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Was ist ein Drachenviereck?
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Definition:
Ein Viereck heißt Drachenviereck oder Deltoid, wenn es symmetrisch
zu einer Diagonalen ist. |
Der folgende Satz ist auf die andere Diagonale
bezogen.
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Zwei gleichschenklige Dreiecke mit gleicher Grundseite bilden ein Drachenviereck,
wenn man sie Grundseite an Grundseite zusammenfügt. |
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Sind beide gleichschenkligen Dreiecke gleich gerichtet, so entsteht
ein konkaves Drachenviereck.
Symmetrieachse eines Drachenvierecks ist immer die Gerade, die die Diagonale
enthält. |
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Sind beide Diagonalen Symmetrieachsen, so entsteht ein besonderes Drachenviereck,
die Raute.
Auch das Quadrat ist eine Raute und damit ein Drachenviereck. |
Eigenschaften top
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>Je zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich.
>Ein Paar gegenüberliegender Winkel ist gleich.
>Das andere Winkelpaar wird durch eine Diagonale halbiert.
>Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander.
>Eine Diagonale wird durch die andere halbiert. |
Diese Aussagen können nach den Gesetzen der Achsenspiegelung oder
mit Hilfe der Kongruenzsätze bewiesen werden.
Größen top
Das Drachenviereck hat die Seiten a und b, die Innenwinkel
alpha,
beta
und
gamma,
die Diagonalen e und f, den Umfang
U und den Flächeninhalt
A.
Die Diagonale e hat die Abschnitte
p und q.
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Angenommen, die Längen a, b und e seien gegeben. Dann lassen sich
die übrigen Größen daraus errechnen.
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Zur Herleitung der Formeln
Diagonalenabschnitt p
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt b²=q²+(f/2)² und a²=p²+(f/2)².
Dann ist b²-q²=a²-p².
Mit q=e-p ergibt sich p=(a²-b²+e²)/(2e).
q=e-p=(-a²+b²+e²)/(2e) |
Diagonale f
(f/2)²=a²-p²=(2a²b²+2a²e²+2b²e²-a4
-b4-e4)/(4e²).
Daraus folgt f=(1/e)sqrt(2a²b²+2a²e²+2b²e²-a4
-b4-e4).
Innenwinkel beta
Nach dem Kosinussatz ist e²=a²+b²-2ab cos(beta). Daraus
folgt beta=arc cos [a²+b²-e²)/(2ab)].
Innenwinkel alpha
und gamma
Es gilt cos(alpha/2)=p/a=[(-a²+b²+e²)/(2ae)]. Daraus
folgt alpha=2 arc cos[(-a²+b²+e²)/(2ae)].
Es gilt cos(gamma/2)=q/b=[(a²-b²+e²)/(2be)]. Daraus
folgt gamma=2 arc cos[(a²-b²+e²)/(2be)].
Flächeninhalt
A
A=e(f/2)=sqrt(2a²b²+2a²e²+2b²e²-a4
-b4-e4)/2
Umfang U
U=2a+2b
Inkreis
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Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf der Symmetrieachse und auf
der Winkelhalbierenden des Winkels beta.
Fällt man vom Mittelpunkt aus das Lot auf eine Seite, erhält
man den Radius.
Formel? |
Umkreis
Nur für einen Sonderfall des Drachenvierecks gibt es einen Umkreis.
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Der Mittelpunkt eines Umkreises muss auf der Symmetrieachse und auf
den Mittelsenkrechten der Seiten a und b liegen.
Diese drei Bedingungen sind nur erfüllt, wenn das halbe Drachenviereck
ein rechtwinkliges Dreieck ist. |
Diagonalen top
1 Im Allgemeinen legt man ein Viereck so, dass der Eckpunkt A unten
links und die Seite a horizontal liegt.
2 Statt dessen wird das Drachenviereck so gedreht, dass eine
Diagonale vertikal steht. Dann liegt die andere Diagonale horizontal.
3 Sind die Diagonalen des Drachenvierecks bekannt, so lässt
sich der Flächeninhalt besonders einfach bestimmen.
Es gilt A=ef/2.
4 Die Diagonalen bilden ein lateinisches Kreuz. Das Drachenviereck
entsteht, wenn man die Endpunkte verbindet.
