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Was ist das pascalsche Dreieck?
... ...
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... ...
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Das pascalsche Dreieck ist eine Anordnung von Zahlen in Dreiecksform,
konstruiert nach einem einfachen Bildungsgesetz. |
Konstruktion top
1
1 1
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...... |
Das Bildungsgesetz lautet wie folgt.
Man geht von einem Dreieck aus drei Einsen aus.
Die folgenden Zeilen beginnen und enden auch mit einer Eins.
Dazwischen liegen Zahlen, die sich als Summe der beiden darüber
liegenden Zahlen ergeben.
So kann das Dreieck nach unten hin beliebig weit fortgesetzt werden. |
Binomialkoeffizient
top
Die Zahlen des pascalschen Dreiecks gehen also
sukzessive auseinander hervor.
.. .... |
Es gibt aber auch die Möglichkeit, sie unabhängig
voneinander als sogenannte Binomialkoeffizienten zu berechnen.
So erhält man die Zahl 20 in der horizontal
liegenden 6. Zeile und in einer schräg liegenden 3. Spalte wie folgt.
. .. |
Man liest das Klammersymbol als "6 über 3".
Auf dieser Seite heißt der Term auch C(6,3). |
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| Allgemein wird die Zahl in der n-ten Zeile und der k-ten Spalte nach
der Formel |
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berechnet. |
Die Formel geht auf Euler zurück. Sie wurde in einem ganz anderen
Zusammenhang gefunden.
Sie gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer
Menge von n verschiedenen Objekten ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne
Zurücklegen auswählen kann.
Diese Anzahl ist z.B. beim Lottospiel von Interesse, wo es darum geht,
aus den ersten 49 Zahlen "6 Richtige" zu finden.
Mehr auf meiner Seite 13
983 816.
Der Term C(n,k) ermöglicht es, das
Konstruktionsprinzip C(n,k-1)+C(n,k)=C(n+1,k) des pascalschen Dreiecks
nachzuvollziehen.
Jede Zahl ist die Summe der beiden darüber liegenden Zahlen.
Der Vollständigkeit halber sind noch die Ränder des Dreiecks
mit C(0,0)=C(n,0)=C(n,n)=1 festzulegen.
Die Symmetrie des pascalschen Dreiecks
ergibt sich aus der Identität C(n.k)=C(n,n-k), wie man leicht nachrechen
kann.
Binomischer Lehrsatz top
Es geht beim binomischen Lehrsatz darum, die Potenz einer zweigliedrigen
Summe in eine Summe zu verwandeln.
Der einfachste Fall ist die binomische Formel
(a+b)²=a²+2ab+b².
Für die Potenzen (a+b)n ergibt sich für n=2, ...
, 7.
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(a+b)2 =
(a+b)3 =
(a+b)4 =
(a+b)5 =
(a+b)6 =
(a+b)7 =
|
a2+2ab+b2
a3+3a2b+3ab2+b3
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7
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Siehe da, die Vorzahlen bilden bei geschickter Anordnung der Summanden
das pascalsche Dreieck.
Allgemein gilt: (a+b)n=C(n,0)anb0+C(n,1)an-1b1+C(n,2)an-2b2+...+C(n,n-2)a2bn-2+C(n,n-1)a1bn-1+C(n,n)a0bn.
Für einen Beweis dieser Formel wendet man die Methode der vollständigen
Induktion an.
Das wird auf der englischsprachigen Wikipedia-Seite Binomial theorem
(URL unten) vorgeführt.
Der oben eingeführte Name Binomialkoeffizient
für C(n,k) findet hier also eine Erklärung.
Sonderfall
... ...
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Setzt man a=b=1, so ist 2n gleich die Summe der Zahlen in
der n-ten Zeile ist.
1+5+10+10+5+1 = 25
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n-2)+C(n,n-1)+C(n,n) = 2n
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Pascalsche Zahlen top
In diesem Abschnitt werden u.a. einige Aussagen eines Aufsatzes aus
"Bild der Wissenschaft" von 1965 wiedergegeben (1).
Offenbar verwendete der Verfasser damals nicht den Computer.
Definition
... ... |
Lässt man beim pascalschen Dreieck die Einsen am Rande und die
natürlichen Zahlen in den ersten Spalten weg, so bleiben die pascalschen
Zahlen übrig.
Die ersten Zahlen sind 6, 10, 15, 20, 21, 28, 35, 36, 45, 55, 56, 66,
70, 78, 84, 91, 105, 120, 126, 136, 153, 165, 171, 190, 210, 220, 231,
252, 253, 276, 286, 300, 325, 330, 351, 364, 378, 406, 435, 455, 462, 465,
495, 496, 528, 560, 561, 595, 630, 666, 680, 703, 715, 741, 780, 792, 816,
820,... |
Anzahl der pascalschen
Zahlen bis zur 100.Zeile
| ...... |
Vorweg eine Beschränkung auf die ersten acht Zeilen.
