Regelmäßiges Sechseck
Inhalt dieser Seite
Was ist ein regelmäßiges Sechseck?
Konstruktion eines Sechsecks
Größen des Sechsecks
Vom Vieleck zum Sechseck
Eine Formel zum Sechseck
Figuren im Sechseck
Zwei Quadrate im Sechseck
Kreis und Sechseck
Drei-Farben-Puzzle
Sechseckzahlen
Sechsecke in meiner Homepage
Sechsecke im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein regelmäßiges Sechseck?
Ein regelmäßiges Sechseck oder Hexagon ist ein Vieleck mit 
   sechs gleich langen Seiten und 
   sechs gleich großen Innenwinkeln.

Auf dieser Seite heißt das regelmäßige Sechseck meist einfach Sechseck. 


Konstruktion eines Sechsecks      top
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Man zeichnet einen Kreis und trägt auf dem Kreisbogen sechsmal den gleichen Radius ab. Die Verbindungslinien der Schnittpunkte bilden ein Sechseck. 
Zeichnet man die vollen Kreise, entsteht die Rosette rechts.
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Größen des Sechsecks     top
Ein regelmäßiges Sechseck ist im Allgemeinen durch die Seitenlänge a gegeben. 
Daraus lassen sich der Flächeninhalt A, der Umfang U, der Radius des Umkreises R, der Radius des Inkreises r und die Diagonalen d und e berechnen. 
...... Am besten wählt man zur Herleitung die Aussage, dass das Sechseck von sechs gleichseitigen Dreiecken gebildet wird. 
...... Man verwendet dann die Formel für die Höhe des gleichseitigen Dreiecks. Nach dem Satz des Pythagoras ist a²=h²+(a/2)² oder h = (1/2)sqrt(3)a. 
Damit gilt für das regelmäßige Sechseck: 
A=6(ah/2) = (6/4)sqrt(3)a² = (3/2)sqrt(3)a²
U=6a
R=a
r=h=(1/2)sqrt(3)a
d=2a
e=2h=sqrt(3)a......
Umkreis und Inkreis:
Diagonalen:
Die Größe des Innenwinkels des Sechsecks beträgt 120°.


Vom Vieleck zum Sechseck      top
Das Sechseck ist der Sonderfall n=6 des Vielecks
Kennt man die Formeln des Vielecks, so kann man die Größen des Sechsecks als Sonderfall berechnen.


Ist für ein Vieleck die Seite a gegeben, so gilt allgemein

i=1,2,...n-1.

In der Rechnung treten für n=6 drei Werte trigonometrischer Funktionen auf, nämlich tan(36°), sin(36°) und sin(72°).
Es gilt tan(30°)=[(1/3)sqrt(3)], sin(30°)=1/2 und sin(60°)=(1/2)sqrt(3).

Damit ergibt sich 
r = a/[2tan(30°)] = a/[(2/3)sqrt(3)] = (1/2)sqrt(3)a
R = a/[2sin(30°)] = a
A = 6a²/[4tan(30°)] = (6/4)sqrt(3)a² = (3/2)sqrt(3)a²
d2 = e = a sin(60°)/[sin(30°)] = [(1/2)sqrt(3)a]/(1/2) = sqrt(3)a
d3 = d = a sin(90°)/[sin(30°)] = 2a

Eine Formel zum Sechseck      top
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Es ist möglich, ein Sechseck in einem Koordinatensystem durch nur eine Gleichung zu beschreiben.
  2|y|+|y-x*sqrt(3)|+|y+x*sqrt(3)| = 6 


Figuren im Sechseck      top
Verbindet man alle Eckpunkte des Sechsecks wie in Bild 1, so erhält man neun Diagonalen. 

Es entsteht eine Reihe einfacher Figuren, wenn man nur einige Diagonalen oder Teile von ihnen zeichnet.
2 Gleichseitiges Dreieck
3 Gleichschenkliges Trapez 
4 Raute
5 Sechszackiger Stern oder Hexagramm
6 Rechteck 
7 Zwei Rauten
8 Gedrehtes Sechseck im Inneren
Muster im Sechseck

Zwei Quadrate im Sechseck      top
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...
Es gibt zwei Möglichkeiten, ein möglichst großes Quadrat in das Sechseck  einzupassen. Die Seitenlängen sind nach der Zeichnung etwa gleich, so dass eine Rechnung klären muss, welche Größenbeziehung besteht.


