Pascalsches Dreieck
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Was ist das pascalsche Dreieck?
Konstruktion
Binomialkoeffizient
Binomischer Lehrsatz
Pascalsche Zahlen
Muster im pascalschen Dreieck
Folgen im pascalschen Dreieck
Harmonisches Dreieck
Pascalsches Dreieck im Internet
Referenzen.
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Was ist das pascalsche Dreieck?
......
......
Das pascalsche Dreieck ist eine Anordnung von Zahlen in Dreiecksform,
konstruiert nach einem einfachen Bildungsgesetz.


Konstruktion     top
1
1   1
...... Das Bildungsgesetz lautet wie folgt.

Man geht von einem Dreieck aus drei Einsen aus.
Die folgenden Zeilen beginnen und enden auch mit einer Eins. 
Dazwischen liegen Zahlen, die sich als Summe der beiden darüber liegenden Zahlen ergeben.
So kann das Dreieck nach unten hin beliebig weit fortgesetzt werden.


Binomialkoeffizient top
Die Zahlen des pascalschen Dreiecks gehen also sukzessive auseinander hervor. 
...... Es gibt aber auch die Möglichkeit, sie unabhängig voneinander als sogenannte Binomialkoeffizienten zu berechnen. 
So erhält man die Zahl 20 in der horizontal liegenden 6. Zeile und in einer schräg liegenden 3. Spalte wie folgt.
 
... Man liest das Klammersymbol als "6 über 3". 
Auf dieser Seite heißt der Term auch C(6,3).


Allgemein wird die Zahl in der n-ten Zeile und der k-ten Spalte nach der Formel  berechnet.
Die Formel geht auf Euler zurück. Sie wurde in einem ganz anderen Zusammenhang gefunden. 
Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen auswählen kann.
Diese Anzahl ist z.B. beim Lottospiel von Interesse, wo es darum geht, aus den ersten 49 Zahlen "6 Richtige" zu finden. 
Mehr auf meiner Seite 13 983 816.

Der Term C(n,k) ermöglicht es, das Konstruktionsprinzip C(n,k-1)+C(n,k)=C(n+1,k) des pascalschen Dreiecks nachzuvollziehen. 
Jede Zahl ist die Summe der beiden darüber liegenden Zahlen.
Der Vollständigkeit halber sind noch die Ränder des Dreiecks mit C(0,0)=C(n,0)=C(n,n)=1 festzulegen.

Die Symmetrie des pascalschen Dreiecks ergibt sich aus der Identität C(n.k)=C(n,n-k), wie man leicht nachrechen kann.

Binomischer Lehrsatz  top
Es geht beim binomischen Lehrsatz darum, die Potenz einer zweigliedrigen Summe in eine Summe zu verwandeln. 
Der einfachste Fall ist die binomische Formel (a+b)²=a²+2ab+b².
Für die Potenzen (a+b)n ergibt sich für n=2, ... , 7. 
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)6
(a+b)7
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

Siehe da, die Vorzahlen bilden bei geschickter Anordnung der Summanden das pascalsche Dreieck.


Allgemein gilt: (a+b)n=C(n,0)anb0+C(n,1)an-1b1+C(n,2)an-2b2+...+C(n,n-2)a2bn-2+C(n,n-1)a1bn-1+C(n,n)a0bn.
Für einen Beweis dieser Formel wendet man die Methode der vollständigen Induktion an. 
Das wird auf der englischsprachigen Wikipedia-Seite Binomial theorem (URL unten) vorgeführt.

Der oben eingeführte Name Binomialkoeffizient für C(n,k) findet hier also eine Erklärung. 

Sonderfall
......
Setzt man a=b=1, so ist 2n gleich die Summe der Zahlen in der n-ten Zeile ist.

1+5+10+10+5+1 = 25
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-2)+C(n,n-1)+C(n,n) = 2n


Pascalsche Zahlen   top
In diesem Abschnitt werden u.a. einige Aussagen eines Aufsatzes aus "Bild der Wissenschaft" von 1965 wiedergegeben (1). 
Offenbar verwendete der Verfasser damals nicht den Computer. 


Definition
...... Lässt man beim pascalschen Dreieck die Einsen am Rande und die natürlichen Zahlen in den ersten Spalten weg, so bleiben die pascalschen Zahlen übrig.
Die ersten Zahlen sind 6, 10, 15, 20, 21, 28, 35, 36, 45, 55, 56, 66, 70, 78, 84, 91, 105, 120, 126, 136, 153, 165, 171, 190, 210, 220, 231, 252, 253, 276, 286, 300, 325, 330, 351, 364, 378, 406, 435, 455, 462, 465, 495, 496, 528, 560, 561, 595, 630, 666, 680, 703, 715, 741, 780, 792, 816, 820,...

