Kreis
Inhalt dieser Seite
Was ist ein Kreis?
Begriffe am Kreis
Flächeninhalt und Umfang
Kreisteile
Bogenmaß
Zur Definition der Kreislinie
Kreis im kartesischen Koordinatensystem
Kreis halbieren
Zirkel
Zur Quadratur des Kreises
Eulenloch
Kreis im Internet
Referenzen
.
Zur Hauptseite    "Mathematische Basteleien"

Was ist ein Kreis?
...... Die Menge aller Punkte P, die von einem festen Punkt M die gleiche Entfernung r haben, bilden einen Kreis oder genauer eine 
Kreislinie mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r
Ein Kreis kann auch eine Kreisscheibe sein. 
Dann ist der Kreis die Menge aller Punkte der Kreislinie und der Punkte, die sie einschließt. 


Auf dieser Seite findet man eine persönliche Auswahl von "Kreisgeschichten". 

Begriffe am Kreis   top
M Mittelpunkt, 
r Radius oder Halbmesser, 
d Durchmesser 
s Sehne
A1 Kreissegment oder Kreisabschnitt
A2  Kreisausschnitt oder Kreissektor
A3  Kreislinse
A4 Kreisring


k Kreis oder Kreislinie 
b Kreisbogen
alpha Mittelpunktwinkel
beta Umfangswinkel
g1 Passante
g2  Tangente
g3  Sekante
g4  Zentrale

Flächeninhalt und Umfang top
Ein Kreis ist im Allgemeinen durch den Radius r gegeben. Dann ist der Flächeninhalt A=pi*r² und der Umfang U=2*pi*r. 
Dabei ist pi eine transzendente Zahl.
Eine Näherungsangabe auf 30 Dezimalen genau ist pi=3.141592653589793238462643383279.


Erste Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung
Am einfachsten ist es, die beiden Formeln für den Flächeninhalt und den Umfang mit Hilfe der Integralrechnung herzuleiten. 
Aus Gründen der Symmetrie genügt es, sich auf den Viertelkreis zu beschränken. 
Seine Funktionsgleichung ist f(x)=sqrt(r²-x²).
......
Zur Herleitung der Formeln zerlegt man den Viertelkreis in Streifen.
Für den Flächeninhalt summiert man den Flächeninhalt der Streifen, 
für den Umfang die Länge der Sehnen innerhalb der Streifen. 

Flächeninhalt A

Umfang U

Zweite Herleitung für den Schulgebrauch
Flächeninhalt
...... Steht die Integralrechnung nicht zur Verfügung, so kann man in einer ersten Überlegung eine Intervallschachtelung verwenden. Man legt zum Beispiel um den Kreis und in den Kreis ein regelmäßiges Sechseck.
Das äußere Sechseck hat ein Grunddreieck mit der Höhe r und der Seite x mit r=sqrt(3)/2*x oder x=(2/3)sqrt(3)*r. Der Flächeninhalt ist A1=xr/2=sqrt(3)/3*r².
Das innere Sechseck hat ein Grunddreieck mit der Seite r und der Höhe h=sqrt(3)/2*r. Der Flächeninhalt ist A2=hr/2=sqrt(3)/4*r².
Das äußere Sechseck hat also einen Flächeninhalt von 6A1=2sqrt(3)r², das innere 6A2=(3/2)sqrt(3)r².
Der Flächeninhalt des Kreises liegt damit zwischen 2sqrt(3)r² und (3/2)sqrt(3)r² oder 3,46r² und 2,60r². 
Der Mittelwert ist 3,03r². Das führt zu pi=3,03.

Die Methode kann man zu einer echten  Intervallschachtelung erweitern, wenn man die Vieleckfolge Dreieck, Sechseck, Zwölfeck, ...untersucht. Dann kann man pi beliebig genau bestimmen.

Umfang 1
Mit Hilfe des Sechsecks erhält man die Schranken 6r>U>4sqrt(3) oder 6r>U>6,93r. Das führt zu pi=3,32.

Umfang 2
Für den Umfang gibt es noch eine anschauliche Überlegung.
... ...... Man zerlegt die Kreisfläche in Kreisausschnitte und setzt sie zu einer neuen Figur zusammen. Wenn man die Anzahl der Kreisausschnitte immer größer werden lässt, kann man sich vorstellen, dass die Figur sich immer mehr der Rechteckform nähert. 
Der Flächeninhalt ist A=r(U/2). Daraus folgt U=2A/r=2*pi*r.