1) Eine Quadratseite liegt parallel zur Grundseite des Sechsecks.
...... Gegeben sei die Seite a des Sechsecks. Dann erhält man die Seitenlänge des Quadrates, indem man zuerst ein Koordinatensystem einführt und die Koordinaten des Schnittpunkts S der eingezeichneten Geraden g und h bestimmt. 
Es gilt A(a|0) und B[(1/2)a|(1/2)sqrt(3)a]. Die Geradengleichung zu AB ergibt sich über die Zwei-Punkte-Form: (y-0)/(x-a) = [(1/2)sqrt(3)a-0]/[(1/2)a-a] 
Dann ist y = [-sqrt(3)](x-a) oder  y = -sqrt(3)x+sqrt(3)a.
Aus Gründen der Symmetrie hat die Gerade h die Gleichung y=x.
Für den Schnittpunkt S gilt -sqrt(3)xs+sqrt(3)a =xs oder [(sqrt(3)+1]xs=sqrt(3)a oder xs=sqrt(3)a/[(sqrt(3)+1] 
oder xs=(1/2)sqrt(3)[sqrt(3)-1]a oder xs=(1/2)[3-sqrt(3)]a. 
Die Quadratseite ist dann 2xs=[3-sqrt(3)]a oder gerundet 1,27a.
2) Das Quadrat steht auf der Spitze.
...... Die Strecke x ist der Radius r des Inkreises, x = r = [(1/2)sqrt(3)]a.
Dann ist die Seitenlänge des Quadrats sqrt(2)x=[(1/2)sqrt(6)]a oder gerundet 1,22a.
Ergebnis: Das erste Quadrat ist größer als das zweite, und zwar um 4,1%.

Fünfeck im Sechseck
...... Auch ein Fünfeck passt auf zweierlei Weisen in ein Sechseck. 
Es sieht so aus, als sei das Fünfeck, bei dem eine Seite parallel zu einer Sechseckseite liegt, etwas größer ist. Eine Klärung könnte eine Rechnung bringen...

Kreis und Sechseck top
...... Ein Kreis kann Umkreis und Inkreis zweier Sechsecke sein. Berechnet man den Umfang der Sechsecke und bildet den Mittelwert, so erhält eine gute Näherung des Umfangs eines Kreises.
Der Radius des Kreises sei r. 
Umfang des inneren Sechsecks: 6r.     Umfang des äußeren Sechsecks: 3*sqrt(5)*r.
Mittelwert: [6+3*sqrt(5)]/2 ~ ~ 2*3,15*r   (Zum Vergleich pi=3,14). Der Fehler liegt weit unter 1%.


Das Puzzle "Wabe"   top
Gegeben sind sieben sechseckige Klötze aus Holz, deren Seiten mit Farben gekennzeichnet sind. 
Man soll eine Figur wie rechts legen, wobei gleiche Farben aneinander stoßen müssen.
(entwickelt von Torsten Sillke & Lothar Hanappel, aus der Reihe Grips & Co, 6 Legespiele, © 1994)


Lösung:
...
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Links werden die Klötze oder Steine noch einmal deutlicher dargestellt. 
Jedes Sechseck trägt drei Farben und zwar doppelt. Sie sind nach Rot geordnet: Bei Stein 1 und 2 stoßen rote Felder aneinander, bei 3, 4 und 5 liegen rote Felder einander gegenüber und bei 6 und 7 liegt eine andere Farbe dazwischen. 
Wenn man darauf vertraut, dass die Lösung symmetrisch ist, ist anzunehmen, dass sich die Steine 1 und 2 gegenüberliegen. Dann liegt in der Mitte Stein 4. So kommt man nach einigem Herumprobieren auf  die Lösung.
Die Farbverteilung von Stein 1 kann man mit dem Wort aabcbc kennzeichnen. Stein 2 ist dann aacbcb zugeordnet. Insgesamt gibt es 6!/(2!*2!*2!)=90 Worte.

Puzzles dieser Art begegnet man häufig. Sie heißen im Englischen "Matching Puzzles".
Es gibt zum Beispiel ein Puzzle mit sechs Farben bzw. mit den Zahlen 1 bis 6 an den Rändern (Buch 1, Seite 189 f.).

