Würfel
Inhalt dieser Seite
Was ist der Würfel?
Ansichten eines Würfels
Bau eines Würfels
Symmetrien eines Würfels 
Innenansichten eines Würfels
Delisches Problem
Polykuben
Hyperkubus
Optische Täuschungen mit Würfeln 
Der Würfel als Bauwerk
Der Würfel im Internet
Referenzen..
Zur Hauptseite   "Mathematische Basteleien"

Was ist der Würfel?   top
Der Würfel ist ein von sechs gleichen Quadraten begrenzter mathematischer Körper. 
Er heißt auch Kubus, Hexaeder oder Sechsflach.
 
......
Der Würfel hat 12 gleich lange Kanten. 
Drei Kanten treffen sich in einer Ecke und stehen paarweise aufeinander senkrecht.

Die Länge einer Kante sei a. Dann gilt:
Der Würfel hat 12 Flächendiagonalen der Länge d'=a*sqr(2). 
Der Würfel hat 4 Raumdiagonalen der Länge d=a*sqr(3). 
Das Volumen beträgt V=a³, die Oberfläche O=6*a².
Die Umkugel hat den Radius R=a*sqr(3)/2, die Inkugel den Radius  r=a/2.

Im täglichen Sprachgebrauch ist der Würfel meist der Spielwürfel.
In den achtziger Jahren war der Zauberwürfel (Rubik's cube) so populär, dass er einfach "der Würfel" hieß.


Ansichten eines Würfels top
Schrägbild
...... Wenn man Schüler bittet das Schrägbild eines Würfels zu zeichnen und vorher darauf hinweist, dass beim Würfel alle Seiten gleich lang sind, entsteht bei einigen die nebenstehende Zeichnung. 

Man hat aber nicht den Eindruck, dass es sich hier um die Darstellung eines Würfels handelt. Es ist eher eine quadratische Säule. Die schrägen Linien müssen offenbar verkürzt werden.

Es stellt sich die Frage, wie stark verkürzt werden muss, um ein anschauliches Bild zu erreichen. Stellt man die folgenden vier Schrägbilder zur Auswahl, bei denen in der Zeichnung der Abstand der beiden rechten vertikal liegenden Kanten 2, 3, 4 und 5 Längeneinheiten ist, so tippen die meisten auf Bild 3 als bestes Bild eines Würfels.

Man misst nach, dass die schräge Strecke des Körpers 3 etwa halb so groß wie die wahre Länge der Kante ist. So gelangt man zum üblichen Verkürzungsfaktor k=1/2. 

Der Verkürzungsfaktor hängt davon ab, wie schräg die Kanten liegen. Die folgenden drei Festsetzungen ergeben brauchbare Bilder eines Würfels.

Die mathematische Grundlage ist die schräge Parallelprojektion, bei der je nach Beleuchtung alle Winkel und Verkürzungsfaktoren möglich sind. Man entscheidet sich für einfache Winkel und einfache Verkürzungsfaktoren (Buch S).

Es gilt der Satz von Pohlke (auch Hauptsatz der Axonometrie):
Jedes ebene, echt zweidimensionale ,,Dreibein" OABC kann als Parallelprojektion eines räumlich-kartesischen Dreibeins O'A'B'C' erhalten werden. (Quelle: http://www.math-inf.uni-greifswald.de/mathematik+kunst/themen.html)


Weitere Schrägbilder
...... Die nebenstehende Zeichnung mit gleich langen Kanten war als Schrägbild eigentlich nicht zu gebrauchen. Die Bildwirkung ist nicht gut. Trotzdem wird sie verwendet. Sie hat nämlich den Vorteil, dass man Strecken in Richtung der Kanten ohne Umrechnung übernehmen kann. - Die "isometrische Kavaliersperspektive" (statt 45° nimmt man 30°) ist nicht so verzerrt und wird deshalb bevorzugt.

Zentralprojektion
...... Man stelle sich das Kantenmodell eines Würfels vor. 
Durchstrahlt man es mit Licht, das von einer punktförmigen Lichtquelle ausgeht, so kann in der Projektion das nebenstehende Bild eines Würfels entstehen.

Netze eines Würfels
...... Man denke sich einen Würfel aus Papier und schneide ihn an den Kanten auf: Es entstehen Netze eines Würfels. - Es gibt 11 verschiedene Netze. ......

