Ein Spielwürfel trägt 21 Punkte oder Augen. Mit ihnen werden auf den Seitenflächen die Zahlen von 1 bis 6 gebildet. - Man würfelt aus der Hand oder mit einem Lederbecher. Man stülpt den Lederbecher um oder lässt den Würfel ausrollen. Welche der Zahlen 1 bis 6 erscheint, ist dem Zufall überlassen. Darin liegt der Reiz des Würfelns.

Es gibt 30 Spielwürfel top

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Gibt man die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 vor und bildet alle Umstellungen (Permutationen) der sechs Zahlen, so kommt man auf 1*2*3*4*5*6=6!=720 Würfel. Jetzt sind aber auch die Würfel aufgeführt, die sich durch Drehungen um eine der 13 Achsen ineinander überführen lassen. Es gibt 24 Drehungen dieser Art. Also gibt es nur 720:24 =30 verschiedene Würfel.

Das folgende Bild erläutert diesen Sachverhalt. (Die Zahlen unter den Figuren geben die Anzahl der Drehungen an.)

Aussehen des Standardwürfels top

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Es gibt 30 Würfel. Jeder Würfel hat einen Spiegelwürfel, bei dem die Zahlen rechts und links der Eins ausgetauscht sind. Die Würfel können durch eine sechsstellige Zahl gekennzeichnet werden: Man beginnt mit 1, geht nach oben, dann entgegen dem Uhrzeigersinn um die 1 herum und hängt noch die Gegenzahl der 1 an. - Der rote Würfel hat z.B. die Darstellung 123546. Die Würfel links sind nach der Größe dieser Zahlen geordnet.

Man findet mehr über die Anzahl 30 auf meiner Webseite Macmahons Farbwürfel.

In der westlichen Welt ist nur der rote Spielwürfel üblich. 

...	Dieser Spielwürfel hat zwei Eigenschaften:  >Die Augenzahlen gegenüberliegender Flächen ergänzen sich immer auf  7.  >Schaut man auf eine Würfelecke mit den Zahlen 1,2 und 3, so sind diese entgegen dem Uhrzeigersinn angeordnet.

Die meisten Würfelhersteller halten sich an diese Regeln. 

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Trotzdem können Würfel immer noch unterschiedlich aussehen.  Für die Zahlen 2, 3 und 6 gibt es je zwei Ausrichtungen der Augen, die durch Drehung um 180° ineinander übergehen. Das führt zu acht Bildern.  Am häufigsten kommt wohl der rote Würfel oben links vor, aber auch die grünen konnte ich unter meinen 20 Würfeln entdecken.

Es folgen vier Puzzles zu den Spielwürfeln. 

Summe erraten    top

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Man baut einen Turm aus mehreren Würfeln.  Ist es möglich, die Summe der Augen der nicht sichtbaren horizontalen Würfelflächen zu finden?  In diesem Falle besteht der Turm aus drei Würfel. Fünf Würfelflächen, nämlich die Unterseite des oberen Würfels und Ober- und Unterseite der beiden unteren Würfel müssen erfasst werden.  Lösung:  Man beachtet nur die Zahl 1 oben und zählt die darunter liegenden Würfel. Der Eins liegt die Sechs gegenüber. Für jeden Würfel zählt man 7. Die Summe beträgt 6+2x7=20.

Würfel Puzzle   top

...	Man erzeugt ein hübsches Würfel-Puzzle, wenn man den Spielwürfel in neun Balken aufteilt.  In einer mittleren Schicht legt man die Balken vertikal, außen jeweils horizontal. Dann ist das Puzzle interessanter.

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Man kann den 3x3x3-Würfel auch aus 9 V-Triominos (Bild) oder aus Somawürfel bilden und mit entsprechenden Punkten belegen.

Rubik's Dice   top Rubik's Dice ist ein schwarzer Plastikwürfel 7cm x 7cm x 7cm, der statt Augen kreisförmige Öffnungen nach Art eines Würfels hat. Im Würfel befinden sich sieben weiße, quadratische Platten mit roten Kreisen, die innen an die Wände gelegt werden können. Die direkt an der Öffnung liegende Platte bleibt haften. Man kann sie von außen mit einem mitgelieferten Stempel wieder lösen. Die Platten schließen die Öffnungen rot oder weiß. Eine Lösung des Puzzles ist gefunden, wenn die Platten im Inneren so sortiert werden, dass der Würfel am Ende nur weiße Augen hat. 

