Trapez
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.
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Was ist ein Trapez? 
... Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten.

Links zwei Beispiele.


... Das Trapez kann auch ein überschlagenes Viereck sein.

......
Sind zusätzlich die nicht parallelen Seiten gleich lang, so ist das Viereck ein gleichschenkliges oder symmetrisches Trapez. 

Auch die folgenden fünf Vierecke zählen zu den Trapezen, da sie ein Paar paralleler Seiten haben.

Parallelogramm

Rechteck

Raute

Quadrat

Doppelquadrat

Eine Einordnung des Trapezes in die Reihe der Vierecke findet man auf meiner Seite Hierarchie der Vierecke.

Ein Trapezoid ist (nach dem Brockhaus) ein "Nichttrapez", also ein Viereck mit nicht parallelen Seiten. Ein Beispiel ist das Drachenviereck, bei dem zusätzlich noch die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen und eine Diagonale die andere halbiert. 

...... Im Englischen heißt das Trapez trapezium (plural trapezia) und das Trapezoid wie im Deutschen trapezoid. Das ist wirklich verwirrend: In nordamerikanischem Englisch sind die Begriffe vertauscht. Ein Trapez ist ein trapezoid und ein Trapezoid ist ein trapezium. Diese Bemerkung ist hilfreich, wenn man im Internet nach Trapezen sucht. - Bei en.wikipedia setzt sich die amerikanische Schreibweise durch. 

Berechnungen     top
...... ...... Das Trapez hat die Größen Innenwinkel alpha, beta, gamma, delta, Grundseiten a und c (a>c), Schenkel b und d, Mittellinie m, Diagonalen e und f, Höhe h als Abstand der Grundseiten, Flächeninhalt A und Umfang U


Sind vier Größen gegeben, so lassen sich die übrigen berechnen. 

Angenommen, die Seiten a, b, c, d seien gegeben. Dann gelten die folgenden Formeln.


Zu den Herleitungen
Winkel
... Zeichne die Parallele zu BC durch den Punkt D.
Es entsteht ein Dreieck, in dem der Winkel alpha nach dem Kosinussatz berechnet wird.
Es gilt b²=d²+(a-c)²-2d(a-c)cos(alpha) oder cos(alpha)=[d²+(a-c)²-b²]/[2d(a-c)]

...... Entsprechend leitet man die Formel cos(beta)=[b²+(a-c)²-d²]/[2b(a-c)] her.

... Als entgegengesetzte Winkel an Parallelen gilt delta=180°-alpha und gamma=180°-beta.

Mittellinie
...... Spiegele das Trapez am Mittelpunkt eines Schenkels. Es entsteht ein Parallelogramm mit einem Paar paralleler Seiten der Länge a+c=2m. Daraus folgt m=(1/2)(a+c).
Die Mittellinie ist das arithmetische Mittel der Grundseiten. Es gibt weitere Mittelwerte im Trapez.

Diagonalen
...... Die Diagonale e errechnet sich nach dem Kosinussatz zu e²=a²+b²-2ab*cos(beta).
Setzt man von oben cos(beta)=[b²+(a-c)²-d²]/[2b(a-c)] ein, so ergibt sich nach Umformung 
e=sqrt[(a²c-ac²-b²c+ad²)/(a-c)].

...... Entsprechend leitet man die Formel f=sqrt[(a²c-ac²-cd²+ab²)/(a-c)] her.

Höhe
...... Für das rechtwinkligen Dreieck gilt sin(alpha)=h/d oder mit sin²(alpha)+cos²(alpha)=1 ist
h=d*sin(apha)=d*sqrt[1-cos²(alpha)]. Setzt man cos(alpha)=[d²+(a-c)²-b²]/[2d(a-c)] von oben ein und  formt um, so ergibt sich nach der englischen Wikipedia-Seite
h=sqrt{[(+a+b-c+d)(-a+b+c+d)(-a+b-c+d)(-a+b+c-d)]/[2(a-c)]}.
Mit der Rechnung ist wegen der Länge der Terme selbst "Derive" überfordert.

Flächeninhalt
...... Der Flächeninhalt ist A=(1/2)(a+c)h. 
Setzt man die Höhe h von oben ein und formt um, so erhält man 
A=(1/4)[(a+b)/(a-b)]*sqrt{[(+a+b-c+d)(-a+b+c+d)(-a+b-c+d)(-a+b+c-d)]/[2(a-c)]}.

