Was ist die Herzkurve?

Die Herzkurve ist eine in sich geschlossene Kurve, die die Form des Herzens hat.  Die Herzfom ist als Spielkartenfarbe neben Pik, Kreuz und Karo wohlbekannt.

Wenn man von einem Herzen redet, meint man mehr die Herzfläche als die Herzkurve.

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Im einfachsten Falle besteht ein Herz aus einem auf der Spitze stehenden Quadrat und zwei auf die Seiten gesetzten Halbkreisen. Kennzeichen der Herzfigur sind offenbar eine Einkerbung oben und eine Spitze unten.

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Eine Herzfigur entsteht auch, wenn man auf ein Dreieck zwei Halbkreise setzt. Dann entstehen seitlich zwei unschöne Ecken. Man erwartet offenbar, dass die Seiten abgerundet sind.

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Fehlt die Spitze unten, so spricht man eher von einer herzförmigen Figur. Allerdings kommt diese Form dem menschlichen Herzen näher. Die Figur besteht aus drei Halbkreisen.

Gezeichnete Herzkurven top
Methode 1

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1 Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck. 2 Zeichne zu den Schenkeln die Senkrechten. Sie erzeugen ein zweites gleichschenkliges Dreieck. 3 Zeichne über die Schenkel des (jetzt gelben) Dreiecks Halbkreise.

Ist das Dreieck unten gleichschenklig-rechtwinklig, so besteht die Herzkurve wie oben aus einem Quadrat und zwei Halbkreisen.

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1 Zeichne zwei sich berührende Kreise. 2 Zeichne die gemeinsame Tangente. 3 Zeichne von einem Punkt der Tangente aus zwei weitere (äußere) Tangenten.

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1 Zeichne ein Quadrat. 2 Zeichne gleiche Kreise um die Eckpunkte des Quadrates mit dem Radius "halbe Quadratseite".

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1 Zeichne eine Ellipse. 2 Drehe sie. 3 Spiegele sie. 4 Bilde zwei Herzen.

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1 Zeichne den Graphen zu f(x)=sin(x), 0<x<pi/2. 2 Drehe die Kurve um 90°. Spiegele diese Kurve.  3 Bilde aus den beiden Kurvenstücken und einer Strecke ein Dreieck. 4 Setze auf das Dreieck zwei Halbkreise.

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1 Zeichne den Graphen zu f(x)=sin(x), -pi/2<x<pi/2. 2 Drehe die Kurve um 90°. Spiegele diese Kurve.  3 Bilde aus den beiden Kurvenstücken und einer Strecke ein Dreieck. 4 Setze auf das Dreieck zwei Halbkreise.

Bézierkurven   top
Es gibt die Möglichkeit beliebige Kurven in Grafikprogrammen zu zeichen, warum nicht auch Herzkurven? 

1 P0, P1,P2 und P3 stehen als  Kontrollpunkte zur Verfügung. Dabei sind P0 der Anfangs- und P3 der Endpunkt eines Bogens. P0P1 und P3P2 sind Tangenten an die Kurve. 2 Verschiebe P1 und P2, so dass sich ein halbes Herz bildet.  3 Ergänze die Kurve nach Drehung und Spiegelung zu einer Herzkurve.

Ich verwendete ein Java-Applet einer Seite von Jan Schormann (URL unten)

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Wähle in der Werkzeugleiste die Schaltfläche Bögen. 1 Zeichne den Anfangs- und Endpunkt eines Bogens. 2, 3 Fasse mit dem Mauszeiger die Strecke und gehe mit gedrückter Maustaste in Pfeilrichtung. Fixiere den Bogen mit Klick. 4 Spiegele die Kurve 3 und setze beide Bögen zu einer Herzkurve zusammen.

Berechnete Herzkurven   top
Formeln zu finden, die zu einer Herzkurve führen, ist eine Herausforderung. 
 

