Dreieckszahlen
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Was sind Dreieckszahlen?
Formeln
Besondere Dreieckszahlen
Paare zählen
Anzahl der Rechtecke im nxn-Quadrat
Gaußsche Summenformel
Lage im Pascalschen Dreieck
Figurenzahlen
Zahlenfiguren
Dreieckszahlen im Internet
Referenzen
.
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Was sind Dreieckszahlen?
Das sind die ersten 100 Dreieckszahlen:

Die Folge der Dreieckszahlen entsteht aus den natürlichen Zahlen.
Man gibt 1 vor und addiert nacheinander die nachfolgende Zahl:

1
1+2=3
(1+2)+3=6
(1+2+3)+4=10
(1+2+3+4)+5=15
...

Der Name Dreieckszahl erklärt sich aus der folgenden graphischen Darstellung.

Formeln    top
Die allgemeine Darstellung einer Dreieckzahl ist dn= 1 + 2 + 3 + 4 +...+ (n-2) + (n-1) + n,
wobei n eine natürliche Zahl ist. 


Diese Summe kann man mit dn= n * (n + 1) / 2 zusammenfassen.
Beweis:
  dn= 1 + 2 + 3 + ...+ (n-2) + (n-1) + n
  dn= n + (n-1) + (n-2) +... + 3 + 2 + 1
------------------------------------------
Die Terme auf beiden Seiten werden addiert. 
Dabei werden die rechten Terme paarweise zu (n + 1) zusammengefasst. Es gibt n Terme.
2dn=n * (n+1)
dn= n * (n + 1) / 2, w.z.b.w.

Es gilt die Rekursionsformel d1=1 und dn+1= dn+ n

Besondere Dreieckszahlen top
Gerade und ungerade Dreieckszahlen 
...... Man sieht: 

Die geraden Dreieckszahlen in Rot und die ungeraden in Schwarz bilden in der normalen Reihenfolge Paare.


Die kleinsten Quadratzahlen
1=1²
d8=36=6²
d49=1225=35²
d288=41616=204²
d1681=1413721=1198²
d9800=480024900=6930²
d57121=1631432881=40391²
...
Die kleinsten Palindrome
d10=55
d11=66
d18==171
d34=595
d36=666
d77=3003
d109, d132, d173 , d363, 
...
Vollkommene Zahlen
Eine Zahl, deren Summe ihrer Teiler (kleiner als die Zahl selbst) gleich der Zahl ist, heißt vollkommene Zahl.
Die ersten vollkommenen Zahlen sind 6, 28 und 496. Sie sind Dreieckszahlen wie jede vollkommene Zahl. 

Die Zahl 666 
Die Summe aus sechs der sieben römischen Ziffern ist D+C+L+X+V+I=666. Das Zeichen M fehlt. 
Man kann auch schreiben: DCLXVI=666.

666 ist die größte Dreieckszahl, die man aus gleichen Ziffern bilden kann. Das ist bewiesen (1, Seite 98). 

666 ist eine Smith-Zahl. Das heißt: Die Quersumme [6+6+6] ist gleich der Summe der Ziffern aller Primteiler [2+3+3+(3+7)]
(1, page 200). 

Die Zahl 666 geriet ins Zwielicht, weil sie in der Bibel  als "Zahl des Tieres" bezeichnet wird: 
Hier ist Weisheit! Wer Verstand hat, der überlege die Zahl des Tieres; denn es ist eines Menschen Zahl, und seine Zahl ist sechshundertsechsundsechzig (Offenbarung des Johannes 13,18 in Luthers Übersetzung).
In der Interpretation der Bibelausleger ist die Zahl des Tieres eine "böse Zahl" und wird auch als Zahl des Biestes (Number of the Beast), als Satanszahl oder als Zahl des Antichristen bezeichnet. 

Folglich hat man 666 in den Namen der Kaiser Nero und Diokletian gesucht und gefunden, denn sie haben in ihrer Zeit die Christen verfolgt. 
Zur Zeit der Religionskriege im 16.Jahrhundert wurde 666 mit dem Namen Luthers verbunden, im Gegenzug auch mit dem des Papstes.