5 Zur Definition des Drachenvierecks ist das Kreuz nicht brauchbar,
denn beim konkaven Drachenviereck entsteht kein Kreuz.
Schwerpunkt top
Man sieht ein, dass der Schnittpunkt der Diagonalen nicht als "Mittelpunkt"
eines Drachenvierecks angesehen werden kann.
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Man erwartet, dass er auf der Symmetrieachse liegt, dass er aber zum
größeren gleichschenkligen Dreieck hin verschoben ist, etwa
so, wie links dargestellt.
Dieser Punkt heißt Schwerpunkt. Unter einem Schwerpunkt versteht
man allgemein den Punkt eines Körpers, in dem man sich die Masse vereinigt
vorstellen und in dem die Schwerkraft angreifen kann. |
Man muss sich also vorstellen, dass das Drachenviereck eine Masse hat und
zum Beispiel als Pappscheibe vorliegt.
Legt man die Scheibe mit dem Schwerpunkt auf eine Nadelspitze, so bleibt
sie waagerecht liegen.
Hängt man die Scheibe in einem Punkt außerhalb der Symmetrieachse
auf, so liegt der Schwerpunkt unterhalb des Aufhängepunktes. Auf diesen
Wegen kann man den Schwerpunkt experimentell bestimmen.
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Man findet den Schwerpunkt zeichnerisch, indem man zunächst mit
Hilfe der Seitenhalbierenden die Schwerpunkte der gleichschenkligen Dreiecke
bestimmt, aus denen das Drachenviereck besteht. Dann trägt man die
rote Strecke (p/3) des rechten Dreiecks vom Schwerpunkt des linken Dreiecks
aus auf der Diagonalen ab. Der freie Endpunkt der roten Strecke ist der
Schwerpunkt. Die Begründung liefert die folgende Rechnung. |
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Die Drehmomente der Dreiecke, bezogen auf den Schwerpunkt, heben sich
auf und sind dem Betrage nach gleich. F1s1=F2s2
.
Die Gewichtskräfte sind proportional den Flächeninhalten:
F1=kA'=kfp/2, F2=kfq/2. Dann ist s1:s2
=q:p.
Andererseits ist p/3+q/3=s1+s2.
Das sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen, die zu s1=q/3
und s2 =p/3 führen.
Ergebnis: Der Schwerpunkt hat die Entfernungen q/3+2p/3 und p/3+2q/3
von zwei Eckpunkten. |
Polydrachen top
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Man kann ein regelmäßiges Sechseck so aufteilen, dass sechs
Drachenvierecke entstehen.
Ein Viereck hat die Winkel 90°, 60°, 90° und 120°
und die Seiten sqrt(3)a/2, sqrt(3)a/2, a/2 und a/2. |
Diese Stücke kann man wie die Pentominos als Spielsteine benutzen.
Es gibt zum Beispiel zehn Figuren, die man aus vier Drachenvierecke
bilden kann.
Wie bei Pentominos kann man aus den zehn Tetradrachen (Tetrakites) neue
Figuren bilden.
Penrose-Kacheln top
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In einem regelmäßigem Fünfeck bilden Seiten und Diagonalen
gleichschenklige Dreiecke. Aus ihnen bildet man durch Achsenspiegelung
zwei Drachenvierecke, die zusammen eine Raute bilden.
Sie gehören zu den Penrose-Kacheln. |
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Mit diesen Figuren kann man nicht nur ein regelmäßiges Zehneck
bilden, sondern auch die Ebene unbegrenzt auslegen. Das Besondere ist,
dass mit diesen Kacheln die Parkettierung nichtperiodisch sein kann. |
Eine andere Penrose-Parkettierung mit zwei Sorten von Rauten findet man
auf meiner Seite Rauten.
Drachenviereck im Internet
top
Deutsch
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik der Universität Erlangen
Flächeninhalt
des Drachenvierecks
Wikipedia
Drachenviereck,
(Flug-)Drachen
Englisch
Andrew Clarke's PolyPages
Polykites
Eric E. Weisstein (MathWorld)
Kite, Polykite
John Page (Math Open Reference)
Kite
Steve Edwards
Index for Tiling
Slide Show Page 22 - 26
Wikipedia
Kite (geometry)
Feedback: Emailadresse auf meiner
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©
2004 Jürgen Köller
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