|
Was ist ein gleichschenkliges Trapez?
|
Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten heißt Trapez.
Links zwei Beispiele. |
... ...
|
Sind zusätzlich die nichtparallelen Seiten gleich, so ist das
Viereck ein gleichschenkliges Trapez.
Es heißt auch symmetrisches Trapez. |
Sonst ist ein Trapez das an langen Seilen hängende Schaukelreck.
Ein Trapezoid ist (nach dem Brockhaus)
ein "Nichttrapez", also ein Viereck mit nicht parallelen Seiten. Ein Beispiel
ist das Drachenviereck, bei dem zusätzlich noch die Diagonalen aufeinander
senkrecht stehen und eine Diagonale die andere halbiert.
Im Englischen heißt das Trapez trapezium (plural trapezia)
und das Trapezoid ebenfalls trapezoid.
Das ist wirklich verwirrend: In amerikanischem Englisch sind die Begriffe
vertauscht. Ein Trapez ist ein trapezoid und ein Trapezoid
ist ein trapezium. Diese Bemerkung ist hilfreich, wenn man im Internet
nach Trapezen sucht.
Auf dieser Seite heißt das gleichschenklige
Trapez einfach Trapez.
Größen top
... ... |
Das Trapez hat folgende Größen.
Grundseiten a und c, Schenkel b und b, Mittellinie
m,
Diagonalen e und e, Höhe h, Radius des Umkreises
R,
Flächeninhalt A und Umfang
U. |
Drei Größen bestimmen i.a. eindeutig ein gleichschenkliges Trapez.
Daraus lassen sich die anderen berechnen.
Angenommen, die Längen a, c und h sind gegeben. Dann
gelten die Formeln
Zu den Herleitungen
Flächeninhalt A
Hier sind drei Methoden
1 Schneide links ein Dreieck ab und setze es rechts an. Es entsteht
ein flächengleiches Rechteck mit den Maßen h und a-(a-c)/2.
Daraus ergibt sich A=h*[a-(a-c)/2]=h*(a+c)/2.
2 Zeichne die Mittellinie und in ihren Endpunkten Senkrechte.
Es werden unten zwei Dreiecke abgetrennt und oben angezeigt. Es ensteht
ein flächengleiches Rechteck. Es gilt A=m*h.
3 Spiegele das Trapez am Mittelpunkt eines Schenkels. Es entsteht
ein Parallelogramm mit den Seiten a+c=2m. Der Flächeninhalt ist 2A=(a+c)*h.
Für das Trapez gilt dann A=h*(a+c)/2.
Mittellinie m
Bei der Flächenbestimmung 3 wurde ein Trapez
gespiegelt. In der Figur kann man ablesen: a+c=2m. Daraus folgt m=(a+c)/2.
Die Mittellinie ist also das arithmetische Mittel
der Grundseiten.
Schenkel b
Bei der Flächenbestimmung 1 wurde ein rechtwinkliges
Dreieck aus b, h und (a-c)/2 markiert. Nach dem Satz des Pythagoras gilt
b²=h²+[(a-c)/2]². Daraus folgt b=sqrt(4h²+a²-2ac+c²)/2.
Umfang U
U=a+2b+c=a+c+sqrt(4h²+a²-2ac+c²)
Diagonale e
... ...
|
Nach dem Satz des Pythagoras gilt e²=h²+[a-(a-c)/2]².
Daraus folgt e=sqrt(4h²+a²+2ac+c²)/2. |
Radius des Umkreises
R
... ...
|
Lege das Trapez zur Bestimmung des Radius des Umkreises in ein Koordinatensystem.
Bestimme die Geradengleichung für g als Mittelsenkrechte der Punkte
A(0|0) und D((a-c)/2|h). Die Gerade h wird mit x=a/2 beschrieben. Der Schnittpunkt
der beiden Geraden ist der Mittelpunkt M, M(a/2|(c²-a²+4h²)/8h).
Die Strecke AM ist der gesuchte Radius: R=sqrt(a4 +c4
+16h4+8a²h²+8c²h²-2a²c²)/(8h)
:-( |
Innenwinkel alpha
... ...
|
Im rechtwinkligen Dreieck gilt tan alpha =h:[(a-c)/2]
alpha =arc tan[2h:(a-c)]
Zwei Innenwinkel sind jeweils gleich. Nichtgleiche Winkel ergänzen
sich zu 180°. |
Noch eine einfache
Formel
Da das Trapez ein konvexes Sehnenviereck ist, gilt der Satz des Ptolemäus.
Er liefert die einfache Formel: e²=b²+ac.
Auf der Seite Sehnenviereck wird der
Satz erläutert und bewiesen.
