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Was ist das Salinon?
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Das Salinon ist eine symmetrische Figur, die aus vier Halbkreisen gebildet
wird.
Ihre Mittelpunkte liegen auf einer Geraden.
Das Wort Salinon kommt aus dem Griechischen und bedeutet wohl Salzfässchen.
Die Figur geht auf Archimedes zurück. |
Formen des Salinons
Größen top
Gegebene Stücke
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Die Figur wird zum Beispiel durch die Radien des kleinen und des mittleren
Halbkreises festgelegt.
Der große Halbkreis hat dann den Radius R+2r. |
Flächeninhalt
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Für den Flächeninhalt gilt A=(1/2)pi(R+2r)²-pi*r²+(1/2)pi*R²=
... =pi(R+r)².
Das Ergebnis kann gedeutet werden als der Flächeninhalt des roten
Kreises mit dem Durchmesser R+(R+2r)=2(R+r). |
Umfang
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Für den Umfang gilt U=Pi(R+2r)+2pi*r+pi*R= ... =2pi(R+2r)
Das Ergebnis kann gedeutet werden als Umfang des roten Kreises mit dem
Radius R+2r. |
Verschiedenes top
Quadrat im Salinon
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Zeichnet man in die Halbkreise wie angegeben gleichschenklige Dreiecke,
so sind sie nach dem Satz des Thales auch rechtwinklig. Also liegt schon
mal ein Rechteck vor.
Die Katheten dieser Dreiecke sind, der Größe nach geordnet,
a=(1/2)sqrt(2)(2r),
b=(1/2)sqrt(2)(2R) und c=(1/2)sqrt(2)(2R+4r). Die Längen der Seiten
des Rechtecks sind a+b und c=(1/2)sqrt(2)(2R+4r)-a=b+2a-a=a+b. Damit ist
das Rechteck ein Quadrat. |
Inkreis
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Das Salinon hat einen Inkreis mit dem Radius
x=(R²+3rR+2r²)/(R+3r). |
Zum Beweis
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt (r+x)²=[(R+2r)-x]²+(r+R)².
Löst man diese Gleichung nach x auf, so ergibt sich die obige Formel.
Die Rechnung wird dadurch einfacher, dass der Term x² wegfällt. |
Ausartungen
r=0 führt zum Kreis.
A=pi*R²
U=2pi*R
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r=R
A=4pi*R²
U=6pi*R
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R=0 führt zu einem Sonderfall des Arbelos.
A=pi*r²
U=4pi*r
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Figuren aus den vier
Halbkreisen
Alle Figuren haben den gleichen Umfang.
Zu dieser Seite passt ein Kapitel meiner Seite
Halbkreis.
Halbkreisfolge
Man kann auf einen Durchmesser kleinere Halbkreise setzen und deren
Anzahl immer mehr erhöhen. Es entsteht eine Restfigur (blau). Geht
die Anzahl der Halbkreise über alle Grenzen, so gelangt man - theoretisch
- zum Halbkreis.
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Für die n-te Figur erhält man die Fläche A(n) = (1/2)*Pi*r²
- (1/2)*Pi*r²/n. Für n gegen Unendlich ergibt sich der erwartete
Grenzwert von (1/2)*Pi*r². |
Der Umfang der Figur verhält sich merkwürdig.
Er ist für jedes n und auch im Grenzfall gleich U(n) =2*Pi*r (ungefähr
6,3r).
Der Umfang des Halbkreises andererseits ist wesentlich kleiner als
U(n), nämlich U=(2+Pi)*r (ungefähr 5,1r).
Darin liegt ein Widerspruch zur Anschauung.
Figuren aus Kreisbögen top
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Der hier abgebildete Arbelos ist auch eine
Figur aus Halbkreisen.
Da sie auch auf Archimedes zurückgeht, wird sie oft in einem Atemzug
mit dem Salinon genannt. |
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Eine Sammlung von Kreisteilen aller Art findet man hier. |
Frage
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Dank der Wikipedia-Seite http://de.wikipedia.org/wiki/Arbelos weiß
ich, wie der Arbelos, das Schustermesser, aussieht.
Aber wie sieht das Salzfass aus?
Kommt man ihm vielleicht näher, wenn man die Figur auf den Kopf
stellt? |
Salinon im Internet top
Deutsch
Albert A. Gächter
Kreisgeometrie mit Archimedes
(.pdf-Datei), Applet
Wolfgang Appell
Der Salzstreuer
Englisch
Alexander Bogomolny
Salinon: From
Archimedes' Book of Lemmas
Antonio Gutierrez (GoGeometrie)
Geometry Problem 654 : Archimedes'
Book of Lemmas: Proposition 14
Eric W. Weisstein, (MathWorld)
Salinon
ROGER B. NELSEN
Proof Without
Words: The Area of a Salinon
Shannon Umberger
Essay
# 4 - The Arbelos and the Salinon
Wikipedia
Salinon
Referenzen top
Walter Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig und Berlin 1935
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URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2011 Jürgen Köller
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