Man kann die Methode 4 von oben durch Formeln beschreiben. Die schwarze Ellipse hat die Formel 2x²-2xy+y²-1=0. Als Nebenbedingung muss x>=0 sein. Die rote Ellipse hat die Formel 2x²+2xy+y²-1=0. Als Nebenbedingung muss x<=0 sein.

Die Einschränkung des Definitionsbereichs kann man weglassen, wenn man y eliminiert und die Betragsfunktion einsetzt.
Dann stellen y=|x|+sqrt(1-x²) und y=|x|-sqrt(1-x²) ein Herz dar.[Siehe auch (7)]

Setzt man y=0 bzw. x=0, so erhält man die Gleichung des linken 2D-Herzens oben.

gefunden bei MathWorld (URL unten)

Winword-Herzen   top
Und wie stellen sich Graphiker eine Herzkurve vor?

Das Herz erscheint als bekannte Figur auch in Zeichensätzen von Programmen unter Windows. 
 

Hier eine Auswahl aus bekannten Zeichensätzen.

Die Zeichensätze sind Normaler Text, Arial, Courier New, Estrangelo Edessa, Lucida Console, Symbol, Times New Roman, Webdings.
Erst bei einer Vergrößerung der Schrift von 12 auf 72 sieht man die Formen deutlicher.

Die an sich schwarzen Figuren wurden hier mit der Herzfarbe Rot gefärbt.
Der obere Teil der Herzfigur wird von Kurven ähnlich den Halbkreisbögen gebildet. Die Linien unten laufen nicht linear auf die Spitze zu, sondern sind meist erst nach innen und dann nach außen gebogen. Das verleiht den Herzfiguren einen gewissen Schwung.

1 BLACK HEART SUIT 2665  2 WHITE HEART SUIT 2664 3 HEAVY BLACK HEART 2764

Schülerherzen   top
Und wie zeichnen heute Schülerinnen und Schüler spontan ein Herz?

23 Schülerinnen und Schüler der HS Lohfeld in Bad Salzuflen erhielten die Aufgabe, ein einfaches Herz zu zeichnen. 

Dank an die Klasse 7c, Jg.2003/2004, etwa 12 Jahre alt.

Kardioide    top
Entstehung

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Man gibt einen festen Kreis (links, gelb) vor und rollt einen gleich großen Kreis auf ihm ab. Markiert man auf der Kreislinie des beweglichen Kreises einen Punkt und verfolgt während eines Umlaufs den Weg dieses Punktes, so beschreibt er die Herzkurve oder Kardioide (rechts).

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Eine Kardiode entsteht auch als Einhüllende von Kreisen.  Gegeben ist ein (gelber) Kreis und ein Punkt P der Kreislinie. Alle Kreise, deren Mittelpunkte auf der Kreislinie des (gelben) Kreises liegen und die durch den festen Punkt P gehen, haben als Einhüllende eine Kardioide.

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Der "Hauptkörper" der Mandelbrotmenge hat die Form einer Kardioide. Der zweite Name  Apfelmännchen greift diese Form auf.  Der Hauptkörper hat nicht nur die Form, er ist eine Kardioide. Die Punkte der Mandelbrotmenge, denen eine konvergente Folge zuzuordenen ist, bilden das Innere einer Kardioide.  Quelle: (5), Seite 208ff. Dort finden sich auch ein Beweis und Literaturangaben.

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Fällt Licht auf einen sphärischen Spiegel (Trauring im Sonnenlicht), so bildet das reflektierte Licht eine Brennfläche, die Katakaustik. Das ist aber keine Kardioide, sondern eine sogenannte Nephroide. Eine Kardioide entsteht als Einhüllende, wenn Lichtstrahlen von einem Punkt eines Kreises ausgehen und dann innen an der Kreislinie reflektiert werden (rechts).

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Mikrofone besitzen eine bestimmte Richtcharakteristik. Bei Schalldruckempfänger ist sie kugelförmig, bei Druckgradientenempfängern (Schnelleempfängern) ist sie keulenförmig und ähnelt einer liegenden Acht. Bestimmte Mikrofone wie Kondensatormikrofone haben beide Eigenschaften. Ihre Richtcharakteristik entsteht durch Überlagerung und führt zu einer Kardioide.