Das Beispiel des Papstes verfolgt das Prinzip der Chronogramme.
Der Papst wird bezeichnet mit VICARIUS FILII DEI (Stellvertreter des Sohnes Gottes). Addiert man darin die Werte der römischen Ziffern, so ergibt sich 666 (VICARIVS FILII DEI).

Im Internet wird man nach Eingabe des Suchwortes 666 überschwemmt mit Informationen, wenn man denn will.


Paare zählen    top
Gibt man z.B. 5 Objekte vor wie die Buchstaben a,b,c,d und e, so kann man nach der Anzahl der Paare fragen, die man aus ihnen bilden kann. 
In diesem Falle sind das die zehn Paare ab, ac, ad, ae, bc, bd, be, cd, ce und de. Die Anzahl ist die Dreieckszahl 1+2+3+4.

Dieser Sachverhalt hat viele Anwendungen. Hier vier Beispiele:

Dominosteine
Gegeben sind je 8 gleiche Quadrate mit den Augen 0,1,2,3,4,5 und 6. Sie werden zu Paaren zusammengestellt.

Es gibt 7+6+5++4+3+2+1=28 Steine. Das ist eine Dreieckszahl.
 
......
Es gibt auch Dominospiele mit 36 oder 45 Steinen, wenn man Quadrate mit 7 und 8 Augen hinzufügt.


Jeder mit jedem
...... Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1) Strecken. 

Links ein Beispiel für n=7.


Hände schütteln
Bei einer Gesellschaft mit n Personen schüttelt jeder jedem die Hand. 
Ergebnis: Man gibt sich [1+2+3+...+(n-1)]- mal die Hand.
Prost
Jeder stößt mit jedem mit einem Glas Sekt an. 

Anzahl der Rechtecke im nxn-Quadrat 
......
Im 3x3-Quadrat links gibt es 36 Rechtecke, davon sind 14 Rechtecke sogar quadratisch.
Begründung für ein nxn-Quadrat:
Jedes Rechteck wird aus Paaren zweier Vertikalen und zweier Horizontalen gebildet. 
Es gibt n+1Vertikale, aus denen man n(n+1)/2 Paare bilden kann. n+1 Horizontale haben auch n(n+1)/2 Paare.
Insgesamt gibt es [n(n+1)/2]² Kombinationen. 
Setzt man n=3, ergibt sich 36.
Man kann leicht auf die Anzahl von Quader im Würfel und sogar in einem Quader verallgemeinern. 
(Andreas Künkenrenken, danke für die Zuschrift.)


Gaußsche Summenformel top
Vom bedeutenden Mathematiker Karl Friedrich Gauß (1777-1855) erzählt man sich die folgende Geschichte:
Er sollte als Schüler in der Schule die Zahlen von 1 bis 100 zusammenzählen. Der Lehrer nahm an, dass er damit eine Weile beschäftigt war. Schon nach kurzer Zeit fand er die Summe 5050. 
Erklärung: 
Statt stur die Zahlen von 1 bis 100 der Reihe nach zu addieren, bildete er Zahlenpaare mit denselben Summenwerten und konnte multiplizieren:

1+2+3+4+...+50+51+...+99+100 
= (1+100) + (2+99) + ... + (50+51)
= 50*101 
= 5050
[(3), Seite 22f.]


Lage im Pascalschen Dreieck top
......
Wie so oft in der Zahlentheorie bietet auch hier das Pascaldreieck einen Beitrag: 

Die rot gekennzeichneten Zahlen sind Dreieckszahlen. 

Man kann im Dreieck auch die Summe der Dreieckszahlen ablesen.
Beispiel: 1+3+6+10+15=35

Damit lassen sich die Dreieckszahlen auch als Binomialkoeffizienten darstellen.


Figurenzahlen    top
Die Dreieckszahlen können verallgemeinert werden. Man erweitert auf Vierecke, Fünfecke usw.
Dreieckszahlen
Quadratzahlen
Fünfeckszahlen
Sechseckszahlen
Siebeneckszahlen
Achteckszahlen
...
n*(n+1)/2

n*(3n-1)/2
n*(4n-2)/2
n*(5n-3)/2
n*(3n-2)
...
1 3 6 10 15 21 28... 
1 4 9 16 25 36 49... 
1 5 12 22 35 51 70... 
1 6 15 28 45 66 91... 
1 7 18 34 55 81 112... 
1 8 21 40 65 96 133...
...
Eine Spielerei ist es herauszufinden, welche Dreieckszahlen in den neuen Zahlenfolgen vorkommen. 


