Gleichschenkliges Trapez
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Was ist ein gleichschenkliges Trapez?
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Was ist ein gleichschenkliges Trapez? 
Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten heißt Trapez. 

Links zwei Beispiele.


 
......
Sind zusätzlich die nichtparallelen Seiten gleich, so ist das Viereck ein gleichschenkliges Trapez. 

Es heißt auch symmetrisches Trapez.

Sonst ist ein Trapez das an langen Seilen hängende Schaukelreck.


Ein Trapezoid ist (nach dem Brockhaus) ein "Nichttrapez", also ein Viereck mit nicht parallelen Seiten. Ein Beispiel ist das Drachenviereck, bei dem zusätzlich noch die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen und eine Diagonale die andere halbiert. 

Im Englischen heißt das Trapez trapezium (plural trapezia) und das Trapezoid ebenfalls trapezoid. 
Das ist wirklich verwirrend: In amerikanischem Englisch sind die Begriffe vertauscht. Ein Trapez ist ein trapezoid und ein  Trapezoid ist ein trapezium. Diese Bemerkung ist hilfreich, wenn man im Internet nach Trapezen sucht.


Auf dieser Seite heißt das gleichschenklige Trapez einfach Trapez.

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...... Das Trapez hat folgende Größen. 

Grundseiten a und c, Schenkel b und b, Mittellinie m, Diagonalen e und e, Höhe h, Radius des Umkreises R,  Flächeninhalt A und Umfang U

Drei Größen bestimmen i.a. eindeutig ein gleichschenkliges Trapez. Daraus lassen sich die anderen berechnen. 

Angenommen, die Längen a, c und h sind gegeben. Dann gelten die Formeln


Zu den Herleitungen
Flächeninhalt A
Hier sind drei Methoden

1

2

3
1 Schneide links ein Dreieck ab und setze es rechts an. Es entsteht ein flächengleiches Rechteck mit den Maßen h und a-(a-c)/2. Daraus ergibt sich A=h*[a-(a-c)/2]=h*(a+c)/2. 
2 Zeichne die Mittellinie und in ihren Endpunkten Senkrechte. Es werden unten zwei Dreiecke abgetrennt und oben angezeigt. Es ensteht ein flächengleiches Rechteck. Es gilt A=m*h.
3 Spiegele das Trapez am Mittelpunkt eines Schenkels. Es entsteht ein Parallelogramm mit den Seiten a+c=2m. Der Flächeninhalt ist 2A=(a+c)*h. Für das Trapez gilt dann A=h*(a+c)/2.

Mittellinie m
Bei der Flächenbestimmung 3 wurde ein Trapez gespiegelt. In der Figur kann man ablesen: a+c=2m. Daraus folgt m=(a+c)/2.
Die Mittellinie ist also das arithmetische Mittel der Grundseiten.

Schenkel b
Bei der Flächenbestimmung 1 wurde ein rechtwinkliges Dreieck aus b, h und (a-c)/2 markiert. Nach dem Satz des Pythagoras gilt b²=h²+[(a-c)/2]². Daraus folgt b=sqrt(4h²+a²-2ac+c²)/2.

Umfang U
U=a+2b+c=a+c+sqrt(4h²+a²-2ac+c²)

Diagonale e
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Nach dem Satz des Pythagoras gilt e²=h²+[a-(a-c)/2]². Daraus folgt e=sqrt(4h²+a²+2ac+c²)/2.

Radius des Umkreises R
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Lege das Trapez zur Bestimmung des Radius des Umkreises in ein Koordinatensystem. Bestimme die Geradengleichung für g als Mittelsenkrechte der Punkte A(0|0) und D((a-c)/2|h). Die Gerade h wird mit x=a/2 beschrieben. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Mittelpunkt M, M(a/2|(c²-a²+4h²)/8h). 
Die Strecke AM ist der gesuchte Radius: R=sqrt(a4 +c4 +16h4+8a²h²+8c²h²-2a²c²)/(8h)       :-(

Innenwinkel alpha
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Im rechtwinkligen Dreieck gilt tan alpha =h:[(a-c)/2]
alpha =arc tan[2h:(a-c)]

Zwei Innenwinkel sind jeweils gleich. Nichtgleiche Winkel ergänzen sich zu 180°.


Noch eine einfache Formel
Da das Trapez ein konvexes Sehnenviereck ist, gilt der Satz des Ptolemäus. Er liefert die einfache Formel:  e²=b²+ac.
Auf der Seite Sehnenviereck wird der Satz erläutert und bewiesen. 