Die Anzahl der Zahlen bestimmt man durch folgende Überlegung.
>Die Anzahl der markierten Zahlen ist 1+2+3+4+(8-3)=(5*6):2=15.
>(8-2):2=3 Zahlen in der vertikalen Symmetrieachse kommen einmal vor.
>15-3=12 Zahlen kommen doppelt vor. Das führt zu 12:2=6 Zahlen.
Insgesamt gibt es also 6+3=9 Zahlen.
Diese Anzahl konnte man natürlich direkt durch Abzählen erhalten.
Aber so kann man verallgemeinern. |
Man erhält die
Anzahl der Zahlen der ersten 100 Zeilen, indem man die Zahl 8 durch
100 ersetzt.
>Die Anzahl der markierten Zahlen ist 1+2+...+(100-3)=(97*98):2=4753.
>(100-2):2=49 Zahlen kommen längs der vertikalen Symmetrieachse
einmal vor.
>4753-49=4704 Zahlen kommen doppelt vor. Das führt zu 4704:2=2352
Zahlen.
Insgesamt gibt es danach also 2352+49=2401 Zahlen.
Diese Zahl ist noch herabzusetzen, denn
es gibt weitere, gleiche Zahlen im Dreieck, die nicht in einer Zeile liegen.
C(16,2)=C(10,3)
=120
|
C(21,2)=C(10,4)
=210
|
C(56,2)=C(22,3)
=1540
|
C(78,2)=C(15,5)
=C(14,6)
=3003
|
C(120,2)=C(36,3)
=7140
|
C(153,2)=C(19,5)
=11628
|
C(221,2)=C(17,8)
=24310
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Verteilung der pascalschen
Zahlen
Nach (1) gibt es
eine einstellige Zahl (die Sechs)
15 zweistellige Zahlen |
48 dreistellige Zahlen
135 vierstellige Zahlen |
393 fünfstellige Zahlen
1140 sechsstellige Zahlen |
3398 siebenstellige Zahlen
. |
Unter den ersten 10 000 000 Zahlen gibt es also nur 1+15+48+135+393+1140+3398=5130
pascalsche Zahlen.
Das sind nur 5130:10.000.000=0,000513 % aller Zahlen.
Muster im pascalschen
Dreieck top
Wegen der Fakultäten in C(n,k) = n!/[k!(n-k)!] sind die pascalschen
Zahlen reich an Teilern.
In (1) wird als typische Zahl C(27,8)=2.220.075=33*52*11*13*23
angegeben.
Offenbar hat die Verteilung der Teiler
System. Es ist nämlich bemerkenswert, dass auf der Spitze stehende
Dreiecke entstehen, wenn man Zahlen mit gleichen Teilern markiert. Hier
sind die Muster für einfache Teiler.
teilbar durch 2
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teilbar durch 3
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teilbar durch 5
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Die Muster werden eindrucksvoller, wenn man mehr Zeilen betrachtet. Ich
verweise dazu auf die Applets von Arndt Brünner und shodor.org (URL
unten).
Folgen im pascalschen
Dreieck top
Dreieckszahlen
... ... ... |
In den Spalten stehen Folgen, nämlich
> in der 0.Spalte die stagnierende Folge von Einsen,
> in der 1.Spalte die Folge der natürlichen Zahlen,
> in der 2. Spalte die Folge der Dreieckszahlen,
> in der 3. Spalte die Folge der Tetraederzahlen,
> in der 4. Spalte die Folge der Zahlen zum 4.dimensionalen
Tetraeder,
> in der 5. Spalte die Folge der Zahlen zum 5.dimensionalen Tetraeder
usw. |
Es besteht ein Zusammenhang zwischen den Folgen.
Jede rechts neben einer Folge liegende Folge ist immer die Folge der
Partialsummen der vorhergehenden.
Z.B. ist die Dreiecksfolge 1, 3, 6, 10, 15, ... auch die Summenfolge
1, 1+2, 1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5, ....
So ist erklärlich, dass in der obigen Zeichnung die Summe der
Zahlen in den gelben Feldern gleich der Zahl im blauen Feld ist.
Catalan-Zahlen
Die Catalan-Zahlen geben an, in wie viele Dreiecke
ein n-Eck durch die Diagonalen aufgeteilt wird.
Die ersten Glieder der Folge sind 1, 2, 5, 14,
42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, ... (Sloane's A000108).
Zum Fünfeck gehört die Catalan-Zahl 5.
