Was sind Kreisteile?
Kreisteile sind Figuren, die aus Kreisbögen gebildet werden.

Diese Seite enthält eine Sammlung von Kreisteilen, geordnet nach der Anzahl der Ecken.
Eine Ecke ist auf dieser Seite der Punkt, an dem zwei Kreisbögen zusammenstoßen. 

Keine Symmetrie (1), 
nur Punktsymmetrie (2), 
Achsensymmetrie mit einer Achse (3), zwei Achsen (4), drei Achsen (5),  vier Achsen (6), mehr als vier Achsen (7).

Kreisbogen-Zweiecke  top

2) Rosette 

A = [2*Pi - 3*sqrt(3)]*r²
U = 4*Pi*r

---

3) Dreiviertelmond

A = [1/2*Pi + 1]*r²
U = 2*Pi*r

4)

A = [1/24*Pi + 1/4*sqrt(3)]*a²
U = [2/3*sqrt(3)+3/2]*Pi*a

5) Möndchen des Hippokrates

A = 1/2*a*b
U = Pi/2*[a+b+sqrt(a²+b²)]

6) Linse 

A =  [1/2*Pi - 1]*a²
U = Pi*a

---

7) Kreuzblüte

A = (1/2*Pi - 1]*a²
U = 2*Pi*a

8) Möndchen des Hippokrates

A = a²
U = [sqrt(2)*+2]*a

9) Pilz

A = (1/8*Pi - 1/4]*r²
U = 1/2*Pi*r

Kreisbogen-Dreiecke  top

2) Ying und Yang

A = 1/2*Pi*r²
U = 2*Pi*r

3) Kreisel

A = 2*r²
U = 2*Pi*r

4) Golf Tee

A = [1/4*sqrt(3) - 1/8*Pi]*a²
U = 1/2*Pi*a

5) Bogendreieck

A = [1/2*Pi - 1/2*sqrt(3)]*r²
U = Pi*r

---

6) Käferaugen

A = [1/4*sqrt(3) + 3/8*Pi]*a²
U = 3/2*Pi*a

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7)

A = [1/4*sqrt(3) + 5/8*Pi]*a²
U = 5/2*Pi*a

8) Sanduhr

A = [1 - 1/4*Pi]*a²
U = Pi*a

Kreisbogen-Vierecke  top

1) Haken

A = 3/4*Pi*r²
U = 3*Pi*r

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2) Salinon (Salzfass des Archimedes)

A = 1/4*PI*(a+b)² = 1/4*Pi*c²
U = Pi*(2*a+b)

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3) Wurm

A = 5/4*Pi*a²
U = 3*Pi*a

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4) Karo

A = (1 - Pi/4)*a²
U = Pi*a

---

5) Doppelaxt

A = 1/2*a²
U = Pi*a

---

6) Bogenquadrat

A = [1 + 1/3*Pi - sqrt(3)]*a²
U = 2/3*Pi*a

---

7)

A = [1 + 1/2*Pi]*a²
U = 2*Pi*a

---

8) Vierblättriges Kleeblatt

A = [1 + 3/4*Pi]*a²
U = 3*Pi*a

---

9) Hantel

A = [1 + 1/4*Pi]*a²
U = 2*Pi*a

---

10) Herz

A = [1 + 1/4*Pi]*a²
U = 2*Pi*a

---

11) Hühnerei

A = [3*Pi - sqrt(2)*Pi - 1)]*r²
U = [3-1/2*sqrt(2)]*Pi*r

Kreisbogen-Fünfeck  top

1) Tulpe

A=Pi*r²
U = (2*Pi+2)*r

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Kreisbogen-Sechsecke  top

1)

A = [Pi - 1/2*sqrt(3)]*r²
U=2*Pi*r

---

2) Bärenkopf

A = [1/4*sqrt(3) + 1/16*Pi]*a²
U = Pi*a

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3) Brummkreisel

A = 2*a²
U = 2*Pi*a

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4) Eine Reuleauxsche Figur

A = 1/2*Pi*a² + Pi*ab + Pi*b² - 1/2*sqr(3)*a²
U = Pi*(a+2b)

Kreisbogen-Achtecke  top

1)

A = [1 + 1/16*Pi]*a²
U = 3/2*Pi*a

---

2) Kreuz

A = [1 + 1/16*Pi]*a²
U = 5/2*Pi*a

---

3) Orbitale

A = [sqrt(3) + 2/3*Pi - 3]*a²
U = 4/3*Pi*a

Kreisbogen-Zwölfeck top

1) Blume

A = 2*Pi *r²
U = 4*Pi*r

Ringe     top

1) Inkreis und Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks

A = 1/4*Pi*a²
U = sqrt(3)*Pi*a (genauer: Begrenzungslinie)

---

2) Inkreis und Umkreis eines Quadrates

A = 1/4*Pi*a²
U = [1+sqrt(2)]*Pi*a (genauer: Begrenzungslinie)

Wie berechnet man Kreisteile?  top
Man berechnet Kreisteile, indem man in der Figur Grundfiguren mit bekanntem Flächeninhalt ausmacht und sie vervielfacht, subtrahiert, addiert.

Beispiel 1
Die einzige Grundfigur ist der Halbkreis, der allerdings 4x auftritt.  Der Flächeninhalt ist allgemein gleich 1/2*Pi*r². Für den Radius r setzt man passend a/2 bzw. 3a/2 ein.

...	Eine Zusammenstellung wichtiger Grundfiguren.

Zur Quadratur des Kreises top

In der Geschichte der Mathematik spielen die  Möndchen des Hippokrates eine gewisse Rolle, da sie mit Zirkel und Lineal in flächengleiche Dreiecke (bzw. Vierecke in anderen Fällen) verwandelt werden können. Man meinte, auch zum Kreis auf ähnliche Weise ein flächengleiches Quadrat durch eine Konstruktion finden zu können. Man weiß seit dem 19. Jahrhundert, dass das nicht möglich ist, da Pi eine transzendente Zahl ist  (Ferdinand Lindemann 1882).

Die Möndchen sind auch heute noch von Interesse, da fünf "konstruierbare" Kreisbogenzweiecke bekannt sind und man nicht weiß, ob es noch weitere gibt.

Kreisteile im Internet top

Deutsch

Barbara Flütsch (Mathe-Aufgaben)
Kreis und Kreisteile: Berechnungen

klassenarbeiten.net
Kreisteile - auch Segmente

S M ART
Aufgabenbereich "Kreisteile - auch Segmente"

Wikipedia
Kreis (Geometrie)

Alexander Bogomolny  (cut-the-knot)
Salinon, The Shoemaker's Knife

David Eppstein    (The Geometry Junkyard)
Circles and Spheres

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Piecewise Circular Curve, Circle, Arc, Semicircle, Arbelos, Lens, Yin-Yang, Salinon

University of Cambridge (nrich mathematics)
Arclets (Shapes made from arcs)

Wikipedia
Circle

Referenzen     top
Walter Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig und Berlin 1935
Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises, Leipzig und Berlin 1942
Maximilian Miller, Gelöste und ungelöste mathematische Probleme, Leipzig 1973