Spiralen
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Was ist eine Spirale?
Spiralen durch Polargleichungen
...Archimedische Spirale
...Logarithmische Spirale
...Weitere Spiralen
Clothoide
Spiralen aus Kreisbögen
Spiralen aus Strecken.
Dreidimensionale Spiralen
Apfelmännchen-Spiralen
Basteln von Spiralen
Spiralen aus Metall
Spiralen, Spiralen, Spiralen
Spiralen im Internet
Referenzen
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Was ist eine Spirale?

Eine Spirale ist eine ebene oder räumliche Kurve, die in bestimmter Weise um eine Mitte läuft. 

Es folgen unterschiedliche Spiralen, die meisten werden durch Formeln erzeugt.


Spiralen durch Polargleichungen top

Archimedische Spirale  top
Die Spirale kann man durch eine Überlagerung zweier Bewegungen eines Punktes erzeugen, nämlich durch eine gleichförmige Bewegung längs eines Strahls vom Anfangspunkt aus und durch eine gleichförmige Kreisbewegung des Strahls um den Anfangspunkt herum.
...........................
(1) Die gleichförmige Bewegung  links bewegt einen Punkt nach rechts. - Das Bild enthält neun Momentaufnahmen.
(2) Die gleichzeitig stattfindende gleichförmige Kreisbewegung in der Mitte bringt die Punkte auf eine Spiralbahn.- Nach jeder Achteldrehung wird ein Punkt gesetzt. 
(3) Die Spirale entsteht als Kurve, wenn der Ort zu jedem Zeitpunkt festgehalten wird.


Man gelangt in Analogie zum Kreis zu Formeln.
Kreis
...... Es sei P ein beliebiger Punkt eines Kreises mit dem Radius R, der in der Mittelpunktslage gegeben ist. 

Es gibt u.a. drei Darstellungen des Kreises.
(1) Koordinatengleichung: x²+y² = R² oder [y = sqr(R²-x²) und y = -sqr(R²-x²)],
(2) Parametergleichungen: x(t) = R cos(t), y(t) = R sin(t),
(3) Polargleichung: r(t) = R.

In der (einfachen) Polargleichung (3) wird ein Punkt durch das Paar (Radius OP, Winkel t) angegeben. Der Radius ist die Entfernung des Punktes vom Nullpunkt (0|0). Der Winkel liegt zwischen dem Radius und der positiven x-Achse, sein Scheitel im Nullpunkt.

Spirale
Bei der einfachsten Spirale, der Archimedischen Spirale, sind Radius r(t) und Winkel t proportional. So bietet sich die folgende Polargleichung an:
(3) Polargleichung: r(t) = at [a ist eine Konstante].
Daraus folgt
(2) Parametergleichungen x(t) = at cos(t), y(t) = at sin(t), 
(1) Koordinatengleichung: x²+y² = a²[arc tan (y/x)]².

......
Die Archimedische Spirale links beginnt im Nullpunkt und beschreibt um ihn eine immer weiter werdende Kurve mit drei Umläufen. 

Der Abstand der Spiral-Äste bleibt gleich. 
Genauer: Die Entfernungen benachbarter Kurvenpunkte auf einer Nullpunktsgeraden sind konstant.


...... Spiegelt man eine Archimedische Spirale, so erhält man eine neue Spirale mit dem entgegegesetzten Richtungssinn. 
Beide Spiralen laufen von innen nach außen. Schaut man auf die Spiralen, so beschreibt die linke eine Linkskurve, die rechte eine Rechtskurve. 
Verbindet man die beiden Spiralen durch eine gerade oder gekrümmte Linie (rot), so entsteht die Doppelspirale.

Logarithmische Spirale (Spirale des Bernoulli, englisch: Equiangular Spiral)    top
......
(1) Die Polargleichung lautet r(t) = exp(t). 
(2) Die Parametergleichung ist x(t) = exp(t) cos(t), y(t) = exp(t) sin(t). 
(3) Die Koordinatengleichung ist y = x tan[ln(sqr(x²+y²))]. 

