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Was ist ein Kreis?
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Die Menge aller Punkte P, die von einem festen Punkt M die gleiche
Entfernung r haben, bilden einen Kreis oder genauer eine Kreislinie
mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r.
Ein Kreis kann auch eine Kreisscheibe sein.
Dann ist der Kreis die Menge aller Punkte der Kreislinie und der Punkte,
die sie einschließt. |
Auf dieser Seite findet man einen "Pflichtteil"
zum Kreis und eine persönliche Auswahl von "Kreisgeschichten".
Begriffe am Kreis top
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M Mittelpunkt,
r Radius oder Halbmesser,
d Durchmesser
s Sehne |
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A1 Kreissegment oder Kreisabschnitt
A2 Kreisausschnitt oder Kreissektor
A3 Kreislinse
A4 Kreisring |
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k Kreis oder Kreislinie
b Kreisbogen
alpha Mittelpunkswinkel
beta Umfangswinkel |
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g1 Passante
g2 Tangente
g3 Sekante
g4 Zentrale |
Flächeninhalt und Umfang
top
Ein Kreis ist im allgemeinen durch den Radius r gegeben. Dann
ist der Flächeninhalt A=pi*r² und der
Umfang
U=2*pi*r.
Dabei ist pi eine transzendente Zahl.
Eine Näherungsangabe auf 30 Dezimalen genau ist pi=3.141592653589793238462643383279.
Erste Herleitung
mit Hilfe der Integralrechnung
Am einfachsten ist es, die beiden Formeln für den Flächeninhalt
und den Umfang mit Hilfe der Integralrechnung herzuleiten.
Aus Gründen der Symmetrie genügt es, sich auf den Viertelkreis
zu beschränken.
Seine Funktionsgleichung ist f(x)=sqrt(r²-x²).
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Zur Herleitung der Formeln zerlegt man den Viertelkreis in Streifen.
Für den Flächeninhalt summiert man den Flächeninhalt
der Streifen,
für den Umfang die Länge der Sehnen innerhalb der Streifen. |
Flächeninhalt A
Umfang U
Zweite Herleitung
für den Schulgebrauch
Flächeninhalt
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Steht die Integralrechnung nicht zur Verfügung, so kann man in
einer ersten Überlegung eine Intervallschachtelung verwenden. Man
legt zum Beispiel um den Kreis und in den Kreis ein regelmäßiges
Sechseck.
Das äußere Sechseck hat ein Grunddreieck mit der Höhe
r und der Seite x mit r=sqrt(3)/2*x oder x=(2/3)sqrt(3)*r. Der Flächeninhalt
ist A1=xr/2=sqrt(3)/3*r².
Das innere Sechseck hat ein Grunddreieck mit der Seite r und der Höhe
h=sqrt(3)/2*r. Der Flächeninhalt ist A2=hr/2=sqrt(3)/4*r². |
Das äußere Sechseck hat also einen Flächeninhalt von 6A1=2sqrt(3)r²,
das innere 6A2=(3/2)sqrt(3)r².
Der Flächeninhalt des Kreises liegt damit zwischen 2sqrt(3)r²
und (3/2)sqrt(3)r² oder 3,46r² und 2,60r².
Der Mittelwert ist 3,03r². Das führt zu pi=3,03.
Die Methode kann man zu einer echten
Intervallschachtelung erweitern, wenn man die Vieleckfolge Dreieck, Sechseck,
Zwölfeck, ...untersucht. Dann kann man pi beliebig genau bestimmen.
Umfang 1
Mit Hilfe des Sechsecks erhält man die Schranken 6r>U>4sqrt(3)
oder 6r>U>6,93r. Das führt zu pi=3,32.
Umfang 2
Für den Umfang gibt es noch eine anschauliche Überlegung.
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Man zerlegt die Kreisfläche in Kreisausschnitte und setzt sie
zu einer neuen Figur zusammen. Wenn man die Anzahl der Kreisausschnitte
immer größer werden lässt, kann man sich vorstellen, dass
die Figur sich immer mehr der Rechteckform nähert.