Umfang
U=a+b+c+d

Mehr zum Flächeninhalt       top
Oben wurde der Flächeninhalt aus den vier Seiten berechnet. 
In der Schulmathematik steht die Formel A=mh=(1/2)(a+c)h im Mittelpunkt.
Diese Formel soll auf acht Wegen hergeleitet werden.


1
...... Spiegele das Trapez am Mittelpunkt eines Schenkels. 
Es entsteht ein Parallelogramm mit einem Seitenpaar a+c.
Der Flächeninhalt ist 2A=(a+c)h. Für das Trapez gilt dann A=(1/2)(a+c)h.

2
...... Will man die einfache Flächenformel für das Rechteck anwenden, kann man in der Figur 1 das linke Dreieck rechts ansetzen. Der Flächeninhalt ist 2A=(a+c)h. 
Für das Trapez gilt dann A=(1/2)(a+c)h.

3
...... Zeichne die Mittellinie und in ihren Endpunkten Senkrechte. Es werden unten zwei Dreiecke abgetrennt und oben angesetzt. Es entsteht ein flächengleiches Rechteck mit A=mh=(1/2)(a+c)h.

4
... Setze den oberen Teil des Trapezes - um 180° gedreht - rechts an.
Es gilt A=[(1/2)h](a+c).

5
...... Zeichne durch den Eckpunkt A die Parallele zur Seite BC. Es ist ein Parallelogramm entstanden.
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt
A=ah-(1/2)(a-c)h=(1/2)(a+c)h.


6
...... Zeichne durch den Eckpunkt C die Parallele zur Seite AD. Es ist ein Parallelogramm entstanden.
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt
A=ch+(1/2)(a-c)h=(1/2)(a+c)h.

7
...... Das Trapez setzt sich aus zwei Dreiecken und einem Rechteck zusammen. Es gilt q=a-c-p.
A=(1/2)ph+ch+(1/2)qh =(1/2)ph+ch+(1/2)(a-c-p)h =(1/2)ph+ch+(1/2)ah-(1/2)ch-(1/2)ph
   =(1/2)ah+(1/2)ch=(1/2)(a+c)h.

8
...... Die Diagonale AC teilt das Trapez in zwei Dreiecke gleicher Höhe.
Für den Flächeninhalt des Trapezes gilt
A=(1/2)ah+(1/2)ch=(1/2)(a+c)h.

Auf die rechnerisch einfache Herleitung Nr.8 kam ich erst durch meine Recherche in Schulbüchern. 
Trotzdem, ich favorisiere Nr.1.

Mehr zu den Diagonalen top
Vier Formeln
... Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck ABC, gilt e²=a²+b²-2ab*cos(beta).
Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck ACD, gilt e²=c²+d²-2cd*cos(delta).


... Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck ABD, gilt f²=a²+d²-2ad*cos(alpha).
Nach dem Kosinussatz, bezogen auf das Dreieck BCD, gilt f²=b²+c²-2bc*cos(gamma).

Zwei Teildreiecke
...... Eine Diagonale teilt das Trapez in zwei Dreiecke mit a bzw. c als Grundseiten und h als gemeinsame Höhe. Für die Flächeninhalte gilt Aa=(1/2)ah und Ac=(1/2)ch.
Damit stehen die Flächen im Verhältnis Aa: Ac=a:c.

Diagonalen-Abschnitte
...... Nach dem zweiten Strahlensatz gilt AT:TC=a:c und BT:TD=a:c.
Es gilt also: Die Diagonalen teilen sich im gleichen Verhältnis, nämlich im Verhältnis der Grundseiten.

Schnittpunkt der Diagonalen
...... Legt man das Trapez in ein Koordinatensystem, so hat der Schnittpunkt der Diagonalen die Darstellung
T[a(c+p)/(a+c) | ah/(a+c)].

Herleitung
... Es ist günstig, die Hilfsgrößen p und q wie in der Zeichnung einzuführen.
Es gilt a=p+c+q.

