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Großes Rhombenkuboktaeder
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Was ist das große Rhombenkuboktaeder?
... ...
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Das große Rhombenkuboktaeder ist
ein Körper, der von 12 Quadraten, 8 regelmäßigen Sechsecken
und 6 regelmäßigen Achtecken gebildet wird.
Der Körper heißt auch abgestumpftes Kuboktaeder. Dieser
Name ist umstritten (s.u.). |
Da an jeder Ecke regelmäßige Vielecke in gleicher Weise aufeinandertreffen,
gehört es zu den archimedischen Körpern.
Neben den 12+8+6=26 Seitenflächen
hat das große Rhombenkuboktaeder 72 Kanten
und 48 Eckpunkte.
Die beiden folgenden, nebeneinander liegenden
Bilder ermöglichen mit dem "Stereoblick" eine dreidimensionale Ansicht
des Körpers.
undurchsichtig:
durchsichtig:
Abgestumpftes
Kuboktaeder top
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Verbindet man die Kantenmitten eines Würfels und entfernt
die dann entstehenden Pyramiden an den Ecken, so entsteht ein Kuboktaeder. |
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Man kann vom Kuboktaeder wiederum Eckpyramiden entfernen. Dann werden
aus den Quadraten Achtecke, aus den Dreiecken Sechsecke und die entfernten
Pyramiden hinterllassen scheinbar Quadrate.
Es sieht so aus, als ob man das große Rhombenkuboktaeder
aus einem Kuboktaeder gewinnen könne. |
Betrachtet man dieses Vorgehen genauer, so ergibt sich ein Widerspruch.
Wenn das Quadrat zu einem regelmäßigen Achteck mit der Seite
a werden soll, so muss die Pyramide die Seitenlängen (1/2)sqrt(2)a
haben. Das ist aber auch die Grundseite der Pyramide, denn das Dreieck
wird nur zu einem regelmäßigen Sechseck, wenn das blaue Dreieck
gleichseitig wird. Das ist aber ein Widerspruch. Die Grundfläche der
Pyramide kann kein Quadrat werden, sondern sie ist ein Rechteck mit den
Seiten a und (1/2)sqrt(2)a.
Kepler hat den Körper irrtümlicherweise als abgestumpftes
Kuboktaeder angesehen und so bezeichnet. Dieser Name hat sich bis heute
gehalten.
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Auf der Seite von Geneviève Tulloue (URL unten) wird demonstriert,
dass man das große Rhombenikosidodekaeder als
abgeschrägtes
Kuboktaeder verstehen kann.
Das werde ich an dieser Stelle später einmal weiter ausführen. |
Beschreibungen top
Umgebungen
Jedes Quadrat ist von 2 Sechsecken und
2 Achtecken umgeben.
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Jedes Achteck ist von 4 Quadraten und
4 Sechsecken umgeben.
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Jedes Sechseck ist von 3 Quadraten
und 3 Achtecken umgeben.
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Jedes Vieleck liegt isoliert.
Besondere Ansichten
Ein Achteck liegt vorne.
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Ein Sechseck liegt vorne.
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Ein Quadrat liegt vorne.
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Die gemeinsame Seite von
Achteck/Sechseck liegt vorne.
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Die gemeinsame Seite von
Achteck/Quadrat liegt vorne.
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Die gemeinsame Seite von
Sechseck/Quadrat liegt vorne.
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Ein Eckpunkt liegt vorne.
Ein Quadrat, ein Sechseck und ein Achteck stoßen dort aufeinander.
Netz top
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Ein Netz des großen Rhombenkuboktaeders |
Größen top
Das große Rhombenkuboktaeder sei
durch die Kantenlänge a gegeben.
Daraus lassen sich weitere Größen wie Radius R der
Umkugel, Volumen V, Oberfläche O, Abstand d4der
Quadrate, Abstand d6 der Sechsecke und Abstand
d8
der Achtecke berechnen.
Herleitung der Formeln
Folgende Formeln werden u.a. in diesem Kapitel benutzt.
