|
Was ist ein Doppelquadrat?
... ...
|
Wie der Name sagt, ist das Doppelquadrat ein Rechteck, das von zwei
Quadraten gebildet wird. |
... ... |
Man könnte das Doppelquadrat auch Halbquadrat nennen, denn es
entsteht auch durch Halbieren eines Quadrates. |
... ...
|
Das Halbquadrat heißt auch Domino, denn es ist die Form der Spielsteine
des Dominospiels. |
... ...
|
Man kann auch die nebenstehende Figur als Doppelquadrat bezeichnen.
Sie ist hier nicht gemeint. |
Größen top
|
Ist a die kürzere Seite des Doppelquadrates, so ist 2a die andere
Seite.
Die Diagonale ist nach dem Satz des Pythagoras (2a)²+a²=d²
oder d=sqrt(5)*a.
Der Flächeninhalt ist A=2a² und der Umfang U=6a. |
|
Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Es
sind zwei 1-90°-2-Dreiecke.
Diese haben die Hypotenusenabschnitte q=(1/5)*sqrt(5)*a und p= (4/5)*sqrt(5)*a.
Die Höhe ist h=(2/5)*sqrt(5)*a. (Es gilt also p=2h=4q.) |
... ...
|
Der Umkreis hat den Radius (2/5)*sqrt(5)*a.
Es gibt keinen Inkreis. Die Innen-Ellipse mit den Halbachsen a/2 und
a ist ein Ersatz.. |
Doppelquadrat und
Goldener Schnitt top
... ... |
Eine Strecke s=AB wird im goldenen Schnitt geteilt, wenn die Proportion
s:x=x:(s-x) gilt.
Daraus folgt x=[sqrt(5)-1]/2*s=[sqrt(5)-1]*a (s=2a). Mehr findet man
auf meiner Seite
Sterne. |
Will man den Teilpunkt T durch Konstruktion finden, benutzt man ein Doppelquadrat
a x 2a und nutzt aus, dass sqrt(5)*a die Länge der Diagonalen
ist.
(1) Gegeben sei die Strecke AB, die geteilt werden soll.
(2) Errichte über AB das Doppelquadrat ABCD.
(3) Zeichne die Diagonale AC.
(4) Zeichne einen Kreis um Punkt C mit dem Radius BC. Nenne den Schnittpunkt
mit der Diagonalen Punkt S.
(5) Zeichne einen Kreis um Punkt A mit dem Radius AS. Nenne den Schnittpunkt
mit der Strecke AB Punkt T.
Ergebnis: T teilt AB (innen) im goldenen Schnitt.
Beweis: AT:AB=AS:AB=(AC-CS):AB=[(sqrt(5)*a-a]:2a=[sqrt(5)-1]/2 {=TB:AT}
wzbw.
Anzeige eines Taschenrechners
top
... ...
|
Die zehn Ziffern können einigermaßen lesbar in einem Doppelquadrat
dargestellt werden.
Diese Anzeige kennt man vom Taschenrechner. |
.. ....
|
Figuren im Doppelquadrat top
In einem Doppelquadrat liegen ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck,
eine Raute, ein Halbkreis, zwei Quadrate und ein Quadrat und zwei Halbquadrate.
Wie bestimmt man x aus a?
Lösungen:
(1) x=sqrt(2)*a,
(2) x=sqrt[(a/2)²+a²]=sqrt(5)/2*a
(3) x=a
(4) x=sqrt[(a/2)²+(a/2)²]=sqrt(2)/2*a
(5) wie (4)
Doppelquadrat in Figuren top
Doppelquadrate liegen in einem Quadrat, in gleichschenklig-rechtwinkligen
Dreiecken, in gleichseitigen Dreiecken und in Halbkreisen. Wie errechnet
man x aus a?
Lösungen
(1) Es gilt x/sqrt(2)+2x/sqrt(2)=a. Daraus folgt x=sqrt(2)/3*a.
(2) Es gilt 2x/sqrt(2)+x/sqrt(2)=a. Daraus folgt x=sqrt(2)/4*a.
(3) Es gilt x/sqrt(2)+2xsqrt(2)=a. Daraus folgt x=sqrt(2)/3*a.
(4) Nach dem 2.Strahlensatz ist h:(h-x)=a/2:x. Daraus folgt x=[3-sqrt(3)]/4*a.
(5) Nach dem 2.Strahlensatz ist h:(h-2x)=a/2:x. Daraus folgt x=[4sqrt(3)-3]/13*a.
(6) Nach dem Satz des Pythagoras ist x=sqrt(2)/2*r.
(7) Nach dem Satz des Pythagoras ist r²=(2x)²+(x/2)².
Daraus folgt x=2*sqrt(17)/17*r.
Polydominos top
Figuren aus Doppelquadraten oder Dominos heißen Polydominos.
Sie bilden eine Teilmenge der Polyominos.
Sie heißen geordnet nach der Anzahl der Dominos Bidominos, Tridominos,
Tetradominos, ...
4 Bidominos
|
Es gibt vier Tetrominos aus zwei Doppelquadraten
oder zwei Dominos. |
23 Tridominos
... ... |
Tridominos findet man nur unter den geraden
Hexominos.
Sie sind links zusammengestellt.
Erstaunlicherweise gibt es einen Stein, der gerade, doch trotzdem kein
Tridomino ist. |
|
Diese drei Tridominos können noch in anderer Weise zusammengebaut
werden. |
Tetradominos
Es gibt immerhin 369 Figuren aus acht Quadraten, darunter 211 Tetradominos.
Hier sind 35 symmetrischen Tetradominos.
... ...
|
Die Farben kennzeichnen die Symmetrie.
grün: achsen- und punktsymmetrisch
rot: nur achsensymmetrisch
blau: nur punktsymmetrisch
|
Parkettierungen top
Wird die Ebene lückenlos mit gleichen Figuren
oder Figurengruppen ausgelegt, so spricht man von einer Parkettierung der
Ebene.
Gerade Doppelquadrate erscheinen nach außen
hin bei Mauern, Pflasterungen oder beim Parkett. Wenn man genauer hinsieht,
findet oft nicht das Doppelquadrat, sondern es sind mehr oder weniger starke
Abweichungen von dieser Form.
Es gibt unterschiedliche Anordnungen der Doppelquadrate.
(1) Man wird bei Mauern z.B. nie eine Struktur wie 1 finden.
Da stoßen vier Steine an einer
Ecke aneinander und bleiben unverbunden. So wird keine Stabilität
erreicht.
(2) Dieser Verband ist üblich bei Ziegelmauerwerken. - Der normale
Ziegel hat die Maße 24cm x 11,5cm x 7,1cm.
(3) Früher wurde bei Parkettfußböden oft das Fischgrätmuster
verwandt.
Mit offenen Augen
Pflasterung hinter der Volksbank Bad Salzuflen im Ortsteil Schötmar.
|
Außenwand und Boden-Pflasterung
der Kaufhof-Ruine :-( in Herford,
geschrieben 2003
|
Doppelquadrat im Internet
top
Deutsch
Wikipedia
Domino (Spiel),
Bilderdomino, Backstein
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Domino, Dom,
DominoTiling,
GomorysTheorem,
Triomino
Andrew Clarke
Other
Polyforms
Wikipedia
Domino
Französisch
Jean-Louis Sigrist
Les 26 tridominos
Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2003 Jürgen Köller
top |