Auch die logarithmische Spirale läuft von innen nach außen.
Die Spirale hat eine charakteristische Eigenschaft: Jede Nullpunktsgerade (rot) schneidet die Spirale unter demselben Winkel.


Weitere Spiralen   top
Ersetzt man in der Polargleichung zur Archimedischen Spirale den Term r(t)=at durch andere Funktionsterme, so erhält man eine Folge neuer Spiralen. Es folgen sechs Spiralen, die mit den Grundfunktionen mit f(x)=x^a [a=2,1/2,-1/2,-1] und  f(x)=exp(x), f(x)=ln(x) gebildet worden sind. Dabei unterscheidet man zwei Gruppen, wenn man den Parameter t von 0 aus wachsen lässt.
............ Ist der Betrag einer Funktion r(t) monoton steigend, so verlaufen die Spiralen von innen nach außen. Im allgemeinen beginnen sie im Nullpunkt und gehen über alle Grenzen.

Die Spirale 1 heißt parabolische Spirale oder Spirale von Fermat.


....... Ist der Betrag einer Funktion r(t) monoton fallend, so verlaufen die Spiralen von außen nach innen. Im allgemeinen laufen sie auf ein Zentrum zu, das sie nie erreichen. Dann liegt ein Pol vor. 

Die Spirale 2 heißt hyperbolische Spirale oder Lituus (Krummstab).

Für die verschiedenen Spiralformeln wird jeweils ein Vertreter mit einer für den Plotter geeigneten Gleichung ausgewählt. 

Clothoide (Cornu-Spirale)  top
....... Die Clothoide ist eine Doppelspirale, deren Krümmung mit der Entfernung vom Nullpunkt immer größer wird. Der Krümmungsradius ist umgekehrt proportional zu ihrer Bogenlänge, gemessen vom Nullpunkt aus.

Zwei Gleichungen mit den Fresnelschen Integralen, die nur näherungsweise lösbar sind, bilden die Parameterdarstellung. 

Eine wichtige Anwendung der Cornu-Spirale ist die Fresnelsche Beugung am Spalt oder an einer Kante. Mit Hilfe der Cornu-Spirale kann man Aussagen zur Lichtverteilung machen.
 


Georg Schön teilte mir mit, dass er viel wichtiger findet, dass die meisten Kurven von Straßen Klothoiden sind. Die Klothoide ist nämlich die Kurve, die ein Auto zurücklegt, wenn man bei konstanter Geschwindigkeit das Lenkrad mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht. 

Spiralen aus Kreisbögen top
Halbkreisspirale
...... Man kann stufenweise größer werdende Halbkreise zu einer Spirale zusammensetzen. 

Die Radien haben das Verhältnis 1 : 1.5 : 2 : 2.5 : 3.....


Fibonacci-Spirale
...... Man zeichnet zuerst zwei kleine Quadrate übereinander. Dann fügt man in Folge immer größer werdende Quadrate entgegengesetzt dem Uhrzeigersinn hinzu. 

In die Quadrate werden (schwarze) Viertelkreise eingezeichnet. 

Sie bilden die Fibonacci-Spirale.

Der Name der Spirale rührt von den Fibonaccizahlen her. Schreibt man die Seitenlängen der Quadrate der Reihe nach auf, so erhält man die Folge 1,1,2,3,5,8,13,21, ... Das sind die Fibonacci-Zahlen, die sich nach der Rekursionsformel a(n)=a(n-1)+a(n-2) errechnen [a(1)=1, a(2)=1, n>2]. 

Spiralen aus Strecken  top
...... Die Spirale besteht aus Strecken der Längen 1,1,2,2,3,3,4,4,.... 

Aufeinanderstoßende Strecken stehen paarweise aufeinander senkrecht.


...... Die Spirale wird in eine Geradenkreuzung eingezeichnet, die aus vier Geraden besteht, die jeweils einen Winkel von 45° bilden. Man beginnt mit der horizontal liegenden Strecke 1 und knickt die nächste Strecke so ab, dass sie auf der nächsten  Halbgeraden senkrecht steht. Die Strecken bilden eine geometrische Folge mit dem konstanten Quotienten sqr(2).