Anzahl der pascalschen Zahlen bis zur 100.Zeile
...... Vorweg eine Beschränkung auf die ersten acht Zeilen.
Die Anzahl der Zahlen bestimmt man durch folgende Überlegung.
>Die Anzahl der markierten Zahlen ist 1+2+3+4+(8-3)=(5*6):2=15.
>(8-2):2=3 Zahlen in der vertikalen Symmetrieachse kommen einmal vor.
>15-3=12 Zahlen kommen doppelt vor. Das führt zu 12:2=6 Zahlen.
Insgesamt gibt es also 6+3=9 Zahlen.
Diese Anzahl konnte man natürlich direkt durch Abzählen erhalten. Aber so kann man verallgemeinern.

Man erhält die Anzahl der Zahlen der ersten 100 Zeilen, indem man die Zahl 8 durch 100 ersetzt.
>Die Anzahl der markierten Zahlen ist 1+2+...+(100-3)=(97*98):2=4753.
>(100-2):2=49 Zahlen kommen längs der vertikalen Symmetrieachse einmal vor.
>4753-49=4704 Zahlen kommen doppelt vor. Das führt zu 4704:2=2352 Zahlen.
Insgesamt gibt es danach also 2352+49=2401 Zahlen. 

Diese Zahl ist noch herabzusetzen, denn es gibt weitere, gleiche Zahlen im Dreieck, die nicht in einer Zeile liegen.
C(16,2)=C(10,3)
=120 
C(21,2)=C(10,4)
=210 
C(56,2)=C(22,3)
=1540 
C(78,2)=C(15,5)
=C(14,6)
=3003 
C(120,2)=C(36,3)
=7140 
C(153,2)=C(19,5)
=11628 
 C(221,2)=C(17,8)
=24310

Verteilung der pascalschen Zahlen
Nach (1) gibt es
eine einstellige Zahl (die Sechs)
15 zweistellige Zahlen
48 dreistellige Zahlen
135 vierstellige Zahlen
393 fünfstellige Zahlen
1140 sechsstellige Zahlen
3398 siebenstellige Zahlen
.
Unter den ersten 10 000 000 Zahlen gibt es also nur 1+15+48+135+393+1140+3398=5130 pascalsche Zahlen. 
Das sind nur 5130:10.000.000=0,000513 % aller Zahlen.

Muster im pascalschen Dreieck       top
Wegen der Fakultäten in C(n,k) = n!/[k!(n-k)!] sind die pascalschen Zahlen reich an Teilern.
In (1) wird als typische Zahl C(27,8)=2.220.075=33*52*11*13*23 angegeben.


Offenbar hat die Verteilung der Teiler System. Es ist nämlich bemerkenswert, dass auf der Spitze stehende Dreiecke entstehen, wenn man Zahlen mit gleichen Teilern markiert. Hier sind die Muster für einfache Teiler.

teilbar durch 2

teilbar durch 3

teilbar durch 5
Die Muster werden eindrucksvoller, wenn man mehr Zeilen betrachtet. Ich verweise dazu auf die Applets von Arndt Brünner und shodor.org (URL unten).

Folgen im pascalschen Dreieck         top
Dreieckszahlen
......... In den Spalten stehen Folgen, nämlich
> in der 0.Spalte die stagnierende Folge von Einsen,
> in der 1.Spalte die Folge der natürlichen Zahlen,
> in der 2. Spalte die Folge der Dreieckszahlen,
> in der 3. Spalte die Folge der Tetraederzahlen,
> in der 4. Spalte die Folge der Zahlen zum 4.dimensionalen Tetraeder,
> in der 5. Spalte die Folge der Zahlen zum 5.dimensionalen Tetraeder usw.
Es besteht ein Zusammenhang zwischen den Folgen. 
Jede rechts neben einer Folge liegende Folge ist immer die Folge der Partialsummen der vorhergehenden.
Z.B. ist die Dreiecksfolge 1, 3, 6, 10, 15, ... auch die Summenfolge 1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, ....
So ist erklärlich, dass in der obigen Zeichnung die Summe der Zahlen in den gelben Feldern gleich der Zahl im blauen Feld ist.


Catalan-Zahlen
Die Catalan-Zahlen geben an, in wie viele Dreiecke ein n-Eck durch die Diagonalen aufgeteilt wird.
Die ersten Glieder der Folge sind 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, ...  (Sloane's A000108). 

