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Dreiteilung eines Winkels
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Was ist die Dreiteilung eines Winkels?
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Das Problem der Teilung eines Winkels in drei gleich große Teilwinkel
gehört zu den bekannten Problemen der antiken Mathematik, wenn man
noch hinzufügt ...zu ermitteln allein mit Zirkel und Lineal.
Es ist gelöst in der Weise, dass die Dreiteilung unmöglich
ist. |
Man bezeichnet das Zeichnen mit Zirkel
und Lineal als Konstruieren. Es geht also um die Konstruktion der
Dreiteilung.
Dazu findet man auf dieser Seite einige
Überlegungen.
Außerdem werde ich, das ist naheliegend, am Ende auf die Dreiteilung
von Figuren und Körpern eingehen.
Teilung des rechten Winkels
top
... ... |
Wenn oben steht, dass die Dreiteilung eines Winkels unmöglich
ist, so ist der allgemeine Winkel gemeint. Es gibt Sonderfälle, für
die es Konstruktionen gibt.
Man denke nur an den rechten Winkel von 90°. Man konstruiert einen
Winkel von 30°, indem man über der Strecke AB ein gleichseitiges
Dreieck errichtet.
Errichtet man über AC ein gleichseitiges Dreieck, erhält
man die andere "Winkelteilende". |
Unmöglichkeitsnachweis
top
Zeichnung
Der Nachweis, dass eine Konstruktion nicht möglich ist, erfolgt
über die Berechnung einer Strecke.
Quelle: (1) Seite 5
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Grundlage für die Rechnung ist die nebenstehende Figur. |
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Die Figur wird beschriftet.
Der gegebene Winkel sei BSA. Er wird durch die Strecke a bestimmt, cos(alpha)=a.
SK drittelt den Winkel. Der gesuchte Drittelwinkel wird durch die Strecke
x/2 bestimmt, cos(alpha/3)=x/2.
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Rechnung
Die Dreiecke SKB und BCK sind ähnlich:
>Sie haben den Winkel SKB gemeinsam.
>Das rote Dreieck SK'K ist dem halben Dreieck von SKB kongruent. Es
gilt Winkel SKK' gleich Winkel SBK.
Als Wechselwinkel an Parallelen sind die Winkel K'KS, Winkel BCK gleich.
Also sind die Dreiecke SKB und BCK gleichschenklig.
Gleichschenklige Dreiecke mit einem gleichen Winkel sind ähnlich.
Es gilt dann z:y=y:1 oder (I) z=y².
>Es gilt der erste Strahlensatz: SC:SK=SC':SK' oder (II) (1-z):1=a:(x/2).
>Es gilt nach dem Satz des Pythagoras im Dreieck SKK': (III) (x/2)²+(y/2)²=1.
Das sind drei Gleichungen in der Variablen x, y und z, aus denen x
bestimmt werden soll.
(I) z=y²
(II) (1-z):1=a:(x/2) ergibt 1-z=2a/x oder z=1-2a/x
Daraus folgt y²=1-2a/x.
(III) (x/2)²+(y/2)²=1 führt zu y²=4-x²
Die Variable y wird eliminiert. Das ergibt 1-2a/x=4-x² oder x³-3x-2a=0.
Sonderfall
Ist a=0, so wird aus der Gleichung x³-3x-2a=0 die einfache
Gleichung x³-3x=0 mit den Lösungen x1=0, x2=+sqrt(3)
und x2=-sqrt(3).
Von Interesse ist x2=+sqrt(3). Dann ist cos(alpha/3)=x2/2
oder cos(alpha/3)=+sqrt(3)/2 oder alpha/3=30°.
Das passt zu a=0. Denn nach der Zeichnung ist für a=0 der Winkel
alpha=90°.
Ergebnis
Für beliebige Variable a ist x die Lösung einer kubischen
Gleichung x³-3x-2a=0, also eine Wurzel dritten Grades.
Dann kann x und damit alpha/3 nicht durch eine Konstruktion gefunden
werden.