Zeichnet man eine Spirale in ein Geradenbüschel aus beliebig vielen Geraden, die gleiche Winkel einschließen, so nähert sich die Streckenspirale einer logarithmischen Spirale, wenn man die Winkel immer kleiner werden lässt. 


...... Die nächste Spirale entsteht aus einer Kette von rechtwinkligen Dreiecken, die jeweils eine Seite gemeinsam haben. Aus der Hypotenuse eines Dreiecks wird eine Kathete des nächsten Dreiecks. Erstes Glied ist das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck 1-1-sqr(2). 
Die freien Katheten der Länge 1 bilden die Spirale.
Das Besondere ist, dass sich die Dreiecke in Seiten berühren, deren Länge die Wurzeln aus den natürlichen Zahlen sind. Das beweist man mit dem Satz des Pythagoras.

Diese Figur heißt Wurzelspirale oder Wurzelschnecke.


...... Ein Quadrat wird um seinen Mittelpunkt um jeweils 10° gedreht und gleichzeitig so gestaucht, dass die Eckpunkte auf den Seiten des vorhergehenden Quadrats liegen.
Ergebnis: Alle Eckpunkte beschreiben vier Spiralarme. Je kleiner der Drehwinkel ist, desto mehr nähern sich die Spiralen einer logarithmischen Spirale.
Man kann auch andere regelmäßige Vielecke, z.B. ein gleichseitiges Dreieck, drehen und erhält ähnliche Figuren.
Diese Grafiken erinnern an die Programmiersprache LOGO aus den Kindertagen der Computerei (C64-Nostalgie). 

Dreidimensionale Spiralen top
Helix
...... Zeichnet man in der x-y-Ebene eine Kreislinie mit x=cos(t) und y=sin(t) und zieht sie gleichmäßig in z-Richtung auseinander, so ensteht eine räumliche Spirale. 

Sie heißt zylindrische Spirale oder Helix.


Das Bildpaar ermöglicht eine dreidimensionale Sicht.

...... Die Raumspirale wird an einer Vertikalebene gespiegelt. Es entsteht eine neue Spirale (rot) mit dem entgegengesetzten Richtungssinn. 

Umfasst man die rechte Spirale mit der rechten Hand und zeigt der Daumen in z-Richtung, so geht es entgegen dem Uhrzeigersinn aufwärts. Die Spirale hat eine Rechtsdrehung. 

Für die linke Spirale muss man die linke Hand nehmen. Die linke Spirale hat eine Linksdrehung.

Beispiel: Fast alle Schrauben haben eine Rechtsdrehung. Sie sind rechtsgängig, passend für Rechtshänder. 

...... In der "technischen" Literatur wird die Rechtsdrehung so erklärt: Man wickelt ein rechtwinkliges Dreieck um einen Zylinder. Es entsteht eine rechtsdrehende Spirale, wenn das Dreieck nach rechts steigt.

Konische Spiralen
Kegelförmige Raumspiralen erhält man aus der Archimedischen oder aus der logarithmischen Spirale. Sie heißen auch konische Spiralen. 

Die Bildpaare ermöglichen eine dreidimensionale Sicht.

Loxodrome, Sphärische Spirale 
...... Die Loxodrome ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, die die Meridiane unter gleichen Winkeln schneidet. Sie erscheinen auf der Mercatorkarte als gerade Linien. 
Die allgemeine Gleichung lautet:
x=cos(t) cos [1/tan (at)]
y=sin(t) cos[1/tan (at)]
z= -sin [1/tan (at)]      (a ist eine Konstante)
Man kann nachrechnen, dass x²+y²+z²=1 gilt. Diese Gleichung besagt, dass die Loxodrome auf der Kugeloberfläche liegt.
Allgemeiner gibt es zu jedem Rotationskörper eine Loxodrome.

Apfelmännchen-Spiralen top

Die Koordinaten gehören zur Mitte der Bilder.

Schöne Spiralen findet man auch als Juliamengen. Hier ein Beispiel:
Mehr über diese Graphiken findet man auf meiner Seite Apfelmännchen.

