Drachenviereck
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Was ist ein Drachenviereck?
Eigenschaften
Größen
Diagonalen
Schwerpunkt
Polydrachen
Penrose Kacheln
Drachenviereck im Internet.
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Was ist ein Drachenviereck?
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Definition:
Ein Viereck heißt Drachenviereck oder Deltoid, wenn es symmetrisch zu einer Diagonalen ist.


Der folgende Satz ist auf die andere Diagonale bezogen.
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Zwei gleichschenklige Dreiecke mit gleicher Grundseite bilden ein Drachenviereck, wenn man sie Grundseite an Grundseite zusammenfügt. 

...... Sind beide gleichschenkligen Dreiecke gleich gerichtet, so entsteht ein konkaves Drachenviereck. Symmetrieachse eines Drachenvierecks ist immer die Gerade, die die Diagonale enthält.  ......

......
Sind beide Diagonalen Symmetrieachsen, so entsteht ein besonderes Drachenviereck, die Raute. 
Auch das Quadrat ist eine Raute und damit ein Drachenviereck.

Eigenschaften    top
>Je zwei nebeneinanderliegende Seiten sind gleich.
>Ein Paar gegenüberliegender Winkel ist gleich. 
>Das andere Winkelpaar wird durch eine Diagonale halbiert.
>Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander. 
>Eine Diagonale wird durch die andere halbiert.
Diese Aussagen können nach den Gesetzen der Achsenspiegelung oder mit Hilfe der Kongruenzsätze bewiesen werden.


Größen    top
Das Drachenviereck hat die Seiten a und b, die Innenwinkel alpha, beta und gamma, die Diagonalen e und f, den Umfang U und den Flächeninhalt A. Die Diagonale e hat die Abschnitte p und q.
...... Angenommen, die Längen a, b und e seien gegeben. 
Dann lassen sich die übrigen Größen daraus errechnen.


Zur Herleitung der Formeln
Diagonalenabschnitt p
......
Nach dem Satz des Pythagoras gilt b²=q²+(f/2)² und a²=p²+(f/2)². Dann ist b²-q²=a²-p².
Mit q=e-p ergibt sich p=(a²-b²+e²)/(2e).
q=e-p=(-a²+b²+e²)/(2e)


Diagonale f 
(f/2)²=a²-p²=(2a²b²+2a²e²+2b²e²-a4 -b4-e4)/(4e²). Daraus folgt f=(1/e)sqrt(2a²b²+2a²e²+2b²e²-a4 -b4-e4).

Innenwinkel beta
Nach dem Kosinussatz ist e²=a²+b²-2ab cos(beta). Daraus folgt beta=arc cos [a²+b²-e²)/(2ab)].

Innenwinkel alpha und gamma
Es gilt cos(alpha/2)=p/a=[(-a²+b²+e²)/(2ae)]. Daraus folgt alpha=2 arc cos[(-a²+b²+e²)/(2ae)].
Es gilt cos(gamma/2)=q/b=[(a²-b²+e²)/(2be)]. Daraus folgt gamma=2 arc cos[(a²-b²+e²)/(2be)].

Flächeninhalt A
A=e(f/2)=sqrt(2a²b²+2a²e²+2b²e²-a4 -b4-e4)/2 

Umfang U
U=2a+2b

Inkreis
...... Der Mittelpunkt des Inkreises liegt auf der Symmetrieachse und auf der Winkelhalbierenden des Winkels beta.
Fällt man vom Mittelpunkt aus das Lot auf eine Seite, erhält man den Radius.
Formel?

Umkreis
Nur für einen Sonderfall des Drachenvierecks gibt es einen Umkreis.
...... Der Mittelpunkt eines Umkreises muss auf der Symmetrieachse und auf den Mittelsenkrechten der Seiten a und b liegen.
Diese drei Bedingungen sind nur erfüllt, wenn das halbe Drachenviereck ein rechtwinkliges Dreieck ist. 

Diagonalen    top

1 Im Allgemeinen legt man ein Viereck so, dass der Eckpunkt A unten links und die Seite a horizontal liegt.
2 Stattdessen wird das Drachenviereck so gedreht, dass eine Diagonale vertikal steht. Dann liegt die andere Diagonale horizontal. 
3 Sind die Diagonalen des Drachenvierecks bekannt, so lässt sich der Flächeninhalt besonders einfach bestimmen. 
Es gilt A=ef/2.
4 Die Diagonalen bilden ein lateinisches Kreuz. Das Drachenviereck entsteht, wenn man die Endpunkte verbindet. 
5 Zur Definition des Drachenvierecks ist das Kreuz nicht brauchbar, denn beim konkaven Drachenviereck entsteht kein Kreuz.