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Ergänzungsdreieck
...... Verlängert man die Schenkel eines Trapezes, so entsteht oberhalb des Trapezes ein gleichschenkliges Dreieck. 

Dieses aufgesetzte Dreieck habe die Höhe y. 
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt y:(c/2) = (y+h):(a/2). Daraus folgt y=c*h/(a-c).


Schwerpunkt
Man findet den Schwerpunkt durch eine Konstruktion:
Zerlege das Trapez in ein (grünes) Parallelogramm und ein (blaues) gleichschenkliges Dreieck.
Bestimme die Schwerpunkte der beiden Figuren (rot).
Verbinde die Schwerpunkte (dunkelblau).
Der Schwerpunkt des Trapezes ist der Schnittpunkt dieser Verbindungsgeraden und der Symmetrieachse.
Beschreibt man diesen Weg mit Formeln, ergibt sich y=(1/3h)(a+2c)/(a+c).

Zwei Teildreiecke
...... Eine Diagonale teilt das Trapez in zwei Dreiecke mit a bzw. c als Grundseiten und h als gemeinsame Höhe. Für die Flächeninhalte gilt Aa=ah/2 und Ac=ch/2.

Damit stehen die Flächen im Verhältnis Aa: Ac=a:c.


Schnittpunkt der Diagonalen
...... Nach dem zweiten Strahlensatz gilt für die Diagonalen die Proportion AS:SC=a:c.

Legt man das Trapez in ein Achsenkreuz, so liegt der Schnittpunkt S der Diagonalen bei S(a/2|ah/(a+c)). 

Herleitung: 
Es gilt  für die Gerade AC: y=(2h)/(a+c)*x und für BD: y=-2h/(a+c)*x+(2ah)/(a+c). Der Schnittpunkt ist S.

Vier Teildreiecke
Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Teildreiecke. Für deren Flächen gilt:
Dreieck ABS: A1=0.5a²h/(a+c)
Dreieck CDS: A2=0.5c²h/(a+c)
Dreieck BCS: A3=0.5ach/(a+c)
Dreieck ADS: A4=0.5ach/(a+c)
Vergleich:     A1:A2:A3:A4=::ac:ac
Zur Herleitung: s sei die Ordinate des Punktes S. Es gilt s=ah/(a+c) und weiter A1=as/2 und A2=c(h-s)/2. - Die gelben Dreiecke bestimmt man als Differenz der Gesamtfläche und der Summe der Flächen der beiden gleichschenkligen Dreiecke.

Harmonisches Mittel
......
Es gilt PQ=2ac/(a+c), d.h., die Strecke PQ ist das harmonische Mittel der Grundseiten a und c.
Nachweis: Bestimme die Geradengleichungen zu AD und PS und bestimme den Schnittpunkt P. Bestimme PS als Differenz der x-Werte, PQ=2*PS.

Mittenviereck
Verbindet man die Seitenmitten eines Trapezes, so ergibt sich eine Raute.
Nachweis: Zeige, dass die Diagonalen des Mittenvierecks senkrecht aufeinander stehen und sich halbieren.

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Besondere Trapeze

Mehr über diese Figuren findet man auf meinen Seiten Polyiamonds und Polyabolos.


Das Falten eines Papierbechers führt zu einer interessanten Trapezform: Mittellinie und Höhe sind gleich lang. 
Anmerkung: Es sieht so aus, als ständen die Diagonalen aufeinander senkrecht.

Bei der Suche nach größten Figuren im Halbkreis war auch ein Trapez dabei.

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Deutsch

Mathematik-Online-Aufgabensammlung (mo.mathematik.uni-stuttgart.de)
Aufgabe 616: Flächenmaximierung, Rinne

Ingmar Rubin
Ein Halbkreis im Trapez

Wikipedia
Trapez



Englisch

efunda.com
Isosceles Trapezoid

Eric W. Weisstein (mathworld)
TrapeziumTrapezoidIsosceles TrapezoidBrahmaguptasTrapeziumPyramidal Frustum 

Jim Wilson
PROBLEMS: Isosceles trapezoidDiscussion/Solution?

Math Forum 
Quadrilateral Formulas

Susie Lanier
Isosceles Trapezoid

Wikipedia
TrapezoidIsosceles trapezoid


Referenzen
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York London 1997 (ISBN0-393-04002-X)


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©  2004  Jürgen Köller

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