Oberfläche
O
O=12*A4+8*A6+6*A8=12*a²+8*[(3/2)sqrt(3)a²]+6*{[2+2sqrt(2)]a²}=...=12[2+sqrt(2)+sqrt(3)]a²,
wzbw.
Abstand der Quadrate
d4
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Man legt durch den Körper eine Schnittfläche so durch den
Mittelpunkt des Körpers, dass Quadrate und Achtecke halbiert werden.
Es entsteht als Schnittfläche ein unregelmäßiges Achteck
mit den Seiten 2r8 und a.
Dann gilt für den gesuchten Abstand d4=y+a/2. |
Nach dem Satz des Pythagoras gilt y²+y²=(2r8)²
oder y²=(1/2){[1+sqrt(2)]a}²=(1/2)[3+2sqrt(2)]a²
Dann ist y=(1/2)sqrt(2)sqrt[3+2sqrt(2)]a=(1/2)[1+sqrt(2)]a.
Dann ist d4=2(y+a/2)=[3+sqrt(2)]a, wzbw..
Abstand der Achtecke
d8
... ...
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In der Querschnittsfläche erscheint auch der der Abstand der Achtecke
d8=2*r8+sqrt(2)a.
Das heißt d8=2*(1/2)[1+sqrt(2)]a+sqrt(2)a=[1+2sqrt(2)]a,
wzbw.. |
Radius der Umkugel
R
... ...
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M sei der Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaeders.
Nach dem Satz des Pythagoras gilt R²=(d4/2)²+[(1/2sqrt(2)a]².
Dann ist R²={(1/2)[3+sqrt(2)]a}²+[(1/2)sqrt(2)a]²=[13/4+(3/2)sqrt(2)]a².
Daraus folgt R=(1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a, wzbw.. |
Abstand der Sechsecke
d6
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt (d6/2)²=R²-r6².
Also ist (d6/2)²={(1/2)sqrt[13+6sqrt(2)]a}²-a²=...=(1/4)[9+6sqrt(2)]a².
Weiter ist d6/2=(1/2)sqrt(3)sqrt[3+2sqrt(2)]a=(1/2)sqrt(3)[1+sqrt(2)]a=(1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a
Dann ist schließlich d6=[sqrt(3)+sqrt(6)]a, wzbw.. |
Volumen V
Verbindet man den Mittelpunkt des großen Rhombenkuboktaeders
mit seinen Eckpunkten, so erhält man eine Aufteilung des Körpers
in drei verschiedene Pyramiden. Das Volumen ergibt sich aus der Summe der
Einzelpyramiden.
V=12*V4+8*V6+6*V8
=12*(1/3)a²(d4/2)+8*(1/3)A6(d6/2)+6*(1/3)A8(d8/2)
=12*(1/3)a²{(1/2)[3+sqrt(2)]a}..
...+
8*(1/3)[(3/2)sqrt(3)a²]{(1/2)[sqrt(3)+sqrt(6)]a}
...+6*(1/3){2[1+sqrt(2)]a²}{(1/2)[1+2sqrt(2)]a}
=...
=[6+2sqrt(2)]a³+[6+6sqrt(2)]a³+[10+6sqrt(2)]a³
=[22+14sqrt(2)]a³, wzbw.
Eine Übersicht über alle 13 archimedischen
Körper findet man an einer anderen Stelle meiner Homepage.
Rhombenkuboktaeder
im Internet top
Deutsch
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Großes
Rhombenkuboktaeder
Wikipedia
Archimedischer
Körper, Catalanischer
Körper
Englisch
Eric.W.Weisstein (MathWorld)
Great
Rhombicuboctahedron, dual: Disdyakis
Dodecahedron
G. Korthals Altes
Paper
Model Truncated Cuboctahedron
H. B. Meyer (Polyeder aus Flechtstreifen)
Great
Rhombicuboctahedron
Wikipedia
Truncated
cuboctahedron, Archimedean
solid, Catalan
solid
Referenzen top
(1) H.Martyn Cundy and A.P.Rollett: Mathematical Models, Oxford 1961
(Seite 112)
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http://www.mathematische-basteleien.de/
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2008 Jürgen Köller
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