Untersuchungen top
Ergänzungsdreieck
... ... |
Verlängert man die Schenkel eines Trapezes, so entsteht oberhalb
des Trapezes ein gleichschenkliges Dreieck.
Dieses aufgesetzte Dreieck habe die Höhe y.
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt y:(c/2) = (y+h):(a/2).
Daraus folgt y=c*h/(a-c). |
Schwerpunkt
 |
Man findet den Schwerpunkt durch eine Konstruktion:
Zerlege das Trapez in ein (grünes) Parallelogramm und ein (blaues)
gleichschenkliges Dreieck.
Bestimme die Schwerpunkte der beiden Figuren (rot).
Verbinde die Schwerpunkte (dunkelblau). |
Der Schwerpunkt des Trapezes ist der Schnittpunkt
dieser Verbindungsgeraden und der Symmetrieachse.
Beschreibt man diesen Weg mit Formeln, ergibt
sich y=(1/3h)(a+2c)/(a+c).
Zwei Teildreiecke
... ... |
Eine Diagonale teilt das Trapez in zwei Dreiecke
mit a bzw. c als Grundseiten und h als gemeinsame Höhe. Für die
Flächeninhalte gilt Aa=ah/2 und Ac=ch/2.
Damit stehen die Flächen im Verhältnis
Aa: Ac=a:c. |
Schnittpunkt der
Diagonalen
... ... |
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt für die Diagonalen die Proportion
AS:SC=a:c.
Legt man das Trapez in ein Achsenkreuz, so liegt der Schnittpunkt S
der Diagonalen bei S(a/2|ah/(a+c)). |
Herleitung:
Es gilt für die Gerade AC: y=(2h)/(a+c)*x und für BD:
y=-2h/(a+c)*x+(2ah)/(a+c). Der Schnittpunkt ist S.
Vier Teildreiecke
Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Teildreiecke. Für deren
Flächen gilt:
|
Dreieck ABS: A1=0.5a²h/(a+c)
Dreieck CDS: A2=0.5c²h/(a+c)
Dreieck BCS: A3=0.5ach/(a+c)
Dreieck ADS: A4=0.5ach/(a+c) |
Vergleich: A1:A2:A3:A4=a²:c²:ac:ac
Zur Herleitung: s sei die Ordinate des Punktes S. Es gilt s=ah/(a+c)
und weiter A1=as/2 und A2=c(h-s)/2. - Die gelben
Dreiecke bestimmt man als Differenz der Gesamtfläche und der Summe
der Flächen der beiden gleichschenkligen Dreiecke.
Harmonisches Mittel
... ...
|
Es gilt PQ=2ac/(a+c), d.h., die Strecke PQ ist das harmonische Mittel
der Grundseiten a und c. |
Nachweis: Bestimme die Geradengleichungen zu AD und PS und bestimme den
Schnittpunkt P. Bestimme PS als Differenz der x-Werte, PQ=2*PS.
Mittenviereck
|
Verbindet man die Seitenmitten eines Trapezes, so ergibt sich eine
Raute. |
Nachweis: Zeige, dass die Diagonalen des Mittenvierecks senkrecht aufeinander
stehen und sich halbieren.
Weitere Trapeze meiner
Homepage top
Besondere Trapeze
Mehr über diese Figuren findet man auf meinen Seiten Polyiamonds
und Polyabolos.
Das Falten eines Papierbechers führt zu einer
interessanten Trapezform: Mittellinie und Höhe sind gleich lang.
Anmerkung: Es sieht so aus, als ständen die Diagonalen aufeinander
senkrecht.
Bei der Suche nach größten Figuren im Halbkreis
war auch ein Trapez dabei.
Trapez im Internet top
Deutsch
Mathematik-Online-Aufgabensammlung (mo.mathematik.uni-stuttgart.de)
Aufgabe
616: Flächenmaximierung, Rinne
Ingmar Rubin
Ein
Halbkreis im Trapez
Wikipedia
Trapez
Englisch
efunda.com
Isosceles
Trapezoid
Eric W. Weisstein (mathworld)
Trapezium,
Trapezoid,
Isosceles
Trapezoid, BrahmaguptasTrapezium,
Pyramidal
Frustum
Jim Wilson
PROBLEMS:
Isosceles trapezoid, Discussion/Solution?
Math Forum
Quadrilateral
Formulas
Susie Lanier
Isosceles
Trapezoid
Wikipedia
Trapezoid,
Isosceles trapezoid
Referenzen
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York London
1997 (ISBN0-393-04002-X)
Feedback: Emailadresse auf meiner
Hauptseite
URL meiner
Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
©
2004 Jürgen Köller
top |
