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Was ist ein Quadrat?
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Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier rechten Winkeln und vier gleichen
Seiten. |
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Die gleiche Figur steht auf der Spitze.
Man nennt sie ein Karo, auch wenn man weiß, dass es ein Quadrat
ist.
Man will mit diesem Wort die Lage des Quadrates ausdrücken. |
Größen des Quadrats
top
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Das Quadrat hat 4 gleiche Seiten.
2 Seiten treffen sich in einer Ecke und stehen
aufeinander senkrecht.
Die Länge einer Seite sei a.
Das Quadrat hat 2 Diagonalen der Länge d=a*sqr(2).
Der Flächeninhalt beträgt A=a²,
der Umfang 4a.
Der Umkreis hat den Radius R=a*sqr(2)/2, der Inkreis den Radius
r=a/2. |
Eine Formel zum Quadrat top
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Es ist möglich, ein Quadrat in einem Koordinatensystem nur durch
eine
Gleichung zu beschreiben.
|x|+|y|=2 oder abs(x)+abs(y)=2
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Quadratzahlen top
Man erhält die Quadratzahlen, wenn man die natürlichen Zahlen
mit sich selbst multipliziert.
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Die Quadratzahlen lassen sich durch Quadrate aus gleichen Figuren darstellen. |
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Jede Quadratzahl ist gleich der Summe zweier Dreieckszahlen.
Formel: n²=[1+2+3+...+n] + [1+2+3+...+(n-1)] |
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Jede Quadratzahl n² ist gleich der Summe der n ersten ungeraden
Zahlen.
Formel: n²=1+3+5+...+(2*n-1) |
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Ein Quadrat kann in zwei kleinere Quadrate und zwei gleiche Rechtecke
zerlegt werden.
Es gilt nämlich die erste binomische Formel (a+b)²=a²+2*a*b+b². |
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Ein Quadrat kann man in Streifen in Diagonalrichtung zerlegen.
Es gilt 1+2+3+...+n+...3+2+1=n².
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Halbieren eines Quadrats top
Es gibt viele Möglichkeiten die Fläche
eines Quadrates zu halbieren. Hier sind fünf.
Zu 1 und 2: Normalerweise wird ein Quadrat durch eine Diagonale oder Mittellinie
halbiert. So kann ein quadratisches Stück Papier gefaltet werden.
Zu 3: Jede Gerade durch den Mittelpunkt des Quadrates teilt es in zwei
kongruente Trapeze.
Zu 4: An Stelle der Geraden kann man auch andere Linien, z.B. zwei
Halbkreise, nehmen.
Zu 5: Die Figur in der Mitte besteht aus vier kongruenten Dreiecken,
das ganze Quadrat aus acht. Also ist die Halbierung gesichert. Hat das
Ausgangsquadrat die Länge 2, so hat das grüne Quadrat die Länge
sqr(2). Die Bedeutung dieser Figur liegt darin, dass das äußere
Quadrat eine rationale, das innere eine irrationale Seitenlänge hat.
Ein Viereck im Quadrat top
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Trägt man eine Strecke (rot) von jeder Ecke aus immer in die gleiche
Richtung ab, so entstehen vier Punkte. Verbindet man diese vier Punkte,
so entsteht im Inneren ein Viereck.
Behauptung: Das Viereck ist ein Quadrat.
Beweis: Die vier Dreiecke sind nach SWS kongruent. W kennzeichnet
den rechten Winkel. Folglich sind die Hypotenusen gleich und das sind gerade
die Quadratseiten. Eine einfache Winkelbetrachtung führt zu rechten
Winkeln des inneren Vierecks. |
Eine Folge von Quadraten top
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Das rote Quadrat habe die Seitenlänge a und es hat somit den Flächeninhalt
a².
Für die Summe der Flächeninhalte der inneren Quadrate ergibt
sich
A= a²/2 + a²/4+a²/8+a²/16+... = a²(1/2+1/4+1/8+1/16+...).