Dritte (experimentelle) Herleitung
Für den Physikunterricht kommen die Formeln A=pi*r² und U=2*pi*r in Klasse 10 zu spät. Schon bei Schülerübungen zur Dichtebestimmung mit Zylindern in Klasse 6 kommt man nicht am Kreis vorbei. 

Man wiegt ein Quadrat aus Pappe mit bekannter Fläche und schließt dann durch Dreisatzrechnung auf die Masse pro cm². 
Man wiegt Kreisscheiben aus der gleichen Pappe und misst die Radien.
Man rollt die Kreisscheiben ab und gelangt so zum Umfang. 
In beiden Fällen kommt man zu Messreihen A=A(r²) und U=U(r). Der Proportionalitätsfaktor ist pi bzw. 2*pi. 


Kreisteile    top
Einfache Kreisteile sind der Kreisausschnitt und der Kreisabschnitt. 
Der Kreisausschnitt wird begrenzt von einem Kreisbogen b und zwei Radien r. 

Für den Kreisbogen gilt: b : (2*pi*r)=alpha : 360° oder b=(pi*alpha*r)/180°.
Für den Flächeninhalt gilt: A' : (pi*r²)=alpha : 360° oder A'=(pi*alpha*r²)/360°.


Der Kreisabschnitt wird von einem Kreisbogen b und einer Sehne s begrenzt. Man erhält den Flächeninhalt, wenn man die Dreiecksfläche vom Flächeninhalt des Kreisausschnittes subtrahiert.
...... Für die Höhe h gilt cos(alpha/2)=h/r oder h=r*cos(alpha/2).
Für die Sehne s gilt sin(alpha/2)=(s/2r) oder s=2r*sin(alpha/2).
Damit ist A''=(pi*alpha*r²)/360°-(sh)/2=pi*alpha*r²/360°-r²*sin(alpha/2)*cos(alpha/2). 
A''=pi*alpha*r²/360°-(r²/2)*sin(alpha)=[pi*alpha/180°-sin(alpha)]*(r²/2). 
Zur Kontrolle: Wählt man einen Halbkreis und setzt alpha=180°, so ergibt sich A''=(pi/2)*r². 

Weitere Kreisteile findet man an anderer Stelle meiner Homepage.

Bogenmaß top
Definition des Winkels
...... Ein Winkel entsteht, wenn man eine Halbgerade in horizontaler Lage festhält und eine andere Halbgerade, die vom gleichen Endpunkt ausgeht, in positiver Richtung dreht. 


Gradmaß
...... Will man die Größe eines Winkels messen, so muss man die Drehung messen. 
Dazu führt man das Gradmaß ein, bei dem einer Volldrehung die Winkelgröße 360° entspricht. Von da aus kommt man zu kleineren Winkeln.

Bogenmaß
Es gibt eine zweite, einfachere Definition des Winkelmaßes.
...... Ein Winkel ist eine Figur aus zwei Halbgeraden, die von einem Punkt ausgehen. 
Zeichnet man in die Figur noch einen Kreisbogen, so sind bei festem Winkel die  Bogenlänge b und der Radius r proportional. 
Der Quotient b/r ist ein Maß für die Größe des Winkels und heißt Bogenmaß.
Die Einheit ist 1m/m für b=1m und r=1m, also ist b/r dimensionslos.

Wählt man einen Vollkreis mit dem Radius 1, so ist der Umfang das Bogenmaß eines Winkels mit dem Winkelmaß 360°.
Es gilt also 2*pi=360°. Damit deutlich wird, dass auch 2*pi ein Winkelmaß ist, fügt man Radiant oder rad hinzu:
2*pi rad=360°. Daraus folgt 1 rad=180°/pi oder angenähert 1 rad=57,3°.

Obwohl das Bogenmaß eine natürliche Einheit ist und auch im internationalen Einheitensystem (SI-System) bevorzugt wird, ist in der Schulmathematik das Gradmaß üblich, solange die Kreislehre noch nicht behandelt wurde. 

...... Der Taschenrechner gibt noch einen Hinweis auf eine dritte Winkeleinheit, auf 1 Neugrad oder jetzt offiziell 1 gon. Da wird der rechte Winkel nicht mit 90°, sondern mit 100 gon oder 100g gemessen. 
Dieses Vorhaben, das Dezimalsystem auch für Winkel einzuführen, ist nach meiner Kenntnis nur in der Geodäsie verwirklicht. 

