Kreisteile
Inhalt dieser Seite
Was sind Kreisteile?
Figuren aus zwei Kreisen
Figuren aus drei Kreisen
Figuren aus vier Kreisen
Figuren aus fünf Kreisen
Figuren aus sechs Kreisen
Figuren aus acht Kreisen
Kreisringe
Wie berechnet man Kreisteile?
Einige Lösungen
Zur Quadratur des Kreises
Kreisteile im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was sind Kreisteile?
Kreisteile sind Figuren, die aus Kreisbögen gebildet werden.

Diese Seite enthält eine Sammlung von Kreisteilen, geordnet nach der Anzahl der Ecken.
Eine Ecke ist auf dieser Seite der Punkt, an dem zwei Kreisbögen zusammenstoßen. 


Die Farben der Figuren kennzeichnen die Symmetrie. Es bedeuten
1 Keine Symmetrie
2 nur Punktsymmetrie
3 Achensym. mit 1 Achse 
4 Achsensym. mit 2 Achsen
5 Achsensym. mit 3 Achsen
6 Achsensym. mit 4 Achsen
7 Achsensym. mit 5. ... Achsen

Unter den folgenden Figuren steht die Größe A als Flächeninhalt und die Größe U als Umfang.

Ein Schüler schrieb mir, er habe alle Angaben nachgerechnet. Ich könne beruhigt sein. Sie stimmen.

Figuren aus zwei Kreisen top
Linse 


A = [2/3*Pi - 1/2*sqrt(3)]*r²
U = 4/3*Pi*r

Linse

A =  [1/2*Pi - 1]*a²
U = Pi*a
Pilz

A = (1/8*Pi - 1/4]*r²
U = 1/2*Pi*r


Dreiviertelmond 

A = [1/2*Pi + 1]*r²
U = 2*Pi*r

Figuren aus drei Kreisen    top
Dreispitz

A = [Pi - 1/2*sqrt(3)]*r²
U=2*Pi*r
Käferaugen

A = [1/4*sqrt(3) + 3/8*Pi]*a²
U = 3/2*Pi*a
Drei Kreise

A = [1/4*sqrt(3) + 5/8*Pi]*a²
U = 5/2*Pi*a


Arbelos (Schusterkneif des Archimedes)

A = 1/4*Pi*ab = 1/4*Pi*c²
U = (a+b)*Pi
Möndchen des Hippokrates

A = 1/2*a*b
U = Pi/2*[a+b+sqrt(a²+b²)]
Ying und Yang

A = 1/2*Pi*r²
U = 2*Pi*r

Kreisel

A = 2*r²
U = 2*Pi*r
Golf Tee

A = [1/4*sqrt(3) - 1/8*Pi]*a²
U = 1/2*Pi*a
Bogendreieck

A = [1/2*Pi - 1/2*sqrt(3)]*r²
U = Pi*r

Figuren aus vier Kreisen top
Kreuzblüte

A = (1/2*Pi - 1]*a²
U = 2*Pi*a
Orbital

A = [sqrt(3) + 2/3*Pi - 3]*a²
U = 4/3*Pi*a
Vierstrahlig

A = [1 + 1/2*Pi]*a²
U = 2*Pi*a


Karo

A = (1 - Pi/4)*a²
U = Pi*a
Doppelaxt

A = 1/2*a²
U = Pi*a
Bogenquadrat

A = [1 + 1/3*Pi - sqrt(3)]*a²
U = 2/3*Pi*a

Vierblättriges Kleeblatt

A = [1 + 3/4*Pi]*a²
U = 3*Pi*a
Hantel

A = [1 + 1/4*Pi]*a²
U = 2*Pi*a
Herz

A = [1 + 1/4*Pi]*a²
U = 2*Pi*a

Haken

A = 3/4*Pi*r²
U = 3*Pi*r
Salinon (Salzfass des Archimedes)