...... Die Eckpunkte lassen sich wie links ausdrücken. 
Man erhält die Koordinaten des Schnittpunktes T, indem man die Geradengleichungen der Geraden AC und BD bestimmt und sie zum Schnitt bringt.
Ausgeführt heißt das
AC: y=h/(p+c)*x
BD: y=-h/(a-p)*x+ah/(a-p)
x-Wert des Schnittpunkts: Es gilt [h/(p+c)]*x = [-h/(a-p)]*x+ah/(a-p) oder xT=a(c+p)/(a+c)
y-Wert des Schnittpunkts: yT=[h/(p+c)]*x = ah/(a+c)
Schnittpunkt: T[(a(c+p)/(a+c) | ah/(a+c)], wzbw.

Eine Deutung
...... yT=ah/(a+c) bedeutet, dass die Schnittpunkte der Diagonalen bei kontanten Größen a, c und h auf einer Parallelen zu den Grundlinien liegen.

Ist a=c, so entsteht ein Parallelogramm. Die Schnittpunkte liegen dann auf der Mittelparallelen. 

Harmonisches Mittel
...... Zeichnet man durch den Schnittpunkt der Diagonalen eine Parallele zu den Grundseiten, so ist der Streckenabschnitt innerhalb des Trapezes das harmonische Mittel der Grundseiten. - Formel: n=2ac/(a+c)

Herleitung
... Es gilt n=P1P2. Man bestimmt die Koordinaten der Punkte P1 und P2.
P1 ist der Punkt auf der Geraden AD mit dem y-Wert von T.
y=(h/p)*x und y=ah/(a+c) ergibt (h/p)*x=ah/(a+c) oder x1=(ap)/(a+c)
P2 ist der Punkt auf der Geraden BC mit dem y-Wert von T.
y=ah/(a+c) und y=h/(c+p-a)*x-(ha)/(c+p-a) ergibt ah/(a+c)=h/(c+p-a)*x-(ha)/(c+p-a) oder x2=a(2c+p)/(a+c)
Dann ist P1P2=x2-x1=a(2c+p)/(a+c)-(ap)/(a+c)=2ac/(a+c), wzbw.

Zwei elegante, aber nicht einfachere Beweise, ohne Koordinaten zu benutzen, findet man auf den Webseiten von PlanetMath  (URL unten) und Shannon Umberger (URL unten).

Vier Teildreiecke des gleichschenkligen Trapezes
Die Diagonalen teilen das Trapez in vier Teildreiecke. Für deren Flächen gilt:
Dreieck ABT: A1=(1/2)a²h/(a+c)
Dreieck CDT: A2=(1/2)c²h/(a+c)
Dreieck BCT: A3=(1/2)ach/(a+c)
Dreieck ADT: A4=(1/2)ach/(a+c)
Zur Herleitung: s sei die Ordinate des Punktes S. Es gilt s=ah/(a+c) und weiter A1=as/2 und A2=c(h-s)/2. 

Die gelben Dreiecke bestimmt man als Differenz der Gesamtfläche und der Summe der Flächen der beiden gleichschenkligen Dreiecke.


Ein Proportionenkette:     A1:A2:A3:A4=::ac:ac
Eine Formel: A1A2=A3A4

Größtes Trapez top
Größtes Trapez aus drei Seiten
...... Ein gleichschenkliges Trapez hat drei gleich große Seiten, nämlich eine Grundseite und die beiden Schenkel. Welchen Winkel alpha muss das Trapez haben, damit der Flächeninhalt maximal wird?


...... Geht alpha gegen Null, so geht auch der Flächeninhalt gegen Null. - Nähert sich alpha dem Winkel 90° und geht darüber hinaus, so wird der Flächeninhalt kleiner.

...... Für die Rechnung ist es günstig, nicht den Winkel alpha zu betrachten, sondern die Höhe x. 
Es gilt x=b*sin(alpha). Nach dem Satz des Pythagoras ist s²=b²-x² oder s=sqrt(b²-x²).
Der Flächeninhalt ist A(x)=(1/2)[b+b+2s)x=[b+sqrt(b²-x²)]x=bx+x*sqrt(b²-x²).
Rechnung
A'(x)=b+(-2x²)/[2sqrt(b²-x²)]+sqrt(b²-x²)=[-2x²+b²+b*sqrt(b²-x²)]/sqrt(b²-x²)
A'(x)=0 bedeutet -2x²+b²+b*sqrt(b²-x²)=0 oder b*sqrt(b²-x)=2x²-b² oder b²(b²-x²)=(2x²-b²)² oder b4-b²x²=4x4-4b²x²+b4 oder -b²x²=4x4-4b²x² oder 4x4 =3b²x². Das führt zu x=0 und x²=(3/4)b² bzw. x=(1/2)sqrt(3)b und x=-(1/2)sqrt(3)b. 
Für das Problem ist die Lösung x=(1/2)sqrt(3)b zutreffend. Das führt zu sin(alpha)=(1/2)sqrt(3) oder alpha=60°.
Auf die zweite Ableitung verzichte ich.