In der Klammer steht eine geometrische Reihe mit dem Grenzwert 1.
Ergebnis: Die Summe der Flächeninhalte der inneren Quadrate
strebt gegen den Flächeninhalt des großen Quadrates. |
Auch die binomischen Formeln und der Satz des Pythagoras
behandeln Quadrate.
Ich verweise dazu auf meine Webseite Formeln im
Bild.
Parkettierungen mit Quadraten
top
Es ist leicht, ein Quadrat in gleiche Quadrate aufzuteilen. Es ist
aber schwer, verschiedene Quadrate zu finden, die das leisten.
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Man braucht mindestens 21 Quadrate, die ein Quadrat bilden (Duijvestijn
1962, 1978).
Lösung:
112² = 50²+42²+37²+35²+33²+29²+27²+25²+24²+19²+18²+17²+16²+15²+11²+9²+8²+7²+6²+4²+2² |
Mit diesem Problem haben sich viele Mathematiker (und Computer) beschäftigt
(Buch 2). Mehr findet man auf der Homepage von Erich Friedmann (URL unten).
Eine geometrische Reihe
top
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Die geometrische Reihe 1/4+1/16+1/64+... hat den Grenzwert 1/3.
Nachweis: s=a0[1/(1-q)]=(1/4)[1/(1-(1/4)]=1/3
Links ist eine bemerkenswerte Veranschaulichung.
Entdeckt bei http://en.wikipedia.org/wiki/The_Quadrature_of_the_Parabola |
Größte und
kleinste Rechtecke top
Das Quadrat ist ein Grenz-Rechteck. Das drückt sich in den Lösungen
der folgenden Extremwertaufgaben aus.
Aufgabe 1) Welches der Rechtecke mit gleichem Umfang hat den größten
Flächeninhalt?
Aufgabe 2) Welches der Rechtecke mit gleichem Flächeninhalt hat
den kleinsten Umfang?
Aufgabe 3) Welches Rechteck im gleichseitigen Dreieck hat den größten
Flächeninhalt?
Aufgabe 4) Welches Rechteck im Quadrat hat den größten Flächeninhalt?
Aufgabe 5) Welches Rechteck im Kreis hat den größten Flächeninhalt?
In allen Fällen ist ein Quadrat das gesuchte Rechteck.
Das größte Quadrat im Würfel findet man in meiner Würfelseite.
Darstellung
von Ziffern durch Quadrate top
Matrix aus Quadraten für Zeichen
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Die Pixel zur Darstellung der Zeichen eines Schriftsatzes bilden eine
Matrix kleiner Quadrate, die erst bei hinreichender Vergrößerung
sichtbar werden.
Beispielsweise verwendet man für das Bild der Zahl 2 eine
Rechteck mit 9x14 Pixels im Schriftsatz "Times New Roman" von Winword. |
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Verdoppelt man ein Quadrat, so erhält man die Figur links, mit
der die zehn Ziffern gut dargestellt werden können (rechts).
Diese Anzeige kennt man vom Taschenrechner. |
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Ring des Salomon
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Nach einer alten Legende erzählt Lucas, dass auf einem Ring Salomos
ein Quadrat mit den Diagonalen eingraviert war (links). In diesem Zeichen
stecken die zehn Ziffern (rechts) [Buch 1]. |
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Tastatur eines Taschenrechners
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In diesem Zusammenhang kann man auch die Tastatur eines Taschenrechners
anführen. Die Ziffern 1 bis 9 stehen auf quadratischen Tasten. Sie
bilden ein 3x3-Quadrat. Merkwürdigerweise laufen die Zahlen von unten
links nach oben rechts. Die Tastatur des Tastentelefons oder des Handys
laufen von links oben nach rechts unten wie unsere Schrift.
Ich kann mich erinnern, dass man versuchte, eine einheitliche Tastatur
zu schaffen, zumal die Tastentelefone zuerst da waren. Das misslang. Die
ersten erschwinglichen Rechner kamen aus Fernost, die Anordnung der Ziffern
entsprang den dortigen Vorstellungen.