Zum Fünfeck gehört die Catalan-Zahl 5.

Bildungsgesetz


...... Die Folge der Catalan-Zahlen ist im pascalschen Dreieck abzulesen, indem man in einer Zeile jeweils die Differenz aus der Zahl auf der Symmetrieachse und der übernächsten Zahl bildet. 

Das sind 1, 2, 6-1, 20-6, 70-28, ...


Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge entsteht, wenn jedes Glied der Folge als Summe der beiden vorhergehenden Glieder berechnet wird. 
Auszugehen ist dabei von den ersten beiden Gliedern 1,1. Das führt zu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... 
(Das erinnert an die Konstruktion des pascalschen Dreiecks oben.) 
...... Die Glieder der Folge sind im pascalschen Dreieck vom 3.Glied an als Summen enthalten. 

Das sind die Summen aus diagonal liegenden Zahlen.
1+1=2, 2+1=3, 1+3+1=5, 3+4+1=8, 1+6+5+1=13, 4+10+6+1=21, 1+10+15+7+1=34, ...


Harmonisches Dreieck  top
...... Das harmonische Dreieck oder Leibniz-Dreieck geht aus dem pascalschen Dreieck hervor.


... In einem ersten Schritt bildet man die Kehrwerte der Zahlen. 

D.h., man ersetzt jede Zahl z durch 1/z.


...... In einem zweiten Schritt dividiert man die Zahlen jeder Zeile durch die um 1 vermehrte Nummer der Zeile,

d.h., die Zahl in der nullten Zeile durch 1, die in der erste Zeilen durch 2, die in der zweiten Zeile durch 3 usw.

So entsteht das harmonische Dreieck.


Die Zahlen C(n,k) des pascalschen Dreiecks werden also durch 1/[(n+1)C(n,k)] ersetzt.

Das Besondere ist, dass im harmonischen Dreieck jede Zahl die Summe der beiden darunter liegenden Zahlen ist.
Das heißt in der Formelsprache 1/[(n+1)C(n,k)] = 1/[(n+2)C(n+1,k)]+1/[(n+2)C(n+1,k+1)].
Bestätigung:
1/[(n+2)C(n+1,k)]+1/[(n+2)C(n+1,k+1)] =
[k!(n+1-k)!]/[(n+2)(n+1)!]+[(k+1)!(n-k)!]/[(n+2)(n+1)!] = [k!(n-k)!]/[(n+1)n!]{(n+1-k)/(n+2)+(k+1)/(n+2)} =[k!(n-k)!]/[(n+1)n!] 
=1/[(n+1)C(n,k)]

Pascalsches Dreieck im Internet         top

Arndt Brünner
Muster im Pascalschen Dreieck

Frederik Schäfer 
Poissionverteilung, Binomialverteilung und Hypergeometrische Verteilung

Manfred Börgens (Mathematik auf Briefmarken)
Blaise Pascal (1623 - 1662)Das Pascal'sche Dreieck mit alten chinesischen Dezimalzahlen 

Matroids Matheplanet
Das Pascalsche DreieckDas trinomische Dreieck

Michael Holzapfel
Das Pascalsche Dreieck

Walter Fendt
Binomialkoeffizienten und Pascalsches Dreieck  (Applet)

Wikipedia
Pascalsches DreieckBinomischer LehrsatzBinomische ReiheBinomialkoeffizient, Sierpinski-Dreieck, Fibonacci-Folge
Catalan-Zahlen, Harmonisches Dreieck


Englisch

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Pascal's Triangle, Pascal's Formula,   Binomial CoefficientBinomial Sums, Sierpinski Sieve, Tetrix
Number Triangle

Math Forum
Pascal's Triangle: Binomial Coefficient, Probability and CombinationsSierpinski Triangle

shodor.org
Coloring Multiples in Pascal's Triangle

The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Binomial coefficients: C(n,k), 2 <= k <= n-2, sorted, duplicates removed. (A006987)
Numbers that occur 5 or more times in Pascal's triangle (A003015)

Wikipedia
Pascal's trianglePascal's ruleBinomial theoremBinomial seriesBinomial coefficientStar of David theorem
Sierpinski triangleFibonacci numberCatalan numberLeibniz harmonic triangle


Referenzen     top
(1) Siegfried Rösch: Neues vom Pascal-Dreieck, Bild der Wissenschaft, September 1965 (Seite 758ff.) 
(2) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt am Main, 1975 [ISBN 3-550-07675-4]


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©  2010 Jürgen Köller

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