Basteln von Spiralen  top
...... Zieht man zwischen dem Daumen und der Schneide eines Messers unter Druck einen Papierstreifen, so krümmt sich dieser zu einer Spirale. Er wird zu einer Locke, wenn man die Schwerkraft wirken lässt. 
Dieser Effekt wird auf Kunststoffbänder angewandt, um die Enden eines Geschenkbandes ansehnlicher zu machen. 
Ich nehme an, dass dieser Effekt wie beim Bimetallstreifen zu erklären ist. 
Beim Bimetallstreifen werden zwei Streifen aus verschiedenen Metallen aufeinandergeklebt. Erhitzt man den Bimetallstreifen, so dehnt sich ein Metallstreifen stärker aus, der Bimetallstreifen krümmt sich. 

Beim Papierstreifen mag weniger der Temperaturunterschied zwischen Ober- und Unterseite die Ursache sein. Mit dem Messer wird auf einer Seite die Oberflächenstruktur verändert. Diese Seite wird "kürzer". 
Übrigens krümmt sich ein Papierstreifen auch leicht, wenn man ihn hoch über eine Kerze hält. 
 
...... Die Bildung von Locken erinnert an ein Kinderspiel: Der untere Teil des Stängels einer Butterblume (Löwenzahn) wird von unten in Streifen längs des Stängels geschnitten, der oberer Teil und die Blüte bleiben unangetastet. Taucht man die Blume ins Wasser und lässt die Blüte auf der Wasseroberfläche schwimmen, so bilden die Stängelstreifen nach einiger Zeit  Locken. (Vorsicht, Flecken.)

Zur Erklärung: Es dürfte die unterschiedliche Wasseraufnahme der beiden Oberflächen eines Streifens eine Rolle spielen. 


Spiralen aus Metall  top
Spiralfiguren findet man als Verzierungen bei eisernen Fenstergittern, Zäunen, Toren oder Türen. Man sieht sie überall, wenn man darauf achtet.
...... Ich fand schöne Spiralen in New Ulm, Minnesota, USA. 

Deutschamerikaner errichteten gegen 1900 als Symbol der Freiheit eine Kopie des Hermannsdenkmals bei Detmold. Eiserne Gitter mit vielen Spiralen schmücken den Aufgang (Foto). 

Mehr über den amerikanischen und deutschen Hermann findet man auf Wikipedia-Seiten (URL unten).
 


Auch Modeschmuck nimmt die Spirale als Motiv.
...... Annettes Schmuckspirale

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Ammoniten, Anordnung der Sonnenblumenkerne, @, Bimetall-Thermometer, Bischofsstab, Bretagne-Zeichen, Darm einer Kaulquappe, Diskus von Festós, Doppelhelix der DNA, Doppelspirale, Doppelwendel der Glühbirne, Elektronenstrahl im magnetischen Längsfeld, Exner-Spirale, Fadenpendels mit Reibung, Fingerabdruck, Gehörn von Wildschafen, Gewinde, Schneckenminarett in Samarra (Irak), Heizdraht in einer Kochplatte, Hoch- oder Tiefdruckgebiete, Hühnerring, Korkenzieher, Kräuterspirale, Kreise eines Seeadlers, Lakritzenschnecke, Lebensspirale, Locke, Lohn-Preis-Spirale, Lorenz-Attraktor, Kopf des Musikinstruments Violine, Musikinstrument Horn, Pendelkörper des sich überschlagenden Galilei-Pendels, Ranke, Rauchwirbel, rechtsdrehende Milchsäure, Reliefband der Trajanssäule in Rom oder der Bernwardsäule in Hildesheim, Rille einer Schallplatte, Rolle (Draht, Faden, Kabel, Schlauch, Maßband, Papier, Verband), Mohnschnecke, Saugrüssel (Unterkiefer) des Kohlweißlings, Schlange in Ruhestellung, Schlange des Äskulapstabes, Schlingpflanzen, Schnecke des Innenohrs, Schneckenhaus, Schnörkel, Schwanz des Seepferdchens, Schraube, Schraubenalge, Schraubenfeder, Segelflugzeug aufsteigend, Spinnennetz, Spiralheftung, Spiralnebel, Spirallala, Spirelli-Nudeln, Spirillen (z.B. Cholerabazillus), Sprungfedern einer Matratze, Spule, Spuren auf einer CD oder DVD,  Stoßzähne des Mammuts, Straße eines Kegelberges, Tannenzapfen, Teilchenbahn im Zyklotron, Uhrfeder und Unruh mechanischer Uhren, Violinschlüssel, Volute, Wärmespirale, Wasserspirale des Archimedes, Wasserstrudel, Wendeltreppe (z.B. zwei Wendeltreppen in der Glaskuppel des Reichstagsgebäudes in Berlin), Wirbelsturm, Wissensspirale, Viren, Zapfen von Nadelgewächsen, Zunge und Wickelschwanz des Chamäleons, Zyklone.