Das kann man einsehen, wenn man bedenkt, dass beim Konstruieren nur
Geraden und Kreise und ihre Schnittpunkte ermittelt werden und dass dahinter
lineare und quadratische Gleichungen stehen, die nie zu dritten Wurzeln
führen, sondern zu quadratischen.
Konstruierbare Dreiteilungen
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Welche Winkel kann man mit Zirkel und Lineal in drei gleiche Teilwinkel
zerlegen?
Dazu sollte man sich zunächst einmal eine Übersicht über
die konstruierbaren Winkel verschaffen.
>Der rechte Winkel 90° wurde schon oben genannt.
>Das gleichseitige Dreieck liefert den Winkel 60°.
>Das Fünfeck ist konstruierbar und hat das Grunddreieck 54°-72°-54°.
Von diesen vier Winkeln aus gelangt man zu weiteren, denn das Halbieren,
das Verdoppeln, das Addieren und Subtrahieren kann durch Konstruktionen
erreicht werden.
Ausgangswinkel sind also 90°, 60°,
54° und 72°.
Halbiert man den Winkel von 72° zweimal, gelangt man zu 18°.
Halbiert man den Winkel von 60° zweimal, gelangt man zu 15°.
Der Differenz 18°-15°=3° ist also ein Winkel, der konstruiert
werden kann, damit auch alle Vielfachen des Winkels von 3°. Das sind
die Winkel 3°, 6°, 9°, ..., 87°, 90°.
Bildet man die Winkel mit dreifacher Winkelgröße,
gelangt man zu Winkeln, die man dreiteilen kann. Das sind die Winkel 9°,
18°, 27°, 36°, 45°, 54°, 63°, 72°, 81°
und wie gehabt 90°.
Damit wird nicht behauptet, dass dieses alle Winkel sind. Es gibt unendlich
viele.
Zu einem Winkel gibt es eine Strecke, die
ihn charakterisiert. Sie ist z.B. in einem rechtwinkligen Dreieck die Gegenkathete,
wenn die Hypotenuse gleich 1 ist. Das führt zur Sinusfunktion.
Der folgende Term zu 3° steht auf der Wikipedia-Seite Exact
trigonometric constants.
Wie oben gesagt, schlägt sich die Konstruierbarkeit in einem quadratischen
Term nieder.
Näherungskonstruktion
für kleine Winkel top
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Teilt man die dem 60°-Winkel gegenüberliegende Seite in drei
gleiche Teile und verbindet die Teilpunkte mit dem Scheitel des Winkels,
so entstehen drei Winkel von etwa 20°, wie man durch Nachmessen bestätigen
kann. |
Offenbar kann man die Methode auf beliebige Winkel erweitern, indem man
vom Scheitelpunkt aus auf den Schenkeln zwei gleiche Strecken abträgt
und die Verbindungslinie der Endpunkte wieder in drei gleiche Teile teilt.
Diese Methode führt nicht zu einer
genauen Drittelung eines Winkels.
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Das zeigt die Teilung des rechten Winkels. Durch Nachmessen stellt
man fest, dass die Winkel von 30° weit entfernt sind. - Legt
man auf die Figur ein Gitter, so kann man tan(beta)=1/2 und tan(beta'/2)=1/3
ablesen. Das führt zu den Winkeln beta=26,6° und beta'=36,9°. |
Auskunft über die Genauigkeit gibt
die folgende mit Computerhilfe erstellte Tabelle.
alpha
alpha/3
beta
Abweichung |
10°
3,3°
3,3°
0,1% |
20°
6,7°
6,6°
0,3% |
30°
10°
9,9°
0,5% |
40°
13,3°
13,1°
1,9% |
50°
16,7°
16,2°
3,0% |
60°
20°
19,1°
4,5% |
70°
23,3°
21,9°
6,3% |
80°
26,7°
24,4°
8,6% |
90°
30°
26,6°
11,5% |
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Die zugehörige Rechnung geht zweimal vom Kosinussatz und vom Sinussatz
aus.