Sechseckzahlen  top


"Sechseckrand-Zahlen"


Zentrierte Sechseckzahlen ("Hex numbers")


Sechseckzahlen (Jede zweite Dreieckszahl ist Sechseckzahl.)

Mehr auf meiner Seite Figurierte Zahlen.

Sechsecke in meiner Homepage   top
Hexagramm
...... Setzt man auf die Seiten eines Sechsecks gleichseitige Dreiecke, so entsteht ein sechszackiger Stern
das Hexagramm.


Trihexaflexagon
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......
Man kann einen Papierstreifen zu einem Sechseck falten.

Das ist die Idee, die hinter Flexagons steht.
Mehr findet man auf meinen Seiten
Flexagons und Hexahexaflexagons.

Sechsecke aus Kreisbögen
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.

Ein Sechseck aus Kreisen
Man kann um einen Kreis sechs weitere Kreise mit gleichen Radien so legen, deren Mittelpunkte ein Sechseck bilden.
Mehr findet man auf meiner Seite Kreise im Kreis.

Parkettierung mit Sechsecken

Hauswand am Hafen von Chania auf Kreta

Homogene Parkettierungen

Mehr findet man auf meinen Seiten Parkettierungen und Gleichseitiges Dreieck.

Sechsecke und Würfel

Mehr findet man auf meinen Seiten Stereogramm und Würfel.

Polyiamonds
Polyiamonds sind Figuren, die man aus gleichseitigen Dreiecken bildet. Aus Hexiamonds z.B. kann man Sechsecke legen.
Mehr findet man auf meiner Seite Polyiamonds.

Polywaben
Polywaben sind Figuren, die man aus Sechsecken bilden kann. Bekannt sind die sieben Tetrawaben.
Sie bilden die Spielsteine für ein Puzzle.
Mehr findet man auf meiner Seite Polywaben.
In der Linkliste findet man Spiele, die Sechsecke benutzen.

Magisches Sechseck
...... Das magisches Sechseck ist eine Figur, die die Zahlen 1 bis 19 enthält und bei der die 15  Summen horizontal (-), schräg nach oben rechts (/) und schräg nach oben links (\) gleich sind, nämlich 38.

Mehr findet man auf meiner Seite Magisches Sechseck.


Sechseck und Körper
Es gibt Körper, die u.a. von Sechsecken begrenzt werden.

Abgestumpftes Ikosaeder - 20 Sechsecke
Die Bildpaare erlauben eine dreidimensionale Ansicht der Körper.



Großes Rhombenikosidodekaeder - 20 Sechsecke



Großes Rhombenkuboktaeder - acht Sechsecke



Abgestumpftes Oktaeder - acht Sechsecke



Abgestumpftes Tetraeder - vier Sechsecke



Dreieckskuppel - ein Sechseck

Ferner

Bipyramide - ein Sechseck

Bestimmte Körper zeigen bei bestimmten Ansichten Sechsecke.

Würfel

Oktaeder

Abgestumpftes Tetraeder

Kuboktaeder


"Design at Pompeii"




Sechsecke im Internet  top

Deutsch

Peter Eckardt
DAS SECHSECK (Hexagon)

Wikipedia
Sechseck, Hexagramm

www.sachsentext.de
Hexogonal, Wabenrätsel, Takumi



Englisch

David King 
Hall of Hexagons

Eric W. Weisstein  (World of Mathematics)
Hexagon, Cosine Hexagon, Figurate Number, Hex Number, Talisman Hexagon, Magic Hexagon, Hexagram, Graham's Biggest Little Hexagon

Jaap Scherphuis 
Tantrix

Wikipedia
Hexagon, Hexagram, Magic hexagonHexagonal tiling


Referenzen   top
(1) Karl-Heinz Koch: ...lege Spiele, Köln 1987 (dumont taschenbuch1480)  [ISBN 3-7701-2097-3] 
(2) Martin Gardner: Mathematischer Karneval, Frankfurt a.M 1975 [ISBN 3 550 07675 4]
(3) Martin Gardner: Mathematisches Labyrinth, Braunschweig/Wiesbaden 1979 [ISBN 3-528-08402-2]


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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2004  (ergänzt 2010) Jürgen Köller

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