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Bildungsgesetz
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... ... |
Die Folge der Catalan-Zahlen ist im pascalschen Dreieck abzulesen,
indem man in einer Zeile jeweils die Differenz aus der Zahl auf der Symmetrieachse
und der übernächsten Zahl bildet.
Das sind 1, 2, 6-1, 20-6, 70-28, ... |
Fibonacci-Folge
Die Fibonacci-Folge entsteht, wenn jedes Glied
der Folge als Summe der beiden vorhergehenden Glieder berechnet wird.
Auszugehen ist dabei von den ersten beiden Gliedern
1,1. Das führt zu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
(Das erinnert an die Konstruktion des pascalschen
Dreiecks oben.)
... ... |
Die Glieder der Folge sind im pascalschen Dreieck vom 3.Glied an als
Summen enthalten.
Das sind die Summen aus diagonal liegenden Zahlen.
1+1=2, 2+1=3,
1+3+1=5, 3+4+1=8,
1+6+5+1=13, 4+10+6+1=21,
1+10+15+7+1=34, ... |
Harmonisches Dreieck
top
... |
Das harmonische Dreieck oder Leibniz-Dreieck geht aus dem pascalschen
Dreieck hervor. |
... |
In einem ersten Schritt bildet man die Kehrwerte der Zahlen.
D.h., man ersetzt jede Zahl z durch 1/z. |
... |
In einem zweiten Schritt dividiert man die Zahlen jeder Zeile durch
die um 1 vermehrte Nummer der Zeile,
d.h., die Zahl in der nullten Zeile durch 1, die in der erste Zeilen
durch 2, die in der zweiten Zeile durch 3 usw.
So entsteht das harmonische Dreieck. |
Die Zahlen C(n,k) des pascalschen Dreiecks
werden also durch 1/[(n+1)C(n,k)] ersetzt.
Das Besondere ist, dass im harmonischen
Dreieck jede Zahl die Summe der beiden darunter liegenden Zahlen
ist.
Das heißt in der Formelsprache 1/[(n+1)C(n,k)] = 1/[(n+2)C(n+1,k)]+1/[(n+2)C(n+1,k+1)].
Bestätigung:
1/[(n+2)C(n+1,k)]+1/[(n+2)C(n+1,k+1)] =
[k!(n+1-k)!]/[(n+2)(n+1)!]+[(k+1)!(n-k)!]/[(n+2)(n+1)!] = [k!(n-k)!]/[(n+1)n!]{(n+1-k)/(n+2)+(k+1)/(n+2)}
=[k!(n-k)!]/[(n+1)n!]
=1/[(n+1)C(n,k)]
Pascalsches Dreieck
im Internet top
Arndt Brünner
Muster
im Pascalschen Dreieck
Frederik Schäfer
Poissionverteilung,
Binomialverteilung und Hypergeometrische Verteilung
Manfred Börgens (Mathematik auf Briefmarken)
Blaise
Pascal (1623 - 1662), Das
Pascal'sche Dreieck mit alten chinesischen Dezimalzahlen
Matroids Matheplanet
Das
Pascalsche Dreieck, Das
trinomische Dreieck
Michael Holzapfel
Das
Pascalsche Dreieck
Walter Fendt
Binomialkoeffizienten
und Pascalsches Dreieck (Applet)
Wikipedia
Pascalsches
Dreieck, Binomischer
Lehrsatz, Binomische
Reihe, Binomialkoeffizient,
Sierpinski-Dreieck,
Fibonacci-Folge,
Catalan-Zahlen,
Harmonisches
Dreieck
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Pascal's
Triangle, Pascal's
Formula, Binomial
Coefficient, Binomial
Sums, Sierpinski
Sieve, Tetrix,
Number Triangle
Math Forum
Pascal's
Triangle: Binomial
Coefficient, Probability
and Combinations, Sierpinski
Triangle
shodor.org
Coloring
Multiples in Pascal's Triangle
The On-Line Encyclopedia
of Integer Sequences
Binomial coefficients: C(n,k), 2 <= k <= n-2, sorted, duplicates
removed. (A006987)
Numbers that occur 5 or more times in Pascal's triangle (A003015)
Wikipedia
Pascal's
triangle, Pascal's
rule, Binomial
theorem, Binomial
series, Binomial
coefficient, Star
of David theorem,
Sierpinski
triangle, Fibonacci
number, Catalan
number, Leibniz
harmonic triangle
Referenzen top
(1) Siegfried Rösch: Neues vom Pascal-Dreieck, Bild der Wissenschaft,
September 1965 (Seite 758ff.)
(2) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt am Main, 1975
[ISBN 3-550-07675-4]
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©
2010 Jürgen Köller
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