Schwerpunkt    top
Man sieht ein, dass der Schnittpunkt der Diagonalen nicht als "Mittelpunkt" eines Drachenvierecks angesehen werden kann. 
...... Man erwartet, dass er auf der Symmetrieachse liegt, dass er aber zum größeren gleichschenkligen Dreieck hin verschoben ist, etwa so, wie links dargestellt.
Dieser Punkt heißt Schwerpunkt. 
Unter einem Schwerpunkt versteht man allgemein den Punkt eines Körpers, in dem man sich die Masse vereinigt vorstellen und in dem die Schwerkraft angreifen kann.
Man muss sich also vorstellen, dass das Drachenviereck eine Masse hat und zum Beispiel als Pappscheibe vorliegt. 
Legt man die Scheibe mit dem Schwerpunkt auf eine Nadelspitze, so bleibt sie waagerecht liegen. 
Hängt man die Scheibe in einem Punkt außerhalb der Symmetrieachse auf, so liegt der Schwerpunkt unterhalb des Aufhängepunktes. Auf diesen Wegen kann man den Schwerpunkt experimentell bestimmen.


Man findet den Schwerpunkt zeichnerisch, indem man zunächst mit Hilfe der Seitenhalbierenden die Schwerpunkte der gleichschenkligen Dreiecke bestimmt, aus denen das Drachenviereck besteht. 
...... Dann trägt man die rote Strecke (p/3) des rechten Dreiecks vom Schwerpunkt des linken Dreiecks aus auf der Diagonalen ab. Der freie Endpunkt der roten Strecke ist der Schwerpunkt. Die Begründung liefert die folgende Rechnung.

...... Die Drehmomente der Dreiecke, bezogen auf den Schwerpunkt, heben sich auf und sind dem Betrage nach gleich: F1s1=F2s2 .
Die Gewichtskräfte sind proportional den Flächeninhalten: F1=kA'=kfp/2, F2=kfq/2. Dann ist s1:s2 =q:p.
Andererseits ist p/3+q/3=s1+s2.
Das sind zwei Gleichungen mit zwei Variablen, die zu s1=q/3 und s2 =p/3 führen.
Ergebnis: Der Schwerpunkt hat die Entfernungen q/3+2p/3 und p/3+2q/3 von zwei Eckpunkten. 

Polydrachen    top
...... Man kann ein regelmäßiges Sechseck so aufteilen, dass sechs Drachenvierecke entstehen. 
Ein Viereck hat die Winkel 90°, 60°, 90° und 120° 
und die Seiten sqrt(3)a/2, sqrt(3)a/2, a/2 und a/2. 
Diese Stücke kann man wie die Pentominos als Spielsteine benutzen. 
Es gibt zum Beispiel zehn Figuren, die man aus vier Drachenvierecken bilden kann.

Wie bei Pentominos kann man aus den zehn Tetradrachen (Tetrakites) neue Figuren bilden.


Penrose-Kacheln    top
...... In einem regelmäßigen Fünfeck bilden Seiten und Diagonalen gleichschenklige Dreiecke. Aus ihnen bildet man durch Achsenspiegelung zwei Drachenvierecke, die zusammen eine Raute bilden. 
Sie gehören zu den Penrose-Kacheln. 


...... Mit diesen Figuren kann man nicht nur ein regelmäßiges Zehneck bilden, sondern auch die Ebene unbegrenzt auslegen. Das Besondere ist, dass mit diesen Kacheln die Parkettierung nichtperiodisch sein kann.
Eine andere Penrose-Parkettierung mit zwei Sorten von Rauten findet man auf meiner Seite Rauten.

Drachenviereck im Internet    top

Deutsch

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik der Universität Erlangen
Flächeninhalt des Drachenvierecks

Wikipedia
Drachenviereck,  (Flug-)Drachen

zum.de
Das Drachenviereck



Englisch

Brendan Owen  (Andrew Clarke's PolyPages)
Polykites

Eric E. Weisstein (MathWorld)
KitePolykite

John Page (Math Open Reference)
Kite

Steve Edwards
Index for Tiling Slide Show  Page 22 - 26

Wikipedia
Kite (geometry)


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©  2004 Jürgen Köller

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