Kleines Rhombenkuboktaeder
Inhalt dieser Seite
Was ist das kleine Rhombenkuboktaeder?
Beschreibung
Entstehung
Größen
Weitere Körper 
Basteln eines Rhombenkuboktaeders
Kleines Rhombenkuboktaeder im Internet
Referenzen.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist das kleine Rhombenkuboktaeder?
......
Das kleine Rhombenkuboktaeder (kurz: Rhombenkuboktaeder) ist ein Körper, der von 18 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 

Neben den 18+8=26 Seitenflächen hat es 48 Kanten und 24 Eckpunkte.


Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht.
 

durchsichtig

undurchsichtig



Da beim Rhombenkuboktaeder (12) an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört er zu den 13 archimedischen Körpern.

Beschreibung  top
Umgebung der Dreiecke und Quadrate
...
Jedes Dreieck ist von drei Quadraten umgeben.


... Entweder:
Ein Quadrat ist von vier Quadraten umgeben.

... Oder:
Ein Quadrat ist von von zwei Dreiecken und zwei Quadraten umgeben.

Parallelprojektionen
Ein Quadrat, ein Dreieck, eine Kante 3/4, eine Kante 4/4 und ein Eckpunkt liegen vorne.

Netz
Zwei Netze des Rhombenkuboktaeders

Schlegel-Diagramm

Diagonalen
36 Flächendiagonalen
....... Die Diagonalen der Quadrate sind die Flächendiagonalen des  Rhombenkuboktaeders
Das Quadrat hat 2 Diagonalen.
Das führt zu insgesamt 18*2=36 Flächendiagonalen.

192 Raumdiagonalen
...... Von jedem der 24 Eckpunkte gehen Verbindungslinien zu den anderen Eckpunkten aus. Das sind 3 Flächendiagonalen und 4 Kanten, wie die Zeichnung zeigt. In 24-7=17 Punkten enden dann Raumdiagonalen. Das führt zu insgesamt (1/2)*24*16=192 Raumdiagonalen des Rhombenkuboktaeders.

Bilanz
Auf meiner Seite Dreieckszahlen steht: "Verbindet man n Punkte mit allen möglichen geraden Linien, so ergeben sich 1+2+3+...+(n-1)=(1/2)(n-1)n Strecken."
Für das Rhombenkuboktaeder bedeutet das, dass es (1/2)*23*24=276 Verbindungslinien gibt. 
Das sind die 48 Kanten, 36 Flächendiagonalen und 192 Raumdiagonalen.

Entstehung   top
Vom Würfel zum kleinen Rhombenkuboktaeder 
...... Eine Reihe archimedischer Körper entsteht, wenn man von platonischen Körpern passend alle Ecken entfernt. 
Ein Beispiel ist der abgestumpfte Würfel.
Das kleine Rhombenkuboktaeder entsteht aus einem Würfel, wenn alle Kanten passend abgeschnitten werden.


Vorgehen
1 Schräge die Kanten eines Würfels so ab, dass die Quadrate zu regelmäßigen Achtecken werden. 
2 Zerlege die Achtecke in Quadrate und Dreiecke. Drei gelbe Zentralquadrate des kleinen
   Rhombenkuboktaeders auf den Würfelflächen erkennt man schon. 
3 Lösche alle überflüssige Linien. Es bleibt das kleine Rhombenkuboktaeder übrig. 
4 Mit Farbe und ohne Durchsicht wird der Körper deutlicher. 

Aus den 8 Ecken des Würfels werden Dreieckseiten. 
Die 12 Mitten der Kanten werden zu Quadraten
Die 6 quadratischen Seitenflächen des Würfels werden reduziert zu kleinen Quadraten. 

Vom Oktaeder zum kleinen Rhombenkuboktaeder 
Man kann das Rhombenkuboktaeder auch aus einem Oktaeder gewinnen. 
1 Gehe aus von einem Oktaeder. 
2 Schräge alle Kanten passend ab, so wie an einer Kante angedeutet. 
3 Lösche alle überflüssige Linien. Es bleibt das Rhombenkuboktaeder übrig. 
4 Mit Farbe und ohne Durchsicht wird der Körper deutlicher. 

Die 8 dreieckigen Seitenflächen des Oktaeders werden reduziert zu kleineren Dreiecken. 
Die 8 Ecken des Oktaeders werden abgeschnitten und werden zu Quadraten. 
An den 12 Mitten der Kanten entstehen nach dem Abschrägen auch Quadrate.

Größen top
Das Rhombenkuboktaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand d3 der Dreiecke und Abstand d4 der Quadrate berechnen.


Oberfläche O
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten der 18 Quadrate und der 8 Dreiecke zusammen. 
O = 18A4+8A3 = 18a²+8*[(1/4)sqrt(3)a²] = [18+2sqrt(3)]a², wzbw.
Radius R der Umkugel 
...... Legt man durch die Mittellinie eines Ringes aus acht Quadraten eine Schnittebene, so erhält man ein regelmäßiges Achteck. 

Der Mittelpunkt des Achtecks ist gleichzeitig Mittelpunkt des kleinen  Rhombenkuboktaeders. 


......
Den Radius der Umkugel findet man in einem rechtwinkligen Dreieck.

Es gilt nach dem Satz des Pythagoras R² = [a/2+(a/2)sqrt(2)]²+[a/2sqrt(2]² =... 
und weiter R = (1/2)sqrt[5+2sqrt(2)]a, wzbw..