Der Flächeninhalt ist A=r(U/2). Daraus folgt U=2A/r=2*pi*r. |
Dritte (experimentelle)
Herleitung
Für den Physikunterricht kommen die Formeln A=pi*r² und U=2*pi*r
in Klasse 10 zu spät. Schon bei Schülerübungen zur Dichtebestimmung
mit Zylindern in Klasse 6 kommt man nicht am Kreis vorbei.
Man wiegt ein Quadrat aus Pappe mit bekannter Fläche und schließt
dann durch Dreisatzrechnung auf die Masse pro cm².
Man wiegt Kreisscheiben aus der gleichen Pappe und misst die Radien.
Man rollt die Kreisscheiben ab und gelangt so zum Umfang.
In beiden Fällen kommt man zu Messreihen A=A(r²) und U=U(r).
Der Proportionalitätsfaktor ist pi bzw. 2*pi.
Kreisteile top
Einfache Kreisteile sind der Kreisausschnitt und der Kreisabschnitt.
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Der Kreisausschnitt wird begrenzt von
einem Kreisbogen b und zwei Radien r.
Für den Kreisbogen gilt: b : (2*pi*r)=alpha : 360°
oder b=(pi*alpha*r)/180°.
Für den Flächeninhalt gilt: A' : (pi*r²)=alpha
:
360°
oder A'=(pi*alpha*r²)/360°. |
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Der Kreisabschnitt wird vom einem Kreisbogen
b und einer Sehne s begrenzt.
Man erhält den Flächeninhalt, wenn man die Dreiecksfläche
vom Flächeninhalt des Kreisausschnittes subtrahiert.
Für die Höhe h gilt cos(alpha/2)=h/r oder h=r*cos(alpha/2).
Für die Sehne s gilt sin(alpha/2)=(s/2r) oder s=2r*sin(alpha/2).
Damit ist A''=(pi*alpha*r²)/360°-(sh)/2=pi*alpha*r²/360°-r²*sin(alpha/2)*cos(alpha/2).
A''=pi*alpha*r²/360°-(r²/2)*sin(alpha)=[pi*alpha/180°-sin(alpha)]*(r²/2). |
Zur Kontrolle: Wählt man einen Halbkreis und setzt alpha=180°,
so ergibt sich A''=(pi/2)*r².
Weitere Kreisteile findet man an anderer Stelle
meiner Homepage.
Bogenmaß top
Definition des Winkels
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Ein Winkel entsteht, wenn man eine Halbgerade in horizontaler Lage
festhält und eine andere Halbgerade, die vom gleichen Endpunkt ausgeht,
in positiver Richtung dreht. |
Gradmaß
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Will man die Größe eines Winkels messen, so muss man die
Drehung messen.
Dazu führt man das Gradmaß ein, bei dem einer Volldrehung
die Winkelgröße 360° entspricht.
Von da aus kommt man zu kleineren Winkeln. |
Bogenmaß
Es gibt eine zweite, einfachere Definition des Winkels.
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Ein Winkel ist eine Figur aus zwei Halbgeraden, die von einem Punkt
ausgehen.
Zeichnet man in die Figur noch einen Kreisbogen, so sind bei festem
Winkel die Bogenlänge b und der Radius r proportional. |
Der Quotient b/r ist ein Maß für die Größe des Winkels
und heißt Bogenmaß.
Die Einheit ist 1m/m für b=1m und r=1m, also ist b/r dimensionslos.
Wählt man einen Vollkreis mit dem
Radius 1, so ist der Umfang das Bogenmaß eines Winkels mit dem Winkelmaß
360°.
Es gilt also 2*pi=360°. Damit deutlich wird, dass auch 2*pi ein
Winkelmaß ist, fügt man Radiant oder rad hinzu:
2*pi rad=360°. Daraus folgt 1 rad=180°/pi oder angenähert
1 rad=57,3°.
Obwohl das Bogenmaß eine natürliche
Einheit ist und auch im internationalen Einheitensystem (SI-System) bevorzugt
wird, ist in der Schulmathematik das Gradmaß üblich, zumindestens
solange die Kreislehre noch nicht behandelt wurde.
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Der Taschenrechner gibt noch einen Hinweis auf eine dritte Winkeleinheit,
auf 1 Neugrad oder jetzt offiziell 1 gon. Da wird der rechte Winkel nicht
mit 90°, sondern mit 100 gon oder 100g gemessen.