Zur Definition der Kreislinie  top
Umfangswinkelsatz
Oben wird der Kreis über die Entfernung von einem festen Punkt M definiert. Das ist eine anschauliche Definition und wird bei einer ersten Einführung des Kreises verwendet. Sie setzt voraus, dass ein Abstandsbegriff definiert ist. Viele Sätze zum Kreis, zum Beispiel die Winkelsätze, erfordern das gar nicht. Da steht der Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz) an zentraler Stelle.
...... Er heißt:
Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über einem Kreisbogen b sind gleich groß. 
Dieser Satz ist charakteristisch für den Kreis. D.h., er ist umkehrbar.
Somit kann die Definition der Kreislinie auch lauten:
Eine Kreislinie ist die Menge aller Scheitelpunkte der Winkel, die über einem Kreisbogen liegen und gleich sind. 


Quelle: (1)  Seite 126ff. "Eine kennzeichnende Eigenschaft des Kreises"

Thalessatz
...... Der Satz des Thales besagt, dass jeder Winkel im Halbkreis ein rechter Winkel ist. Auch dieser Satz ist umkehrbar und kann der Definition der Kreislinie dienen. 
Sie lautet:
Eine Kreislinie ist die Menge aller Scheitelpunkte der rechten Winkel, die über einer Strecke liegen.

Kreis des Apollonios
...... Der Kreis ist der Spezialfall einer Ellipse. 
Eine Ellipse kann definiert werden als die Ortslinie aller Punkte, deren Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten konstant ist. 

Es stellt sich die Frage, ob und dann wie man die Bedingung so abändern kann, dass sich an Stelle der Ellipse ein Kreis ergibt. 


Das führt zum sogenannten Apollonios-Kreis (Apollonios von Perge).
...... Man gibt zwei Punkte A und B und eine Zahl q vor. Dann sucht man die Punkte P, für die AP:BP=q gilt. Zwei Punkte P und P' werden stellvertretend eingezeichnet. 

Es gilt die Aussage: Alle Punkte, deren Quotient der Länge der Entfernungen von zwei festen Punkten A und B konstant ist, liegen auf einer Kreislinie.
 

Zum Beweis
...... Zum Beweis kennzeichnet man die Schnittpunkte der Geraden AB und des Kreises mit C und D. Verbindet man diese Punkte mit einem Kreispunkt, so kann man zeigen, dass CPD ein rechter Winkel ist. Nach der Umkehrung des Thalessatzes ist P ein Kreispunkt. 
Es ist erwähnenswert, dass der Punkt C die Strecke AB innen im gleichen Verhältnis teilt wie der Punkt D außen. Es handelt sich um eine harmonische Teilung. 

Kreis im kartesischen Koordinatensystem    top
Allgemeine Gleichung
...... Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M(xm|ym). 
Es sei P ein beliebiger Kreispunkt P(x|y).
Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung (x-xm)²+(y-ym)²=r².
Umgekehrt gilt: Erfüllen die Koordinaten eines Punktes P die Gleichung (x-xm)²+(y-ym)²=r² gilt, so ist P ein Kreispunkt. 
In der nebenstehenden Zeichnung gilt (x-3)²+(y-4)²=4


Mittelpunktgleichung
Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Nullpunkt des Koordinatensystems, so ist xm=0 und ym=0. 
Die Kreisgleichung lautet dann x²+y²=r².

Gleichung zweiten Grades
Multipliziert man die Quadrate in der allgemeinen Gleichung (x-xm)²+(y-ym)²=r² aus, so erhält man x²+y²-2xmx-2ymy+xm²+ym²-r²=0.
Diese Gleichung hat die Form x²+y²+Ax+By+C=0. Es stellt sich die Frage, welche Bedingungen A, B und C erfüllen müssen, damit diese Gleichung einen Kreis darstellt. Zum Beispiel darf A=B=C=0 nicht gelten. Dann ist nämlich x²+y²=0 und nur der Nullpunkt erfüllt die Gleichung.
Zunächst einmal formt man die Gleichung zu (x-A/2)²+(y-B/2)²=(A/2)²+(B/2)²-4C um. Nach der allgemeinen Gleichung oben muss der rechte Term (A/2)²+(B/2)²-4C dem Quadrat r² entsprechen. Also muss (A/2)²+(B/2)²-4C>0 oder A²+B²>4C sein. 
Ergebnis: Die Gleichung zweiten Grades der Form x²+y²+Ax+By+C=0 stellt genau dann einen Kreis dar, wenn A²+B²>4C ist.
Quelle: (3) Seite 351ff. 