Etwas Nostalgie:
Ich besitze noch einen funktionierenden Tischrechner von 1971 von Quelle
("Privileg"), der damals fast 300 DM kostete. Er wird an 220V angeschlossen.
Die Ziffern werden mit Glimmlampen angezeigt. Der Rechner berücksichtigt
noch nicht Punkt- vor Strichrechnung, hat aber schon eine Vornullen-Unterdrückung.
Er ersparte mir seinerzeit viel Rechenarbeit ;-). |
Optische Täuschungen top
Die linken Quadrate unterscheiden sich in Breite und Höhe, die
rechten in der Größe.
Man ahnt es: Die Quadrate sind gleich groß.
Vier Vierecke liegen vor einer Kreis-, Quadrat-,
oder Geradenschar. Die Seiten sind verzerrt.
Man ahnt es: Bei allen vier Figuren handelt es sich um Quadrate!
Beide Gitter haben an den Kreuzungspunkten graue
Flecken, links im weißen, rechts im schwarzen Bereich.
Man ahnt es: Die grauen Flecken sind nur Hirngespinste.
Eine Anordnung von vier Dreiviertelkreisen
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Es wird gar kein Quadrat gezeichnet, trotzdem sieht man es. |
Polyominos top
Man kann Quadrate zu immer komplexeren Figuren
zusammensetzen. Man fordert, dass sich zwei Quadrate immer in mindestens
einer Seite verbunden sind. Die Figuren hat man gezählt (bis 28-ominos).
Man könnte sich den
Weg zu den Pentominos (Mehrzahl auch Pentominoes) so vorstellen:
Mehr findet man in meinen Webseiten Domino Puzzle,
Pentominos
und Hexominos.
Lässt man auch Körper zu, so entstehen
Monoide.
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Als Beispiel werden drei Quadrate vorgegeben. Aus ihnen lassen sich
neben den beiden Triominos acht räumliche Monoide bilden. |
Der bekannteste Monoid ist der Würfel, der aus sechs Quadraten besteht.
Mehr findet man auf meiner Seite Rubik's Magic.
Mit diesem Puzzle kann man zahlreiche Körper aus acht Quadraten finden.
Eine systematische Untersuchung der Monoide findet man in der Homepage
von Jorge L. Mireles Jasso (URL unten).
Spiele mit Quadraten top
Sieht man sich die gängigen Spiele unter dem Gesichtspunkt an,
ob in ihnen Quadrate in irgendeiner Form vorkommen, wird man fündig.
Fast alle Spiele verwenden Quadrate, sei es als Form des Spielbrettes,
des Spielfeldes oder des Spielsteins.
Ich nenne hier nur die Spiele in alphabetischer Reihenfolge, die ich
an anderen Stellen dieser Homepage beschreibe:
Domino-Puzzle, Fröbelstern,
Fünfzehnerspiel,
Himmel
und Hölle, Magische Quadrate, Mühle,
Rubik's
Magic, Solitär, Tic-Tac-Toe.
Das Thema Quadrat
legen findet man an anderer Stelle.
Quadrate im Internet
Deutsch:
Horst Steibl
Das Geobrett
im Unterricht (.ppt-Datei)
Wikipedia
Quadrat
Englisch:
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Square, Square
Packing, Perfect
Square Dissection
Jorge L. Mireles Jasso
The
Minoids Applet (Run it!, Instructions, Java Sources, Screenshots,
Sample Report, Polyominoids)
Kevin L. Gong
counting
polyominoes
Erich Friedman
Erich's packing
center
Wikipedia
Square
Referenzen top
(1) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und
Formen, Göttingen 1969
(2) Friedrich L. Bauer: Einladung zur Mathematik, Deutsches Museum,
München 1999
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Diese
Seite ist auch in Englisch vorhanden.
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2002 Jürgen Köller
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