Dieses Vorhaben, das Dezimalsystem auch für Winkel einzuführen,
ist eigentlich nur in der Geodäsie verwirklicht. |
Zur Definition der Kreislinie
top
Umfangswinkelsatz
Oben wird der Kreis über die Entfernung von einem festen Punkt
M definiert. Das ist eine anschauliche Definition und wird bei einer ersten
Einführung des Kreises verwendet. Sie setzt voraus, dass ein Abstandsbegriff
definiert ist. Viele Sätze zum Kreis, zum Beispiel die Winkelsätze,
erfordern das gar nicht. Da steht der Umfangswinkelsatz (Peripheriewinkelsatz)
an zentraler Stelle.
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Er heißt:
Alle Umfangswinkel (Peripheriewinkel) über einem Kreisbogen b
sind gleich groß.
Dieser Satz ist charakteristisch für den Kreis. D.h., er ist umkehrbar.
Somit kann die Definition der Kreislinie
auch lauten:
Eine Kreislinie ist die Menge aller Scheitelpunkte der Winkel, die
über einem Kreisbogen liegen und gleich sind. |
Quelle: (1) Seite 126ff. "Eine kennzeichnende Eigenschaft des Kreises"
Thalessatz
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Der Satz von Thales besagt, dass jeder Winkel im Halbkreis ein rechter
Winkel ist. Auch dieser Satz ist umkehrbar und kann der Definition der
Kreislinie dienen.
Sie lautet:
Eine Kreislinie ist die Menge aller Scheitelpunkte der rechten Winkel,
die über einer Strecke liegen. |
Kreis des Apollonios
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Der Kreis ist der Spezialfall einer Ellipse.
Ein Ellipse kann definiert werden als die Ortslinie aller Punkte, deren
Summe der Entfernungen von zwei festen Punkten konstant ist.
Es stellt sich die Frage, ob und dann wie man die Bedingung so abändern
kann, dass sich an Stelle der Ellipse ein Kreis ergibt. |
Das führt zum sogenannten Apollonios-Kreis
(Apollonios von Perge).
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Man gibt zwei Punkte A und B und eine Zahl q vor. Dann sucht man die
Punkte P, für die AP:BP=q gilt. Zwei Punkte P und P' werden stellvertretend
eingezeichnet.
Es gilt die Aussage: Alle Punkte, deren Quotient der Länge der
Entfernungen von zwei festen Punkten A und B konstant ist, liegen auf einer
Kreislinie.
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Zum Beweis
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Zum Beweis kennzeichnet man die Schnittpunkte der Geraden AB und des
Kreises mit C und D. Verbindet man diese Punkte mit einem Kreispunkt, so
kann man zeigen, dass CPD ein rechter Winkel ist. Nach der Umkehrung des
Thalessatzes ist P ein Kreispunkt.
Es ist erwähnenswert, dass der Punkt C die Strecke AB innen im
gleichen Verhältnis teilt wie der Punkt D außen. Es handelt
sich um eine harmonische Teilung. |
Kreis im kartesischen
Koordinatensystem top
Allgemeine Gleichung
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Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M(xm|ym).
Es sei P ein beliebiger Kreispunkt P(x|y).
Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras die Gleichung (x-xm)²+(y-ym)²=r².
Umgekehrt gilt: Erfüllen die Koordinaten eines Punktes P die Gleichung
(x-xm)²+(y-ym)²=r² gilt, so ist P
ein Kreispunkt.
In der nebenstehenden Zeichnung gilt (x-3)²+(y-4)²=4 |
Mittelpunktsgleichung
Liegt der Mittelpunkt des Kreises im Nullpunkt des Koordinatensystems,
so ist xm=0 und ym=0.
Die Kreisgleichung lautet dann x²+y²=r².
Gleichung zweiten
Grades
Multipliziert man die Quadrate in der allgemeinen Gleichung (x-xm)²+(y-ym)²=r²
aus, so erhält man x²+y²-2xmx-2ymy+xm²+ym²-r²=0.
