Was ist ein Kuboktaeder?
Ein Kuboktaeder ist ein Körper, der von sechs Quadraten und acht gleichseitigen Dreiecken gebildet wird.
Es folgen zwei Ansichten:  Einmal liegt ein Quadrat, einmal ein Dreieck parallel zur Zeichenebene. Deshalb sind diese Figuren jeweils originalgetreu.

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Setzt man auf die Würfelflächen quadratische Pyramiden wie links im Bild, so kann man sich vorstellen, dass sich ein (grüner) Würfel und ein (rotes) Oktaeder durchdringen.  Der gemeinsame Bereich, der in der Literatur Kern heißt, ist das Kuboktaeder.

Man erkennt, dass das Kuboktaeder aus einem (gelben) Würfel entstehen kann. Man verbindet die Kantenmitten des Würfels. Dadurch entstehen acht Pyramiden, die man abschneiden muss. Der Restkörper ist dann das Kuboktaeder.
Der Würfel heißt auf dieser Seite erzeugender Würfel.

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Größen    top
Das Kuboktaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich u.a. die weiteren Größen Radius R der Umkugel, Volumen V und Oberfläche O, Abstand der Dreiecke  d₃ und Abstand der Quadrate d₄ berechnen.
Es gilt:

Herleitung der Formeln
Oberfläche
Ist a die Kantenlänge, so ist die Oberfläche O=6*a²+8*(1/4)sqrt(3)a²=[6+2sqrt(3)]a². 
Es wird die Flächenformel A=(1/4)sqrt(3)a² eines gleichseitigen Dreiecks benutzt.
Volumen
Vorweg: Der erzeugende Würfel hat die Kantenlänge sqrt(2)a. Sein Volumen V'=2sqrt(2)a³.
Es bietet sich der Weg an: Das Volumen des erzeugenden Würfels wird um die Volumen der acht abgeschnittenen Dreieckspyramiden vermindert.
Volumen der abzuschneidenden Pyramide

Es gilt V''=(1/3)*[(1/2)sqrt(2)a]²*[(1/2)sqrt(2)a]=...=(1/24)sqrt(2)a³.

Das Volumen des Kuboktaeder ist dann V=V'+8V''=2sqrt(2)a³-8*[(1/24)sqrt(2)a³] = (5/3)sqrt(2)a³.
Abstand der Quadrate
Beim Kuboktaeder liegen sich zwei Quadratflächen gegenüber. Ihr Abstand ist d₁=sqrt(2)a.
Abstand der Dreiecke
Beim Kuboktaeder liegen sich zwei Dreiecksflächen gegenüber. Ihr Abstand d₂ ist gleich der Raumdiagonalen des Würfels sqrt(6)a, vermindert um die doppelte Höhe der Eckenpyramide. 
Es gilt V''=(1/3)[(1/4)sqrt(3)a²]h. Dabei ist die Grundfläche das gleichseitge Dreieck.
Andererseits ist V''=(1/24)sqrt(2)a³ (s.o)
Daraus folgt h=(1/6)sqrt(6)a.
Der gesuchte Abstand ist d₂=sqrt(6)a-2[sqrt(6)/6]a = (2/3)sqrt(6)a, wzbw.
Umkugel

Es wird nur der erzeugende Würfel dargestellt. In der Zeichnung kann man R=a ablesen.

Kennt man die Sechsecke im Kuboktaeder, so ist R=a noch einfacher einzusehen (siehe unten).
Inkugel
Es gibt keine Inkugel. Sie müsste die Quadrat- und Dreiecksflächen von innen berühren. Oben wurde aber gezeigt, dass die Abstände der Flächen unterschiedlich sind. 

Eigenschaften    top
Oktaeder bauen
Man kann die acht vom erzeugenden Würfel abgeschnittenen Dreieckspyramiden zu einem Oktaeder zusammensetzen, der in den  erzeugenden Würfel passt.

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Es gibt vier verschiedene Sechsecke. 
Hier wird noch einmal klar, dass es eine Umkugel gibt. Ihr Mittelpunkt fällt mit dem Mittelpunkt des Sechsecks zusammen. Der Radius ist gleich der Kantenlänge.

Netz       top
Klappt man das Kuboktaeder auf, so ergibt sich zum Beispiel das folgende Netz aus 6 Quadraten und 8 Dreiecken.

Jedes Quadrat wird von 4 gleichseitigen Dreiecken umgeben.

Jedes gleichseitige Dreieck wird von 3 Quadraten umgeben.

Verwandte Körper    top
Dreieckskuppel (Triangular Cupola)

Der Körper entsteht, wenn man das Kuboktaeder längs eines Sechsecks halbiert. 
Er wird von einem Sechseck, drei Quadraten und vier gleichseitgen Körpern gebildet. 
Er ist ein Johnson-Körper, und zwar J3.

Rainbow Cube    top

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Das Kuboktaeder ist zu einem Puzzle geworden. Es stammt aus Japan. Zwischen der Sechseckebene und dem Außendreieck wird eine Mittelebene gelegt. So entsteht zu jedem Dreieck eine Scheibe, die drehbar ist, und zwar um eine Achse, die senkrecht zur Dreiecksebene liegt und durch den Körpermittelpunkt verläuft.  Links ist eine von acht drehbaren Scheiben grau gekennzeichnet.

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Die Außenflächen des Kuboktaeder sind wie bei Rubiks Zauberwürfel gefärbt. Gegenüberliegende  Flächen haben die gleiche Farbe. Dreht man planlos einige der acht Schichten, so wird der Körper bunt. Aufgabe ist es den Körper so zu ordnen, dass die Außenflächen wieder einfarbig werden.

Kuboktaeder im Internet    top

Deutsch

Claus Michael Ringel 
Kuboktaeder

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
Truncated Cube and Cuboctahedron (Applet) 

Horst Steibl
Erzeugung von archimedischen Körpern aus Tetraeder, Würfel, Oktaeder durch Kappen der Ecken und Kanten

Natalie Wood, Christoph Pöppe
Platonische Körper

Wikipedia
Kuboktaeder, Archimedischer Körper,  Großes Rhombenkuboktaeder

Englisch

Eric W. Weisstein     (MathWorld) 
Cuboctahedron, Triangular Cupola,  Archimedean Solid, Kissing Number
 
Eric Swab
Why This Site?, Archimedean Polyhedra 

George W. Hart
Virtual Polyhedra (The Encyclopedia of Polyhedra)

Gijs Korthals Altes 
Paper model Cuboctahedron

Jaap Scherphuis
Rainbow Cube

Kenneth James Michael MacLean
THE CUBEOCTAHEDRON

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 

R. Mäder
The Uniform Polyhedra

Ulrich Reitebuch
Cubeoctahedron

Wikipedia
Cuboctahedron, Truncated cuboctahedron,  Triangular cupola

Dualer Körper: Rhombic dodecahedron

Referenzen     top
(1) Doris Schattenschneider und Wallace Walker, M.C.Escher Kaleidozyklen, Köln 1992
(2) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 102)