Spiralen im Internet  top

Deutsch

Asti
BEWEGUNGSFUNKTIONEN Spiralen

D.H.O. Braasch
Spiralen als Symbol der Sonnenbahn

Jürgen Berkemeier
Spiralen

Matheprisma
Bewegungsfunktionen (Spiralen 1 ) - (Spiralen online zeichnen)

Michael Komma
Fresnel-Beugung am Einzelspalt (Cornu-Spirale)

Susanne Helbig, Kareen Henkel und Jan Kriener
Spiralen in Naturwissenschaft, Technik und Kunst

Stephan Jaeckel und Sergej Amboni
Spiralen in Natur, Technik und Kunst 
(Referenz: Heitzer J, Spiralen, ein Kapitel phänomenaler Mathematik, Leipzig 1998)

Wikipedia
SpiraleKlothoide, Logarithmische SpiraleFibonacci FolgeLoxodrome, Ulam-Spirale
Hermannsdenkmal, Hermann Heights Monument



Englisch

Ayhan Kursat ERBAS
Equiangular Spiral

Bob Allanson
This is a logarithmic spiral

David Eppstein  (Geometry Junkyard)
Spirals,  (Links)

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Spirals
Archimedean SpiralCircle InvoluteConical SpiralCornu SpiralCurlicue FractalFermat's SpiralHelix, Hyperbolic SpiralLogarithmic SpiralMice ProblemNielsen's SpiralPolygonal SpiralPrime SpiralRational SpiralSeashell, Spherical Spiral

Hop David (Hop's Gallery)
Riemann sphere, Ram's Horn, Spiral Tile

Ivars Peterson
Pursuing Pursuit Curves

Jan Wassenaar
spiral

John Macnab
Sculptures

Keith Devlin 
The Double Helix

Mark Newbold 
Counter-Rotating Spirals Illusion

Richard Parris   (peanut Software)
Program WINPLOT

Xah Lee
Equiangular Spiral, Archimedean Spiral, Lituus, Cornu Spiral

Wikipedia
SpiralArchimedean spiralCornu spiralFermat's spiralHyperbolic spiralLituus, Logarithmic spiral
Fibonacci spiral, Golden spiral, Rhumb line, Ulam spiral
Hermann Heights Monument, Hermannsdenkmal


Französisch

Robert FERRÉOL (COURBES 2D )
SPIRALE
COURBES 3D (SPHÉRO-CYLINDRIQUE, SPIRALE CONIQUE DE PAPPUS, SPIRALE CONIQUE DE PIRONDINI, SPIRALE SPHÉRIQUE)



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Referenzen    top
(1) Martin Gardener: Unsere gespiegelte Welt, Ullstein, Berlin, 1982 [ISBN 3-550-07709-2]
(2) Rainer und Patrick Gaitzsch: Computer-Lösungen für Schule und Studium, Band 2, Landsberg am Lech, 1985
(3) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York / London (1997) [ISBN 0-393-04002-X]
(4) Khristo N. Boyadzhiev: Spirals and Conchospirals in the Flight of Insects, The College Mathematics Journal, Vol.30, No.1 (Jan.,1999) pp.23-31
(5) Jill Purce: the mystic spiral - Journey of the Soul, Thames and Hudson, 1972, reprinted 1992


Ich bedanke mich bei Torsten Sillke für etliche Tipps.


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©  2002 Jürgen Köller

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