> s²=2-2cos(alpha)
>r²=1+(s/3)²-(2/3)s*cos[(pi-alpha)/2]
>sin(beta)
:
sin[(pi-alpha)/2] = (s/3) : r |
Ergebnis: Diese einfache Methode wird um
so genauer, je kleiner der zu teilende Winkel ist.
Variation
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Nach einer Idee von Hugo Steinhaus (3, Seite 264) kann man dieses Verfahren
verfeinern. Man halbiert zuerst den gegebenen Winkel und und teilt den
halben Winkel wie oben in drei Teile. Der Winkel beta+beta' ist angenähert
alpha/3. - Die Raffinesse liegt darin, dass der Teilwinkel beta etwas kleiner
und beta' etwas größer als (alpha/2)/3 sind. So ist diese Methode
genauer als die von oben. |
Dreiteilung mit Hyperbel
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Die Dreiteilung gelingt nicht mit Kreis und Geraden, wohl aber mit
einer Reihe von Kurven wie der rechtwinkligen Hyperbel und Geraden.
Zeichnung
1 Gib die Hyperbel mit xy=1 vor.
2 Zeichne in das Koordinatensystem den gegebenen Winkel alpha wie oben
ein.
Sein freier Schenkel schneidet die Hyperbel in den Punkten A und M.
3 Zeichne einen Kreis um M mit dem Radius MA. Der Kreis schneidet die
Hyperbel u.a. in Punkt C.
4 Zeichne AC. Der Winkel MAC ist der gesuchte Winkel alpha/3.
Einen aufwändigen Beweis findet man
bei (1) auf den Seiten 19 und 24ff.
Die Methode des Archimedes
top
Figur
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In der Figur aus zwei gleichschenkligen Dreiecken und einem Halbkreis
treten die Winkel alpha und 3*alpha auf.
Sie dient dazu, einen Winkel zu dritteln. |
Beweis der Winkelbeziehung
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Die beiden Dreiecke DME und BEM sind gleichschenklig, da die Schenkel
gleich dem Radius des Halbkreises sind.
Da der Außenwinkel gleich der Summe der nicht anliegenden Innenwinkel
in einem Dreiecks ist, ergeben sich im linken Dreieck 2*alpha und weiter
im rechten Dreieck 3*alpha als Außenwinkel. |
Zeichnung
1 Zeichne den gegeben Winkel 3*alpha und einen Kreis um den Scheitelpunkt
mit einem beliebigen Radius.
2 Markiere auf einem Papierstreifen eine Strecke der Länge r und
passe r zwischen Horizontaler und Kreis außen so ein, dass die Kante
des Streifens auch durch B verläuft.
3 Der Winkel MDB ist der gesuchte Winkel alpha/3.
Ergebnis
Da als Hilfsmittel ein präparierter Papierstreifen verwendet wird,
ist die Zeichnung zwar exakt, aber keine Konstruktion.
Halbkreisgerät top
Statt des Papierstreifens steht auch eine Kuriosität, das Halbkreisgerät
("Tomahawk"), zur Verfügung.
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Die Funktionsweise erklärt sich aus der Zeichnung.
Man passt das Gerät im Winkel ein und zeichnet eine Halbgerade
entlang des Lineals.
Dann dreht man es um und erhält eine zweite Halbgerade.
Die Halbgeraden dritteln den Winkel.
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Weitere klassische Probleme
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Die Dreiteilung eines Winkels gehört zu den antiken Problemen,
von denen man weiß, dass sie nicht lösbar sind.
Ich gehe auf andere an anderen Stellen meiner Homepage ein.
>Die Dreiteilung des Winkels
>Die
Verdoppelung des Würfels
>Die
Quadratur des Kreises
Man könnte noch die Konstruktion vieler regelmäßiger
Vielecke hinzufügen.
Liest ein mathematisch Interessierter von
den Unmöglichkeiten der Konstruktionen, so ist es für ihn verführerisch,
es studierten Mathematikern zu zeigen, dass es doch geht. Nach etlichen
Kontakten in den zehn Jahren meiner Internetpräsenz habe ich erfahren
müssen, dass es sie gibt und dass man nichts ausrichten kann.
