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Was ist ein Tangentenviereck?
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Ein Tangentenviereck ist ein Viereck mit einem Inkreis.
Die Seiten sind Tangenten. So entsteht der Name. |
Formeln top
Seiten
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Für die Seiten des Tangentenviereck gilt a+c=b+d.
D.h., die Summe der Längen gegenüberliegender Seiten ist gleich. |
Beweis:
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Dazu geht man von einer Konstruktionsaufgabe aus:
Zeichne von einem Punkt P aus an den Kreis mit dem Mittelpunkt M und
dem Radius r die Tangenten. |
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Es gibt zwei Tangenten, die den Kreis in den Punkten B1
und B2 berühren.
Die Berührradien stehen senkrecht auf den Tangenten.
Es ist eine achsensymmetrische Figur mit der Gerade PM als Symmetrieachse
entstanden.
Damit sind die rechtwinkligen Dreiecke PB1M und PB2
M kongruent.
Die Tangentenabschnitte t1 und t2 sind gleich. |
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Auch von den anderen Eckpunkten gehen gleich lange Tangentenabschnitte
aus.
Man kann a+c=b+d ablesen, wzbw. |
Die Umkehrung gilt auch: Gilt in einem Viereck a+c=b+d, so ist es
ein Tangentenviereck.
Beweis:
... ...
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Es sei ohne Einschränkung der Allgemeinheit a>d und b>c.
Dann trägt man auf a die Strecke d von A aus ab und erhält
Punkt D'.
Desgleichen trägt man auf b die Strecke c von C aus ab und erhält
Punkt C'.
Man zeichnet das Dreieck D'C'D (rot).
Es sind die gleichschenkligen Dreiecke D'DA, D'C'B und DC'C entstanden. |
Die Symmetrieachsen der Dreiecke sind gleichzeitig Mittelsenkrechten
des Dreiecks AB'C'. Sie gehen also durch einen Punkt, der von allen Seiten
den gleichen Abstand hat. Das bedeutet aber, das Viereck ABCD ein Tangentenviereck
ist.
(2), Seite 14f.
Flächeninhalt
Es gilt die Formel A=sr mit s=(a+b+c+d)/2. r ist der Radius des Inkreises.
Zum Beweis:
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Zur Herleitung einer Formel werden die Seiten a bis d durch die Tangentenabschnitte
a' bis d' ausgedrückt.
Das Viereck setzt sich nämlich paarweise aus acht rechtwinkligen
Dreiecken mit den Katheten a' bis d' zusammen.
Es gilt: A = 2a'r/2+2b'r/2+2c'r/2+2d'r/2 = (a'+b'+c'+d')r=(a+b+c+d)/2*r.
Setzt man s=(a+b+c+d)/2, so ist A=sr. |
Beachtet man noch a+c=b+d, so gilt auch A=(a+c)r=(b+d)r
Noch eine Formel
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Es gibt eine Beziehung zwischen den Seiten, den Diagonalen und dem
Radius des Inkreises.
r=sqrt[4e²f²-(a²-b²+c²-d²)²]/[2(a+b+c+d)] |
Besondere Tangentenvierecke
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Tangentenvierecke unter den Standard-Vierecken
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Es sind die Raute, als ihr Sonderfall das Quadrat, und das Drachenviereck. |
Trapez
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Es gibt Trapeze, die auch Tangentenvierecke sind.
Dazu zeichnet man an einen Kreis zwei horizontal liegende Parallelen.
Zwei weitere Tangenten rechts und links an den Kreis ergänzen
die Figur zum Tangentenviereck. |
Tangentenviereck
um ein Sehnenviereck
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Gibt man ein Sehnenviereck vor, so kann man dazu ein Tangentenviereck
finden.
Man zeichnet in den Berührpunkten die Tangenten.
Gibt man ein Tangentenviereck vor, so kann man umgekehrt dazu ein Sehnenviereck
finden.
Man verbindet die Berührpunkte. |
Sehnentangentenviereck
Es ist schon etwas Besonderes, wenn ein Viereck sowohl ein Tangentenviereck
als auch ein Sehnenviereck ist.
Ein Beispiel ist das Quadrat.