A = 1/4*PI*(a+b)² = 1/4*Pi*c²
U = Pi*(2*a+b)
Wurm

A = 5/4*Pi*a²
U = 3*Pi*a

Ring

A = [1/24*Pi + 1/4*sqrt(3)]*a²
U = [2/3*sqrt(3)+3/2]*Pi*a
Sanduhr

A = [1 - 1/4*Pi]*a²
U = Pi*a
Hühnerei

A = [3*Pi - sqrt(2)*Pi - 1)]*r²
U = [3-1/2*sqrt(2)]*Pi*r



Figuren aus fünf Kreisen  top
Möndchen des Hippokrates

A = a²
U = [sqrt(2)*+2]*a
Tulpe

A=Pi*r²
U = (2*Pi+2)*r

Figuren aus sechs Kreisen top
Rosette

A = [2*Pi - 3*sqrt(3)]*r²
U = 4*Pi*r
Rosette

A = 2*Pi *r²
U = 4*Pi*r
Bärenkopf

A = [1/4*sqrt(3) + 1/16*Pi]*a²
U = Pi*a


Gleichdick

A = 1/2*Pi*a² + Pi*ab + Pi*b² - 1/2*sqr(3)*a²
U = Pi*(a+2b)
Brummkreisel

A = 2*a²
U = 2*Pi*a


Figuren aus acht Kreisen top
Kreuz

A = [1 + 1/16*Pi]*a²
U = 3/2*Pi*a
Kreuz

A = [1 + 1/16*Pi]*a²
U = 5/2*Pi*a


Kreisringe   top
Inkreis und Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks

A = 1/4*Pi*a²
U = sqrt(3)*Pi*a (genauer: Begrenzungslinie)
Inkreis und Umkreis eines Quadrates

A = 1/4*Pi*a²
U = [1+sqrt(2)]*Pi*a (genauer: Begrenzungslinie)


Das ist merkwürdig: Das Resultat A = 1/4*Pi*a² gilt für alle regelmäßigen Vielecke.

Wie berechnet man Kreisteile? top
Man berechnet Kreisteile, indem man in der Figur Grundfiguren mit bekanntem Flächeninhalt ausmacht und sie vervielfacht, subtrahiert, addiert.


Diese Methode wird an drei Figuren erklärt. 

Beispiel 1
Die einzige Grundfigur ist der Halbkreis, der allerdings 4x auftritt.  Der Flächeninhalt ist allgemein gleich 1/2*Pi*r². Für den Radius r setzt man passend a/2 bzw. 3a/2 ein.

Am besten schreibt man den Term ganz rechts sofort hin und vereinfacht ihn. Es ergibt sich A=5/4*Pi*a².

Beispiel 2
Die zweite Kreisfigur besteht aus einem gleichseitigen Dreieck und drei kongruenten Kreisabschnitten.
Auch hier kann man den rechten Term sofort hinschreiben und vereinfachen. 
Es ergibt sich A = [1/2*Pi - 1/2*sqr(3)]*a².

Beispiel 3
Die dritte Figur besteht aus zwei kongruenten Kreisabschnitten. Die Grundfiguren sind ein Viertelkreis und ein halbes Quadrat.
Es ergibt sich A =  [1/2*Pi - 1]*r².

...
Eine Zusammenstellung wichtiger Grundfiguren.

Einige Lösungen   top
Flächeninhalt des Bogenquadrats
...
Die Rechnung geschieht in zwei Schritten.
1 Der Flächeninhalt des inneren roten Quadrates wird berechnet.
2 Der Flächeninhalt eines der gelben Kreisabschnitte wird berechnet. 


1
...... ...
Im Quadrat liegt ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe h=(1/2)sqrt(3)a.
Die blauen Strecken sind die diagonalen des Quadrats. 
Eine halbe Diagonale hat die Länge h-(1/2)a=(1/2)[sqrt(3)-1]a
Dann  ist der Flächeninhalt des Quadrates A1 = 4*(1/2){(1/2)[sqrt(3)-1]a}² = (1/2)[4-2sqrt(3)]a²=[2-sqrt(3)]a².