Dreiteilung von Figuren top
Damit ist nicht gemeint, dass die Teilfiguren
unbedingt kongruent sein müssen. Es reicht die Flächengleichheit.
Strecke
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1 Die gegebene Strecke sei AB.
2 Trage auf einer Geraden durch A dreimal die beliebige Strecke x ab.
Du erhälst C.
3 Verbinde C mit B.
4 Zeichne durch die Teilpunkte auf AC die Parallelen zu BC.
Du erhältst die Teilpunkte T und T', die die Strecke AB dritteln. |
Die Begründung liegt im ersten Strahlensatz.
Quadrat
x=(1/3)a
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x=(1/6)a
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x=(1/3)sqrt(3)a
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x=(1/6)a
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x = (1/3)a
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x = (2/3)a
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x = (1/3)sqrt(6)a
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x:y:a = sqrt(6) : sqrt(3) : 3
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Kreis
Gleichseitiges Dreieck
Gleichschenkliges
Trapez, Sechseck, 45-90-45-Dreieck
Die Figuren haben ein Merkmal gemeinsam:
Man gibt eine Drittelfigur vor und halbiert dann die Restfigur. Das führt
zu einem Paar kongruenter Teilfiguren. In einigen Fällen sind alle
Teilfiguren kongruent.
Dreiteilung von Körpern
top
Man kann die Figuren oben zu Prismen bzw. Zylindern ergänzen,
indem man die Figuren zu ihren Grundflächen macht.
Prismen
... ... |
Als Beispiel dient die Aufteilung in ein Quadrat und zwei rechtwinklige
Trapeze, die zu einem Würfel ergänzt werden. |
Würfel
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Man kann das Quadrat auch zu einem Würfel werden lassen. Dann
ergibt sich die nebenstehende Aufteilung in 3D-Ansicht.
Es gilt x³=(1/3)a³ oder x=(1/3)*3^(2/3)a oder ungefähr
x=0,69a |
Zylinder oder Kugel
... ... |
Man kann die nebenstehende Figur in zweierlei Weise dreidimensional
deuten.
Sie kann einen Zylinder oder eine Kugel darstellen, die in drei gleiche
Teilkörper aufgeteilt sind. |
Pyramiden im Würfel
... ... |
Drei Pyramiden gleicher Grundfläche, gleicher Höhe und damit
gleichen Volumens passen in einen Würfel.
So kann man den Faktor 1/3 in der Volumenformel der Pyramide einsehen.
Das ist eine 3D-Ansicht. |
... ... |
Zeichnet man die Raumdiagonalen eines Würfels, so teilen diese
ihn in sechs quadratische Pyramiden. Setzt man zwei Pyramiden mit einer
gemeinsamen Seitenfläche zu einem neuen Körper zusammen, so erhält
man eine Dreiteilung in kongruente Körper.
Rechts werden der Klarheit halber nur die Grundflächen der Pyramiden
gelb gekennzeichnet. |
Eine Fundgrube
Dreiteilung
des Winkels im Internet top
Deutsch
Jutta Gut
Die
Dreiteilung des Winkels
Matroids Matheplanet
syn: Winkeldreiteilung
und der Satz von Haga, Florian Modler Der
Schmetterling und der Satz von Morley
Wikipedia
Dreiteilung
des Winkels, Klassische
Probleme der antiken Mathematik,
Englisch
Alexander Bogomolny (Cut The Knot)
Angle
Trisection by Archimedes of Syracuse, Angle
Bisector
Eric W. Weisstein (MathWorld)
Angle Trisection
H. A. Verrill
Origami
Trisection of an angle
Jim Loy
Trisection of
an Angle
Wikipedia
Angle trisection,
Exact
trigonometric constants, Morley's
trisector theorem
Referenzen top
(1) W. Breidenbach: Die Dreiteilung des Winkels, Leipzig 1933
(2) Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York,
London 1997 (ISBN0-393-04002-X)
Seite 423 ff.
(3) Martin Gardner: Mathematischer Karneval , Ullstein Berlin-FrankfurtMain-Wien,
1975 (ISBN 3 550 07675 4)
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©
2009 Jürgen Köller
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