Stereogramm
Mit dem 3-D-Blick sieht man den Würfel dreidimensional. (Mehr auf meiner Seite Stereogramm)


Schattenrisse eines rotierenden Würfels
Das Deutsche Museum in München beherbergt seit einigen  Jahren "das Mathematische Kabinett". Ein schönes Ausstellungsstück ist ein sich drehendes Kantenmodell des Würfels, das parallel durchstrahlt wird und das auf einer Leinwand der Reihe nach die nebenstehenden einfachen Figuren (Quadrat auf der Spitze, Hexagon mit Diagonalen und Rechteck mit einer Mittellinie) erzeugt.
Man glaubt nicht, dass diese Figuren vom Würfel stammen und muss schon zweimal hinsehen. Das Kantenmodell ist so ausgerichtet, dass zwei gegenüberliegende Kanten übereinanderliegen. Durch sie verläuft die innen unterbrochene Drehachse (hier rot).

Bau eines Würfels  top
Flächenmodell
......
Dieses ist die übliche Art einen Würfel zu bauen. 

Man zeichnet ein Netz und versieht gewisse Ränder mit Klebestreifen. 

Die Streifen werden abgeknickt und innen auf die gepunkteten Felder gleicher Farbe geklebt. Der Würfel wird zuletzt mit dem Deckel rechts geschlossen.


Kantenmodelle
Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Würfel aus Stäben zu bauen. 

>Man kratzt von Streichhölzern die Köpfe ab und verbindet die Streichhölzer mit Zweikomponentenkleber.

>Man verwendet Zahnstocher oder Schaschlikstäbe und verbindet sie mit Kügelchen aus Kitt oder Knetgummi.

>Man kneift mit einer Zange gleich lange gerade Drähte ab und lötet die Enden zusammen, so dass ein Würfel entsteht. Es empfiehlt sich, die drei Drahtenden, die eine Ecke bilden sollen, vor dem Löten auszurichten und sich berühren zu lassen. Das schafft man z.B. mit der "helfenden Hand", die aus zwei Krokodilklemmen besteht, und mit einer wahren Hand.

>Man schneidet Trinkhalme in gleich lange Stücke und verbindet sie mit Dreibeinen aus Blumendraht oder dem Draht einer Büroklammer. 
Genauer: Es gibt Bausätze für mathematische Körper, die 12 Trinkhalme und 8 Dreibeine aus Plastik für den Bau eines Würfels  verwenden (Unten wurde ein Dreibein aus einer Ecke herausgenommen, rot). Diese Dreibeine kann man aus einem Stück Draht selbst herstellen (unten, dunkelgrün). Man biegt ihn doppelt in 6 Teilabschnitte. In den Spitzen liegen Biegungen, die beiden Enden des Drahtes stoßen in der Mitte zusammen. 



...... Es gibt ein pfiffiges Modespielzeug, das seit einigen Monaten in vielen Spielzeugläden auf den Ladentischen ausliegt. Stabmagnete bilden die Kanten, Stahlkugeln die Verbindungsstücke. 

Der Bausatz für einen Würfel kostet 14€ (Frühjahr 2002). Es ist anzunehmen, dass er billiger werden wird, sobald er von den Ladentischen in die Regale wandern wird ;-). 


Symmetrien eines Würfels top
Der Mittelpunkt des Würfels ist das Symmetriezentrum.


......
Der Würfel hat neun Symmetrieebenen. 
Drei Ebenen liegen parallel zu den Seitenflächen und gehen durch die Mitte (Bild).
Sechs Ebenen gehen durch gegenüberliegende Kanten und zwei Raumdiagonalen. Sie zerschneiden den Würfel in Prismen. 

Man kann 13 Drehachsen finden. Dreht man um eine dieser Achsen, so geht er in sich selbst über und zeigt neue Ansichten. 
Das folgende Bild illustriert diesen Sachverhalt. Die Zahlen unter den Würfeln geben die Anzahl der Drehungen an. 