Man kann in einer Verallgemeinerung  der Dimension 2 (Dreieckszahlen) auf  höhere Dimensionen ausdehnen:
Dreieckszahlen
Tetraederzahlen
Hypertetraederzahlen
...
n*(n+1)/2
n*(n+1)*(n+2)/6
n*(n+1)*(n+2)*(n+3)/24
...
1 3 6 10 15 21...
1 4 10 20 35 56...
1 5 15 35 70 126...
...
Auch hier stellt sich die Frage, welche Dreieckszahlen sich in höheren Dimensionen wiederholen.

Es gilt der Satz: Die Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen ist eine Quadratzahl. 
Zum Beweis rechnet man dn + dn+1 aus und erhält (n+1)². 
Auch die Darstellung mit Dreiecken oben bestätigt diese Aussage.

Zahlenfiguren    top
Die folgende Spielerei findet man auf meiner Seite Fakultäten.
5
7 9
7 1 2
6 0 2 0
7 4 7 3 6
7 9 8 5 8 7
9 7 3 4 2 3 1
5 7 8 1 0 9 1 0
5 4 1 2 3 5 7 2 4
4 7 3 1 6 2 5 9 5 8
7 4 5 8 6 5 0 4 9 7 1
6 3 9 0 1 7 9 6 9 3
8 9 2 0 5 6 2 5 6
1 8 4 5 3 4 2 4
9 7 4 5 9 4 0
4 8 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0

Die Zahl 81! hat 121 Ziffern. 

Diese Anzahl ist die Summe der Dreieckszahlen d10+d11=55+66.

Deshalb kann man eine Figur aus zwei Dreiecken bilden.


8 2 4 7 6 5
0 5 9 2 0 8 2
4 7 0 6 6 6 7 2
3 1 7 0 3 0 6 7 8
5 4 9 6 2 5 2 1 8 6
2 5 8 5 5 1 3 4 5 4 3
7 4 9 2 9 2 2 1 2 3
1 3 4 3 8 8 9 5 5
7 7 4 9 7 6 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 
Die Zahl 65! hat 91 Ziffern. 

Aus ihnen bildet man ein Sechseck. 

Es gilt (d10+d11)- 2*d5=55+66-2*15=91



 

Dreieckszahlen im Internet      top

Deutsch

blogger.de
153

Jutta Gut
Figurierte Zahlen - die Arithmetik der Spielsteinchen

Wikipedia
Dreieckszahl, Zentrierte Dreieckszahl, Polygonalzahl, Sechshundertsechsundsechzig, Hundertdreiundfünfzig
Gaußsche Summenformel


Englisch

Alexander Bogomolny  (cut-the-knot)
There exist triangular numbers that are also square

American Scientist - the magazine of Sigma Xi, The Scientific Research Society (Reprint)
Brian Hayes: Gauss’s Day of Reckoning

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Triangular Number (Figurate Number, Heptagonal Triangular Number, Octagonal Triangular Number
Pentagonal Triangular Number, Pronic Number, Square Triangular Number

Mathpages.com
Square Triangular Numbers

Patrick De Geest (World of Numbers)
Palindromic Triangulars

Peter Macinnis 
Enquiring into triangular numbers

Shyam Sunder Gupta
Fascinating Triangular Numbers

Sigma Xi, The Scientific Research Society
Versions of the Gauss Schoolroom Anecdote

Wikipedia
Triangular number, Centered triangular numberPolygonal number, 153 (number)666 (number)


Referenzen    top
(1) Martin Gardner: Die magischen Zahlen des Dr. Matrix, Frankfurt am Main 1987 [ISBN 3-8105-0713-X]
(2) Jan Gullberg: Mathematics - From the Birth of Numbers, New York / London (1997) [ISBN 0-393-04002-X] 
(3) Walter Lietzmann: Lustiges und Merkwürdiges von Zahlen und Formen, Göttingen 1969


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2003 Jürgen Köller

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