Das gebrochene Herz  top
Das gebrochene Herz ist ein Tangramspiel. 

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Man legt in ein 3x3-Quadrat zwei Kreise und verbindet gewisse Punkte. Auf diese Weise entsteht ein Herz, das in neun Stücke aufgeteilt wird.  Aufgabe ist es, aus den Stücken wieder das Herz zu legen oder neue Figuren zu entdecken.

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Quelle: (1) Seite 22, (2) Seite 140-145

Das geflochtene Herz  top

1 Zeichne ein Quadrat mit aufgesetztem Halbkreis.
2 Schneide längs der roten Linie.  - Stelle ein zweite Figur, eine Kopie, her.
3 Färbe die Blätter in zwei verschiedenen Farben oder verwende gleich Buntpapier.
4 Stecke die beiden Figuren ineinander.
5,6 Das Herz wird ansehnlicher, wenn man mehr Streifen verwendet. 

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Wer möchte, kann auch die Seite Herzkörbchen besuchen, die mir Christopher Hamkins zur Verfügung gestellt hat.

Parkettierung mit Herzen top

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1 Gib eine Spirale vor. 2 Spiegele die Spirale an ihrem Endpunkt. 3 Setze die beiden Spiralen zu einer Doppelspirale zusammen. 4 Spiegele die Doppelspirale. Sie bildet mit dem Urbild ein Herz.  Viele Herzen führen zu einer Parkettierung (rechts).

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Die Idee zu diesem Entwurf stammt von einem Fenstergitter in Venedig (Juni 2004). 

Rosetten aus Herzfiguren top

Glückskleeblatt

Noch einmal ein Foto aus Venedig- mit etwas Rot nachgeholfen

Sechs Waffeln

Ein Schwanenpaar bei der Balz

Referenzen     top
(1) Pieter van Delft, Jack Botermans: Denkspiele der Welt, München 1998 ISBN 3-88034-87-0] 

(2) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (dumont taschenbuch1480)  [ISBN 3-7701-2097-3] 

(3) Heinz Nickel u.a: Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt / Zürich 1966

(4) Hans Schupp, Heinz Dabrock: Höhere Kurven,  BI Wissenschaftsverlag 1995 [ISBN 3-411-17221-5] 
x^2 + 2( 3/5 (x^2)^(1/3) - y )^2 = 1

(5) Herbert Zeitler: Über die Hauptkörper spezieller Funktionen, MNU, Jg.52, 1999, Heft4

(6) Bergmann-Schaefer: Lehrbuch der Expermentalphysik, Berlin, NewYork 1975 [ISBN 3 11 004861 2]

(7) Norbert Herrmann: Mathematik ist überall, Oldenbourg Verlag 2004 [ISBN 3-486-57583-X]
 y = |x| +- sqrt(1 - x^2)
y = 2/3 ( (x^2 + |x| - 6)/(x^2 + |x| + 2) +- sqrt(36 - x^2) ) (siehe auch Webseite von Thomas Jahre) 

(8) Eugen Beutel: Algebraische Kurven, G.J. Göschen, Leipzig 1909-11
(x^2 + y^2 - 1)^3 = 4x^2*y^3

(9) Ulrich Graf: Kabarett der Mathematik,  Dresden, L. Ehlermann, 1942 Hardcover, 1.Auflage. (1943 Hardcover. 2. Auflage.)
  y = 2/3 ( (x^2 + |x| - 6)/(x^2 + |x| + 2) +- sqrt(36 - x^2) ).