Innenansichten eines Würfels top
Alle Flächendiagonalen des Würfels


Alle Raumdiagonalen des Würfels

Abgestumpfter Würfel

Stumpfe den Würfel an den Ecken ab. Eine Kante wird dazu gedrittelt. 
Es entsteht ein Körper mit 6 Achtecken und 8 gleichseitigen Dreiecken.
Teilt man die Würfelkanten im Verhältnis sqrt(2):2:sqrt(2), so hat der abgestumpfter Würfel gleiche Kanten.
Er gehört dann zu den archimedischen Körpern.

Kuboktaeder

Stumpfe den Würfel an den Ecken stärker ab. Eine Kante wird dazu halbiert. 
Es entsteht ein Körper mit 6 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken.
Auch das Kuboktaeder gehört zu den archimedischen Körpern.

Das Tetraeder im Würfel

Zeichne bestimmte Flächendiagonalen ein. Es entsteht ein Tetraeder.


Das Oktaeder im Würfel

Verbinde die Mittelpunkte der Seitenquadrate eines Würfels. Es entsteht ein Oktaeder.
Weiter: Verbindet man die Mittelpunkte der Seitenflächen eines Oktaeders, so entsteht wieder ein Würfel. 
Würfel und Oktaeder sind duale Körper.


Drei Pyramiden gleichen Volumens im Würfel


Das größte Quadrat im Würfel

Das rote Quadrat ist das größte Quadrat, das in einen Würfel passt. 
Die Eckpunkte des Quadrates teilen die Kanten im Verhältnis 1:3. (Buch G) 


Der Würfel im Würfel

Der rote Würfel ist der kleinste Würfel, der alle Seitenflächen des schwarzen Würfels berührt. 
Die Eckpunkte oben rechts und unten links liegen auf der Raumdiagonalen des schwarzen Würfels und teilen sie im Verhältnis 1:3:1. Die anderen Eckpunkte liegen auf Flächendiagonalen und teilen diese im Verhältnis 2:5 bzw.5:2. 
Die Raumdiagonale des roten Würfels liegt auf der des schwarzen Würfels. Der rote Würfel ist um 60° gedreht.
Ist a die Kante des schwarzen Würfels, so hat der rote Würfel die Kante 0,6a (Webseite E).


Das Hexagon im Würfel

Verbinde gewisse Kantenmitten. Es entsteht der Schnitt durch einen Würfel. 
Schnittlinie ist ein Hexagon der Kantenlänge 1/2*sqr(2)*a, wenn a die Kante des Würfels ist.


Ein räumliches gleichseitiges Sechseck

Delisches Problem  (Problem der Würfelverdoppelung)   top
Der Sage nach sollten die Griechen nach einer Antwort des Orakels auf  Delos von der Pest befreit werden, wenn sie den würfelförmigen Altar des Apollo doppelt so groß machten. (Dieses ist eine Version der Geschichte.)
...... Das Problem der Würfelverdoppelung führt mit dem Ansatz 2a³=x³ zur Lösung x=a*2^(1/3). Für die Griechen galt dies nicht als Lösung, denn die Strecke x musste nur mit Zirkel und Lineal aus der Strecke a ermittelt werden. Man weiß heute, dass diese Aufgabe unlösbar ist, denn nur Terme mit Quadratwurzeln sind konstruierbar. Kreise und Geraden führen nämlich zu linearen und quadratischen Gleichungen, zu denen x³=2a³ nicht gehört.
Auch zwei andere Probleme sind aus im Prinzip gleichen Gründen unlösbar: Die Verwandlung des Kreises in ein flächengleiches Quadrat ("Quadratur des Kreises") und die Teilung eines beliebigen Winkels in drei gleiche Teile ("Dreiteilung eines Winkels").


Polykuben    top
Man kann Polykuben bilden, indem man Würfel an einer oder mehreren Quadratflächen zusammenfügt.

Die Zahlen geben die Anzahl der jeweiligen Würfelkörper einer Sorte an. (Webseite K).


Es gibt zahlreiche Puzzles auf der Basis der Polykuben. Hier ist meine "Hitliste":

Sie werden an anderer Stelle dieser Homepage beschrieben. Es handelt sich um 1 Somawürfel, 2 Mac Mahons Farbwürfel, 3 Zauberwürfel (Rubik's cube), 4 Happy Cube und 5 Origami-Würfel
Weitere Würfelseiten behandeln Tetrawürfel, Hexominos, Schlangenwürfel, Magischer Würfel, Wunderwürfel (und Spielwürfel). 


