Abgestumpfter Würfel
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Was ist der abgestumpfte Würfel?
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Weitere Körper
Abgestumpfter Würfel im Internet
Referenzen
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Was ist der abgestumpfte Würfel?
......
Der abgestumpfter Würfel ist ein Körper, der von 6 regelmäßigen Achtecken und 8 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 


Er entsteht aus einem Würfel, indem man an den Ecken passend dreiseitige Pyramiden abschneidet. 
......
Dazu teilt man alle Kanten so, dass regelmäßige Achtecke entstehen.
An den acht Ecken des Würfels entstehen acht gleichseitige Dreiecke. Die sechs Quadrate des Würfels reduzieren sich auf Achtecke. 

Neben den 8+6=14 Seitenflächen hat der abgestumpfte Würfel 36 Kanten und 24 Eckpunkte.

Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:

durchsichtig:



Da beim Würfelstumpf (1) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört er zu den 13 archimedischen Körpern.

Beschreibung  top
Paare
Im abgestumpften Würfel stehen sich die Dreiecke und die Achtecke parallel und paarweise gegenüber.

4 Paare

3 Paare


Parallelprojektionen

Ein Achteck liegt vorne

Ein Dreieck liegt vorne

Die Seite eines Dreiecks liegt vorne

 

Die gemeinsame Seite zweier 
Achtecke liegt vorne

Eine Ecke liegt vorne
durchsichtig

Eine Ecke liegt vorne, 
undurchsichtig

Schlegel-Diagramm

Netz
Ein Netz von vielen des abgestumpften Würfels.

Diagonalen
120 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Achtecke sind die Flächendiagonalen des abgestumpften Würfels. Das Achteck hat 20 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 6*20=120 Flächendiagonalen.

120 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 24 Eckpunkte gehen je 10 verschieden lange Raumdiagonalen aus. 
Das führt zu insgesamt (1/2)*24*10=120 Raumdiagonalen des abgestumpften Würfels.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für den abgestumpften Würfel bedeutet das, dass es (1/2)*23*24=276 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 36 Kanten, 120 Flächendiagonalen und 120 Raumdiagonalen.

Größen  top
Der abgestumpfte Würfel sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich u.a. die weiteren Größen Radius R der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O, Abstand d8 der Achtecke und Abstand d3 der Dreiecke berechnen.


Herleitungen
Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten  der sechs Achtecke und der acht Dreiecke zusammen: O = 6A8+8A3
......
Ist a die Kantenlänge des abgestumpften Würfels, so hat das Achteck den Flächeninhalt 
A8 = [a+sqrt(2)a]²-4*[(1/2)[(1/2)sqrt(2)]²a²] = 2a²+2sqrt(2)a²
Es gilt A3 = (1/4)sqrt(3)a².
O= 6A8+8A3 = 6[2a²+2sqrt(2)a²]+8[1/4)sqrt(3)a²] = 2[6+6sqrt(2)+sqrt(3)]a², wzbw.

Volumen
Man erhält das Volumen des abgestumpften Würfels, indem man vom Volumen des Würfels 8x das Volumen der abzuschneidenden Pyramide  subtrahiert. 
Der Würfel hat ein Volumen von V'=[a+sqrt(2)a]³=[7+5sqrt(2)]a³.
Die Grundfläche der Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Flächeninhalt 
A3 = (1/4)sqrt(3)a².
...... Die Raumhöhe H erhält man, wenn man einen Schnitt durch die Pyramide längs einer Flächenhöhe h = (1/2)sqrt(3)a des Dreiecks legt. Es tritt ein rechtwinkliges Dreieck auf mit den Seiten H, (1/2)sqrt(2)a und (2/3)h.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt H² = [(1/2)sqrt(2)a]²-[(2/3)h]² = (1/2)a²-(1/3)a² = (1/6)a² oder H = (1/6)sqrt(6)a.
Damit ist V8 = (1/3)*(1/4)sqrt(3)a²*(1/6)sqrt(6)a = (1/24)sqrt(2)a³.
Es gilt V = V'-8V8 = [7+5sqrt(2)]a³ - 8*(1/24)sqrt(2)a³ = (1/3)[21+14sqrt(2)]a³, wzbw..

Radius R der Umkugel 
......
M sei der Mittelpunkt des Würfels. In den Würfel legt man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten R, dem Abstand des Mittelpunkts von einer Seitenfläche (1/2)[a+sqrt(2)]a und der Größe y. Nach dem Satz des Pythagoras gilt R² = {(1/2)[a+sqrt(2)]a}²+y². 
Im blauen Dreieck gilt y² = {(1/2)[a+a*sqrt(2)]}²+[(1/2)a]² = a²+(1/2)sqrt(2)a².
Damit ist R² = {(1/2)[a+sqrt(2)]a}²+a²+(1/2)sqrt(2)a² = [7/4+sqrt(2)]a² oder R = (1/2)sqrt[7+4sqrt(2)]a, wzbw.

Abstand d3 der Dreiecke 
...... Der Abstand ist eine Teilstrecke der Raumdiagonale des Würfels und ist die Länge der Verbindungslinie der Mittelpunkte gegenüberliegender Dreiecke. 
Im nebenstehenden rechtwinkligen Dreieck liest man ab:
(1/4)d3² = R²-[(2/3)h]²={(1/2)sqrt[7+4*sqrt(2)]²-(1/3)a²=(7/4)a²+sqrt(2)-(1/3)a² 
Dann ist weiter d3² = [(17/3)+4*sqrt(2)]a² oder  d3 = (1/3)sqrt[51+36*sqrt(2)]a, wzbw.

Abstand d8 der Achtecke
Der Abstand der Achtecke ist die Kantenlänge des Würfels: d8 = a+sqrt(2)a = [1+sqrt(2)]a, wzbw.
Winkel zwischen zwei Seitenflächen

Der Winkel zwischen zwei Achtecken beträgt 90°.
Der Winkel zwischen Dreieck und Achteck beträgt 125°16'. 
Quelle (1)

Weitere Körper top
Kuboktaeder
......
Aus einem Würfel kann ein zweiter Körper auch durch Abschneiden dreiseitiger Pyramiden entstehen. Dazu halbiert man die Kanten.
Er heißt Kuboktaeder


Triakisoktaeder
Verbindet man die Mittelpunkte nebeneinander liegender Mittelpunkte der Seitenflächen, so entsteht der duale Körper des abgestumpften Würfels, das Triakisoktaeder.
Es gehört somit zu den catalanischen Körpern. 
...... Das Triakisoktaeder ist ein ebener Körper, der sich aus 24 gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt. 
Es hat 14 Ecken und 36 Kanten.
Es kann auch als Oktaeder aufgefasst werden, auf dessen Dreiecke Pyramiden stehen. So erklärt sich der Name.

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Deutsch

Wikipedia
Hexaederstumpf, Archimedischer KörperCatalanischer KörperTriakisoktaeder

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated CubeArchimedean Solid, Small Triakis Octahedron

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
Truncated Cube and Cuboctahedron (Applet) 

G. Korthals Altes
Paper Models of Truncated Cube

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programmes.

Wikipedia
Truncated cube, Archimedean solidCatalan solid,   Triakisoctahedron

Französisch

Robert FERRÉOL
CUBE TRONQUÉ


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 103)


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©  2007, überarbeitet 2013, Jürgen Köller

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