Lösung: Das Trapez ist am größten, wenn alpha=60° ist.

Es stellt sich die Frage, weshalb das Trapez auf den Kopf gestellt wird.
......  Das liegt daran, dass die Aufgabe meist so formuliert wird.
Eine Rinne wird aus drei Bretter gleicher Breite gebildet, einem Bodenbrett und zwei Seitenbretter.  Wie groß muss der Neigungswinkel der Seitenbretter sein, wenn durch die Rinne möglichst viel Wasser fließen soll?

Für alpha=60° ist das Trapez übrigens ein halbes regelmäßiges Sechseck.

Größtes Trapez im Halbkreis 
...... Gegeben ist ein Halbkreis durch die Gleichung x²+y²=r² und y>0.

Welche Maße hat das größte Trapez, das in den Halbkreis zwischen x-Achse und Kreislinie passt?


Lösung
Es gilt A=[(2r+2x)/2]y=(x+r)y. 
Die Nebenbedingung ist x²+y²=r² oder y²=r²-x². 
Die Zielfunktion ist A²(x)=(x+r)²y²=(x²+2rx+r²)(r²-x²)=-x4-2rx3+2r³x+r4.
(A²)'=-4x³-6rx²+2r³. 
(A²)'=0 führt zur Lösung x=r/2. (Gelöst durch Probieren). Dann ist y=(1/2)sqrt(3)r.
Die Maximalstelle ist gesichert: (A²)''=-12x²-12r²<0 für x=r/2. 
Ergebnis: Das größte Trapez hat die Grundseiten 2r und r und die Höhe (1/2)sqrt(3)r. Das Trapez ist ein halbes regelmäßiges Sechseck.

Größtes Trapez in der Halb-Ellipse
...... Gegeben ist die Halbellipse durch die Gleichung x²/a²+y²/b²=1 und y>0.

Welche Maße hat das größte Trapez, das in die Halbellipse zwischen der x-Achse und der Ellipse  passt? 

Zur Lösung
Da die Ellipse das affine Bild eines Kreises ist, ist anzunehmen, dass die Maximalstelle bei x=a/2 liegt.

Größtes Trapez unter einer Parabel 
...... Gegeben ist die nach unten offene Parabel durch die Gleichung y=-x²+1.

Welche Maße hat das größte Trapez, das in das Parabelsegment zwischen der x-Achse und der Parabel passt? 

Lösung
Der Flächeninhalt des Trapezes ist A(x)=(1/2)(2+2x)y=(x+1)(-x²+1)=-x³+x-x²+1.
Die Ableitung ist A'(x)=-3x²-2x+1.
A'(x)=0 führt zur quadratischen Gleichung -3x²-2x+1=0 oder x²+(2/3)x-1/3=0
Die Lösungen sind x1=-(1/3)+sqrt(1/9+1/3)=-1/3+2/3=1/3 und (hier unbrauchbar) x2=-(1/3)-sqrt(1/9+1/3)=-1/3-2/3=-1.
Für die zweite Ableitung gilt A''(x)=-6x-2 und damit A(x1)<0. Damit ist x1 eine Maximalstelle
Es gilt weiter y1=-(1/3)²+1=8/9.
Ergebnis: Das maximale Trapez hat die Größen a=2, c=1/3, h=8/9.

Verschiedenes    top
Ergänzungsdreieck
...... Verlängert man die Schenkel eines Trapezes um b' und d', so entsteht oberhalb des Trapezes ein Ergänzungsdreieck mit den Seiten c, b', d' und der Höhe h'. 
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt b':(b+b') = c:a. Daraus folgt b'=bc/(a-c).
Nach dem zweiten Strahlensatz gilt d':(d+d') = c:a. Daraus folgt d'=cd/(a-c).
Nach dem ersten Strahlensatz gilt h':h=d':d. Daraus folgt h'=ch/(a-c).


