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Was ist der abgestumpfte Würfel?
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Ein abgestumpfter Würfel ist ein
Körper, der von 6 regelmäßigen Achtecken und 8 gleichseitigen
Dreiecken gebildet wird. |
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Er entsteht aus einem Würfel, indem man an den Ecken passend dreiseitige
Pyramiden abschneidet.
Dazu teilt man alle Kanten so, dass regelmäßige Achtecke
entstehen. |
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört er zu den archimedischen Körpern.
Aus den acht Ecken des Würfels werden
bei diesem Körper acht gleichseitige Dreiecke.
Die sechs Quadrate des Würfels bleiben als Achtecke erhalten.
Neben den 8+6=14 Seitenflächen hat der abgestumpfte
Würfel 36 Kanten und 24 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden
Bilder ermöglichen eine dreidimensionale Ansicht des Körpers.
undurchsichtig:
durchsichtig:
Besondere Lagen top
Ein Achteck liegt vorne
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Ein Dreieck liegt vorne
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Die Seite eines Dreiecks liegt vorne
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Die gemeinsame Seite zweier Achtecke liegt vorne
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Eine Ecke liegt vorne, durchsichtiger Körper
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Eine Ecke liegt vorne, undurchsichtiger Körper
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Ein Schlegel-Diagramm
Netz top
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Ein Netz von vielen des abgestumpften Würfels. |
Größen top
Der abgestumpfte Würfel sei durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich u.a. die weiteren Größen Radius R
der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O, Abstand d8
der Achtecke und Abstand d3 der Dreiecke berechnen.
Herleitungen
Oberfläche
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten
der sechs Achtecke und der acht Dreiecke zusammen: O=6A8+8A3
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Ist a die Kantenlänge des abgestumpften Würfels, so hat das
Achteck den Flächeninhalt
A8=[a+sqrt(2)a]²-4*[(1/2)[(1/2)sqrt(2)]²a²]=2a²+2sqrt(2)a²
Es gilt A3= (1/4)sqrt(3)a². |
O=6A8+8A3=6[2a²+2*sqrt(2)a²]+8[1/4)sqrt(3)a²]=2[6+6*sqrt(2)+sqrt(3)]a²,
wzbw.
Volumen
Man erhält das Volumen des abgestumpften Würfels, indem man
vom Volumen des Würfels 8x das Volumen der abzuschneidenden Pyramide
subtrahiert.
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Der Würfel hat ein Volumen von V'=[a+sqrt(2)a]³=[7+5sqrt(2)]a³.
Die Grundfläche der Pyramide ist ein gleichseitiges Dreieck mit
der Flächeninhalt A3= (1/4)sqrt(3)a².
Die Raumhöhe H erhält man, wenn man einen Schnitt durch die
Pyramide längs einer Flächenhöhe h=(1/2)sqrt(3)a des Dreiecks
legt. Es tritt ein rechtwinkliges Dreieck auf mit den Seiten H, a und (2/3)h. |
Nach dem Satz des Pythagoras gilt H²=a²-[(2/3)h]²=a²-[(2/3)(1/2)sqrt(3)a]²=(2/3)a²
oder H=(1/6)sqrt(6)a.
Damit ist V8=(1/3)*(1/4)sqrt(3)a²*(1/6)sqrt(6)a=(1/24)sqrt(2)a³.
Es gilt V=V'-8V8= [7+5sqrt(2)]a³ - 8*(1/24)sqrt(2)a³=
(1/3)[21+14sqrt(2)]a³, wzbw..
Radius R der
Umkugel
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M sei der Mittelpunkt des Würfels. In den Würfel legt man
ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten R, dem Abstand des Mittelpunkts
von einer Seitenfläche (1/2)[a+sqrt(2)]a und der Größe
y. Nach dem Satz des Pythagoras gilt
R²={(1/2)[a+sqrt(2)]a}²+y².
Im blauen Dreieck gilt y²={(1/2)[a+a*sqrt(2)]}²+[(1/2)a]²=a²+(1/2)sqrt(2)a². |
Damit ist R²={(1/2)[a+sqrt(2)]a}²+a²+(1/2)sqrt(2)a²=[7/4+sqrt(2)]a²
oder R=(1/2)sqrt[7+4sqrt(2)]a, wzbw.
Abstand d3
der
Dreiecke
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Der Abstand ist eine Teilstrecke der Raumdiagonale des Würfels
und ist die Länge der Verbindungslinie der Mittelpunkte gegenüberliegender
Dreiecke.
Im nebenstehenden rechtwinkligen Dreieck liest man ab:
(1/4)d3²=R²-[(2/3)h]²={(1/2)sqrt[7+4*sqrt(2)]²-(1/3)a²=(7/4)a²+sqrt(2)-(1/3)a²
oder
d3²=[(17/3)+4*sqrt(2)]a²
oder d3=(1/3)sqrt[51+36*sqrt(2)]a,
wzbw. |
Abstand d8
der
Achtecke
Der Abstand der Achtecke ist die Kantenlänge des Würfels:
d8=a+sqrt(2)a=[1+sqrt(2)]a, wzbw.
Zweiter "abgestumpfter"
Würfel top
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Aus einem Würfel kann ein zweiter Körper auch durch Abschneiden
dreiseitiger Pyramiden entstehen. Dazu halbiert man die Kanten.
Er heißt Kuboktader. |
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Abgestumpfter Würfel
im Internet top
Deutsch
Horst Steibl
Erzeugung
von archimedischen Körpern aus Tetraeder, Würfel, Oktaeder durch
Kappen der Ecken und Kanten
Wikipedia
Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Truncated
Cube, Archimedean
Solid, Small
Triakis Octahedron
Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique )
Truncated
Cube and Cuboctahedron (Applet)
G. Korthals Altes
Paper Models
of Truncated Cube
Poly
A program for downloading
(Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra)
Wikipedia
Truncated cube,
Archimedean
solid, Catalan_solid
| Dualer Körper: Triakisoctahedron |
Der Körper ist ein Oktaeder mit acht auf die Seitenflächen
gesetzten, dreiseitigen Pyramiden
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Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(Seite 103)
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URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2007 Jürgen Köller
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