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Was ist ein Halbkreis?
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Teilt man einen Kreis durch eine Gerade durch
seinen Mittelpunkt, so entstehen zwei kongruente Halbkreise.
Wie beim Kreis ist der Halbkreis durch den Radius r bestimmt. |
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Der Halbkreis kann eine halbe Kreisfläche sein oder eine halbe
Kreislinie. |
Im Folgenden wird nur die halbe Kreisscheibe betrachtet.
Man kann den Halbkreis auch als Kreisausschnitt
ansehen, der zum Winkel von 180° gehört, oder als Kreisabschnitt,
dessen Sehne der Durchmesser ist.
Größen des Halbkreises
top
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Ein Halbkreis wird im Allgemeinen durch den Radius festgelegt.
Dann sind der Flächeninhalt A=(1/2)*Pi*r² und der Umfang
U=(Pi*+2)r. |
Halbkreis als Graph
einer Funktion top
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Der Halbkreis ist auch der Graph einer Funktion.
Die Funktionsgleichung lautet f(x)=sqrt(r²-x²) mit dem Definitionsbereich
D={x|-r <= x <= r}. |
Halbkreis des Thales top
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Liegt im Halbkreis ein Dreieck, so gilt der Satz des Thales.
"Ein Dreieck, dessen Grundseite ein Durchmesser ist und dessen Spitze
auf einer Kreislinie liegt, ist ein rechtwinkliges Dreieck. |
Man kann diese Aussage auch auf einen Winkel beziehen: "Ein Winkel, dessen
Scheitel auf einer Kreislinie liegt und dessen Schenkel durch die Endpunkte
eines Durchmessers verlaufen, ist ein rechter Winkel."
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Durchläuft der Scheitel alle Punkte eines Halbkreises (ausgenommen
sind die Endpunkte), so entstehen alle Formen eines rechtwinkligen Dreiecks. |
Lokales Ordnen
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Im Mathematikunterricht der Klasse 7 sind der Satz des Thales und z.B.
auch der Satz von der Winkelsumme im Dreieck eine Überraschung, wenn
man sie zum ersten Mal kennenlernt. Deshalb muss man hier die ersten Beweise
führen. Damit das möglich ist, werden vorher einfache Winkelsätze
behandelt.
Nach Behandlung der Winkelsätze empfehle ich "Lokales Ordnen".
Man zeichnet an die Tafel eine Skizze zu jedem Winkelsatz und lässt
die Beweise noch einmal Revue passieren. Das führt zu den roten Logikpfeilen,
deren Lage vom Vorgehen im Unterricht abhängt. |
Die Schüler gewinnen die Erkenntnis: Einige Sätze muss man hinnehmen,
einige Sätze gehen aus anderen hervor. Sie bekommen schon in diesem
Stadium eine kleine Idee vom axiomatischen Aufbau der Mathematik.
Figuren im Halbkreis top
45-90-45-Dreiecke
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Aufrecht stehendes Dreieck: x=sqrt(2)r
Auf der Spitze stehendes Dreieck: x=r |
Vierecke
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Aufrecht stehendes Quadrat: x=(2/5)sqrt(5)r
Auf der Spitze stehendes Quadrat: x=(1/2)sqrt(2)r
Doppelquadrat: x=(1/2)sqrt(2)r |
Kreise und Halbkreise
Lösungen:
1 Drei Kreise: Es gilt (x+y)²=(x-y)²+s² und (r-y)²=s²+y²
und x=r/2. Daraus folgt y=r/4.
2 Halbkreis: x=(1/2)sqrt(2)r
3 Drei Kreise und zwei Halbkreise: Es gilt (x+y)²=(r-x-y)²+x².
Daraus folgt: x=[sqrt(2)-1]r, y=[3sqrt(2)-2]r.
4 Zwei Halbkreise und ein Kreis: Es gilt (x+y)²=(r-y)²+x².
Daraus folgt: x=r/2, y= r/3.
5 Ein Kreis und zwei Halbkreise: Nach Drehung um 90° wie 4. Es
gilt: x=r/2, y= r/3.
6 Schräg liegender Halbkreis im Halbkreis
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Es gibt beliebig viele schräg liegende Halbkreise im Halbkreis.
(1) Zur Herleitung einer Formel errichtet man im Berührungspunkt
des inneren Halbkreises eine Höhe h (1). Auf ihr liegt der Mittelpunkt.
(2) Ergänzt man den Halbkreis zu einem Vollkreis, so schneiden
sich im Kreis zwei Sehnen in M. Es gilt der Sehnensatz (h-x)(h+x)=x².
Daraus folgt x=(1/2)sqrt(2)h. |
Anmerkung:
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Bei der Suche nach Formeln zu diesem Kapitel bin ich auf das allgemeine
Berührungsproblem von Apollonius gestoßen (siehe unten bei de.wikipedia:
Apollonisches Problem).