Diese Gleichung hat die Form x²+y²+Ax+By+C=0. Es stellt sich
die Frage, welche Bedingungen A, B und C erfüllen müssen, damit
diese Gleichung einen Kreis darstellt. Zum Beispiel darf A=B=C=0 nicht
gelten. Dann ist nämlich x²+y²=0 und nur der Nullpunkt erfüllt
die Gleichung.
Zunächst einmal formt man die Gleichung zu (x-A/2)²+(y-B/2)²=(A/2)²+(B/2)²-4C
um. Nach der allgemeinen Gleichung oben muss der rechte Term (A/2)²+(B/2)²-4C
dem Quadrat r² entsprechen. Also muss (A/2)²+(B/2)²-4C>0
oder A²+B²>4C sein.
Ergebnis: Die Gleichung zweiten Grades der Form x²+y²+Ax+By+C=0
stellt genau dann einen Kreis dar, wenn A²+B²>4C ist.
Quelle: (3) Seite 351ff.
Kreis halbieren
top
Halbkreis
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Einen Durchmesser einzuzeichnen ist die einfachste Art, einen Kreis
zu halbieren.
An anderer Stelle meiner Homepage findet man ein Webseite nur über
den Halbkreis. |
Die grasende Ziege
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Diese Halbierung ist Gegenstand des bekannten Problems "The grazing
goat".
Gegeben sei eine kreisförmige Grasfläche. Im Randpunkt M'
ist ein Pflock eingeschlagen, an dem ein Seil befestigt ist. An dessen
Ende steht eine Ziege Z. Wie groß muss die Länge s des Seils
sein, damit die Ziege die Hälfte der Kreisfläche mit dem Radius
r erreichen kann? |
Diese einfach und harmlos erscheinende Aufgabe hat
es in sich.
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Es ist ungeschickt, die Sehne s als Suchvariable
einzuführen. Besser ist der eingezeichnete Winkel alpha.
Dann erhält man die Gleichung pi/2
+ 2alpha * cos(2alpha) - sin(2alpha) = 0 mit
der Näherungslösung alpha = 0.9528 rad=54.6°.
Das führt zur einer Länge des Seils
von s=1,1587r. |
Näheres bei Hans Henschel (URL unten).
Yin und Yang
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Von dieser Figur weiß wohl jeder, dass sie etwas mit der chinesischen
Kultur und mit männlich/weiblich zu tun hat.
Wer etwas Genaueres wissen will, findet bei Wikipedia einige Informationen
(URL unten).
Die Figur passt hier, da der Kreis auch so in zwei Hälften geteilt
wird. |
Zirkel top
Das Zeichengerät zum Zeichnen eines Kreises
ist der Zirkel.
Vorstellung dreier Zirkel
1
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Wer kennt ihn noch?
Ich hatte schon vergessen, dass früher diese Art von Zirkel üblich
war.
In England habe ich ihn noch gefunden. |
2
Dieses ist ein einfacher Schulzirkel, den ein
Lehrer bei den Schülern gerade noch durchgehen lassen kann.
1 Die Spitze ist nur eingeklemmt. Besser wäre es, wenn sie herausnehmbar
und so auch in der Länge verstellbar wäre.
2 Die Bleistiftmine wird durch einen Schraubmechanismus festgehalten
und kann in der Länge passend verändert werden.
3 Unentbehrlich ist eine Schraube an dieser Stelle.
Man muss sie anziehen können, wenn der Zirkel ausleiert, wenn also
die Schenkel sich zu leicht bewegen lassen.
4 An diesem Griff fasst man den Zirkel an. Etwas
bessere Zirkel haben einen Führungsmechanismus für die Schenkel,
so dass das Stäbchen immer in Richtung der Winkelhalbierenden der
Schenkel zeigt.
3
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Das ist der Zirkel, der heute oft gekauft wird und den sich Schülerinnen
und Schüler gerne gönnen.
Ein Nachteil ist die mühselige Veränderung des Radius.
Einen zweiten Nachteil erkennt man an diesem Exemplar. Die auf dem
Foto vertikal liegende Führungsschraube ist krumm. Das passiert leicht.
Ein neuer Radius ist jetzt schwer einstellbar. |
Zeichenübungen
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Es ist gar nicht so leicht, mit dem Zirkel sachgerecht umzugehen. Man
muss lernen, nur die Spitze zu belasten.