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Das nebenstehende Viereck hat sowohl einen In- als auch einen Umkreis.
Vierecke dieser Art heißen Sehnentangentenvierecke.
Hier fallen die Mittelpunkte der Kreise nicht wie z.B. beim Quadrat
zusammen.
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Für das Sehnentangentenviereck vereinfachen sich die Formeln.
Für ein Sehnenviereck gilt A=sqrt[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]
mit s=(a+b+c+d)/2.
Für ein Tangentenviereck gilt a+b=c+d
Dann ist s=a+c=b+d. Das führt zur einfachen Formel A=sqrt[abcd]
Für ein Sehnenviereck gilt für
den Radius des Umkreises R=sqrt{[(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)]/[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]}/4
Die Formel A=sqrt[abcd] führt zu R=sqrt[(ac+bd)(ad+bc)(ab+cd)]/abcd]}/4
Für ein Tangentenviereck gilt A=sr.
Daraus folgt mit A=sqrt[abcd] die Formel für den Radius des Inkreises
r=sqrt[abcd]/s
Ist x die Entfernung der Mittelpunkte von
Um- und Inkreis, so gilt die Formel 1/(R+x)²+1/(R-x)²=1/r².
Verschiedenes top
Zwei Schnittpunkte
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Verbindet man die Berührungspunkte zweier gegenüberliegender
Seiten, so fällt der Schnittpunkt ihrer Verbindungslinien mit
dem Schnittpunkt der Diagonalen zusammen. |
Gerade im Tangentenviereck
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Verbindet man die Mittelpunkte der Diagonalen, so liegt der Mittelpunkt
des Inkreises auf der Verbindungslinie. |
Einen Beweis findet man bei Antonio Gutierrez unter dem Stichwort Newton's
Theorem (URL unten)
Bitte den Lautsprecher einschalten :-).
Viereck aus den Winkelhalbierenden
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Der Mittelpunkt des Inkreises eines Tangentenvierecks ist der Schnittpunkt
der Winkelhalbierenden.
Zeichnet man in ein beliebiges Viereck die Winkelhalbierenden ein,
so entsteht im allgemeinen ein Sehnenviereck. |
Beweis:
Es ist zu zeigen, dass zwei Gegenwinkel des Vierecks die Summe 180°
haben.
Dazu betrachtet man zuerst die gelben Dreiecke. Der dritte Winkel ist
180°-alpha/2-delta/2 bzw. 180°-beta/2-gamma/2. Diese Winkel sind
die Scheitelwinkel zweier gegenüberliegenden Winkel des Vierecks in
der Mitte. Addiert man sie, erhält man 360°-(alpha+beta+gamma+delta)/2=180°,
wzbw..
Tangentenviereck im Internet
top
Deutsch
Eckard Specht (math4U)
Tangentenviereck
(7 Aufgaben mit Lösungen), Sehnenviereck
(8 Aufgaben mit Lösungen)
Sehnentangentenviereck
(1 Aufgabe mit Lösung)
Universität Bayreuth Lehrstuhl für Mathematik
und ihre Didaktik
Konstruktion
eines Tangentenvierecks, Sehnen-Tangenten-Viereck,
Symmetrisches
Trapez als Sehnen-Tangenten-Viereck (Geonet)
Walter Fendt
Tangentenviereck
(Applet)
Wikipedia
Tangentenviereck,
Sehnenviereck
Englisch
Antonio Gutierrez
Newton's
Theorem
Eric.W.Weisstein
Tangential
Quadrilateral, Bicentric
Quadrilateral,
Cyclic
Quadrilateral, Cyclic
Polygon,
Wikipedia
Tangential
Quadrilateral, Cyclic
quadrilateral
Referenzen top
(1) Hahn/Dzewas: Mathematik 8.Schuljahr, Braunschweig 1990 [ISBN 3-14-112958-4]
(2) W.Lietzmann: Altes und Neues vom Kreis, Leipzig und Berlin 1935
(3) Theo Kühlein: Ebene Trigonometrie II, Mentor-Repetitionen,
Berlin 1962 (7th ed.1974) [ISBN 3-580-63140-3]
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2006 Jürgen Köller
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