Die Standardaufgabe ist: Gegeben sind drei Kreise. Gesucht ist ein
(roter) Kreis, der die Kreise berührt.
Es ist erstaunlich, wie weitläufig diese Problematik ist. Kreise
können sich innen und außen berühren. - Die gegebenen Kreise
können auch zu Punkten (Kreis mit dem Radius 0) oder Geraden (Kreise
mit beliebig großem Radius) ausarten.
In diesem Sinne werden auch der Inkreis und der Umkreis eines Dreiecks
erfasst. |
Halbkreisfolge
Man kann auf einen Durchmesser kleinere Halbkreise setzen und deren
Anzahl immer mehr erhöhen. Es entsteht eine Restfigur (blau). Geht
die Anzahl der Halbkreise über alle Grenzen, so gelangt man - theoretisch
- zum Halbkreis.
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Für die n-te Figur erhält man die Fläche A(n) = (1/2)*Pi*r²
- (1/2)*Pi*r²/n. Für n gegen Unendlich ergibt sich der erwartete
Grenzwert von (1/2)*Pi*r². |
Der Umfang der Figur verhält sich merkwürdig.
Er ist für jedes n und auch im Grenzfall gleich U(n) =2*Pi*r (ungefähr
6,3r).
Der Umfang des Halbkreises andererseits ist wesentlich kleiner als
U(n), nämlich U=(2+Pi)*r (ungefähr 5,1r).
Darin liegt ein Widerspruch zur Anschauung.
Halbkreis in Figuren top
Halbkreis im Dreieck
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Halbkreis im linken gleichseitigen Dreieck: x=(1/4)sqrt(3)a
Halbkreis im rechten gleichseitigen Dreieck: x=(1/4)[3-sqrt(3)]a
Halbkreis im linken Halbquadrat: x=(1/4)sqrt(2)a
Halbkreis im rechten Halbquadrat: a/2 |
Halbkreis im Quadrat
Lösung:
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Es gilt a=x+x/sqrt(2). Daraus folgt x=[2-sqrt(2)]a |
Die Lösung x=a/2 für die beiden Halbkreise ist trivial.
Dreiteilung des Winkels top
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Der Halbkreis ist ein wichtiger Bestandteil eines Zeichengerätes
("Tomahawk"), mit dem man einen Winkel in drei gleiche Teile teilen kann.
Die Dreiteilung des Winkels mit Zirkel und Lineal ist nicht möglich.
Das weiß man auf Grund von Arbeiten von Gauß (1777-1855). Es
geht in der rechten Zeichnung darum, x (bzw.x/2) zu bestimmen, wenn a gegeben
ist. Es gilt die kubische Gleichung x³-3x-2a=0, die nur für Sonderfälle
durch Terme aus Quadraten lösbar ist. |
Das Zeichengerät wird durch die Zeichnung erklärt.
Herleitung der kubischen Gleichung
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Lösungsskizze:
Der gegebene Winkel sei BSA. Er wird durch die Strecke a bestimmt.
SK drittelt den Winkel, SK wird durch die Strecke x/2 gegeben.
>Die Dreiecke SKB und BCK sind ähnlich. Es gilt: z:y=y:1, dann
z=y².
>Es gilt der erste Strahlensatz: SC:SK=SC':SK' oder (1-z):1=a:(x/2).
>Es gilt nach dem Satz des Pythagoras in Dreieck SKK': (x/2)²+(y/2)²=1.
...
Daraus folgt nach längerer Rechnung x³-3x-2a=0, wzbw. |
Mehr findet man auf meiner Seite Dreiteilung
eines Winkels.
Halbkreis auf Figuren top
Fenster, Türen, Tore
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Wenn man sich in seiner Umgebung umsieht, bemerkt man die meisten Halbkreise
bei Fenstern, Türen oder Toren.
Halbkreise schließen Rechtecke oben ab und schmücken sie.
Oft sind die Halbkreise unterteilt und geben so dem Halbbogen eine besondere
Note. |
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Wappenschild
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Ein einfaches Wappenschild setzt sich auch aus einem Rechteck und Halbkreis
zusammen, nur dass der Halbkreis unten ist. Rechts steht als Beispiel das
Wappen des Landes Nordrhein-Westfalen. Das springende Pferd steht für
Westfalen und die weiße Schlangenlinie für den Rhein und damit
Nordrhein.
Das Gebilde unten ist die lippische Rose, die in das Wappen aufgenommen
wurde, weil sich Lippe nach 1945 Nordrhein-Westfalen anschloss. |
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Zaun
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Man kann Drähte zu einem Zaun so flechten, dass oben Halbkreise
entstehen. |
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entdeckt auf Lanzarote
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Arkaden
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Es ist immer eindrucksvoll, wenn sich in Bauten Bögen wiederholen. |
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Domäne Dahlhausen in Lippe
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Halbkreise, gesetzt auf regelmäßige
Vielecke
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Parkettierung mit Habkreisen
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Halbkreisfiguren
der "Alten Griechen" top
Möndchen des Hippokrates
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Möndchen des Hippokrates
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Salinon
(Salzfass des Archimedes)
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Arbelos
(Schusterkneif des Archimedes)
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Das Besondere ist, dass die farbigen und die gepunkteten Figuren den gleichen
Flächeninhalt haben.
