Kleines Rhombenkuboktaeder
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Was ist das kleine Rhombenkuboktaeder?
Beschreibung
Entstehung
Besondere Ansichten		 Netz
Größen
Kleines Rhombenkuboktaeder im Internet
Referenzen.
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Was ist das kleine Rhombenkuboktaeder?
......
 Das kleine Rhombenkuboktaeder ist ein Körper, der von 18 Quadraten und 8 gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 
Da an jeder Ecke drei Quadrate und ein Dreieck in gleicher Weise aufeinandertreffen, gehört es zu den archimedischen Körpern. 

Neben den 18+8=26 Seitenflächen hat das kleine Rhombenkuboktaeder 48 Kanten und 24 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht.

undurchsichtig:

durchsichtig:

Beschreibung   top

Jedes Dreieck ist von drei Quadraten umgeben.

Ein Quadrat ist von vier Quadraten oder 
von zwei Dreiecken und zwei Quadraten umgeben.
Acht Quadrate bilden einen Ring.

Es gibt drei Ringe dieser Art, die in die drei Richtungen des Raumes zeigen.

...... Ein Ring lässt sich leicht aus Papier bauen. 

Drei Ringe lassen sich so ineinander stecken, dass sie einen kleinen Rhombenkuboktaeder bilden, bei dem die Dreiecksflächen als Löcher bleiben. 

Das macht das Modell interessant. 
 

Entstehung   top
Vom Würfel zum kleinen Rhombenkuboktaeder 
...... Eine Reihe archimedischer Körper entsteht, wenn man von platonischen Körpern passend alle Ecken entfernt. Ein Beispiel ist der abgestumpfte Würfel.

Das kleine Rhombenkuboktaeder entsteht aus einem Würfel, wenn alle Kanten passend abgeschnitten werden.


Vorgehen
1 Schräge die Kanten eines Würfels so ab, dass die Quadrate zu regelmäßigen Achtecken werden. 
2 Zerlege die Achtecke in Quadrate und Dreiecke. Drei gelbe Zentralquadrate des kleinen
   Rhombenkuboktaeders auf den Würfelflächen erkennt man schon. 
3 Lösche alle überflüssige Linien. Es bleibt das kleine Rhombenkuboktaeder übrig. 
4 Mit Farbe und ohne Durchsicht wird der Körper deutlicher. 
Aus den 8 Ecken des Würfels werden Dreieckseiten. 
Die 12 Mitten der Kanten werden zu Quadraten. 
Die 6 quadratischen Seitenflächen des Würfels werden reduziert zu kleinen Quadraten. 
Vom Oktaeder zum kleinen Rhombenkuboktaeder 
Man kann den kleinen Rhombenkuboktaeder auch aus einem Oktaeder gewinnen. 
1 Gehe aus von einem Oktaeder. 
2 Schräge alle Kanten passend ab, so wie an einer Kante angedeutet. 
3 Lösche alle überflüssige Linien. Es bleibt das kleine Rhombenkuboktaeder übrig. 
4 Mit Farbe und ohne Durchsicht wird der Körper deutlicher. 
Die 8 dreieckigen Seitenflächen des Oktaeders werden reduziert zu kleineren Dreiecken. 
Die 8 Ecken des Oktaeders werden abgeschnitten und werden zu Quadraten. 
An den 12 Mitten der Kanten entstehen nach dem Abschrägen auch Quadrate.

Besondere Ansichten  top

Ein Quadrat liegt vorne.

Ein Dreieck liegt vorne.


Die Seite eines Dreiecks liegt vorne.

Die Seite zweier Quadrate liegt vorne.

Eine Ecke liegt vorne.


Ein Schlegel-Diagramm

Netz   top
Zwei Netze des kleinen Rhombenkuboktaeders

Größen  top
Das kleine Rhombenkuboktaeder sei durch die Kantenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand d3 der Dreiecke und Abstand d4 der Quadrate berechnen.

Oberfläche O
Die Oberfläche setzt sich aus den Flächeninhalten der 18 Quadrate und der 8 Dreiecke zusammen: 
O=18A4+8A3=18a²+8*[(1/4)sqrt(3)a²]=[18+2sqrt(3)]a², wzbw.
Radius R der Umkugel 
......
 Legt man durch die Mittellinie eines Ringes aus acht Quadraten eine Schnittebene, so erhält man ein regelmäßiges Achteck. 
Der Mittelpunkt des Achtecks ist gleichzeitig Mittelpunkt des kleinen  Rhombenkuboktaeders. 
Den Radius der Umkugel findet man in einem rechtwinkligen Dreieck. 
Es gilt nach dem Satz des Pythagoras R²=[a/2+(a/2)sqrt(2)]²+[a/2sqrt(2]²=... 
und weiter R=(1/2)sqrt[5+2sqrt(2)]a, wzbw..

Abstand d4 der Quadrate
Der Abstand gegenüberliegender Quadrate ist in der obigen Zeichnung als Kantenlänge des erzeugenden Würfels unmittelbar abzulesen: d4=a+sqrt(2)a=[1+sqrt(2)]a, wzbw..
Abstand d3 der Dreiecke 
...... Man kann in das kleine Rhombenkuboktaeder ein rechtwinkliges Dreieck legen, in dem die gesuchte Strecke d3/2 Kathete ist. Die andere Kathete der Radius des Umkreises des gleichseitigen Dreiecks. Der Radius der Umkugel ist die Hypotenuse.

Es gilt (d3/2)²=R²-[(2/3)h]²={(1/2)sqrt[5+2sqrt(2)]a}²-{(2/3)(1/2)sqrt(3)a}² oder 
d3²=(1/9)[33+18sqrt(2)]a² oder d3=(1/3)sqrt[33+18sqrt(2)]a, wzbw..
VolumenV
Verbindet man die Eckpunkte des kleinen Rhombenkuboktaeders mit dem Mittelpunkt, so wird es in Pyramiden zerlegt.
Für das Volumen gilt V=18*(1/3)a²(d4/2)+8*(1/3)(1/4)sqrt(3)a²(d3/2)={3+3sqrt(2)+(1/3)sqrt[11+6sqrt(2)]}a³=...
=(2/3)sqrt[6+5sqrt(2)]a³, wzbw..
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage. 

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Deutsch

Wikipedia
Archimedischer Körper, Catalanischer Körper, Herrnhuter Stern 
,  Nationalbibliothek von Weißrussland

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Small Rhombicuboctahedron, Dual: Deltoidal Icositetrahedron,  Archimedean Solid

Geneviève Tulloue ( Figures Animées pour la Physique ) 
The Rhombicuboctahedron

Gijs Korthals Altes
Paper Model Rhombicuboctahedron

Poly 
A program for downloading (Poly is a shareware program for exploring and constructing polyhedra) 

Wikipedia
Rhombicuboctahedron, Archimedean solid, Catalan solid
Dualer Körper: Deltoidal icositetrahedron
Rhombicuboctahedron by Leonardo da Vinci,  The National Library of Belarus

Referenzen    top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961 (Seite 105)

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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2007 Jürgen Köller

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