Hyperkubus (vierdimensionaler Würfel) top

Er wird auf meiner Webseite Hyperkubus beschrieben.

Optische Täuschungen mit Würfeln   top
Wenn man so will, ist jede Darstellung eines Würfels in der Ebene eine optische Täuschung. Man glaubt, den dreidimensionalen Würfel zu sehen, obwohl die Zeichenebene zweidimensional ist.

Bekannte Sinnestäuschungen mit Würfeln sind die "Kippfiguren", auf die ich mich beschränke.
...... Beim Neckerwürfel wird ein Würfel in zwei Perspektiven gezeigt (links). 

Man schaltet von einer Ansicht in die andere um. Eine Ecke ist mal hinten und mal vorne. Man kann immer nur eine Ansicht wahrnehmen. 

......



Bei den folgenden Bildern stellen sich die Fragen:
Rechts oder links?  Von unten oder von oben?   Drei oder fünf Würfel?   Fünf oder drei Würfel?  Wie viele Würfel?

Die fünf Bilder oben sind doppeldeutig. Man sieht die Würfel entweder von oben oder von unten. 




Schaut man auf einen Turm oder in ein Loch?

Der Würfel als Bauwerk top
Ein Gebäude in Würfelform ist nicht praktisch. Vielleicht haben gerade deshalb Architekten und Künstler den Würfel als Herausforderung  angenommen, um kreativ zu werden. Die Ergebnisse sind viele originelle Schaubauten und Skulpturen  in aller Welt. 
Hier ein kleiner Rückblick auf die denkwürdige Expo 2000 in Hannover.

1 Der T-Digit der Deutschen Telekom bildete ein Zentrum des Ausstellungsgeländes. Von einer breiten Schautreppe aus konnte man auf eine Projektionsfläche herabsehen, wo (sogar im Sonnenschein) ein beeindruckend helles Fernsehbild (hier der Tennisplatz zum French Open in Paris) zu sehen war.

2 Der Ausstellungsblock des mexikanischen Pavillons bildete einen Würfel, der weithin sichtbar war. 

3 Unvergessen ist der isländische Kubus: Er war in dunkelblau gehalten und über ihm lag ein Wasserfilm. Innen stand ein rundes Wasserbecken, dessen Oberfläche als Projektionsfläche für einen Film über Island aus der Vogelperspektive diente. Am Ende der Vorführung schoss ein (künstlicher) Geysir in die Höhe.

4 Ich habe vergessen den norwegischen Würfelbau mit dem Wasserfall  zu fotografieren :-(.
...... Deshalb begnüge ich mich mit dem Bild eines Modells, das schon vor der Expo-Eröffnung im Internet stand (Ganz so mächtig ist der Wasserfall dann nicht geworden.). 

Nach einer leichten Dusche gelangte man in den "Raum der Stille". Man konnte etliche Minuten lang auf dem harten Fußboden sitzen und sich den Naturdarstellungen auf allen sechs Innenwänden hingeben. Ab und zu kullerten (nur akustisch angedeutet) Steine den Fels hinunter. Sprechen war nicht erwünscht. Meine Frau ... (Zensur!)


Der Würfel im Internet    top

Deutsch

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Hexaeder, Würfel (spezial)

Richard Mischak
Würfelspiele

Wikipedia
Würfel (Geometrie)Platonischer KörperDelisches ProblemExpo 2000


Englisch

David Eppstein (Geometry Junkyard)
Box in a Box

Eric Weisstein (MathWorld)
CubePrince Rupert's Cube

H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Cube, Cube (special)

Henry Bottomley
Circumnavigating a cube and a tetrahedron

Jim Loy
Regular Solids

Wikipedia
CubePlatonic solidDoubling the cubeExpo 2000


Referenzen     top
(G) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Ullstein Berlin 1977 (Seite 61)
(S) Hans Simon, Kurt Stahl: Mathematik, Formeln und Gesetze, Leipzig 1979 (Seite 471ff.) 
(K) Michael Keller (früher: http://members.aol.com/wgreview/polyenum.html)
(E) David Eppstein (http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/box-in-box.html)


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URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2002 Jürgen Köller

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