Mehr findet man auf meiner Seite Kreisteile.
Größte Figuren top
Dreieck, Rechteck und Trapez
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Es gibt viele Dreiecke, Rechtecke und gleichschenklige Trapeze, die
in einen Halbkreis passen. Darunter gibt es jeweils eine Figur mit
größtem Flächeninhalt (gelb) |
Fensterproblem
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Die drei nebenstehenden Rechtecke mit aufgesetztem Halbkreis haben
den gleichen Umfang U. Vergleicht man die Flächeninhalte, so erkennt
man vielleicht, dass die mittlere Figur den größten Flächeninhalt
hat [Lösung: x=y=U/(4+Pi), s.u.]. |
Diese Extremwertaufgabe ist bekannt. Sie wird meist so formuliert: Gegeben
ist der Umfang eines rechteckigen Fensters mit einem aufgesetzten Rundbogen.
Welche Maße muss das Rechteck haben, damit der Flächeninhalt
möglichst groß ist, d.h. damit möglichst viel Licht
einfällt?
Man kann die Figur auch auf den Kopf stellen. Dann wird nach der Form
eines Kanals gefragt, der möglichst viel Wasser durchlässt.
Lösungen
Dreieck
Es gilt A=xy.
Nebenbedingung x²+y²=r², Zielfunktion A²= r²x²-(x²)²,
[A²(x)]' =0 ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)]r.
Das größte Dreieck ist gleichschenklig-rechtwinklig.
Rechteck
Es gilt A=2xy.
Nebenbedingung x²+y²=r², Zielfunktion A²/4=x²y²=
r²x²-(x²)²,(A²/4)'=0 ergibt x=y=(1/2)sqrt(2)r.
Das größte Rechteck ist ein Doppelquadrat.
Trapez
Es gilt A=[(2r+2x)/2]y=(x+r)y.
Die Nebenbedingung ist x²+y²=r² oder y²=r²-x².
Die Zielfunktion ist A²(x)=(x+r)²y²=(x²+2rx+r²)(r²-x²)=-x4-2rx3+2r³x+r4.
(A²)'=-4x³-6rx²+2r³.
(A²)'=0 führt zur Lösung x=r/2. (Gelöst
durch Probieren). Dann ist y=(1/2)sqrt(3)r.
Die Maximalstelle ist gesichert: (A²)''=-12x²-12r²<0
für x=r/2.
Ergebnis: Das größte Trapez hat die Grundseiten 2r und r
und die Höhe (1/2)sqrt(3)r. Es ist ein halbes regelmäßiges
Sechseck.
Fensterproblem
U sei der Umfang.
Es gilt A=2xy+(Pi/2)x².
Nebenbedingung U=2x+2y+Pi*x, Zielfunktion A(x)=Ux-2x²-(Pi/2)*x²,
A'(x)=U-4x-Pi*x, A'=0 ergibt x=U/(4+Pi), y=x.
Das Rechteck ist ein Doppelquadrat.
Fächerrosetten top
In meiner Heimatstadt Bad Salzuflen gibt es eine Reihe von Fachwerkhäusern
mit geschnitzten Fächerrosetten im Giebel in Form von Halbkreisen.
Diese Rosetten sind ein Merkmal der Weserrenaissance.
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Eines dieser Häuser steht in der Langen Straße 33, Baujahr 1612.
Alle Rosetten sind voneinander verschieden. Zu sehen sind hier drei
von 22 Rosetten.
Das sind drei bekannte Formen, nämlich die Palmetten-, die Muschel-
und die Fächerrosette.
Halbkreis im Internet top
Deutsch
Ingmar Rubin
Ellipse
im Halbkreis, Ein
Halbkreis im Trapez, (.pdf Dateien)
Wikipedia
Arbelos, Möndchen
des Hippokrates, Dreiteilung
des Winkels, Apollonisches
Problem
Englisch
Eric W. Weisstein (world of mathematics)
Semicircle,
Pappus
Chain,
Apollonius'
Problem
Wikpedia
Semicircle, Arbelos,
Lune
of Hippocrates
Referenzen top
(1) W.Breidenbach: Die Dreiteilung des Winkels,
Leipzig 1933
(2) Martin Gardner: Mathematischer Karneval,
Frankfurt/M, Berlin 1975 (ISBN 3 550 07675 4)
(Die Dreiteilung des Winkels, Seite 259ff.)
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2002 Jürgen Köller
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