Kreis halbieren top
Halbkreis
......
Einen Durchmesser einzuzeichnen ist die einfachste Art, einen Kreis zu halbieren.

An anderer Stelle meiner Homepage findet man eine Webseite nur über den Halbkreis


Die grasende Ziege
Diese Halbierung ist Gegenstand des bekannten Problems "The grazing goat".
...... Gegeben sei eine kreisförmige Grasfläche. Im Randpunkt M' ist ein Pflock eingeschlagen, an dem ein Seil befestigt ist. An dessen Ende steht eine Ziege Z. Wie groß muss die Länge s des Seils sein, damit die Ziege die Hälfte der Kreisfläche mit dem Radius r erreichen kann? 
Diese einfach und harmlos erscheinende Aufgabe hat es in sich.
...... Es ist ungeschickt, die Sehne s als Suchvariable einzuführen. Besser ist der eingezeichnete Winkel alpha.
Dann erhält man die Gleichung pi/2 + 2alpha * cos(2alpha) - sin(2alpha)  = 0 mit der Näherungslösung alpha = 0.9528 rad=54.6°. 
Das führt zur einer Länge des Seils von s=1,1587r. 
Näheres bei  Hans Henschel (URL unten).

Yin und Yang
...... Von dieser Figur weiß wohl jeder, dass sie etwas mit der chinesischen Kultur und mit männlich/weiblich zu tun hat. 
Wer etwas Genaueres wissen will, findet bei Wikipedia einige Informationen (URL unten).
Die Figur passt hier, da der Kreis auch so in zwei Hälften geteilt wird.

Zirkel   top
Das Zeichengerät zum Zeichnen eines Kreises ist der Zirkel.
Vorstellung dreier Zirkel
1
...... Wer kennt ihn noch?
Ich hatte schon vergessen, dass früher diese Art von Zirkel üblich war. 
In England habe ich ihn noch gefunden.


2
Dieses ist ein einfacher Schulzirkel, den ein Lehrer bei den Schülern gerade noch durchgehen lassen kann. 
1 Die Spitze ist nur eingeklemmt. Besser wäre es, wenn sie herausnehmbar und so auch in der Länge verstellbar wäre. 
2 Die Bleistiftmine wird durch einen Schraubmechanismus festgehalten und kann in der Länge passend verändert werden.
3 Unentbehrlich ist eine Schraube an dieser Stelle. Man muss sie anziehen können, wenn der Zirkel ausleiert, wenn also die Schenkel sich zu leicht bewegen lassen. 
4 An diesem Griff fasst man den Zirkel an. Etwas bessere Zirkel haben einen Führungsmechanismus für die Schenkel, so dass das Stäbchen immer in Richtung der Winkelhalbierenden der Schenkel zeigt. 

3
...... Das ist der Zirkel, der heute oft gekauft wird und den sich Schülerinnen und Schüler gerne gönnen. 
Ein Nachteil ist die mühselige Veränderung des Radius.
Einen zweiten Nachteil erkennt man an diesem Exemplar. Die auf dem Foto vertikal liegende Führungsschraube ist krumm. Das passiert leicht. Ein neuer Radius ist jetzt schwer einstellbar. 

Zeichenübungen
...... Es ist gar nicht so leicht, mit dem Zirkel sachgerecht umzugehen. Man muss lernen, nur die Spitze zu belasten.
Eine beliebte Hausaufgabe ist für Anfänger, eine Rosette und eine Zielscheibe als Pflicht-, ein Männchen und einen Hasen als Kür-Figuren zu zeichnen :-).

Mittelpunkt suchen
...... Anfänger vergessen oft, vor dem Zeichnen eines Kreises den Mittelpunkt durch ein Kreuz festzulegen. 
Dann stellt sich das Problem, den Mittelpunkt des schon gezeichneten Kreises zu finden. 
Ist der Radius noch eingestellt, so genügen zwei Kreise mit einem Mittelpunkt auf der Kreislinie. 
Sonst muss man zu je zwei Punktepaaren auf der Kreislinie mindestens zwei Mittelsenkrechte zeichnen.
Da ist das Geodreieck mit den symmetrischen Skalen hilfreich.