2
...... Im Quadrat liegt ein Kreisabschnitt mit dem Winkel 30°.
Der Flächeninhalt eines Kreisabschnittes ist die Differenz aus dem Flächeninhalt des Kreissektors und dem Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks mit den Schenkeln a. Es gibt vier Kreisabschnitte.
Somit gilt A2 = 4*[(1/12)pi*a²-(1/4)a²] = [(1/3)pi-1]a²

Ergebnis
A=A1 + A2 = [2-sqrt(3)]a² + [(1/3)pi-1]a² = [1-sqrt(3)+(1/3)pi]a²

Flächeninhalt des Orbitals
Vorausgesetzt werden die Formeln für den Flächeninhalt 
der Linse AL =  [1/2*Pi - 1]*a² und 
des Bogenquadrates AB = [1 + 1/3*Pi - sqrt(3)]*a².

Für den Flächeninhalt des Orbitals gilt dann A = 2AL - AB.
Das bedeutet A=2*[1/2*Pi - 1]*a² -[1 + 1/3*Pi - sqrt(3)]*a² oder A = Pi*a²-2a²-a²-(1/3)Pi*a²+sqrt(3)a² oder 
A = (2/3)Pi*a²-3a²+sqrt(3)a² oder A = [sqrt(3) + 2/3*Pi - 3]*a², wzbw..

Wird fortgesetzt

Zur Quadratur des Kreises top
In der Geschichte der Mathematik spielen die Möndchen des Hippokrates eine gewisse Rolle, da sie mit Zirkel und Lineal in flächengleiche Dreiecke (bzw. Vierecke in anderen Fällen) verwandelt werden können. Man meinte, auch zum Kreis auf ähnliche Weise ein flächengleiches Quadrat durch eine Konstruktion finden zu können. Man weiß seit dem 19. Jahrhundert, dass das nicht möglich ist, da Pi eine transzendente Zahl ist  (Ferdinand Lindemann 1882). 


Die Möndchen sind auch heute noch von Interesse, da fünf "konstruierbare" Kreisbogenzweiecke bekannt sind und man nicht weiß, ob es noch weitere gibt.

Mehr über Kreise findet man auf meinen Seiten Kreis, Kreise im Kreis, Arbelos, Halbkreis, Ringe und Gleichdick.

Kreisteile im Internet   top

Deutsch

Barbara Flütsch (Mathe-Aufgaben)
Kreis und Kreisteile: Berechnungen

klassenarbeiten.net
Kreisteile - auch Segmente

S MART
Aufgabenbereich "Kreisteile - auch Segmente"

Wikipedia
Kreis (Geometrie)Reuleaux-Dreieck, Arbelos, Kreisring



Englisch

Alexander Bogomolny  (cut-the-knot)
Salinon, The Shoemaker's Knife

David Eppstein    (The Geometry Junkyard)
Circles and Spheres

Eric W. Weisstein  (MathWorld)
Piecewise Circular Curve, Circle, Arc, Triangle Arcs, Semicircle, Arbelos, Lens
Yin-Yang, Salinon, Reuleaux Triangle

University of Cambridge (nrich mathematics)
Arclets (Shapes made from arcs)

Wikipedia
Circle, Reuleaux triangle, Arbelos, Salinon, Semicircle, Ring (geometric)


Referenzen   top
Walter Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig und Berlin 1935
Eugen Beutel: Die Quadratur des Kreises, Leipzig und Berlin 1942
Maximilian Miller, Gelöste und ungelöste mathematische Probleme, Leipzig 1973


Dank an 10a in 1986/87

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http://www.mathematische-basteleien.de/

©  2001 Jürgen Köller

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