Eine beliebte Hausaufgabe ist für Anfänger, eine Rosette
und eine Zielscheibe als Pflicht-, ein Männchen und einen Hasen als
Kür-Figuren zu zeichnen. |
Mittelpunkt suchen
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Anfänger vergessen oft, vor dem Zeichnen eines Kreises den Mittelpunkt
durch ein Kreuz festzulegen.
Dann stellt sich das Problem, den Mittelpunkt des schon gezeichneten
Kreises zu finden.
Ist der Radius noch eingestellt, so genügen
zwei Kreise mit einem Mittelpunkt auf der Kreislinie.
Sonst muss man zu je zwei Punktepaaren auf der Kreislinie mindestens
zwei Mittelsenkrechte zeichnen.
Da ist das Geodreieck mit den symmetrischen Skalen hilfreich. |
Zur Quadratur des Kreises
top
Es geht dabei um das sprichwörtlich gewordene Problem, einen Kreis
in ein flächengleiches Quadrat zu verwandeln.
Dabei ist Bedingung, dass die Quadratseite nur mit Zirkel und Lineal
aus dem Radius konstruiert werden muss.
Ohne diesen Zusatz ist die Lösung einfach. Der Ansatz pi*r²=x²
führt zu x=sqrt(pi)*r oder angenähert x=1,77r.
Seit Ferdinand von Lindemann 1882 der Beweis
gelang, dass pi eine transzendente Zahl ist, weiß man, dass die Quadratur
des Kreises nicht möglich ist.
Trotzdem liest man immer wieder mal in der Zeitung, dass jemand, der
offenbar nicht mit der Theorie vertraut ist, angeblich eine Lösung
gefunden und es den studierten Mathematikern gezeigt hat.
... ... |
Ich war der Meinung, dass Ferdinand von Lindemann auf seinem Grabstein
voller Stolz nur die Zahl pi als Dezimalzahl mit etlichen Dezimalen einmeißeln
ließ. Das ist eine schöne Geschichte, die zu meinem Repertoire
als Lehrer gehörte. Ich übernahm sie von einem meiner Lehrer.
Sie ist falsch. Im Internet fand ich ein Foto seines Grabsteins. Er enthält
die üblichen Daten seiner Person und die seiner Frau, einer Schriftstellerin.
Immerhin steht oben auf dem Grabstein pi und eine Kreis/Quadrat-Kombination.
Das ist vielleicht eine noch schönere Geschichte. |
Das vollständige Foto findet man bei Wolfgang Volk (URL unten)
Eulenloch top
Und nun zu einem Kapitel mit Lokalkolorit.
Zu sehen sind die Giebel dreier Häuser
in der Heldmannstraße in Bad Salzuflen, Ortsteil Schötmar.
Die kreisförmigen Fenster waren früher meist ein einfaches Loch
wie bei Nr.9 noch zu sehen ist. Die Öffnungen hießen Eulenloch
oder auf lippisch Platt Iulenlock. Sie waren für Schleiereulen bestimmt.
Früher lebten sie auf Dachböden als willkommene Gäste und
hielten den Boden (weitgehend) mäusefrei.
Haus Nr. 8 ist auch ein altes Haus, doch das Eulenloch ist heute geschlossen.
Nr.4 ist ein Neubau von 2005. Der Kreis ist so etwas wie das Zitat
eines Eulenlochs.