Mittenviereck
......
Verbindet man die Seitenmitten eines Trapezes, so ergibt sich wie beim allgemeinen Viereck ein Parallelogramm.

......
Ist das Trapez gleichschenklig, so ergibt sich sogar eine Raute, da die Diagonalen aufeinander senkrecht stehen.

Um- und Inkreis
Ein allgemeines Trapez hat keinen Um- oder Inkreis. Es gibt Sonderfälle.

Sehnenviereck
Das gleichschenklige Trapez hat einen Umkreis. Es ist ein Sehnenviereck
......
Lege das Trapez zur Bestimmung des Radius des Umkreises in ein Koordinatensystem. Bestimme die Geradengleichung für g als Mittelsenkrechte der Punkte A(0|0) und D((a-c)/2|h). Die Gerade h wird mit x=a/2 beschrieben. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der Mittelpunkt M, M(a/2|(c²-a²+4h²)/8h). 
Die Strecke AM ist der gesuchte Radius: R=sqrt(a4 +c4 +16h4+8a²h²+8c²h²-2a²c²)/(8h)       :-(

Tangentenviereck
...... Es gibt besondere Trapeze mit einem Inkreis. Sie bilden Tangentenvierecke. Man findet sie so.
Man gibt einen Kreis vor und zeichnet zwei parallele Tangenten. Man ergänzt die Figur durch zwei weitere Tangenten, die dann die Schenkel bilden. 

Weitere Trapeze meiner Homepage    top
...... Werden die Eckpunkte eines allgemeinen Vierecks durch Koordinaten gegeben, so ist es günstig, den Flächeninhalt über Flächeninhalte von Trapezen zu bestimmen.


Schwerpunkt
...... Die Lage des Schwerpunktes einer trapezförmigen Scheibe findet man auf meiner Seite
Schwerpunkt von Figuren.

Besondere Trapeze

Mehr über diese Figuren findet man auf meinen Seiten Polyiamonds und Polyabolos.


Papierbecher
Das Falten eines Papierbechers führt zu einer interessanten Trapezform: Mittellinie und Höhe sind gleich lang. 
Anmerkung: Es sieht so aus, als ständen die Diagonalen aufeinander senkrecht.

Trapez im Internet  top

Deutsch

Hans Walser
Fibonacci-Trapeze

Ingmar Rubin
Ein Halbkreis im Trapez

Mathematik-Online-Aufgabensammlung (mo.mathematik.uni-stuttgart.de)
Aufgabe 616: Flächenmaximierung, Rinne

Michael Holzapfel
Knoten im Papierstreifen (Goldenes Trapez)

Wikipedia
Trapez, Trapezregel, Trapez-Methode


Englisch

Antonio Gutierrez (GoGeometrie)
Problem 163. Trapezoid, Diagonals, Triangles, Areas
Problem 170. Trapezoid, Midpoint, Triangle, Area
Problem 171. Trapezoid, Midpoints, Triangles, Areas
Problem 172. Trapezoid, Midpoints, Quadrilaterals, Areas
Problem 185. Trapezoid, Triangles and Angles, Auxiliary Lines
Problem 337. Isosceles Trapezoid, Angle bisector, Parallel, Concyclic points
Problem 432: Trapezoid, Parallel, Measurement, Similarity, Transversal
Problem 529: Right Trapezoid, Circle, Diameter
Problem 530: Cyclic Quadrilateral, Diagonal, Diameter, Perpendicular, Congruence, Math Education

efunda.com 
Trapazoid, Isosceles Trapezoid

Eric W. Weisstein (mathworld)
Trapezium, Trapezoid, Isosceles TrapezoidBrahmaguptasTrapezium, Pyramidal Frustum

Jim Wilson
PROBLEMS: Isosceles trapezoidDiscussion/Solution?

Math Forum 
Quadrilateral Formulas

PlanetMath
harmonic mean in trapezoid

Shannon Umberger
Essay # 3 - Some "Mean" Trapezoids

Susie Lanier
Isosceles Trapezoid

Wikipedia
Trapezoid, Isosceles trapezoid, Trapezoidal rule


Referenzen     top
Jan Gullberg: Mathematics- From the Birth of Numbers, New York London 1997 (ISBN0-393-04002-X)


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©  2004 (erweitert 2010)  Jürgen Köller

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