleitung der
Formel U=8(m+1)r
... ...
|
Für die Länge eines Bogens steht die nebenstehende Formel
bereit. |
Es gilt [x'(t)]²+[y'(t)]²
={-(m+1)r sin(t)+r (m+1)sin[(m+1)t]}²+{(m+1)r cos(t)-r (m+1)cos[(m+1)t]}²
=(m+1)²r²+(m+1)²r²-2(m+1)²r²{sin(t)sin[(m+1)t]+cos(t)cos[(m+1)t]}
=2(m+1)²r²-2(m+1)²r²cos(mt)
=(m+1)²r²[2-2cos(mt)].
Dann ist
 , wzbw.
Mehrfach
umlaufende Kurven top
Die Kurve ist verwickelter, wenn das Verhältnis R:r nicht mehr
ganzzahlig ist.
|
Ist das Verhältnis rational wie z.B. bei R:r=7:2, schließt
sich die Kurve nach etlichen Umläufen.
Die Parametergleichungen sind hier
x=9cos(t)-2cos[(9/2)t]
y=9sin(t)-2sin[(9/2)t]
D={t | 0<t<4pi}
|
Ist das Verhältnis R:r=p/q, wobei p und q teilerfremde Zahlen sind,
so schließt sich die Kurve nach q Umläufen.
Beispiele
R:r=7:1
D=[0;2pi]
|
R:r=7:2
D=[0;4pi]
|
R:r=7:3
D=[0;6pi]
|
R:r=7:4
D=[0;8pi]
|
R:r=7:5
D=[0;10pi]
|
R:r=1:7
D=[0;14pi]
|
R:r=2:7
D=[0;14pi]
|
R:r=3:7
D=[0;14pi]
|
R:r=4:7
D=[0;14pi]
|
R:r=5:7
D=[0;14pi]
|
Nicht geschlossene Kurven
top
| ... |
Ist das Verhältnis irrational wie z.B. bei R:r=7:sqrt(2), schließt
sich die Kurve nicht.
x=8.414cos(t)-1.414cos[8.414/1.414)t]
y=8.414sin(t)-1.414sin[(8.414/1.414)t]
0<t<14pi
|
Bögen wölben sich über dem
erzeugenden Kreis. Mit größer werdendem Parameter verschieben
sie sich entgegen dem Uhrzeigersinn. Das zeigt auch die folgende Bildreihe.
0<t<4pi
|
0<t<14pi
|
0<t<34pi
|
0<t<100pi
|
Epitrochoiden top
Gewöhnliche Epizykloide (oder Gemeine E.)
... |
Bisher verfolgte man beim Abrollen einen Punkt P auf der Kreislinie
des abrollenden Kreises.
Es entsteht die gewöhnliche Epizykloide. |
Auch Punkte, die nicht auf der Kreislinie
liegen, beschreiben eine geschlossene Kurve, die Epitrochoide.
Da unterscheidet man, ob der Punkt P innerhalb oder außerhalb
des abrollenden Kreises liegt.
In beiden Fällen erfasst man die Kurven durch die leicht abgeänderten
Parametergleichungen von oben.
x=(R+r) cos(t)-a cos[(1+R/r)t]
y=(R+r) sin(t)-a sin[(1+R/r)t]
Die Variable a gibt die Entfernung des Punktes P vom Mittelpunkt des abrollenden
Kreises an. Bisher war a=r.
Gestreckte Epizykloide
(oder Verkürzte E.)
Der Punkt P liegt innerhalb des abrollenden Kreises in
der Entfernung a von seinem Mittelpunkt.
... ...
a=0,5r
|
Gegenüber der gewöhnlichen Epizykloide werden die Spitzen
zu Einbuchtungen.
Die Scheitel und Einbuchtungen werden geglättet und die Epizykloide
artet zum Kreis aus, wenn die Variable a sich Null nähert. |
Verschlungene Epizykloide
(oder Verlängerte E.)
Der Punkt P liegt außerhalb des Kreises in der Entfernung
a von seinem Mittelpunkt.
... ...
a=2r
|
Wie der Name besagt, treten bei der verschlungenen Epizykloide Schlingen
auf.
Diese werden umso größer, je größer die Variable
a ist.
Sie überlagern sich schließlich so weit, dass sie innen
m-Ecke aus Bögen bilden.
Das zeigen die folgenden Bildreihen. |
Es folgen Epizykloiden für m=3 und
für verschiedene Parameter a.
Es folgen Epizykloiden für m=4 und
für verschiedene Parameter a.
Hypozykloide top
... ... |
... ... |
Eine Hypozykloide entsteht, wenn sich ein Rollkreis nicht um,
sondern in einem erzeugenden Kreis bewegt. Dabei verfolgt man den
Weg eines Kreispunktes des abrollenden Kreises. |
Die Hypozykloide wird auch durch ähnliche
Parametergleichungen wie bei Epizykloide beschrieben.
x=(R-r) cos[(r/R)t]+a cos[(1-r/R)t]
y=(R-r) sin[(r/R)t]-a sin[(1-r/R)t]
Die Gleichungen werden auf meiner Webseite Spirograph
hergeleitet und angewandt.
Einige Beispiele
R:r=7:1, a=1
|
R:r=7:2, a=1
|
R:r=7:3, a=1
|
R:r=7:3, a=2
|
R:r=7:3, a=4
|
Verfremdung der
Parametergleichungen top
Meist wurden die Figuren noch gedreht, damit die Symmetrieachse vertikal
steht.
Die Bilder von oben jetzt mit Farbe
Spirograph top
... ... |
Epi- und Hypozykloide bilden die Grundlage eines weit verbreiteten
Spielzeugs, des Spirographen. |
Epizykloide im Internet top
Deutsch
Norbert Treitz
Animationen zu
Epi- und Hypotrochoiden
Stefan Hübbers
Betrachtung
von Epizykloiden
Universität Innsbruck
Apparat
zur optischen Demonstration von Lissajous - Figuren
Wikipedia
Epizykloide,
Kardioide,
Nephroide,
Zykloide,
Sektorformel
von Leibniz, Spirograph
(Spielzeug)
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Epicycloid, Cardioid,
Nephroid,
Ranunculoid,
Tusi Couple
Famous Curves Index
Epicycloid,
Cardioid,
Nephroid,
Hypocycloid
Gerd Breitenbach
Curves of planetary
motion in geocentric perspective: Epitrochoids
Richard Parris
Winplot
Saltire Software
Area
Enclosed by a General Hypocycloid
Wikipedia
Epicycloid, Cardioid,
Nephroid,
Epitrochoid,
Hypocycloid,
Spirograph
Xahlee
Epicycloid
and Hypocycloid, Epitrochoid,
Hypotrochoid
Marius Mikucionis
Epitrochoid
generator
David Little
SpiroGraph
Französisch
Robert FERRÉOL, (Mathcurve)
ÉPICYCLOÏDE,
CYCLOÏDE
SPHÉRIQUE, HYPOCYCLOÏDE
Referenzen top
(1) Wilhelm Leupold (u.a.): Analysis für Ingenieur- und
Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966
(2) Heinz Nickel (u.a.): Algebra und Geometrie für Ingenieur-
und Fachschulen, Frankfurt/M Zürich 1966
(3) W. Gellert (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Leipzig
1986
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2011 Jürgen Köller
top |
