Raute
Inhalt dieser Seite
Was ist eine Raute? 
Eigenschaften der Raute
Größen der Raute
Figuren aus Rauten
Eine Formel zur Raute
Rauten im Rechteck
Körper aus Rauten
Raute im Internet
Referenzen
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Was ist eine Raute? 
Eine Raute (oder ein Rhombus) ist ein Viereck mit gleich langen Seiten. 
 
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Das nebenstehende Viereck in zwei Ansichten hat diese Eigenschaft und ist eine Raute. 


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Auch ein Quadrat hat gleich lange Seiten und ist deshalb eine Raute. Es ist ein Sonderfall der Raute. 
Die Raute wiederum ist ein Sonderfall des Parallelogramms und des Drachenvierecks.

Eigenschaften der Raute    top
Gegenwinkel
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Zeichnet man in die Raute die Diagonale e oder die Diagonale f ein, so entstehen nach dem Kongruenzsatz SSS zwei kongruente gleichschenklige Dreiecke. Die Winkel an der Spitze sind gleich.
Es gilt also für die Raute: Gegenüberliegende Innenwinkel sind gleich. 


Gegenseiten
...... Die Gegenseiten sind parallel.
Begründung: Da die Diagonale zwei kongruente Dreiecke erzeugt, sind Stufenwinkel gleich. Folglich sind nach der Umkehrung des Satzes von den Stufenwinkeln die Gegenseiten parallel.

Diagonalen
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Zeichnet man in die Raute beide Diagonalen ein, so kann jeweils eine halbe Diagonale als Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck gesehen werden.
Daraus folgt: Die Diagonalen halbieren sich und stehen aufeinander senkrecht.
Die Diagonalen halbieren die Innenwinkel.
Die Raute ist achsensymmetrisch bzgl. der Diagonalen und punktsymmetrisch bzgl. des Mittelpunktes.

Es gilt auch die Umkehrung: Stehen in einem Viereck die Diagonalen aufeinander senkrecht und halbieren sich, so ist das Viereck eine Raute.
Zum Beweis dieser Richtung: Die Diagonalen bilden nach dem Kongruenzsatz SWS vier kongruente Dreiecke. Die Hypotenusen sind gleich.

Mittenviereck 1
...... Verbindet man die Seitenmitten einer Raute, entsteht ein Rechteck. 
Zum Beweis: Man zeichnet nacheinander die Diagonalen ein. Die Seiten des Mittenvierecks sind Mittelparallelen im jeweiligen Dreieck.

Mittenvierecke 2
...... Verbindet man die Seitenmitten eines Rechtecks oder auch eines gleichschenkligen Trapezes, so entstehen Rauten.
Zum Beweis: Man zeigt, dass die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen und sich halbieren.

Raute im Parallelogramm
...... 1 Zeichne ein beliebiges Parallelogramm.
2 Zeichne die beiden Diagonalen.
3 Halbiere die Winkel zwischen den Diagonalen und verbinde entsprechende Schnittpunkte.
Das Viereck ist eine Raute.
Zum Beweis: Die Diagonalen bilden eine Geradenkreuzung. Halbiert man die Winkel, so stehen die Winkelhalbierenden aufeinander senkrecht.

Alle Formen
Hält man die horizontal liegende Diagonale e einer Raute fest und wählt für die andere Diagonale f alle Längen zwischen 0 und e, so erhält man alle Formen einer Raute.
Man beachte den kleineren Innenwinkel: Er durchläuft die Werte zwischen 0° und 90°. Er ist geeignet, die Form einer Raute zu kennzeichnen.

Größen der Raute     top
Das sind die Seite a, die Diagonalen e und f, die Innenwinkel alpha und 180°-alpha, die Höhe h, der Umfang U, der Flächeninhalt A und der Radius des Inkreises r.

Abgesehen vom Quadrat hat die Raute keinen Umkreis.

Eine Raute ist durch zwei Größen gegeben. Die anderen Größen lassen sich aus ihnen berechnen.