Man merkt bald, dass man das Puzzle nicht durch Probieren lösen kann. Es gibt bei sieben Platten zu viele Möglichkeiten, die Öffnungen mit den Platten zu schließen. Auch ist das Bewegen der Platten mühsam. 

Man geht so vor: Man kann durch die Löcher in den Würfel hineinsehen und die Muster beider Plattenseiten abzeichnen. Die Platten zeigen oben rechts zweistellige Zahlen (Bedeutung?), die als Namen dienen können. Es ergibt sich das folgende Bild: 

Jetzt ist die Lösung einfach. Wer sich den Spaß an der Lösung nicht nehmen lassen will, möge jetzt selbst tätig werden... 

Nur Platte 78 (links) passt auf die Sechs, dann nur 65 (links) auf die Fünf, dann nur 34 links auf die Vier, dann nur 58 (rechts) auf die Drei, dann nur 12 (rechts) auf die Zwei und dann nur 14 (links) auf die Eins. Die Platte 47 ist überflüssig. 
Es gibt also genau eine Lösung. 

Übrigens habe ich inzwischen den Würfel aufgesägt :-(, um die Seite einer Platte zu scannen. Außerdem war ich neugierig zu erfahren, warum die Platten haften bleiben. - Die Platten sind aus Eisenblech. Sie werden von sechs ringförmigen Magneten gehalten. Diese befinden sich im Inneren in den Mitten. Ihre Umrisse sind von außen zu erkennen. 

Summenproblem    top
Gegeben sind 8 Spielwürfel. Man soll einen 2x2x2-Würfel bauen, so dass die Summe der Augenzahlen auf jeder Seitenfläche gleich  ist. 
Es folgt eine von 20 736 Lösungen für die Summe 14. 

Mehr findet man  in dem Artikel "Würfelspiele im Intercity" von Reinhard Droste in <bild der wissenschaft> 3-1980.

Weitere Würfelformen top
Der Würfel gehört zu den fünf platonischen Körpern. Das sind die Körper, die nur von regelmäßigen Vielecken gebildet werden. Sie  heißen Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Ikosaeder und Pentagondodekaeder. 
Man kann nach ihrem Vorbild Würfel bauen. 

Mit ihnen kann man 4,6, 8,12 oder 20 Zahlen würfeln. Es zählt immer die Zahl, die oben liegt. Eine Ausnahme bildet das Tetraeder. Da zählt die Zahl, die verdeckt ist, oder besser die, die wie im Bild an der Spitze steht. 

Im Internet habe ich weitere interessante Würfelkörper gefunden, die mathematisch möglich sind. Sie sind konvex, werden von kongruenten Vielecken gebildet und jedes Vieleck ist bezüglich des Schwerpunktes gleichberechtigt ("Properties of Dice", URL unten). 

...	Interessant ist der Würfel d10. Er hat angenähert die Form einer Doppelpyramide, wobei die gemeinsame Grundfläche in etwa ein Fünfeck ist. Er trägt die Zahlen 0 bis 9, also die Ziffern des Zehnersystems. Auf diese Weise kann man mit mehreren Würfeln dieser Art mehrstellige Zufallszahlen finden.

...	Der Würfel in Kugelform ist originell:  Im Inneren befindet sich eine Stahlkugel, die nur in eine der sechs Mulden zur Ruhe kommen kann.  So erscheinen trotz der Kugelform die Augen 1 bis 6 immer oben.

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Es gibt viele Möglichkeiten zufällige Zahlen zu ermitteln. Nach dem Vorbild der Lottoziehung könnte man 6 gleiche Kugeln (TT-Bälle!) mit Zahlen versehen, in einen Behälter ("Urne") legen, gut mischen und dann eine Kugel verdeckt ziehen. Die gezogene Kugel trägt die "gewürfelte" Zahl. -  Neues Würfeln bedeutet, die gezogene Kugel vor jedem "Würfeln" wieder zurückzulegen und dann erst wieder zu ziehen.  Dieses ist das übliche Modell in der Mathematik den Würfel zu simulieren und in eine Theorie einzubinden.