Kreis im Internet top
Deutsch
Wikipedia
Kreis
(Geometrie),
Kreis
des Apollonios, Pi
(Kreiszahl),
Peripheriewinkel,
Satz
des Thales, Zirkel (Gerät),
Winkel
(Geometrie), Grad
(Winkel), Bogenmaß,
Gon,
Eulenloch, Yin
und Yang,
Wolfgang Volk
Grab von Ferdinand
von Lindemann in München (Deutschland)
Englisch
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Circle
List of circle topics: (Okt 2004)
Adams' Circle, Apeirogon, Arc, Blaschke's Theorem, Brahmagupta's Formula,
Brocard Circle, Casey's Theorem, Central Circle, Cevian Circle, Chord,
Circle Inscribing, Circle-Line Intersection, Circle Power, Circumcircle,
Circumference, Clifford's Circle Theorem, Closed Disk, Concentric Circles,
Cosine Circle, Cotes Circle Property, Diameter, Disk, Droz-Farny Circles,
Ellipse, Euler Triangle Formula, Excircles, Excosine Circle, Eyeball Theorem,
Feuerbach's Theorem, First Lemoine Circle, Five Disks Problem, Flower of
Life, Ford Circle, Fuhrmann Circle, Gershgorin Circle Theorem, Hart Circle,
Incircle, Inversive Distance, Kinney's Set, Lens, Lester Circle, Lissajous
Curve, Magic Circles, Malfatti Circles, McCay Circles, Midcircle, Miquel
Five Circles Theorem, Monge's Circle Theorem, Neuberg Circles, Nine-Point
Circle, Open Disk, Parry Circle, Pi, Point Circle, Polar Circle, Prime
Circle, Pseudocircle, Ptolemy's Theorem, Purser's Theorem, Radical Line,
Radius, Reuleaux Triangle, Seed of Life, Seifert Circle, Semicircle, Seven
Circles Theorem, Similitude Circle, Six Circles Theorem, Soddy Circles,
Sphere, Spieker Circle, Taylor Circle, Tucker Circles, Unit Circle, Venn
Diagram, Villarceau Circles, Yin-Yang.
Hans Henschel
Puzzles
/ The grazing goat, Solution
Wikipedia
Circle,
List of
circle topics : (Okt 2004)
Cirle1
Apollonian gasket
Arbelos
Bertrand's paradox (probability)
Borromean rings
Buffon's needle
Butterfly theorem
Central angle
Circle
Circle group
Circumference
Circumscribed circle — Circumcircle
Concyclic
Descartes' theorem
Diameter
Dividing a circle into areas
Ford circle
Great circle
Great-circle distance
Small circle
Hadamard three-circle theorem
Hardy-Littlewood circle method
Incircle and excircles of a triangle
Inscribed angle |
Cirle2
Inscribed circle
Inversive geometry
Isoperimetric problem
List of topics related to pi
Malfatti circles
Mrs. Miniver's problem
Nine-point circle
Osculating circle
? (pi)
Ptolemaios' theorem
Radius
Radius of convergence
Radius of curvature
Ruler-and-compass construction
Mohr-Mascheroni theorem
Poncelet-Steiner theorem
Semicircle
Squaring the circle
Tarski's circle-squaring problem
Unit circle
Villarceau circles
Wigner semicircle distribution
.. |
Geography
Arctic Circle
Antarctic Circle
Circle of latitude
Equator
Great circle
Great-circle distance
Small circle
Position circle |
Artifacts
Compass (drafting)
Crop circle
Dip circle
Timber circle
Traffic circle
Stone circle
Wheel |
Glyphs and symbols
Borromean rings
Circle with a point at its center
Circles in Polish mythology
Crescent
Flower of Life
Magic circle (Wicca)
Ouroboros
Quatrefoil
Ring (diacritic)
Sacred Chao
Shield of the Trinity
Squared-circle postmark
Sun cross
Symbol of Tanit
Trefoil
Triquetra
Urantia symbols
Vesica piscis
Triple Goddess symbol
Yin-yang |
youtube
2007 World
Freehand Circle Drawing Championship
World Freehand
Circle Drawing Champion
Auf meiner Homepage gibt es an anderen Stellen etliche Informationen
zum Kreis.
Kreisteile, Halbkreis,
Sehnenviereck,
Tangentenviereck,
Kreise
im Kreis, Arbelos,
Gleichdick,
Achtkurve,
Kugel.
Referenzen top
(1) Rademacher-Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Springer, Berlin,
Heidelberg, New York1968 (Nachdruck von 1930)
(2) C.Stanley Ogilvy: Unterhaltsame Geometrie, Braunschweig 1975 [ISBN
3 528 08314 x]
(3) Heinz Nickel (federführend): Algebra und Geometrie für
Ingenieur- und Fachschulen, Frankfurt/M. und Zürich, 1966.
(4) Jean-Paul Delahaye: Pi - Die Story, Basel, Boston, Berlin 1999
[ISBN 3-7643-6056-9]
Feedback: Emailadresse auf
meiner Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2006 Jürgen Köller
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