1.Fall: Die Seite a und ein Innenwinkel alpha sind gegeben.
Zur Herleitung:
>Wende zur Bestimmung von e und f den Kosinussatz an. 
>A=4*(1/2)*(e/2)*(f/2).
>Zeichne zur Berechnung der Höhe h in die Raute ganz links ein rechtwinkliges Dreieck. Lies den Sinus ab.
>r=h/2


2.Fall: Die Diagonalen e und f sind gegeben.
Zur Herleitung:
>Wende den Satz des Pythagoras an: a²=(e/2)²+(f/2)².
>Setze die Fläche A aus den vier rechtwinkligen Dreiecken, die die Diagonalen erzeugen, zusammen. 
>Für den Flächeninhalt gilt (A=) a*h=(1/2)*e*f. Berechne daraus die Höhe h.
> Berechne alpha mit dem Tangens, abgelesen im Dreieck aus e/2 und f/2.
>r=h/2

Figuren aus Rauten      top
60°-Raute
Diese Raute hat die Innenwinkel 60° und 120°. 
... Sie entsteht, wenn man ein gleichseitiges Dreieck an einer Seitenmitte spiegelt.
Die beiden Diagonalen teilen die Raute in vier kongruente 30-60-90-Dreiecke.

 
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Aus sechs 60°-Rauten kann man einen Stern bilden. Verbindet man die Zacken des Sterns mit sechs weiteren 60°-Rauten, so entsteht ein regelmäßiges Sechseck.

 
... Das Besondere dieses Sechsecks ist, dass es sechs halb so kleine Sechsecke enthält.


45°-Raute 
...... Aus acht 45°-Rauten kann man einen Stern bilden. 

Füllt man den Bereich zwischen den Zacken mit Quadraten und zwischen den Quadraten mit Rauten, so entsteht ein regelmäßiges Achteck.


 
... Das Besondere dieses Achtecks ist, dass es acht halb so kleine Achtecke enthält.

Penrose Tiling
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Aus fünf 72°-Rauten kann man einen fünfzackigen Stern legen. Füllt man den Bereich zwischen den Zacken mit 36°-Rauten, so ergibt sich ein regelmäßiges - Zehneck.

 
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Das Zehneck wird noch einmal gelegt. 
Dieses Mal gilt zusätzlich eine Dominoregel:
Die zehn Rauten werden mit Farbmarkierungen versehen. Gleiche Farben sollen aneinander stoßen.

 
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Man kann die markierten Rauten rund um das Zehneck immer weiter legen.

Das Besondere ist, dass das zu einer "Parkettierung" der gesamten Ebene führt und dass diese Parkettierung nichtperiodisch ist. Das ist erstaunlich, denn bei so ziemlich allen Parkettierungen wiederholen sich bestimmte Bereiche. Sie ist dann periodisch.

Roger Penrose hat 1974 diese Parkettierung untersucht. N.G. de Bruijn bewies 1981 streng, dass mit den schon von Penrose angegeben Farbregeln eine periodische Parkettierung der Ebene nicht möglich ist (Buch 1, Seite 58).
Bis heute ist ungeklärt, ob man mit einer einzelnen Figur die Ebene nichtperiodisch parkettieren kann (Buch 2, Seite 214).

Eine Formel zur Raute      top
...... Es ist möglich, eine Raute in einem Koordinatensystem nur durch eine Gleichung zu beschreiben.

Die Zahlen im Nenner der Gleichung findet man in der Zeichnung als halbe Diagonalen.

 


Die Raute ist der Grenzfall n=1 einer Lamé-Kurve.
Mehr findet man auf meiner Seite Eilinien.

Rauten im Rechteck  top

Mehr findet man auf meiner Seite Papierformat A4

Körper aus Rauten      top
Aus sechs Rauten kann man einen Körper bilden. Er heißt Parallelepiped oder Spat.


Aus 12 passenden Rauten entsteht das Rhombendodekaeder


Raute im Internet      top

Deutsch

mathepower
Raute berechnen  - online

Udo Hebisch (Mathematisches Café)
Rhombus

Wikipedia
Raute, Penrose-Parkettierung, Rautenzeichen



Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Rhombus, Diamond, Golden Rhombus

Drew Olbrich 
Penrose Tiles 

Steve Edwards 
Aperiodic Tiling

Wikipedia
Rhombus, Penrose tiling


Referenzen     top
(1) F.L. Bauer, Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum, München (ISBN 3-924-18349-X) 
(2) Ivars Peterson: Mathematische Expeditionen, Heidelberg-Berlin-New York 1992 (ISBN 3-86025-044-2)


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©  2004 Jürgen Köller

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