(10) Michael Zettler: Und noch ein Herz. PM 6/99 Seite 274
y = sqrt(1 - (|x|-1)^2),  y = arccos(1 - |x|) - pi

(11) Thomas Hechinger:   ... und noch ein weiteres Herz. PM 2/00 Seite 67
y = sqrt(1 - (|x|-1)^2),  y = -3 sqrt(1 - sqrt(|x|/2))

(12) Mitteilung von  Torsten Sillke: 
x^2 + 2 (y - p*|x|^q)^2 = 1 (siehe Schupp / Eisemann)
r = 2 sin^2(phi/4) = 1 - cos(phi/2) mit |phi| <= pi  (siehe Eisemann)
r = |phi|/pi                                     mit |phi| <= pi. (Archimedische Spirale)
r = (1 - |phi|)(1 + 3|phi|)                mit |phi| <= 1. (siehe Caspar)

(13) El-Milick, Elements d'Algebre Ornementale, Paris, 1936:

y=(x)^(2/3)+(a²-x²)^(1/2) und y=x^(2/3)-(a²-x²)^(1/2) und a=2

Die Herzkurve im Internet top

Deutsch

Armin Dietz
Das Herzsymbol

Christian Ucke und Christian Engelhardt
Kaustik in der Kaffeetasse
[auch erschienen in: Physik in unserer Zeit, 29 (1998), Seite 120 bis 122]

Die Lutherrose

Ernst-Moritz-Arndt-Universität Greifswald Herzkartenentwurf von Stabius-Werner (Mathematik und Kunst)

Dies ist die Formel des Randes des "Herzkartenentwurf von Stabius-Werner" X =        t sin( 3.14 sin(t)/t ) Y = - abs(t) cos( 3.14 sin(t)/t ) D={t | -pi <= t <= pi} (Mitteilung von Torsten Sillke)

Fotocommunity
Frühlingsgefühle  (Thomas Th.)    Zeichen der Liebe (Heidi Zimmerli)

Hans-Jürgen (Matroids Matheplanet)
Herzkurven

Hans-Jürgen Caspar
Kurven
x = a (-phi² + 40 phi +1200) sin(pi*phi/180)
y = a (-phi² + 40 phi +1200) cos(pi*phi/180)

Jan Schormann
u.a. Bézierkurven

Friedrich Krause
y = sqrt(|x|) +- sqrt(1 - x^2)

Klaus Rohwer Fraktale

Michael Holzapfel
Herzkurve aus zwei Funktionsteilen
y = sqrt(1 - (|x|-1)^2),  y = arccos(1 - |x|) - pi 
(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 - 2ax) - a^2y^2  =  0 (Kardioide)

NN (Matheplanet)
Geometrie in der Teetasse

Stabius-Werner
Herzkartenentwurf
 

Thomas Jahre (Chemnitzer Schulmodell) Ein Herz für die Mathematik

Torsten Sillke
Herzkurven

Wikipedia
Kardioide, Herz (Symbol)

Englisch

Alex Bogomolny (Cut The Knot!)
Hearty Munching on Cardioids

Eric W. Weisstein (MathWorld)

Cardioid Heart Curve (x²+y²-1)³-x²y³ (siehe Beutel) x=sin(t)cos(t)ln|t| ; y=|t|0.3[cos(t)]0.5 mit 0<=t<=1

Bonne Projection Heart Surface [x²+(9/4)y²+z²]³-x²z³-(8/90)y²z³=0 (2x²+2y²+z²-1)³-(1/10)x²z³-y²z³=0

Circle Catacaustic

Ivars Peterson (MathTrek)
Algebraic Hearts

Jan Wassenaar
cardioid

JOC/EFR (School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland)
Cardioid

Kurt Eisemann:
x^2 + (y - 3/4 (x^2)^(1/3))^2 = 1 (Footnote)
r = sin^2( pi/8 - phi/4 ) (Footnote)

Richard Parris (peanut Software) 
Program WINPLOT

Wikipedia 
Cardioid, Heart (symbol)

Xah Lee
Cardioid (History, Description, Formulas, Properties, Related Web Sites)

Robert FERRÉOL (mathcurve)
CARDIOIDE, DOUBLE-COEUR

Coeur de Raphaël Laporte

x=sin3 t y=cos t -sin4 t

Nobuo YAMAMOTO 
Heart Curves,  Heart Curves II