Zur Quadratur des Kreises top
Es geht dabei um das sprichwörtlich gewordene Problem, einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln. 
Dabei ist Bedingung, dass die Quadratseite nur mit Zirkel und Lineal aus dem Radius konstruiert werden muss. 
Ohne diesen Zusatz ist die Lösung einfach. Der Ansatz pi*r²=x² führt zu x=sqrt(pi)*r oder angenähert x=1,77r.


Seit Ferdinand von Lindemann 1882 der Beweis gelang, dass pi eine transzendente Zahl ist, weiß man, dass die Quadratur des Kreises nicht möglich ist.
Trotzdem liest man immer wieder mal in der Zeitung, dass jemand, der offenbar nicht mit der Theorie vertraut ist, angeblich eine Lösung gefunden und es den studierten Mathematikern gezeigt hat. 
Ich war der Meinung, dass Ferdinand von Lindemann auf seinem Grabstein voller Stolz nur die Zahl pi als Dezimalzahl mit etlichen Dezimalen einmeißeln ließ. Das ist eine schöne Geschichte, die zu meinem Repertoire als Lehrer gehörte. Ich übernahm sie von einem meiner Lehrer. Sie ist falsch. 
...... Im Internet fand ich ein Foto seines Grabsteins. Er enthält die üblichen Daten seiner Person und die seiner Frau, einer Schriftstellerin. Immerhin steht oben auf dem Grabstein pi und eine Kreis/Quadrat-Kombination. Das ist vielleicht eine noch schönere Geschichte.
Das vollständige Foto findet man bei Wolfgang Volk (URL unten)

Ergänzung
Die Schülerin Rebecca fand im Rahmen ihrer Jahresarbeit heraus, dass der mit pi auf dem Grabstein offenbar nicht Lindemann, sondern Ludolph van Ceulen war, wie man auf der Wikipedia-Webseite (URL unten) nachlesen kann. Da habe ich wohl als Schüler nicht aufgepasst, peinlich.

Eulenloch top
Und nun zu einem Kapitel mit Lokalkolorit.
Zu sehen sind die Giebel dreier Häuser in der Heldmannstraße in Bad Salzuflen, Ortsteil Schötmar.

Nr. 9

Nr. 8

Nr. 4
Die kreisförmigen Fenster waren früher meist ein einfaches Loch wie bei Nr.9 noch zu sehen ist. Die Öffnungen hießen Eulenloch oder auf lippisch Platt Iulenlock. Sie waren für Schleiereulen bestimmt. Früher lebten sie auf Dachböden als willkommene Gäste und hielten den Boden (weitgehend) mäusefrei. 
Haus Nr. 8 ist auch ein altes Haus, doch das Eulenloch ist heute geschlossen. 
Nr.4 ist ein Neubau von 2005. Der Kreis ist so etwas wie das Zitat eines Eulenlochs. Da war ein sensibler Architekt tätig.


Kreis im Internet      top

Deutsch

Hans Henschel
Rätsel /Die grasende Ziege, Lösung

Wikipedia
Kreis (Geometrie), Kreis des Apollonios, Pi (Kreiszahl), Peripheriewinkel, Satz des Thales,
Zirkel (Gerät), Winkel (Geometrie)Grad (Winkel)Bogenmaß, Gon, Eulenloch, Yin und Yang
Ludolph van Ceulen

Wolfgang Volk
Grab von Ferdinand von Lindemann in München (Deutschland)

Englisch

Eric W. Weisstein (MathWorld)
Circle

Wikipedia
Circle, List of circle topics

youtube
Two-circle roller, World Freehand Circle Drawing Champion


Auf meiner Homepage gibt es an anderen Stellen etliche Informationen zum Kreis. 
Kreisteile, Halbkreis, Sehnenviereck, Tangentenviereck, Kreise im Kreis, Arbelos, Gleichdick, Achtkurve, Kugel, ZweikreisfigurenSalinon

Referenzen    top
(1) Rademacher-Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin, Heidelberg, New York1968 (Nachdruck von 1930) 
(2) C.Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie, Braunschweig 1975 [ISBN 3 528 08314 x]
(3) Heinz Nickel (federführend): Algebra und Geometrie für Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M. und Zürich, 1966.
(4) Jean-Paul Delahaye: Pi - Die Story, Basel, Boston, Berlin 1999 [ISBN 3-7643-6056-9]


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©  2006 Jürgen Köller

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