Gefälschte Würfel  top
Man nennt einen Würfel, der beim Würfeln bestimmte Augen häufiger anzeigt als andere, einen gefälschten oder gezinkten Würfel. 

Man kann den normalen Würfel auf unterschiedliche Weise manipulieren: 
> Ein Würfel trägt nicht sechs verschiedene Zahlen. Bis zu drei Zahlen können fehlen, da man immer nur drei Seiten des Würfels  sieht. 
> Man kann einen Würfel in der äußeren Form kaum merklich verändern. Die Ecken können unterschiedlich stark gerundet werden, die Seitenquadrate unterschiedlich groß sein. 
> Ein Würfel kann im Inneren manipuliert sein. Befindet sich im Inneren unsymmetrisch ein Metallkörper, so wird sich der Würfel bevorzugt so bewegen, dass der schwerere Körper unten liegt. - Ein Hohlraum wird meist oben sein. 
> Eine Quadratfläche eines Würfels kann so behandelt werden, dass der Würfel beim Ausrollen auf ihr bevorzugt liegen bleibt. 
> Man kann zum Manipulieren magnetische Kräfte einsetzen, die sogar durch Funkkontakt eingeschaltet werden können. 

Die Grenzen zwischen einem fairen und einem gefälschten Würfel sind fließend. Zur Entscheidung führt man heute den Chi-Quadrat-Test durch, bei dem typische Abweichungen von der Gleichverteilung erfasst und bewertet werden.

Der Computer würfelt top
Man kann das Würfeln mit dem Computer simulieren. Dazu gibt es in allen Programmiersprachen (z.B. in Visual Basic) einen Zufallsgenerator, der Dezimalzahlen zwischen 0 und 1 liefert (A=RND). 
 

...	Man multipliziert diese Zahlen mit 6, schneidet mit der Funktion INT die Dezimalen ab und addiert 1.  Das wird links an sechs Beispielen demonstriert.  Man erhält hier zufällig die Zahlen 4, 1, 4, 5 ,6 und 1.

Es macht keine große Mühe so mal eben 6000x  zu "würfeln". 

...	Die Häufigkeitstabelle zeigt, dass die Zahlen von 1 bis 6 etwa gleich oft vorkommen, nämlich etwa 1000x.

Das sagt auch die Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl (z.B. eine Drei) zu würfeln, ist gleich 1/6 (=1000:6000). Nach dem Gesetz der großen Zahl wird 1/6 immer besser erfüllt, je größer die Anzahl der Würfe ist. - Andererseits muss ein guter Würfelsimulator eine gewisse Streuung haben. Darin liegt gerade die Schwierigkeit, einen guten Zufallsgenerator zu programmieren. 

Für das praktische Würfeln ist eine Wahrscheinlichkeitsaussage wie 1/6 wenig nützlich. Man weiß nichts über den nächsten Wurf. Jeder Wurf ist unabhängig vom vorhergehenden Wurf.

Spielwürfel im Internet top

Deutsch

Antje Hofmann
Online-Spiel : Mensch - ärgere - dich - nicht

Faroul
Würfel

Wikipedia
Spielwürfel

ARJAN VERWEIJ
Dice

Kevin Cook 
Collection of Dice

Edd Peg Jr  (mathpuzzle.com)
Fair Dice

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Dice

Jacqueline de Swart
Jacqueline 's dicecollection, Linkpage

Klaus Æ. Mogensen
Properties of Dice

Leo van der Heijdt
Welcome to the Homepage of  DICE  Collector (Dutch / English)

Steve Wunter
A Brief History of Dice

Wikipedia
Dice

Referenzen    top
(1) Robert E.Lembke, Michael Schiff: Das große Haus- und Familienbuch der Spiele, Frankfurt a.M. 1970
(2) Martin Gardner: Mathematische Hexereien, Berlin 1988 
(3) Rüdiger Thiele, Konrad Haase: Der verzauberte Raum, Leipzig 1991
(4) Reiner Knizia: Das große Buch der Würfelspiele (124 Spiele), München 2000