Abstand d4 der Quadrate
Der Abstand gegenüberliegender Quadrate ist in der obigen Zeichnung als Kantenlänge des erzeugenden Würfels unmittelbar abzulesen: d4 = a+sqrt(2)a = [1+sqrt(2)]a, wzbw..
Abstand d3 der Dreiecke 
...... Man kann in das Rhombenkuboktaeder ein rechtwinkliges Dreieck legen, in dem die gesuchte Strecke (1/2)d3 Kathete ist. Die andere Kathete der Radius des Umkreises des gleichseitigen Dreiecks. Der Radius der Umkugel ist die Hypotenuse.

Es gilt (d3/2)² = R²-[(2/3)h]² = {(1/2)sqrt[5+2sqrt(2)]a}²-{(2/3)(1/2)sqrt(3)a}² oder 
d3² = (1/9)[33+18sqrt(2)]a² oder d3 = (1/3)sqrt[33+18sqrt(2)]a, wzbw..


Volumen V
Verbindet man die Eckpunkte des Rhombenkuboktaeders mit dem Mittelpunkt, so wird es in Pyramiden zerlegt. Für das Volumen gilt 
V = 18*(1/3)a²(d4/2)+8*(1/3)(1/4)sqrt(3)a²(d3/2)={3+3sqrt(2)+(1/3)sqrt[11+6sqrt(2)]}a³ =...
= (2/3)sqrt[6+5sqrt(2)]a³, wzbw..

Ein Winkel
Ferner gilt nach (1), Seite 105: Der Winkel zwischen einer Dreieck- und Fünfeckfläche ist 135°44'. 

Weitere Körper  top
Deltoidalikositetraeder
...... Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen des kleine Rhombenkuboktaeders, so entsteht der duale Körper, das Rhombentriakontaeder. 


Quadratkuppel
...... Das Rhombenkuboktaeders kann man in zwei "Quadratkuppeln" und ein achtseitiges Prisma zerlegen.
Die Quadratkuppel besteht aus regelmäßigen Vielecken, nämlich einem Achteck, 5 Quadraten und 4 Dreiecken.
Sie gehört zu den Johnson-Körpern, J4.
 

Die Quadratkuppel ist Bestandteil der Johnson-Körper (J4), J19, J23, J28, J29, J37 und J45.

Verlängertes verdrehtes Quadratsdoppelkuppel J 37 (oder verdrehtes kleines Rhombenkuboktaeder)
Man erhält diesen Körper, indem man beim Rhombenkuboktaeder eine Kappe entfernt, um 45° dreht und wieder aufsetzt.
...... Man könnte meinen, dieser Körper sei eine Variation des kleinen Rhombenkuboktaeders, denn er hat die gleichen Daten:
8 Dreiecke, 18 Quadrate, (3,4,4,4), f=26, e=24, k=48

An jeder Ecke treffen ein Dreieck und drei Quadrate aufeinander. 


Betrachtet man das Netz der "verlängerten verdrehten Quadratsdoppelkuppel", so ist zwar die Umgebung zweier Punkte A und B gleich (ein Dreieck, drei Quadrate), aber die weitere Umgebung zeigt Unterschiede: Um A liegen vier aufeinander folgende Quadrate zwischen zwei Dreiecken, um B höchstens drei.

Rubik's Snake 
......
Das nebenstehende Puzzle "Rubik's Snake" gehört zur Rubik's Cube Familie. 
So sieht es beim Kauf aus. Er hieß früher Zauberschlange.

Man könnte meinen, es sei ein kleines Rhombenkuboktaeder.

Aber es besteht aus Halbwürfeln und deshalb ist das dunkelblaue Viereck zwar ein Quadrat, nicht aber die anliegenden Vierecke. Es sind Rechtecke der Form 1:sqrt(2). 


...... Entwirrt man das Puzzle, erhält man eine Stange aus 24 Halbwürfeln. ......

Basteln eines Rhombenkuboktaeders top
Acht Quadrate bilden einen Ring.

Es gibt drei Ringe dieser Art, die in die drei Richtungen des Raumes zeigen.


...... Ein Ring lässt sich aus Papier bauen. 

Drei Ringe lassen sich so ineinander stecken, dass sie einen kleinen Rhombenkuboktaeder bilden, bei dem die Dreiecksflächen als Löcher bleiben. 

Das macht das Modell interessant.


Kleines Rhombenkuboktaeder im Internet    top

Deutsch

Wikipedia
Rhombenkuboktaeder, Deltoidalikositetraeder, Archimedischer Körper, Catalanischer Körper, Herrnhuter SternNationalbibliothek von Weißrussland


Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Small Rhombicuboctahedron, Dual: Deltoidal IcositetrahedronArchimedean Solid

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Rhombicuboctahedron

Gijs Korthals Altes
Paper Model Rhombicuboctahedron

Poly
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 
Die meisten Zeichnungen auf dieser Seite entstanden mit Hilfe dieses Programms.

Wikipedia
Rhombicuboctahedron, Archimedean solid, Catalan solidDeltoidal icositetrahedron
Rhombicuboctahedron by Leonardo da VinciThe National Library of Belarus


Referenzen   top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961


 Feedback: Emailadresse auf meiner Hauptseite

URL meiner Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2007, überarbeitet 2013,  Jürgen Köller

top